等差数列的性质及应用课件
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第二课时等差数列的性质课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
(3)
−
＝
−
(m， ∈ ∗ ，且m ≠
2.等差中项：由三个数a , A , b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
(1)条件：如果a , A , b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是: a ＋ b ＝2 A
1.等差数列实际问题
求证: + = +
分析：利用等差数列的中的两个基本量 1 , ,再根据等差数列的定义
写出 ， ， ， ，即可得证.
证明：设数列 的公差为,则
= 1 +(p − 1) ,
= 1 +(q − 1) ,
= 1 +(s − 1) ,
∴ = 2+(n − 1) 2=2n
所以数列 的通项公式是 =2n
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
问题1：求数列的通项公式需要知道哪些量？ 首项，公差
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
−
＝
−
(m， ∈ ∗ ，且m ≠
2.等差中项：由三个数a , A , b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
(1)条件：如果a , A , b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是: a ＋ b ＝2 A
1.等差数列实际问题
求证: + = +
分析：利用等差数列的中的两个基本量 1 , ,再根据等差数列的定义
写出 ， ， ， ，即可得证.
证明：设数列 的公差为,则
= 1 +(p − 1) ,
= 1 +(q − 1) ,
= 1 +(s − 1) ,
∴ = 2+(n − 1) 2=2n
所以数列 的通项公式是 =2n
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
问题1：求数列的通项公式需要知道哪些量？ 首项，公差
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
4.2.2等差数列的前n项和(第一课时)课件(人教版)
最小值时n的值为(
A.5
√
B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析 由 7a5＋5a9＝0，得 d ＝－ 3 .
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y＝2x ＋a1－2x 的图象的对称轴为 x＝2－ d ＝2＋ 3 ＝ 6 ，
取最接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距
10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an )
Sn
不含d
A.5
√
B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析 由 7a5＋5a9＝0，得 d ＝－ 3 .
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y＝2x ＋a1－2x 的图象的对称轴为 x＝2－ d ＝2＋ 3 ＝ 6 ，
取最接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距
10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an )
Sn
不含d
等差数列复习课课件(公开课)
详细描述
等差数列的应用包括计算等差数列的和、解决等差数列的实际问题、在数学证 明和数学竞赛中的应用等。通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地解决 实际问题，提高数学素养和思维能力。
02
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式的推导
理解等差数列通项公式的推导过程
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，其推导过程基于等差数列的 定义和性质。通过累加等差数列中相邻两项的差，可以得到等差数列的通项公式 。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
定义首项和公差
倒序相加法推导
等差数列的首项记作$a_1$，公差记 作$d$，则第$n$项可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
将等差数列的前$n$项和记作$S_n$ ，则有$S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n1)d]$，也可以得到等差数列的求和公 式。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以第10项=2+(101)×3=29。
题目2
答案2
一个等差数列的第3项为7，第5项为13，求 该数列的首项和公差。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以首项=第3项-(3-1)× 公差=7-(3-1)×d，公差d=(第5项-第3项 )/(5-3)=(13-7)/2=3。
等差数列复习课课件( 公开课)
目录 CONTENT
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的综合应用 • 复习题与答案解析
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其相邻 两项之间的差是一个常数。
等差数列的应用包括计算等差数列的和、解决等差数列的实际问题、在数学证 明和数学竞赛中的应用等。通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地解决 实际问题，提高数学素养和思维能力。
02
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式的推导
理解等差数列通项公式的推导过程
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，其推导过程基于等差数列的 定义和性质。通过累加等差数列中相邻两项的差，可以得到等差数列的通项公式 。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
定义首项和公差
倒序相加法推导
等差数列的首项记作$a_1$，公差记 作$d$，则第$n$项可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
将等差数列的前$n$项和记作$S_n$ ，则有$S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n1)d]$，也可以得到等差数列的求和公 式。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以第10项=2+(101)×3=29。
题目2
答案2
一个等差数列的第3项为7，第5项为13，求 该数列的首项和公差。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以首项=第3项-(3-1)× 公差=7-(3-1)×d，公差d=(第5项-第3项 )/(5-3)=(13-7)/2=3。
等差数列复习课课件( 公开课)
目录 CONTENT
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的综合应用 • 复习题与答案解析
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其相邻 两项之间的差是一个常数。
第七章第二节等差数列及其前n项和课件
2．(2020·全国卷Ⅱ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1＝－2，a2＋ a6＝2，则 S10＝________．
解析： 通解：设等差数列{an}的公差为 d，则由 a2＋a6＝2，得 a1＋d ＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得 d＝1，所以 S10＝10×(－2)＋10× 2 9 ×1 ＝25.
an＋2.( ) (4)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．( ) (5)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数．( ) 答案： (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2．(必修 5P44 例 2 改编)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a2＝2，S4
(2)关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为 2n，则 S 偶－S 奇＝nd，SS奇 偶
＝ an an＋1
.
②若项数为 2n－1，则 S 偶＝(n－1)an，S 奇＝nan，S 奇－S 偶＝an，SS奇 偶 ＝n－n 1 .
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这 个数列是等差数列．( ) (2)已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数)，则数列 {an}一定是等差数列．( ) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋
3．能在具体的问题情境中，发现数 三种题型都有可能出现．
列的等差关系，并解决相应的问题． 学科素养： 数学运算、逻辑推理．
4．体会等差数列与一次函数的关系．知识·分落实⊲学生用书 P104
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从__第__2_项_起，每一项与它的前一项的差__都等于同
等差数列_PPT课件
已知正数数列{an}和{bn}满足：对任意 n(n∈N＋)，an， bn，an＋1 成等差数列，且 an＋1＝ bn·bn＋1. (1)求证：数列{ bn}是等差数列． (2)设 a1＝1，a2＝2，求{an}和{bn}的通项公式．
第(1)问可利用等式 2bn＝an＋an＋1，把 an，an＋1 用 bn－1， bn，bn＋1 代换，然后整理．再进行判断；解答本题第(2)问， 可利用第(1)问的结论，先求 bn，再求 bn 和 an.
等差数列的性质
1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规 律．
2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用． 4．掌握等差中项的概念与应用.
1．灵活应用等差数列的性质，求数列中的项 (或通项)(重点，难点)
2．利用等差中项及性质设元或列方程解题(重 点)
3．常与函数、方程结合命题，三种题型均可 出现，多为中低档题.
[策略点睛]
[规范作答] (1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d， 则这三个数分别为a－d，a，a＋d，
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24， 化6,2，－2. 方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a
事实上，am＋(n－m)d＝a1＋(m－1)d＋(n－m)d ＝a1＋(n－1)d＝an.
2．等差数列的公差与斜率的关系 (1)一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线，斜率 k＝fxx22－－xf1x1(x1≠x2)． 当 k＝0 时，对于常数函数 f(x)＝b，上式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率． d＝amm－－ann其实就是斜率公式，并且当{an}是常数列时， d＝0，公式也仍然成立．
《等差数列的概念》课件
。
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
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目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
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目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
高中数学必修5课件：第2章2-2-2等差数列的性质
(4)形如a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…的抽取， 实 际 上 是 3a2,3a5,3a8… 当 然 成 等 差 数 列 ． 对 于 每 2 项 ， 4 项 ， 5 项…抽取，道理是相同的．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
数学 必修5
第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
数学 必修5
第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
数学 必修5
第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
数学 必修5
第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
数学 必修5
第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
数学 必修5
第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
数学 必修5
第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
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第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
数学 必修5
第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
数学 必修5
第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
4.2.1等差数列(第二课时)等差数列的证明与性质PPT课件(人教版)
1
2
1
2
=
，
2( −2)
= ，为常数( ∈ ∗ ).
1
，
2
1
2
( > 1， ∈
∗ )，记
∴数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列.
=
1
.求证：数
−2
新知探究
证明：(法二：等差中项法)∵ =
∴+2 =
+1
2(+1 −2)
4
=
4−
4
2(4− −2)
(m，n，p，q∈N*)
特别地，设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap. (m，n，p∈N*)
注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.
例如，15 ≠ 7 + 8 ， 但6 + 9 = 7 + 8 ；1 + 21 ≠ 22 ，但1 + 21 = 211 .
[方法二]由等差数列的性质知30 = 37 ，则7 = 10.
故3 − 25 = 3 − (3 + 7 ) = −7 = −10.
新知探究
例3.(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
∴ = 1 + ( − 1) × (−20) = 220 − 20.
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
04
课堂小结
课堂小结
推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)
首末项两项之间的关系
任意两项之间的关系
an －a1
高中数学选择性必修一(人教版)《4.2.2 等差数列前n项和的性质及应用》课件
＝n2－n2. 当 n 为奇数时， Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an) ＝1＋7＋15＋…＋(4n－5) ＝1＋n－2 1×7＋42n－5 ＝n2－n－2 1.
n2－n2，n为偶数， 故 Sn＝n2－n－2 1，n为奇数.
谢 谢观看
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1＞0，S11＝S18，则当 n 为
何值时 Sn 最大？ 解：法一：由 S11＝S18，得 11a1＋11×2 10d＝18a1＋18×2 17d， 即 a1＝－14d＞0，所以 d＜0. 构建不等式组aann＝ ＋1＝a1＋ a1＋nn－d≤1d0≥，0，
解：设从现有一辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列 {an}，则 an－an－1＝－13， ∴数列{an}构成首项为 24，公差为－13的等差数列． 设还需组织(n－1)辆车， 则 a1＋a2＋…＋an＝24n＋nn2－1·－13≥20×25， ∴n2－145n＋3 000≤0，即(n－25)(n－120)≤0， ∴25≤n≤120，∴nmin＝25，∴n－1＝24. 故至少还需组织 24 辆车陆续工作，才能保证在 24 h 内完成第二道 防线．
所以Snn是公差为 1，首项为 3 的等差数列， 所以前 10 项和为 3×10＋10× 2 9×1＝75. 答案：75
题型二 等差数列前 n 项和的最值问题 [学透用活]
[典例 2] 在等差数列{an}中，公差为 d，若 a1＝25，且 S9＝S17，求 Sn 的最大值．
[解] 法一：由 S9＝S17 得 9a1＋9×2 8d＝17a1＋17×2 16d，又 a1＝25， ∴d＝－2.
第二课时 等差数列前 n 项和的性质及应用
人教版高中数学选择性必修第二册4.3.1(第2课时)等差数列的性质及应用 课件
am+an=ap+aq
新知导入 问题：
等比中项与等差中项的区别? 提示： (1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项 (2)两个数 a,b 的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等 比中项有两个
新知讲解 拓展
两个等比数列合成数列的性质
若数列{an},{bn }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列
(2)若{an}等比数列，公比为
,证明数列{log₃an} 为等差数列.
证明：
( 1 ) 由a₁=3,d=2,
得{an}的通项公式为an=2n+1.
设bn=3an,
则
又
b所₁=以3³，=2{73an}是以27为首项，9为公比的等比数列.
合作探究
例5已知数列{an}的首项a₁=3. (1)若{an}为等差数列，公差d=2, 证明数列{3an}为等比数列；
合作探究 解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an},{bn}.
由题意，知 an=1050×1.05n-1
bn=1-[90%+0.4%(n-1)] =0.104—0.004n
其 中 ，n=1,2,..,24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1×(0.104-0.004n)
设BA=a₁,AA₁=a₂,A₁A₂=a₃,…,A₅A₆=a₇ ,
则
解： 等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=2, 所 以
AB=BA=a₁=2
同理 故数列{an}是首项a₁=2, 公 比 的等比数列，
课堂总结
1复习 2拓展 3例题 4课堂练习
板书设计
1温故知新 2拓展
3例4~6
4课堂练习
新知导入 问题：
等比中项与等差中项的区别? 提示： (1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项 (2)两个数 a,b 的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等 比中项有两个
新知讲解 拓展
两个等比数列合成数列的性质
若数列{an},{bn }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列
(2)若{an}等比数列，公比为
,证明数列{log₃an} 为等差数列.
证明：
( 1 ) 由a₁=3,d=2,
得{an}的通项公式为an=2n+1.
设bn=3an,
则
又
b所₁=以3³，=2{73an}是以27为首项，9为公比的等比数列.
合作探究
例5已知数列{an}的首项a₁=3. (1)若{an}为等差数列，公差d=2, 证明数列{3an}为等比数列；
合作探究 解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an},{bn}.
由题意，知 an=1050×1.05n-1
bn=1-[90%+0.4%(n-1)] =0.104—0.004n
其 中 ，n=1,2,..,24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1×(0.104-0.004n)
设BA=a₁,AA₁=a₂,A₁A₂=a₃,…,A₅A₆=a₇ ,
则
解： 等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=2, 所 以
AB=BA=a₁=2
同理 故数列{an}是首项a₁=2, 公 比 的等比数列，
课堂总结
1复习 2拓展 3例题 4课堂练习
板书设计
1温故知新 2拓展
3例4~6
4课堂练习
等差数列ppt课件
等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项 ，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项 的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础 概念，对于理解数列、函 数等其他数学概念有着重 要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数 学运算中有着广泛的应用 ，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一 些复杂的数学问题，例如 求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项 和为40，前8项和为64，求这个 等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式 ，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$， 前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个 方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求 和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算 存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02
等差数列的综合应用 课件
等差数列前n项和的最值问题
数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6. (1)从第几项开始有 an<0； (2)求此数列的前 n 项和的最大值． 【思路探究】 (1)怎样求 an？an<0 的含义是什么？不等式 的解集的含义是什么？ (2)能否用二次函数的方法处理前 n 项和的最值问题？由 an 的变化可以推测吗？
(2)S 偶－S 奇＝50d＝100，∴d＝2.
【答案】 (1)9 (2)2
等差数列前 n 项和性质小结： 1．等差数列{an}中，公差为 d，前 k 项的和为 Sk，则 Sk， S2k－Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…构成公差为 k2d 的等差数 列． 2．等差数列{an}中，公差为 d： (1)若共有 2n 项，则 S2n＝n(an＋an＋1)； S 偶－S 奇＝nd；S 偶∶S 奇＝an＋1∶an. (2)若共有 2n＋1 项，则 S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； S 偶－S 奇＝－an＋1；S 偶∶S 奇＝n∶(n＋1)．
(2)若 a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或 0)，所以 将这些项相加即得 Sn 的最大值.
等差数列前n项和的性质
(1)在等差数列{an}中，若 S4＝1，S8＝4，则 a17＋ a18＋a19＋a20＝________.
(2)有一个共有 100 项的等差数列，其奇数项与偶数项之和 分别为 100 和 200，则公差 d＝________.
等差数列前n项和Sn的最值
【问题导思】 1．你能把等差数列的前 n 项和公式写成 Sn 关于 n 的二次 函数的形式吗？ 【提示】 能，Sn＝d2n2＋(a1－d2)n. 2．这个关系式有何特点？ 【提示】 是二次项系数为2d，图象过原点的二次函数．
人教版A版高中数学必修5：等差数列_课件26
等差数列
1
1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一
个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数 列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
2
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am
、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果aa,A,bb成等差数
10n n2 n2 10n
50
(n≤5), (n 5).
38
错源二
忽略为零的项
【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且 S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.
39
[错解]设公差为d,由S10 S15, 得
10a1
10 9 2
A.5
B.-5
C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…
由此可得a1000=-1.
15
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.
18
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且 p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使
1
1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一
个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数 列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
2
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am
、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果aa,A,bb成等差数
10n n2 n2 10n
50
(n≤5), (n 5).
38
错源二
忽略为零的项
【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且 S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.
39
[错解]设公差为d,由S10 S15, 得
10a1
10 9 2
A.5
B.-5
C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…
由此可得a1000=-1.
15
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.
18
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且 p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使
等差数列的性质公开课PPT课件
};
(2
){an
2
};
(3
1 ){
an
};
(4){an
an1};
(5){a2k1}
第15页/共26页
第16页/共26页
【变式与拓展1】
1．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a－1，a＋1, 2a＋3， 则此数列的通项 an 为( B )
A．2n－5
B．2n－3
C．2n－1
D．2n＋1
2．数列{an}为等差数列，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7 的等差中项为 7，则数列的通项 an 为___2_n_－__3_．
第17页/共26页
题型2 等差数列性质及应用 例2：在等差数列{an}中， (1)已知 a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
自主解答：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得 2(a2＋a5)＝34，即 a2＋a5＝17. 解aa22·＋a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝ ＝41.3， ∴d＝a55－ －2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－ －2a2＝4－313＝－3.
第25页/共26页
感谢您的观看！
第26页/共26页
C．2
D．1或2
解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋ c)2－4ac＝(a－c)2≥0，故选D.
答案：D
第23页/共26页
【例 3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围． 错解：设an的公差为 d，第 n 项为 an，则 a9
第二节等差数列及其前n项和课件
若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝
.
解析：设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝－2，a2＋ a6＝2，所以－2＋d＋（－2）＋5d＝2，解得d＝1.由等 差数列的前n项和公式，得S10＝10×（－2）＋ 10×（210－1）×1＝25.
答案：25
题组二 易错自纠
常见误区：①等差数列概念中的两个易误点，即同
1.已知数列{an}满足a1＝－23，an＋1＝－3a2na＋n－43（n∈N*）.
（1）证明：数列an＋1 1是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
（1）证明：因为an＋1＋1＝
－2an－3 3an＋4
＋1＝
an＋1 3an＋4
，
所以an＋11＋1＝3aann＋＋14＝3＋an＋1 1，所以an＋11＋1－an＋1 1＝
2.等差数列的有关公式
（1）通项公式：an＝a1＋（n－1）d；an＝am＋
（n－m）d.
（2）前n项和公式：Sn＝na1＋
n（n－1）d 2
＝
n（a1＋an） 2
.
3.等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和.
（1）若m，n，p，q，k是正整数，且m＋n＝p＋q＝
2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.
3，所以an＋1 1是首项为a1＋1 1＝3，公差为3的等差数列.
（2）解：由（1）得an＋1 1＝3n，所以an＝31n－1.
2.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和
为Sn，且Sk＝110. （1）求a及k的值；
（2）设数列{bn}的通项公式bn＝
Sn n
，证明：数列{bn}
是等差数列，并求其前n项和Tn.
新教材高中数学4-2-1等差数列的概念第二课时等差数列的性质及其应用课件新人教A版选择性必修第二册
[对点练清] 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an} 的通项公式． 解：法一：根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为 a1，a1＋d，a1＋2d， 则aa11＋a1＋a1＋ dda1＋＋2ad1＋＝22d3＝ 1，21， 即3aa11a＋1＋3dd＝a211＋，2d＝231. 解得ad1＝＝43， 或ad1＝＝－114，. 因为数列{an}为单调递增数列，
(2)∵在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，∴a1＋a17＝a5 ＋a13.
由条件等式，得a9＝117. ∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234. [答案] (1)C (2)234
[方法技巧]
本例(1)应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则{an＋bn}也是等 差数列．
[对点练清]
1．已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为 A．10 B．－10 C．15 D．－15
()
解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，则30＝(a1＋3d)＋(a1＋6d)＋(a1＋9d) ＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.故a3－2a5＝(a1＋2d)－2(a1＋4d)＝－a1－6d＝－ 10.
证明：(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d， 从而，当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－ 1)d＝2an，k＝1,2,3， 所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an， 因此等差数列{an}是“P(3)数列”． (2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此， 当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，① 当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.②
4.2.1等差数列的概念(1)PPT课件(人教版)
当d=-2时，这三个数分别为6，4，2.
解惑提高
几个数成等差数列的设项方法与技能
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，
公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列.
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公
是等差数列.
应用举例
例4 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a-d，a，a+d, 则
(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12
∴a=4
又∵ (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12
解得 d=±2
∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6;
化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)
万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价
值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.
解:设使用n年后,这台设备的价值为an万元,则可得数列{an} 是一个公差
为-d的等差数列.
因为购进设备的价值为220万元,所以a1 =220-d,
设备将报废.请确定d的取值范围.
分析:这台设备使用n年后的价值构成一个数列
{an}.由题意可知,10年之内(含10年),这台设备的
价值应不小于(220×5%=)11万元;而10年后,这台
设备的价值应小于11万元.可以利用{an}的通项公
式列不等式求解.
应用举例
例6 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老
解惑提高
几个数成等差数列的设项方法与技能
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，
公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列.
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公
是等差数列.
应用举例
例4 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a-d，a，a+d, 则
(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12
∴a=4
又∵ (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12
解得 d=±2
∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6;
化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)
万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价
值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.
解:设使用n年后,这台设备的价值为an万元,则可得数列{an} 是一个公差
为-d的等差数列.
因为购进设备的价值为220万元,所以a1 =220-d,
设备将报废.请确定d的取值范围.
分析:这台设备使用n年后的价值构成一个数列
{an}.由题意可知,10年之内(含10年),这台设备的
价值应不小于(220×5%=)11万元;而10年后,这台
设备的价值应小于11万元.可以利用{an}的通项公
式列不等式求解.
应用举例
例6 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老
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