梯形的概念、性质与判定

梯形的概念、性质与判定

中考要求

基本要求：会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定

略高要求：掌握梯形的概念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题. 例题精讲

相关概念定理

1．定义：

四边形中还有一类特殊的四边形，它们的一组对边平行而另一组对边不平行，这样的特殊四边形就叫做梯形.研究梯形主要是研究两类：等腰梯形和直角梯形.

A B C D

A B C D A D B C ⎫⇒⎬⎭

∥ 叫做梯形.

2．等腰梯形

A B C D A D B C A D B C ⎫

⎪=⇒

⎬⎪⎭

∥峛.A B C D

D A B C B A

A D C

B

C

D A C B D

∠=∠∠=∠=是等腰梯形，，，

3． 直角梯形

A B C D

C B A B A B C

D A D B C ⎫⎪

⊥⇒⎬⎪⎭

∥ 是直角梯形.

4．平行线等分线段定理

123

4l l l l A B B C C D ⎫⇒⎬==⎭

∥∥∥1111

1A B B C C D

==.

5．中位线定理

C B A D

底角腰底高

B C

A D

C

A B D

l 4

l 3

l 2

l

1D 1C 1B 1

A 1D

C B A

⑴ 三角形中位线定理 ABC ∆中：

11

22

AM BM MN BC MN BC AN CN =⎫⇒=⎬

=⎭∥，.

⑵ 梯形中位线定理 梯形ABCD 中：

AB CD AM DM BN CN ⎫⎪

=⇒⎬⎪=⎭

∥()

1

2MN AB CD MN AB CD =+∥∥，

二、等腰梯形

1. 等腰梯形的性质

①等腰梯形同一底边上的两个角相等； ②等腰梯形的两条对角线相等．

③等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴；

2. 等腰梯形的判定

①同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形． ②对角线相等的梯形是等腰梯形．

模块一 梯形的概念

【例1】 梯形有关概念：一组对边平行而另一组对边______的四边形叫做梯形，梯形中平

行的两边叫做底，按______分别叫做上底、下底(与位置无关)，梯形中不平行的两边叫做______，两底间的______叫做梯形的高．一腰垂直于底边的梯形叫做______；两腰______的梯形叫做等腰梯形．

【例2】 等腰梯形的性质：等腰梯形中______的两个角相等，两腰______，两对角线______，

等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，______就是它的对称轴．

【例3】 等腰梯形的判定：______的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角______的梯形是

等腰梯形．

B N

C M

A B N C A M

D

【例4】梯形的对角线（）

A．有可能被交点所平分B．不可能被交点所平分

C．不相等 D．不可能互相垂直

【例5】下列叙述中，正确的是（）

A．只有一组对边平行的四边形是梯形B．矩形可以看作是一种特殊的梯形

C．梯形有两个内角是锐角，其余两个角是钝角D．梯形的对角互补

【例6】有两个角相等的梯形是（）

A．等腰梯形B．直角梯形

C．一般梯形D．直角梯形和等腰梯形

【例7】在梯形中，以下结论：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④两底相等，正确的有（）

A．1个 B．2个 C．3个D．4个

【例8】梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（）A．4：6：2：8 B．2：4：6：8

C．4：2：8：6 D．8：4：2：6

【例9】若一个四边形的四个角的比为2：4：5：7，则这个四边形是（）A．平行四边形B．梯形

C．菱形D．一般四边形

模块二特殊梯形的性质和判定

【例10】一梯形的两条对角线长分别为5和12，且对角线互相垂直，则这个梯形的面积为（）。

A．60 B．30 C．40 D．50

【例11】 已知: 如图, 在梯形ABCD 中,AD BC ∥, AB CD =, E 是底边BC 的中点, 连接

AE DE ，. 求证:ADE ∆是等腰三角形.

【例12】

如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，以下四个结论：①

，②OA=OD ，③，④S =S ，其中正确的是

（ ）

A ．①②

B ．①④

C ．②③④

D ．①②④

【例13】

课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为4502cm ，则两条对角线所用的竹条至少需( )．

A ．cm 230

B ．30cm

C ．60cm

D ．cm 260

【例14】

等腰梯形上底长为3cm ，腰长为4cm ，其中锐角等于60°，则下底长是______．

【例15】

如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝AD ＝1，∠B ＝60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC ＋PD 的最小值为______．

D

E C

A

B

DCB ABC ∠=∠BDC BCD ∠=∠AOB ∆DOC ∆O

D

C

B

A