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二元函数极限证明

二元函数极限证明设P=f, P0=,当P-PO时f的极限是x, y 同时趋向于a, b时所得到的称为二重极限。

此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限，称为二次极限。

我们必须注意有以下几种情形：'

两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在两个二次极限存在而不相等

两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在

2

函数f当x-*XO时极限存在，不妨设：limf=a

根据定义:对任意£>0,存在8〉0,使当|x-x 0|而| x-xO | 又因为£有任意性，故可取£ =1,则有：|f -a|再取M=max {|a-l I, |a+l |},则有:存在8 >0,当任意x属于x 0的某个邻域U时，有|f| 证毕

3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

1,y 以y=x"2-x 的路径趋于OLimitedsi n/x"2=Limi tedsinx"2/x"2=l而y=x的路径趋于0结果是无穷大。

2,3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是P以任何方式趋向于该点。

f={/}*sin

显然有y->0 , f-〉*sin存在

当x->0, f->*sin, sin再0处是波动的所以不存在而当

x->0, y->0时

由| sin |而x"2+y"2所以|f|所以显然当x ->0, y->0 时，f 的极限就为0

这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的

正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了

就我这个我就线了好久了

5

时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号：的意义，的直观意义.

定义

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数•然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的"”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由二为使需有为使需有于是,倘限制，就有

例7验证例8验证单侧极限：

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系：

Th类似有:例10证明：极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调•若存在，则有

二§2函数极限的性质

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限：，•以下以极限为例讨论性质•均给出证明或简证.

二、讲授新课：

函数极限的性质：以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性：

3.局部保号性：

4.单调性：

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域，使，都有证设二註:若在Th4的条件中，改“”为“”，未必就有以举例说明.

5.迫敛性：

6•四则运算性质：

利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

这些极限可作为公式用•在计算一些简单极限时，有五组基本极限作为公式用，我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质，把所求极限化为基本极限，代入基本极限的值, 即计算得所求极限.

例1

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.

例4 ［利用公式］

例5例6例7