不等式的证明(综合法)

不等式证明（）
• 对称性 • 传递性 • 可加性 • 移项法则 • 加法法则 • 可乘性
• 乘法法则 • 乘方法则
• > <> < • >,>>> • > <> > • > <> > • >,>>> • >,>>> • >> , >> > > • >> > >
(∈ , ＞）
• 开方法则
>,<><
• ⑴ 倒数不等式—倒数法则：
• ∴>
例 2:设 a,b,cR,
求证 :abbcca6
c
a
b
证 b 明 a 2 a c 2 b c 2
ab
ca
cb
baacbc6 abc ac b
abbcca6 c ab
例3.设a,b,c是不全相等的正实数. 求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)>16abc
• ⑥ na nb a b n N
() 若< 则 ( ) () > () < () < () <
（） （）
（） （） （）
（）
练习.用下列符号(≤.≥.＜.＞)填写,并说明等号何时成立:
. ≥> > ＞
. ≥≥ > ≥
.≥ .≥
5.ab_≥ __ a_ (b a,bR) 2
(≥∈)
(当且仅当且时等号成立) (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立)
• 若> ,则 >
•
<
•
<<
• 简记：
•<
•>
• << • “同号取倒反
向”
• ⑵平方不等式——平方法
则：
•>
• 若 , > ,则 >
• <<
•
<<
• 若 , < ,则 >
•< • <<
•
<<
• 若 > , <,
•
则<<
• ()≤ < ()
• 练习： • （）判断下列命题的真假。 • ①> , > > (∈) • ②> >> • ③<< , << > > • ④> , < > < • ⑤< >< , <
即 个正数的算术平均数不小于它的几何平均数.
结论: ≥ (∈)
(当且仅当 时等号成立)
例.设 是不全相等的实数. 求证>
• 证明:
• ∵≥
≥≥
• 又∵是不全相等的实数
• ∴上面三式中总有一个不能取等号
• ∴三式相加得 ( )>
•
即: >
• 另证:
• [()( )( )]
• 又∵是不全相等的实数
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• ∴ () () ()>
常用的定理和推论：
定理.如果∈ ,那么 ≥
(当且仅当 时等号成立)
推:如 论 a ,b 果 R ,那a 么 bab(当且仅当 时等号成立) 2
结 : 若 a 1 , a 2 , .. 论 ., a n R , n 1 , n N , 则 a 1 a 2 . n .. a n n a 1 a 2 ...a n