不等式的证明(综合法)
不等式的证明：综合法与分析法讲义
不等式的证明：综合法与分析法一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。
由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。
所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。
而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。
前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。
打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。
以前得到的结论，可以作为证明的根据。
特别的，AB B A 222≥+是常常要用到的一个重要不等式。
二、典型例题：例1、b a ,都是正数。
求证：.2≥+ab b a例2、已知d c b a ,,,都是正数。
求证： （1）;2cd ab d c b a +≥+++ （2）.44abcd d c b a ≥+++ （3）33a b c abc ++≥例3、证明：ca bc ab c b a ++≥++222。
证法一 因为 ab b a 222≥+ （2）bc c b 222≥+ （3）ca a c 222≥+ （4）所以三式相加得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++ （5）两边同时除以2即得（1）。
证法二 因为,0)(21)(21)(21)(222222≥-+-+-=++-++a c c b b a ca bc ab c b a 所以（1）成立。
例4、已知c b a ,,都是正数，求证.3333abc c b a ≥++并指出等号在什么时候成立？探究：如果将不等式abc c b a 3333≥++中的333,,c b a 分别用c b a ,,来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：27)1)(1)(1(>++++++a c c b b a ，其中c b a ,,是互不相等的正数，且1=abc . 例5、已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <求证：.ba mb m a >++ （1） 证法一 要证（1），只需证)()(m b a m a b +>+ （2）要证（2），只需证am bm > （3）要证（3），只需证a b > （4）已知（4）成立，所以（1）成立。
不等式证明三法例析
不等式证明“三法”例析不等式是高中数学的重要内容，而不等式的证明是不等式内容的重要组成部分，因此，同学们需要熟练掌握不等式证明的常用方法。
本文总结了常见的不等式证明的三种方法，并用具体的例题加以说明，希望对同学们的学习有所帮助。
一、综合法综合法是指从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到结论，其特点“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。
例1 已知a ，b ，c>0，1c b a =++，求证18c4b 2a 1≥++。
证明：∵a+b+c=1， ∴18abc 3abc83)c b a )(c 4b 2a 1(c 4b 2a 133=⋅≥++++=++ ∴18c4b 2a 1≥++。
点评：①用综合法证明不等式时，要注意应用重要不等式和不等式的性质，要注意公式应用的条件及等号成立的条件；②原题实际上可以加强，改为证明18c4b 2a 1>++，因为在上述证明过程中当且仅当c 4b 2a 1==，且a=b=c=31时，等号成立，而当a=b=c=31时c4b 2a 1≠≠，所以等号取不到。
二、分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件进而判定这些条件是否具备。
其思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
例2 已知a>1，λ>0，求证)2a (log )a (log a a λλλ+>++。
证明：∵a>1，λ>0∴0a lg >，0)a lg (>+λ，0)2a lg (>+λ)2a lg(a lg )]a [lg()a lg()2a lg(a lg )a lg()2a (log )a (log 2a a λλλλλλλλ+⋅>+⇔++>+⇔+>++)2a lg(a lg )a lg(λλ+⋅>+⇔ ∵)2a lg(a lg 2)2a lg(a lg λλ+⋅>++ ∴若能证明2)2a lg(a lg )a lg(λλ++>+，即可证明结论∵0)2a (a )a (22>=+-+λλλ∴)2a (a )a (2λλ+>+∴)2a lg (a lg )a lg (2λλ++>+，2)2a lg(a lg )a lg(λλ++>+综上所述，可得)2a (a lg )a (log a λλλ++>+三、比较法 比较法有求差比较法（也叫比差法）和求商比较法（也叫比商法）两种，它们的理论依据分别是：①0b a b a >-⇔>，0b a b a <-⇔<；②当a>0，b>0时，1ba b a >⇔>，1b a b a <⇔<。
不等式的证明——综合法
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例1 已知
，求证
证明：因为 所以 故
，则
关于综合法
①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出 所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．
②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发 ，通过一系列的推出变换，推导出求证的不等式．
③综合法证明不等式
的逻辑关系是：
…
（已知A）逐步推演不等式成立的必要条件（结论B）
a b c111 abc
分析归纳，小结解法
• 1.综合法是证明不等式的基本方法．用综合法证明 不等式的逻辑关系是： A→B1→B2→… →Bn →B （A为已经证明过的不等式，B为要证的不等 式）．即综合法是“由因导果”．
• 2.运用不等式的性质和已证明过的不等式时，要注 意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结 论无误．
• 3.用综合法证明不等式的依据是：（l）已知条件和 不等式性质；（2）基本不等式．
• 4.能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明， 用综合法证明不等式的依据是基本不等式时，要注 意定理的使用条件和定理中“=”号成立的条件．
布置作业
1．课本作业：P26——1、2
2．思考题：
若
，求证
3．研究性题： 某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 v千米／小时的速度直达灾区．已知某市到灾区的 公路线长400干米，为安全需要，两汽车间距不得 小于 千米．
这种不等式叫条件不等式
练习
1. 已知x,y是正数，求证
2．已知
，求证
3.已知x是正数，且x≠1，n∈N*,
证明不等式的常用技巧
证明不等式的常用技巧证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。
作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。
换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。
1不等式证明方法比较法①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0；②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b；当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1；当b<0 时，得 a<b。
综合法由因导果。
证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。
分析法执果索因。
证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。
放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的。
数学归纳法证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
换元法换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。
构造法通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。
2基本不等式基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。
数学：不等式证明四法比较法综合法分析法反证法与放缩法
不等式证明一（比较法）比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。
比较法分为：作差法和作商法 一、 作差法若a ，b ∈R ，则： a —b ＞0⇔a ＞b ；a —b ＝0⇔a ＝b ；a —b ＜0⇔a ＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论. 作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。
作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.例１、求证：x ２ + ３ > ３x 证：∵（x ２ + ３） ３x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x ２ + ３ > ３x例2、 （课本P ２２例２）已知a, b, m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a,b,m 都是正数，并且a<b ，∴b + m > 0 , b a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：bam b m a >++变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？例3、 已知a, b 都是正数，并且a b ，求证：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２ 证：（a ５ + b ５ ）（a ２b ３ + a ３b ２） = （ a ５ a ３b ２） + （b ５ a２b ３）= a ３ （a ２b ２ ）b ３ （a ２b ２） = （a ２b ２ ）（a ３ b ３）= （a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b ２）∵a, b 都是正数，∴a + b, a ２ + ab + b ２ > 0又∵a b ，∴（a b ）２ > 0 ∴（a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b２） > 0即：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２例4、 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t １, t ２，则：21122,22t n S m S S n t m t=+=+可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S, m, n 都是正数，且m n ，∴t １ t ２ < 0 即：t １ < t ２从而：甲先到到达指定地点。
证明不等式的几种方法
不等式证明题的命题形式多样，证明不等式的方法也很多，如综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等.本文主要介绍一下综合法、分析法、反证法的应用技巧.一、综合法用综合法证明不等式，需先根据题目中的已知信息，以及已知的事实、结论、性质、定理等，一步步推导，直到推导出需要证明的式子为止.因而综合法就是由“因”到“果”的推导过程.每一步的推导过程一定要符合数学逻辑.在证明不等式时，可以从左往右推导，也可以从右往左推导.例1.若a,b,c是不完全相等的正数，求证：ln a+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.证明：由于a,b,c都是正数，所以a+b2≥ab>0,b+c2≥bc>0,a+c2≥ac>0，又因为a,b,c是不完全相等的正数，如果这三个不等式都成立，就取不到等号，因此a+b2·b+c2·c+a2>ab·bc·ca=abc，在上式的两边取对数得：ln(a+b2·b+c2·c+a2)>ln(abc)，即：lna+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.解答本题主要运用基本不等式a+b2≥ab；然后根据不等式的可乘性，通过取对数，将不等式左边的式子进行化简.在推导不等式的过程中，经常需要用到这几个不等式：a2+b2≥2ab,a+b2≥ab(当且仅当a=b时取等号).二、分析法用分析法解题的思路和综合法相反，用分析法证明不等式，需要从要证明的不等式出发，然后分析这个不等式成立的充分条件是什么，一步一步递推，证明不等式成立的充分条件符合题中给出的信息，或者符合已知的数学结论.一般来说，分析法常用于证明较复杂的不等式问题.若由不等式一边的式子很难推导出另一边的式子，就可以采用分析法进行证明，通过分析、推理，一步步简化不等式，最终得到一个比较简便的等价不等式.例2.设a>b>0,求证：(a-b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.证明：要证：(a-b)28a a+b2ab(a-b)28b，即证：(a+b)28a<(a-b)22<(a-b)28b，由于a>b>0，所以a≠b，即证：(a+b)24a<1<(a+b)24b，<1<1<，根据a>b>0，可知该不等式成立，于是得证：(a+b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.这个不等式较为复杂，我们很难从不等式左边的式子推导出右边的式子，同样也很难反向推导出结论，但是可以用分析法，将不等式一步步简化，先将中间项合并，再将其化为1，然后通过恒等变换，化简即可.三、反证法反证法是解答证明题的一个重要手段.一般地，当题目中出现“至少”“不存在”“至多”等字眼时，都可以考虑使用反证法进行证明.用反证法证明不等式，要首先假设命题不成立；然后结合题中已知的信息和已有的数学知识，得到存在矛盾的结论，那就说明假设的命题不成立，这样就可以证明不等式成立.例3.已知a>0,b>0，且a+b>2,求证：1+b a,1+a b中至少有一个小于2.证明：假设1+b a,1+a b都大于2，因为a>0,b>0，则1+b≥2a,1+a≥2b，将这两个式子相加得：2+a+b≥2a+2b，化简得：a+b≤2,与题目中的a+b>2相矛盾，因此，1+b a,1+a b中至少有一个小于2.由题目中出现了“至少”的字眼，所以考虑使用反证法进行证明.在提出假设命题时，要注意命题的反面情况，如“1+b a、1+a b至少有一个小于2”的反面情况是“1+b a、1+a b都大于2”.熟练掌握综合法、分析法、反证法的适用情形、特点，以及解题的步骤，对解题有很大的帮助.同学们在日常学习中，要学会积累解题技巧和规律，以提升解题的效率.（作者单位：江西省龙南中学）赖明辉备考指南59。
不等式·用综合法证明不等式
不等式·用综合法证明不等式·教案教学目标1．掌握两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一重要定理，并能运用它们证明一些不等式．2．了解综合法的意义．3．通过对定理及其推论的推导、证明、应用，培养学生运用综合法进行推理论证的能力．教学重点和难点用综合法证明定理及推论的教学．教学过程设计（一）新课引入师：我们已学过用比较法（求差、求商）证明不等式，它是一种最基本、最常用的方法．请完成以下练习．1．证明：x2＋2＞2x（x为实数）．2．请问：x2＋1与2x的大小关系是什么？并证明你的结论．（教师巡视学生的解题情况，请学生将不同的解法板演到黑板上）1．证法1：由（x2+2）-2x=（x-1）2+1≥1＞0，知x2＋2＞2x．证法2：由（x-1）2≥0，知（x-1）2+1≥1＞0，即x2-2x＋2＞0，则x2＋2＞2x．师：两位同学的证明都正确，他们都是根据a2≥0（a≥R）．在证法上有区别吗？请大家思考．2．答：x2＋1≥2x．证法1：由（x2＋1）-2x=x2-2x＋1=（x-1）2≥0，知x2+1≥2x．证法2：由（x-1）2≥0，①知x2-2x＋1≥0，则x2+1≥2x．②师：同学们得到的结论几乎是一致的，是x2+1≥2x．主要证法已列在黑板上，请大家思考：这些证明是否正确？所采用的方法是什么？生：都正确．证法一是求差比较法，证法二是……师：一时答不出也没关系，证法一用的是求差比较法，至于证法二，我们不妨先问问写出证法二的同学是怎么想出来的．生：我一看到是两个“平方项”与它们的两倍“交叉项”比大小，就首先想到了平方公式，这个完全平方一定是非负的；然后再根据不等式性质，就得到了结论；最后就按这个思路进行的证明．师：他是从已经成立的事实出发，经过正确推理，得到要证的结论．也就是说他是以公式①为基础，运用不等式的性质推出②式，这种利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法通常叫做综合法．对于综合法大家并不陌生，初中的平面几何题大多是用综合法加以证明的．今天我们一起研究如何用综合法证明不等式（板书课题）．（二）用综合法证明不等式1．综合法师：我们已经知道用综合法证明需要一些已经证明过的不等式作为基础，因此我们应先证明出一些最重要、最基本的不等式．2．定理推导师：通过刚才的两道小题，我们不难得出：如果a，b∈R，那么有（a-b）2≥0．把左边展开，得a2-2ab＋b2≥0，则a2＋b2≥2ab．这就是课本P8中介绍的定理1．我们采用的是综合法，课本中是用求差比较法加以证明的．（把课前准备好的课本中的这段证明投出来供大家一起阅读．此处需实物投影仪）证明：a2＋b2-2ab=（a-b）2．当a≠b时，（a-b）2＞0；当a=b时，（a-b）2=0．所以（a-b）2≥0，即a2＋b2-2ab≥0．因此a2＋b2≥2ab．师：值得我们注意的是这是带有“=”的不等式，取“=”这种特殊情况应予以重视．不等式a2＋b2≥2ab中“=”成立的充要条件是什么？生：是a=b．师：充要条件通常用“当且仅当”来表达，“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以定理1表述为：定理1 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）．（板书）师：这个定理的功能是什么？功能往往源于它的结构．生：公式a2＋b2≥2ab的一边是和的形式，另一边是积的形式．我想功能大概是：和可以缩小变成积，积可以放大变成和．师：虽然语言欠准确，但其含意是对的．这个定理非常重要，且用途广泛，但由于各项都是二次的，使用时不太方便，谁有办法将它们的次数降下来？师：想得好，它有条件吗？生：有．同样是a，b，c∈R+．师：这个命题大家能证明出来吗？一时不能完全证出来也没关系，想出多少说多少．生甲：我觉得证a3＋b3＋c3≥3abc更容易点．它能拆成a3≥abc，b3≥abc，c3≥abc，由条件只要证出a2≥bc，b2≥ac，c2≥ab即可．生乙：这三个分着不可能证出来，不过合起来的2a2＋2b2＋2c2≥2bc＋2ac＋2ab很容易证出．师：虽然他们还没能把命题证出，但从他们的发言中我们得到了一点启发：三次的问题转化为二次的解决．生丁：我证出来了．（学生口述，教师板书）证明：由于a，b，c∈R+，由定理1，得a2＋b2≥2ab，则a2-ab ＋b2≥ab．所以a3＋b3=（a＋b）（a2-ab＋b2）≥（a＋b）ab=a2b＋ab2，即a3＋b3≥a2b＋ab2．同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，c3+a3≥a2c＋ac2．三式相加，得2a3＋2b3＋2c3≥a2b+ab2+b2c＋bc2+a2c+ac2=b（a2＋c2）+a（b2＋c2）＋c（a2+b2）≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab=2abc+2abc+2abc＝6abc．故a3+b3＋c3≥3abc．师：证得漂亮，你是怎么想出来的？生丁：我觉得证这个题目只能根据已知条件和定理1及推论．证题时我又借鉴了他们俩的经验，对a3，b3，c3的降次转化工作不是一个、师：他还有两处处理得很好．一处是：a2-ab＋b2≥ab；另一处是对三式相加后的式子的重组．很明显，他是在努力创设条件、充分利用定理证题．这个问题是用什么方法加以证明的？生：综合法．师：刚才的证明过程不仅帮我们把问题得以解决，而且还帮助我们加深了对综合法的认识，从中可体会到应如何使用综合法证题．证明此题还有其它办法吗？生：我是用求差比较法证的．（学生口述，教师板书）证明：由于a3+b3+c3-3abc=（a＋3）3+c3-3a2b-3ab2-3abc=（a＋b＋c）[（a＋b）2-（a＋b）c＋c2]-3ab（a＋b＋c）=（a＋b＋c）[a2＋2ab+b2-ac-bc＋c2-3ab]=（a＋b＋c）（a2+b2＋c2-ab-ac-bc）师：正确，而且思路很清晰．这个思路你是怎么想出来的？生：我是一看到这个题目就想用比较法的．我本以为作差后，能因式分解，再用条件或定理1，就可断定式子的符号，题目也就证出来了，但我第一次两两分组就不成功，没分解出来．再试时，我看a3，b3，c3，3abc这四项都是3次的，就先凑出与之齐次的（a＋b）3再配平，结果就出来了．师：数学中很多时候也是需要试一试、拼拼凑凑的．其实，课本中采用的就是这种证法．这同样是带有“=”的不等式，我们仍需研究其“=”成立的充要条件．从刚才的证明过程看，“=”出现在（a-b）2＋（b-c）2＋（c-a）2≥0中，这是显然有：当且仅当a=b，b=c，c=a同时成立，即a=b=c时等号成立．至此，我们已得到了定理2及其推论．（教师板书）定理2 如果a，b，c∈R+，那么a3＋b3＋c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取“=”号）．师：这个定理及推论同样是非常重要而且广泛的．它的证明方法远不只上述这些，推论也可直接证得，同学们不妨课下试一试．（三）小结（引导学生归纳总结）1．已学过的不等式证明方法：比较法、综合法．2．用综合法证明不等式的依据是什么？（1）已知条件和不等式性质；（2）基本不等式：3．综合法与比较法的内在联系．本节课的课前两个练习与两个定理的证明都是既用了比较法，又用了综合法，这引起了我们对二者内在联系的思考．由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明．摆在我们面前的问题恐怕是方法的选择．方法选择不当，不是证不出来就是难度加大；方法合理使用，会使题目难度大大下降．因此我们不要学过某种方法就抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法．显然，对于需用基本不等式证明的问题，直接用结论要比再从头证一遍容易很多．4．注意：（1）定理使用的条件．只有a2＋b2≥2ab是对任意实数a，b都成立，其余都要求在正数范围内．（2）定理中“=”号成立的条件．（四）布置作业《高级中学课本·代数·下册（必修）》（人教社90年版98年印刷）P11练习1，2．补充题：（1）已知：a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥a＋b＋ab．课堂教学设计说明这节课是本章（第五章、不等式）的重点．在这堂课中不仅要讲授证明不等式的一种方法——综合法，而且还要介绍两个基本而又重要的不等式定理及推论．在这二者关系的处理上，我们发现：要使用综合法证明不等式就需要一些最重要、最基本的不等式作为基础，而证明得到它们时又可采用综合法．因此，我们在课前设计了两个练习题，尤其是稍放开一点的第2题，如果学生能自觉不自觉地用初中已很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使生没有想到，教师点拨起来也并不困难后顺着学生用综合法的需要，介绍了4个基本不等式，在它们的证明过程中，使用综合法，帮助学生掌握如何用综合法证明不等式．从教学设计上，我们力图从学生的需要出发，适时地设计一系列问题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的公式、方法能用、会用，而不是只支离破碎地记住了一些名词和公式．表面上看，本节练习不够，但实际上，定理2及推论的证明正是最好的练习．构思这个证明，起点要高、思维跨度要大．这正是锻炼学生思维，培养学生推理论证能力的绝对机会．我们认为：最好的习题就是定理本身的推证过程．这里又是本节的一个难点，在此花点功夫、适当展开是应当的；同时学生对用综合法证明不等式会有更深刻的体验．因此讲透它比做几个练习更有意义．对于几何证法、三角证法等基本不等式的证明方法，由于担心会冲淡学生对综合法的认识，在本节中并未提及．在课堂教学过程中，学生有可能直接证出定理2的推论，这也无妨．一般来讲，它同样是要用到两项的结论（定理1或其推论）去证的．课上应就学生的实际，顺其自然．至于n个正数的有关结论，根据教育部98年颁布的《删减意见》对此不作要求，故在本案中也未涉及．。
高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法
2。
2.2 分析法课堂导学三点剖析一，利用分析法证明不等式【例1】 (1)设a>b 〉0，求证：333b a b a ->-。
（2)已知0〈α〈π,证明2sin2α≤cot 2α，并指出等号成立的条件。
证明：（1）要证333b a b a ->-,∵a>b〉0，有3b a ->0， ∴需证（3b a -）3>(33b a -）3,展开得a —b 〉a —323b a +b ab -323， 即证明)(3333b a ab -〉0, 也就是证33b a ->0,在题设条件下这一不等式显然成立，∴原不等式成立.（2)要证2sin2α≤cot 2α,由0<α<π知sinα〉0，只需证2sinα·sin2α≤1+cosα,即证明4sin 2αcosα-（1+cosα）≤0,也就是证（1+cosα)[4（1—cosα）cosα-1］≤0，而1+cosα>0，于是只要证-4cos 2α+4cosα—1≤0,即—（2cosα—1）2≤0,就是(2cosα-1)2≥0,这是显然的。
∴2sin2α≤cot 2α,等号在2cosα=1,α=3π时取得。
各个击破类题演练1若a ，b,c 三数均大于1，且ab=10，求证:log a c+log b c≥4lgc.证明:由于a>1，b 〉1，要证log a c+log b c≥4lgc,需证b ca clg lg lg lg +≥4lgc,而lgc>0, 因此只要证b a lg 1lg 1+≥4,即证b a b a lg lg lg lg +≥4。
∵ab=10,有lga+lgb=1，于是只需证lga·lgb≤41, 而lga·lgb≤(2lg lg b a +)2=41。
∴不等式log a c+log b c≥4lgc 成立.变式提升1已知a>0,b 1—a 1>1，求证：ba ->+111。
高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法
2。
2.1 综合法课堂导学三点剖析一，利用综合法证明不等式【例1】 (1）若a>0,b 〉0,求证:ab b a 22+≥a+b.思路分析:主要利用不等式2ba +≥ab 和a 2+b 2≥2ab。
证明:由a 2+b 2≥2ab，∴2（a 2+b 2）≥a 2+b 2+2ab,即2（a 2+b 2)≥(a+b)2。
∴ab b a 22+≥b a b a b a b a ++≥++222)()(2=a+b.（2)设a ，b ，c 都是正数,求证:2222222≥+++++a c c b b a (a+b+c ）.思路分析：主要利用不等式2)(2222y x y x +≥+。
证明：由不等式a 2+b 2≥2)(22222b a ab b a +=++. ∴22b a +≥2ba +. 同理，2,22222ac a c cb c b +≥++≥+2)222(2222222=+++++=+++++∴ca cb ba a c cb b a （a+b+c ）各个击破类题演练1已知a,b,c∈（0,+∞)，且a ，b ，c 成等比数列，求证:a 2+b 2+c 2≥(a—b+c)2。
证明:左边-右边=2（ab+bc-ac)。
∵a，b ，c 成等比数列，∴b 2=ac.又∵a,b,c∈（0,+∞)，∴0〈b=ac ≤2ca +〈a+c 。
∴a+c—b 〉0。
∴2（ab+bc —ac ）=2（ab+bc —b 2）=2b(a+c —b ）〉0,∴a 2+b 2+c 2>（a —b+c ）2.变式提升1若a,b,c 是正数,能确定b a c c a b c b a +++++222与2c b a ++的大小吗? 解析:∵cb a +24+（b+c ）≥4a, ac b +24+（c+a)≥4b, ba c +24+（a+b)≥4c , ∴c b a +24+a c b +24+ba c +24≥2（a+b+c ）, 即b a c a c b c b a +++++222≥2c b a ++. 二、用综合法证明条件不等式【例2】 已知a,b ，c 〉0，且abc=1，求证：c b a ++≤a 1+b 1+c 1。
初中数学不等式证明方法总结
初中数学不等式证明方法总结初中数学不等式证明方法总结通常不等式中的数是实数，字母也代表实数。
初中数学不等式证明方法总结，希望可以帮助到大家，我们来看看。
初中数学不等式证明方法总结1知识要点：不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
(÷或×1个负数的时候要变号)。
不等式的证明1、比较法包括比差和比商两种方法。
2、综合法证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，综合法又叫顺推证法或因导果法。
3、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。
4、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。
5、数学归纳法用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
6、反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
知识要领总结：证明不等式要注意不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
不等式的八种证明方法及一题多证
不等式的证明：一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 步骤：“作差----变形----判断符号”。
使用此法作差后主要变形形式的处理：○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。
○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。
○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。
总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。
2．作商比较法方法：要证A>B,常分以下三种情况：若B>0，只需证明1AB >； 若B=0，只需证明A>0； 若B<0，只需证明1AB<。
（3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小” 例：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++解析：用作差比较法∵)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：b a m b m a >++ 例：已知a>b>0,求证：()2a ba ba b ab +>解析：用作商比较法∵()222222a b a b a b a b a b a b a b a b a ba ababb ab -++-----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭又∵a>b>0,()221,012a b a ba ba ab a b b a b ab -+-⎛⎫∴>>∴> ⎪⎝⎭∴>例：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。
不等式的证明分析法与综合法习题(可编辑修改word版)
2.3 不等式的证明（2）——分析法与综合法习题知能目标锁定1.掌握分析法证明不等式的方法与步骤,能够用分析法证明一些复杂的不等式;2.了解综合法的意义,熟悉综合法证明不等式的步骤与方法;重点难点透视1.综合法与分析法证明不等式是重点,分析法是证明不等式的难点.方法指导1.分析法⑴分析法是证明不等式的一种常用方法.它的证明思路是:从未知,看需知,逐步靠已知.即”执果索因”.⑵分析法证明的逻辑关系是:结论 B ⇐B1 ⇐B2⇐ ⇐Bn⇐A⑶用分析法证题一定要注意书写格式,并保证步步可逆.(A 已确认).⑷用分析法探求方向,逐步剥离外壳,直至内核.有时分析法与综合法联合使用.当不等式两边有多个根式或多个分式时,常用分析法.2.综合法⑴ 综合法的特点是 :由因导果 .其逻辑关系是 :已知条件A ⇒B1 ⇒B2⇒ ⇒Bn⇒B (结论),后一步是前一步的必要条件.⑵在用综合法证题时要注意两点:常用分析法去寻找证题思路,找出从何处入手, 将不等式变形,使其结构特点明显或转化为容易证明的不等式.精题巧练一.夯实双基1.若a>2,b>2,则a b 与a+b 的大小关系是a b( )a+bA.= B. < C.> D.不能确定2.设b >a > 0 ,则下列不等式中正确的是（）A.lga> 0 B. >b -a C.a<1 +aD.b<b + 1 b 1 +a 2 +a a a +1b -a2 xyb + 2 a bc x + y 3. 若 a ,b,c ∈ R + ,且 a+b+c=1,那么 1a + 1 +b 1有最小值( ) cA.6B.9C.4D.34. 设a = 2, b = - 3, c = - ,那么 a ,b,c 的大小关系是（ ）A .a > b > cB .a > c > bC .b > a > cD .b > c > a 5. 若 x >y>1,则下列 4 个选项中最小的是( )A. x + yB.2xyC. D. 1 ( 1 + 1 )2 二.循序厚积x + y2 x y6. 已知两个变量 x,y 满足 x+y=4,则使不等式 1 +4≥ m 恒成立的实数m 的取值范围是;7. 已知 a,b 为正数,且 a+b=1 则 x y+ 的最大值为 ;8. 若 a ,b,c ∈ R +,且 a +b+c=1,则+ + 的最大值是;9. 若 x y+yz+zx=1,则 x 2 + y 2 + z 2 与 1 的关系是;10. 10.若a > b > 0, m = - b , n = ,则 m 与 n 的大小关系是.三、提升能力11. a 、b 、c 、d 是不全相等的正数,求证：(a b+cd)(ac+bd)>abcd12.设 x >0,y>0,求证:≤ 213. 已知 a,b ∈ R + ,且 a+b=1,求证： (a + 1 )2 + (b + 1 )2≥25. a b27 6 a + 2 aa - bx + y214. 设 a,b,c 是不全相等的正数,求证： lg a + b + lg b + c + lg a + c> lg a + lg b + lg c .2 2 215. 如果直角三角形的周长为 2,则它的最大面积是多少?友情提示易错点：乱用均值不等式;误用分析法,把”逆求”作为”逆推”,以证” p ⇒ q 为例, 这时的推理过程就是: q ⇒ q 1 ⇒ q 2 ⇒ ⇒ q n ⇒ p .证明的结果是证明了逆命题”q ⇒ p ”.而正确的推证过程是: q ⇐ q 1 ⇐ q 2 ⇐ ⇐ q n ⇐ p . 易忽视点：均值不等式中能否取道”=”的条件分析易被忽视导致出错. 解题规律：用定理,抓步骤,重格式.。
不等式的证明-综合法
主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间：不等式的证明-综合法【教学目标】1.掌握综合法证明不等式的方法和步骤。
2.能够利用综合法证明不等式。
【重点、难点】重点：综合法证明不等式。
难点：综合法证明不等式。
【学法指导】1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；3.预习p18,【自主探究】1，综合法：从 出发，利用不等式的性质（或已知证明过的不等式），推出了所要证明 的结论，即“ ”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法。
2，综合法证明不等式就是揭示已知和结论之间的因果关系，为此要着力分析已知和结论之间，求证不等式左右两边之间的联系和差异，恰当选择基本不等式，合理的进行恒等变形，正确的把握切入点，这是证明的关键。
3，综合法证明不等式常用的不等式：（1）20()a a R ≥∈ （2）22a b + 2ab （a,b R ∈）(3) 22a b + 2ab （a,b R ∈）(4)当a>0,b>0时,ab 2()2a b +（5）当a>0,b>0 【合作探究】证明下列不等式（1） 已知ａ＞0, b>0，c>0 求证 ：6b c c a a b a b c+++++≥（2）已知0<a<1，求证：log a (a 4+1)<log a 2+2【巩固提高】（1），已知a>b>c,求证:114a b b c a c +≥---（2），（2008年江苏卷）已知a,b c 为正实数,求证:333111abc a b c +++≥【能力提升】已知 a,b,c R ∈求证: )a b c ++本节小结：分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者由果索因，利于思考，后者由因导果，易于表达，但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探索方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述繁琐，如果把“只需证明”不写，就成了错误，所以用分析法分析综合法书写，另外用分析法证明的不等式一定能用综合法证明。
分析法综合法证明不等式
设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤ ；(2) ＋ ＋ ≥1.
证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.
分析法、综合法证明不等式
【例2】(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋ ≥2y＋3；
(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ .
【证明】(1)因为x>0，y>0，x－y>0,2x＋ －2y＝2(x－y)＋ ＝(x－y)＋(x－y)＋ ≥
3 ＝3，所以2x＋ ≥2y＋3.
(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥ ，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而ab＋bc＋ca≤ ＋ ＋ ＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立．所以原不等式成立.
不等式的证明
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[解题师说] 1．综合法证明不等式的方法 (1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等 式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已 知不等式，这是证明的关键； (2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式 是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．
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过
基
础
小
题
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1．设 t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则 s 与 t 的大小关系是 A．s≥t C．s≤t B．s＞t D．s＜t
(
)
解析：∵s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t.
答案：A
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1 1 2．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝2，则a＋b的最小值为 A．1 C．4 B． 2 D．8 ( )
第
二
节
不等式的证明
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1．基本不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥ 2ab ，当且仅当 a＝b 时，等号成立． a＋ b 定理2：如果a，b＞0，那么 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时， 2 等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它 们的几何平均． a＋b＋c 3 abc 定理3：如果a，b，c∈R＋，那么 ≥ ，当且仅 3 当 a＝b＝c 时，等号成立．
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课 堂 考 点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
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考点一
比较法证明不等式
比较法证明不等式是高考考查的重点， 主要涉及作 差比较法和作商比较法，难度适中，有时难度也较大.
[典题领悟] (2016· 全国卷Ⅱ)已知函数 ＜2 的解集． (1)求 M； (2)证明：当 a，b∈M 时，|a＋b|＜|1＋ab|.
1 1 1 解析：把 a＋b＋c＝1 代入a＋b＋ c中 a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 得 a ＋ b ＋ c
2.综合法
2
2
) (z
( x y z)
2 2 2 2
a b 2
2
2
ab 2
2
2 a b a b 2 ( ab 0 ); 2 ( ab 0 ) b a b a
ab ; 它的变形形式又有
例 .已 知 a , b , c 0, 求 证
a b b c c a
2 2 2 2 2
2
abc
2 2
x
z 2
y
z zx x
2
2
z
x 2
由于 x , y , z 不全为零 ， 故上述三式中至少有一 所以三式相加得 x xy y (x y 2 ) (y z 2
2 2
式取不到等号 ，
y yz z x 2 ) 3 2
2
2
z zx x
综合法
综合法
在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性 质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明 的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种 证明方法叫做综合法.又叫由因导果法.
用综合法证明不等式的逻辑关系
A B1 B 2 B n B (已知 )( 逐步推演不等式成立的 必要条件 )( 结论 )
n
n
a1a 2 a n 2
n.
a i 1时 ,1 a i 2 a i 取等号 , 所以原式在 a 1 a 2 a n 1时取等号 .
利用综合法证明不等式
时 , 应注意对已证
不等式的使用 , 常用的不等式有 : ( 1 ) a 0; ( 2 ) a 0; ( 3 ) a b 2 ab ; 它的变形形式又有 ( a b ) 4 ab ; (4) ab
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• 对称性 • 传递性 • 可加性 • 移项法则 • 加法法则 • 可乘性
• 乘法法则 • 乘方法则
• > <> < • >,>>> • > <> > • > <> > • >,>>> • >,>>> • >> , >> > > • >> > >
(∈ , ＞）
• 开方法则
>,<><
• ⑴ 倒数不等式—倒数法则：
即 个正数的算术平均数不小于它的几何平均数.
结论: ≥ (∈)
(当且仅当 时等号成立)
例.设 是不全相等的实数. 求证>
• 证明:
• ∵≥
≥≥
• 又∵是不全相等的实数
• ∴上面三式中总有一个不能取等号
• ∴三式相加得 ( )>
•
即: >
• 另证:
• [()( )( )]
• 又∵是不全
• ⑥ na nb a b n N
() 若< 则 ( ) () > () < () < () <
（） （）
（） （） （）
（）
练习.用下列符号(≤.≥.＜.＞)填写,并说明等号何时成立:
. ≥> > ＞
. ≥≥ > ≥
.≥ .≥
5.ab_≥ __ a_ (b a,bR) 2
(≥∈)
(当且仅当且时等号成立) (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立)
• ∴>
例 2:设 a,b,cR,
求证 :abbcca6
c
a
b
证 b 明 a 2 a c 2 b c 2
ab
ca
cb
baacbc6 abc ac b
abbcca6 c ab
例3.设a,b,c是不全相等的正实数. 求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)>16abc
常用的定理和推论：
定理.如果∈ ,那么 ≥
(当且仅当 时等号成立)
推:如 论 a ,b 果 R ,那a 么 bab(当且仅当 时等号成立) 2
结 : 若 a 1 , a 2 , .. 论 ., a n R , n 1 , n N , 则 a 1 a 2 . n .. a n n a 1 a 2 ...a n
• 若> ,则 >
•
<
•
<<
• 简记：
•<
•>
• << • “同号取倒反
向”
• ⑵平方不等式——平方法
则：
•>
• 若 , > ,则 >
• <<
•
<<
• 若 , < ,则 >
•< • <<
•
<<
• 若 > , <,
•
则<<
• ()≤ < ()
• 练习： • （）判断下列命题的真假。 • ①> , > > (∈) • ②> >> • ③<< , << > > • ④> , < > < • ⑤< >< , <