人教版高中数学必修一第2讲方程与不等式的解法
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第2讲 方程与不等式的解法
一、一次一次方程的解法
步骤：1、移项（未知数移到等号的左边，数字移到等号的右边，移项之前要先变符号）
2、合并同类项
3、化未知系数为1
例：解下列方程（1）2332+=+x x 012)2(=+x （3）x x 4734-=+ 解：（1）3232-=-x x ⇒1-=-x ⇒1=x
（2）12-=x ⇒2
1-=x （3）3744-=+x x ⇒48=x ⇒21=
x 强化训练：（1）)1(9)14(3)2(2x x x -=---
（2）x x x 910026411-=-+
（3）38.07.05.1)2.0(4.0-=+-x x
二、一元二次方程的解法
1、配方法（二次系数化为一，常数要往右边移；一次系数一半方，两边加上最相当） 例如：解方程o x x =-+322
解：o x x =-+322移项得322=+x x 构造平方式4)1(2=+x 解得1,321=-=x x
2、公式法：∆判断是否带大于等于小于0，不小于0可直接用求根公式a b x 22,1∆±-= 解：2
4212)3(142222,1±-=⨯-⨯⨯-±-=x 解得1,321=-=x x 3、因式分解法（又称十字交叉法）
解：0)3)(1(322
=+-=-+x x x x 解得1,321=-=x x
注：在以后的一元二次方程的求解中，我们优先考虑因式分解，其次利用求根公式。一般不用配方法求解。
强化训练：（1）x x x 25)3)(1(-=-- （2）2)1(3)11(+=+x x x
（3）07322=++-x x （4）)2(5)2(3+=+x x x
（5）02352=+-x x （6）0562=-+x x
三、一元一次不等式的解法
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化为1
例（1）65)1(4->-x x （2）23123x x ->- 分析：系数化为1,要注意：两边除以大于零的不变号，小于零的要变号。对于（2）中含分数，可以“化分为整”
解:（1）226454<⇒->-⇒->-x x x x
（2）2843262
3123>⇒>⇒->-⇒->-x x x x x x 强化训练：（1）)1(9)14(3)2(2x x x ->---
（2）x x x 910026411-<-+
（3）38.07.05.1)2.0(4.0-≥+-x x
四、一元二次不等式
例：解不等式062
>--x x
法一：（数形结合法）令62--=x x y
函数图象位于x 轴上方，此时0>y
即062>--x x 。所以不等式的范围是2-
法二：（因式分解法）062>--x x 分解为()0)2(3>+-x x ⇒0301{>->+x x 或030
1{<-<+x x ⇒31{>->x x 或31{<-
5112)6(14)1(124222,1±=⨯-⨯⨯--±=-±-=a ac b b x 不等式的范围是2-
总结：一元二次不等式的解题流程：
化为一般形式)0(02
><>++a c bx ax 或
例（1）x x x 25)3)(1(-<-- （2）2
)1(3)11(+≥+x x x
强化训练：（1）252042<-x x （2）0)7)(3(<--x x
（3）1)32()1(+->-x x x x （4）07322≤++-x x 五、分式不等式（
00;00<⇔<>⇔>ab a
b ab a b ） 例（1）012>-+x x （2）11 解（1） 210)1)(2(01 2-<>⇒>-+⇒>-+x x x x x x 或 （2）法一：（等价转化）10)1(0111>⇒>-⇒<-⇒ x x 或0 <⇒<111得1>x 当0 法三：（两边乘以分母的平方） 01122>-⇒<⇒ 得01<>x x 或 强化训练：（1）085≥-+x x （2）1112<-+x x 六、绝对值不等式： a 的几何意义是：数轴上表示a 的点到原点的距离； b a -的几何意义是：数轴上表示数a 、b 的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍． 例（1）2>x （2）21<-x 点拨：利用绝对值的几何意义可得)0(><<-⇔ )0(>-<>⇔>a a x a x a x 或；也可以利用平方去绝对值。 七、简单的高次不等式 利用数轴穿根法：（最高次的系数为正）从右往左穿，从上往下穿，寄穿偶不穿。 例（1）0)2)(1)(1(>--+x x x （2）0)6)(2(2≥-++x x x （3）0)2)(1)(1(3<--+x x x 八、含参的一元一次不等式 例（1）02>+a x （2）02<+ax 点拨：含参数的不等式主要考查的是分类讨论的数学思想。分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。当数学问题中的条件，结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。 解：（1）2 202a x a x a x ->⇒->⇒>+ （2）202-<⇒<+ax ax （要求x 两边需要除以a ，而不等式两边除以一个数需要知道逐个数的正负以及零，于是就需要分类讨论） 当0=a 时，20->恒成立，所以x 为任意实数。 当0>a 时，a x 2- > 当0a 时，a x 2->；当0 x 2-< 注：分类讨论是指当问题所给的对象不能进行统一研究时讨论。不是有参数就讨论。在讨论时，确定分类讨论的讨论点很重要。 强化训练：（1）ax x <-32 （2） 0<-b ax 九、含参的一元二次不等式 例（1）0)1(2>++-a x a x （2）01)1(2 <++-x a ax 点拨：利用一元二次不等式的解法。对二次系数含参的需要对其进行讨论。 解：（1）0))(1(0)1(2>--⇒>++-a x x a x a x 当1=a 时，10)1(2≠⇒>-x x 当1>a 时，a x >或1 当1x 或a x < 综上所述：当1=a 时，1≠x ；当1>a 时，a x >或1