高中数学-两直线的交点坐标教案

合集下载

高中数学同步教学两条直线的交点坐标

方法二:(待定系数法)
设直线l的方程为4x+3y+m=0.
-2 + 4 = 0,
解方程组
得P(0,2).
+ -2 = 0,
因为直线l经过直线l1与l2的交点P(0,2),
所以4×0+3×2+m=0,解得m=-6.
所以直线l的方程为4x+3y-6=0.
反思1.直接法是从两条垂直直线的斜率关系求出直线l的斜率和
解:方法一:由
得
= 1,
- + 1 = 0,
所以直线l1与l2的交点坐标为(0,1).
又因为直线2x+y-3=0与所求直线平行,
所以所求直线的斜率为-2.
所以所求直线的方程为y=-2x+1,即2x+y-1=0.
+ 3-3 = 0,
= 0,
方法二:由
得
= 1,
- + 1 = 0,
围成三角形,求m的值.
错解当三条直线中至少有两条平行时,三条直线不能围成三角形.
显然l1与l3不平行.当l1∥l2时,m=4;当l2∥l3时,m=-1.故m=4或m=-1.
错因分析错解直接认为当存在两条直线平行时,不能围成三角形,
所以两条直线无公共点,即 l1∥l2.
解:(1)解方程组
题型一
题型二
题型三
反思判断两条直线的位置关系,关键是看将两条直线的方程联立所
得的方程组的解的情况.注意最后一定要将方程组解的情况还原为
直线的位置关系.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】判断直线l1:x-2y+1=0与直线l2:2x-2y+3=0的位置

高中数学-直线的交点坐标与距离公式学案

高中数学-直线的交点坐标与距离公式学案课程标准 1、能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2、探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

学习目标重点难点重点：1、求两直线交点坐标的方法；2、求三种距离的方法。

难点：点到直线的距离公式的推导。

学习过程学习内容（任务）及问题学习活动及行为【模块一】两条直线的交点坐标问题1、一元二次方程组的解与两直线交点坐标之间有什么关系？问题2、已知两条直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=相交，怎么求出它们的交点坐标？【例题讲解】例1、求下列两条直线的交点坐标：1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=。

例2、判断下列各对直线的位置关系。

如果相交，求出交点的坐标。

⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=； ⑵1:340l x y -+=，2:6210l x y --=； ⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=。

【即时训练】教材104P 练习1,2问题3、当λ变化时，方程342(22)0x y x y λ+-+++=表示什么图形？图形有何特点？评价：学生能正确求出两直线的交点坐标。

【模块二】两点间的距离问题1、已知平面上的两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，如何推导这两点间的距离公式12||PP ？问题2、已知111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12||______________PP =。

【例题讲解】例3、已知点(1,2)A -，(2,7)B ，在x 轴上求一点P ，使得||||PA PB =，并求||PA 的值。

【即时训练】教材106P 练习1,2例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

问题3、利用解析法解决问题的基本步骤有哪些是什么？评价：学生能正确运用两点间的距离公式解题。

高中数学 3.3直线的交点坐标与距离公式教案二新人教A版必修2

两条直线的交点坐标三维目标知识与技能：1．直线和直线的交点 2．二元一次方程组的解过程和方法：1．学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。

2．掌握数形结合的学习法。

3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程。

情态和价值：1．通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。

2．能够用辩证的观点看问题。

教学重点，难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标，理解两直线的交点与方程组的解之间的关系.难点：两直线相交与二元一次方程的关系，理解两直线的交点与方程组的解之间的关系. 教学方法：启发引导式教学过程：一、复习准备：[1. 讨论：如何用代数方法求方程组的解?2. 讨论：两直线交点与方程组的解之间有什么关系？[二、讲授新课：1. 教学直线上的点与直线方程的解的关系：①讨论：直线上的点与其方程AX+BY+C=0的解有什么样的关系？②练习：完成书上P102的填表.③直线L上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解。

反之直线L的方程的每一组解都表示直线上的点的坐标。

2. 教学两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系及求两直线的交点坐标①讨论：点A（-2,2）是否在直线L1：3X+4Y-2=0上？点A（-2,2）是否在直线L2：2X+Y+2=0上？②A在L1上，所以A点的坐标是方程3X+4Y-2=0的解，又因为A在L2上，所以A点的坐标也是方程2X+Y+2=0的解。

即A的坐标（-2,2）是这两个方程的公共解，因此（-2,2）是方程组 3X+4Y-2=02X+Y+2=0 的解.③讨论：点A和直线L1与L2有什么关系？为什么？④出示例1：求下列两条直线的交点坐标 L1：3X+4Y-2=0 L2：2X+Y+2=0 3．教学如何利用方程判断两直线的位置关系？①如何利用方程判断两直线的位置关系？②两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。

两条直线的交点坐标优秀教案

两条直线的交点坐标教学设计一、内容分析1．知识简介本节内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》第三章直线与方程（直线的交点坐标与距离公式的第一课时）．通过方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，对直线进行定量研究，强调解决在同一平面内两条直线位置关系（三类情况相交、平行、重合）代数方法．本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.2．通过对同一平面内两条直线有三种位置关系的学习，在能力上对学生明确要求如下：⑴牢固地掌握在同一平面内两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合．⑵以两条直线有三种位置关系为工具，会解决平面上的数学问题，为解决空间问题奠定必要的基础．⑶能够用相应的直线方程组成的二元一次方程组解的情况解决数学形上的基本问题．让学生做到把数的问题转化成形的问题，研究数学形与数之间的联系．3．关键、难点、重点的确定及依据根据这一节课内容的特点以及学生的实际情况，为此，在教学过程中紧扣两直线相交是否有交点，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解这一核心，利用图形形象直观地表示两直线相交的交．让学生自己去感受：两直线相交就是要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．为此：关键：是在平面直角坐标系中直线与二元一次方程组的关系．难点：是根据二元一次方程组的系数判定直线的位置关系．重点：是判断两直线的相交及两直线交点的求解．4．本节教材的地位与作用求交点问题（直线与直线、直线与曲线、曲线与曲线）是数学的重要概念之一，是解决数学问题的重要基础，在解析几何里表现得尤为突出．解析的思想在空间的应用更为广泛，是进一步学习高中数学、大学数学的基础．因此从高中数学的整体知识来看，本节课的内容很重要，它起到了承上启下的作用．二、教学方法5．学生现状的分析及对策．学情分析：就本节知识内容而言比较简单，学生不太重视，学生的基础又参差不齐．为此，在教学中要全面考虑、认真讲解、耐心辅导．教学对策：为了更好地完成教学任务，让学生尽快掌握知识，形成一定的能力．针对学生的认知规律，通过图形（平面直角坐标系）表示，增强学生的直观感受，在此基础上激发学生不断地探索知识，形成正确的知识，进而高效率地学习数学知识．6．教学目标的确定及依据教学原则明确强调要将思想教育的内容渗透到数学教学中去，使学生获得知识和培养能力的同时，在思想教育方面受到良好的熏陶，依据教学目的和教学原则以及学生的学习现状，我制定了本节课将要完成的教育目标.⑴情感目标：通过对两直线求交点概念的学习，使学生认识到两直线位置关系的重要性；通过数形结合的比较，体现数学的美感．提高学生对数学文化学习的兴趣．树立学生认识客观事物内在联系的正确观点；提高学生辨证地看待问题的能力．通过课堂教学使学生与教师、学生与学生善于合作与交流．⑵知识目标：牢固掌握两直线相交就是要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解的方法.⑶能力目标：（见前2）7．注重学生对教学目标的掌握和反馈教学的三维目标有短期的（知识）和长期的（情感、能力）目标．本节课以在同一平面内两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合为背景．以学生的认知规律为前提建构关于两直线相交的基本知识体系，精讲精练、学用结合．使学生感知两条直线相交，是由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解；不断的巩固所学习的课堂知识；运用“交点”解决实际问题形成技巧技能．与优、中、后进各层次的学生进行课堂或课后交流，不断的完善学生自主学习的过程．三、教学策略 8．教学设计见附件1 教学设计，附件2板书设计 9．教具（多媒体）（图1、图2、图3）附件1 教学设计方法和手段1．教学方法的采用．数学的学习是每一个学生主动接受数学知识以及在自己原有知识的基础上以自己的方式不断建构的过程．本节课以讲授法、发现法为主，并结合启发、引导、讲练结合的具体教学方式为主线进行课堂教学，引导学生积极思考，发挥学生的主观能动作用，体现学生的主体性．2．教学手段的采用．根据本节内容的特点，为了更有效地抓住关键、突破难点、突出重点，提高课堂效率，使学生尽快掌握本节课的知识内容，采用多媒体辅助教学，强化记忆，节省教学时间，提高教与学的效率．四、教学过程复习回顾我们一起研究了平面上两直线(斜截式)的平行（斜率相等且截距不相等），重合(斜率截距都相等），垂直（斜率之积等于-1）的位置关系. 这一节，我们来研究在同一平面内两条直线相交的交点问题.(课题)讲授新课:1.观察出示小黑板，同学按同桌分开，左侧同学解方程组，右侧同学分别在同一直角坐标系下作图（数形结合），然后观察这三个方程组的系数关系，探索⎩⎨⎧≠=++≠=++)0(0)0(0222222111111C B A C y B x A C B A C y B x A 的解的情况与系数之间的关系.猜想: 唯一解 212121l l B BA A ⇔≠⇔无穷多解21212121l l C CB B A A ≡⇔==⇔无解 21212121l l C CB B A A ⇔≠=⇔若222,,C B A 中有一个为0，那么方程组的解及此时两直线的位置关系怎样呢?启发分析.两直线是否相交的判断:设两条直线的方程是0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点，因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解. 2.例题讲解例1.求下列两条直线的交点并作图.022:，0243:21=++=-+y x l y x l解:解方程组⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=++=-+22得 0220243y x y x y x 所以，l 1与l 2的交点是M(-2，2). 例2.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程: 022:,022:21=--=+-y x l y x l解:解方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=+-22得 022022y x y x y x 所以， l 1与l 2的交点是(2，2). 方法一:设经过原点的直线方程为kx y =，把点(2，2)的坐标代入以上方程，得1=k ，所以所求直线方程为x y =．方法二:020020--=--x y ，即x y =. 例3 直线 ,023)2(:,06:21=++-=++m y x m l my x l 当m 为何值时，直线1l 与2l 01相交，02平行，03垂直，04重合?分析:01当1≠m 且3≠m 时，21l l ;02当1-=m 时，21l l ;03当21=m 时，21l l ⊥;04当3=m ，21l l ≡. 3.课堂练习4.课堂小结:大家掌握了两直线相交的判断方法，并能熟练求解两直线交点坐标.另外，了解两直线方程组成的二元一次方程组无解，则两直线平行；有无数多个解，则两直线重合.进一步体现了以形论数与就数构形，数形结合的重要数学思想.5.课后作业附件2 板书设计。

高中数学两直线交点教案

高中数学两直线交点教案教学目标：1. 理解两条直线的交点概念。

2. 掌握求解两直线交点的方法。

3. 能够应用所学知识解决实际问题。

教学重点：1. 直线的方程形式。

2. 求解两直线交点的方法。

教学难点：1. 通过代数方法求解两直线交点。

2. 将代数方法应用于实际问题。

教学准备：1. 教师准备：课件、板书、教学素材。

2. 学生准备：课本、笔记、计算器。

教学流程：Step 1：导入教师引导学生回顾直线的基本性质，以及两条直线相交的情况。

Step 2：理论学习1. 讲解两直线交点的定义。

2. 介绍求解两直线交点的方法：代数方法。

3. 举例说明代数方法的具体步骤。

Step 3：示范演练教师通过板书和实例演示如何求解两直线交点，学生跟随进行练习。

Step 4：练习检测学生独立进行练习，检测其对两直线交点的理解和掌握程度。

Step 5：拓展应用教师带领学生应用所学知识解决实际问题，如求解交通信号灯的优化问题等。

Step 6：课堂总结教师总结本节课的重点内容，强调两直线交点的概念和求解方法，并提出下节课预习内容。

Step 7：作业布置布置作业，巩固所学知识。

教学反馈：通过学生作业和课堂表现等方式进行教学反馈，及时发现和解决问题。

教学延伸：鼓励学生主动探索更多应用场景，深入了解两直线交点的实际意义。

资源链接：1. 直线方程的概念及性质2. 两直线交点的相关练习题以上为本节课的教案内容，希望能够帮助学生更好地理解和掌握两直线交点的求解方法。

祝学生学习顺利！。

人教课标版高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教案-新版

直线的交点坐标与距离公式一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，学会通过直线方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，学会对直线进行代数研究，掌握简单的坐标法思想，学会用代数方法解决简单的几何问题，体会数形结合这种解析几何最核心的思想方法．（二）学习目标1．能用解方程组的方法求两直线交点坐标，会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 2．探索并掌握两点间的距离公式并会简单应用，了解坐标法处理几何问题的基本步骤．（三）学习重点1．利用解方程组的方法求两直线交点坐标，及过两直线交点的直线系方程． 2．两点间距离公式的证明与应用．（四）学习难点1．掌握过两直线交点的直线系方程． 2．两点间距离公式的应用．3．解析几何问题中数形结合思想的应用．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第102页至第106页，填空：用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．联立两直线方程：11122200A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组中两方程可以化为同一个方程，，此时两条直线重合．平面上两点111222(,),(,)P x y P x y平面上点(,)P x y 到原点(0,0) 平行四边形的四条边的平方和等于两条对角线的平方和．用解析法处理平面几何问题的基本步骤可以概括为：2．预习自测1.直线12:0,:20l x y l x y -=+-=的交点坐标为（） A ．(0,1) B ．(1,0) C ． (1,1) D ．(1,1)-- 答案：C ．解析：【知识点】直线交点．【解题过程】联立求解．点拨：联立求解．2.直线12:10,:2220l x y l x y --=--=的位置关系为（） A ．相交 B ．平 C ．重合 D ．不确定答案：C ．解析：【知识点】直线位置关系．【解题过程】直线方程相同，直线重合．点拨：直线方程相同．3.两点(1,1),(3,4)-间的距离为（） A ．5 B ．C ．3D．答案：A ．解析：【知识点】两点间距离公式．【解题过程】利用两点间距离公式直接求解．点拨：利用两点间距离公式直接求解． (二)课堂设计 1．问题探究探究一结合联立直线方程，认清几何与代数间的联系，体验坐标法的思想★ ●活动① 认清二元一次方程组的解及其几何意义看下表，并填空：【设计意图】通过对二元一次方程组的认识，体会直线方程的解为直线上的点（坐标形式），所以两条直线方程所组成的方程组的解即为两条直线的交点坐标．●活动② 分类讨论，理清直线位置关系研究方程组：11122200A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî的解的个数，解的个数不同对应着直线的不同的位置关系．若方程组没有解，说明两条直线没有交点，则这两条直线平行；若方程组有唯一解，说明两条直线有唯一交点，则这两条直线相交；若方程组无数解，此时两个方程为同一方程，则这两条直线为同一直线，则这两条直线重合．【设计意图】分类讨论，从方程的角度再次清楚认识直线间关系．●活动③拓展直线交点问题，研究过已知两直线交点的直线系方程判断直线12:3420,:220l x y l x y +-=++=的位置关系．两条直线相交，交点为(2,2)-．拓展：当l 变化时，方程342(22)0x y x y l +-+++=表示什么图形？该图形有何特点？表示直线，且过定点(2,2)-．该直线有可能恰好是12,l l 吗？可以表示1l ，不能表示2l ．那你可以得到更一般的结论么？结论：若直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=相交，交点为P ，则过点P 的直线系为：111222()0A x B y C A x B y C l +++++=（2l 除外）．【设计意图】由特殊到一般，认识过定点的直线的方程的共有形式．探究二初步认识坐标法，探索两点间距离公式 ●活动① 从特殊到一般、分类讨论研究两点间距离平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离：（1）若12||PP x 轴（即12y y =时），两点12,P P 间的距离为多少呢？ 1212PP x x =-．（2）若12PP y 轴（即12x x =时），两点12,P P 间的距离为多少呢？1212PP y y =-．（3）那一般情况下，两点12,P P 间的距离为多少呢？过12,P P 两点，分别做x 轴，y 轴的垂线，得到垂线的交点为,A B ，则为矩形12P AP B 的对角线，矩形的边长分别为1212,x x y y --，由勾股定理，所以；（4）点(,)P x y 到原点的距离为d ．【设计意图】通过从特殊到一般，不仅要掌握两点间距离公式的一般形式，还应掌握一些特殊形式．●活动② 温故知新，体会向量方法在解析几何中的应用呢？（讨论）（向量方法）122121(,)PP x x y y =--(PP x =【设计意图】初步体会向量方法在解析几何中的应用．探究三平面几何问题坐标化，利用数形结合处理平面几何问题★▲ ●活动① 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．为将此问题进行坐标化处理，应该如何建立坐标系呢？又该如何处理各点的坐标呢？建立如图所示的坐标系，利用平行四边形的性质设出各点坐标，则四边平方和为222222222()AB AD a b c +=++，由两点间距离公式，得对角线的平方和为222222()()AC BD a b c a b c +=+++-+，所以平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．【设计意图】对两点间距离公式进行简单应用，体会坐标法给证明带来的简洁思路，并让学生体会解析法处理平面几何问题的一般步骤． ●活动② 互动交流、一问多解在向量的学习中，我们学习过平行四边形法则，是否可以用向量方法完成活动①中的证明呢？由平行四边形法则可知AB AD AC +=，平方2222AB AD AB AD AC ++=，AB AD DB -=，平方2222AB AD AB AD DB +-=，将两式相加可得，222222AB AD DB AC +=+，进而命题得证．【设计意图】通过一问多解，拓展学生思维，体会向量方法在平几问题中的强大作用，达到温故而知新的目的．探究四师生共研，巩固提升●活动① 巩固基础，检查反馈例1 已知三条直线280,4310,210ax y x y x y ++=+=-=交于一点，则a 的值为（） A ．1B ．1-C ．2D ．-2【知识点】联立方程组求直线交点．【数学思想】【解题过程】联立4310210x y x y ì+=ïí-=ïî得交点为(4,2)-，代入280ax y ++=，解得1a =-．【思路点拨】方程组的解即为交点坐标．【答案】B ．同类训练对任意的实数l ，直线2(22)0y x y l -+++=恒过定点．【知识点】恒过已知两直线交点的直线系．【数学思想】方程的观点处理几何问题．【解题过程】联立20220y x y ì-=ïí++=ïî，可得定点(2,2)-．【思路点拨】用方程的观点处理直线过定点问题．【答案】(2,2)-．例2 求经过直线240,50x y x y -+=-+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程为（） A ．280x y +-=B ．280x y --=C ．280x y ++=D ．280x y -+=【知识点】直线方程的综合应用．【数学思想】整体处理．【解题过程】法一、联立直线方程可得交点坐标为(1,6)，所求直线方程可设为20x y m ++=，将(1,6)代入可得8m =-；法二、将直线方程设为24(5)0x y x y l -++-+=，直线斜率221k λλ+=-=+，可得43λ=-，代入化简直线方程为280x y +-=．【思路点拨】可先整体处理设直线方程可规避解方程组．【答案】A ．同类训练求经过直线240,50x y x y -+=-+=的交点，且过原点的直线方程为（） A ．20x y += B ．20x y -=C ．60x y +=D ．60x y -=【知识点】过两直线交点的直线系方程．【数学思想】整体处理．【解题过程】将直线方程设为24(5)0x y x y l -++-+=，将原点坐标代入，可得45λ=-，代入化简直线方程为60x y -=．【思路点拨】整体设置直线方程．【答案】C ．【设计意图】巩固训练．●活动② 强化提升、灵活应用例3 已知两点(1,1),A B -（2,3），在x 轴上求一点P ，（1）使得PB PA +最小；（2）使得PB PA -最大．【知识点】对称点的坐标的求解，三角形的基本性质，两点间距离公式．【数学思想】数形结合．【解题过程】点(1,1)A -关于x 轴的对称点为'(1,1)A --，连接'A B ，在三角形'A BP 中，三边基本关系，''PA PB A B +≥,即'PA PB A B +≥，（当三点',,A P B 共线时取等），所以PB PA +的5=，此时P 的坐标为1(,0)4P -；连接BA 并延长x 轴交于点0P ，在三角形ABP 中，三边基本关系，PB PA AB -≤,（当三点,,A P B共线时取等），所以PB PA -的最大值为=，此时P 的坐标为( 2.5,0)P -．【思路点拨】通过对称将距离的最值问题转化为共线问题，再利用两点间距离公式求得最值．【答案】（1）1(,0)4P -；（2）( 2.5,0)P -．同类训练已知两点(1,0),(1,3)A B -，在直线y x =上求一点P ，使得PB PA +最小，并求出此时的坐标P ．，11(,)33P ．解析：【知识点】对称点的求解，两点间距离公式，两点间直线距离最短原理．【数学思想】数形结合．【解题过程】点(1,0)A -关于直线y x =的对称点为'(0,1)A -，，当三点'A PB 共线时取得，此时直线'A B 的方程为41y x =-，联立41y x y x =-⎧⎨=⎩，可得11(,)33P ．点拨：利用对称转化为两点间距离的问题．【设计意图】直线交点与两点间距离公式的综合应用． 3. 课堂总结知识梳理（1）联立两直线方程：1112220A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî，若方程组有唯一解，此解就是交点的坐标；（2）平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ．（3）平面上点(,)P x y 到原点(0,0) 重难点归纳（1）将平面几何问题坐标化，并能用本课所学处理简单的平几问题．（2）在求解距离和最值的问题上，要注意利用对称变换将问题进行转化．（三）课后作业基础型自主突破1．直线3y x =+与直线2y x =的交点坐标为_________. 答案：(3,6)．解析：【知识点】直线的交点坐标．【数学思想】方程的思想【解题过程】联立方程解方程组得(3,6)．点拨：联立方程．2．两点(2,3),(1,)a 间距离的最小值为_______. 答案：1．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】函数思想【解题过程】2222(21)(3)(3)1d a a =-+-=-+，所以距离的最小值为1．点拨：求二次函数的最值．3．点,A B 分别在坐标轴上，若AB 的中点坐标为(1,1)答案：解析：【知识点】中点坐标公式与两点间距离公式．【数学思想】方程思想．【解题过程】设(,0),(0,)A x B y ，则1,122x y==，所以(2,0),(0,2)A B ，可得AB =．点拨：利用中点坐标公式求出,A B 坐标，再利用距离公式求解．4．若两条直线2,y x y x m =-=-+的交点在第一象限，则实数m 的取值范围为_______．答案：2m >．解析：【知识点】直线交点．【数学思想】方程思想．【解题过程】联立方程，直线的交点坐标为22(,)22m m+-，在第一象限2222mm+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得2m>．点拨：联立方程求交点．5．已知平行四边形ABCD的两组对边分别长1,2，若对角线3AC=，则BD=________．答案：1．解析：【知识点】平行四边形四边长与对角线长关系．【解题过程】有平行四边形性质可得222222112210AC BD+=+++=，所以1BD=．点拨：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．6．已知三条直线2380,10,0x y x y x ky++=--=+=交于一点，则k=________．答案：12k=-．解析：【知识点】直线交点．【数学思想】方程思想．【解题过程】联立238010x yx y++=⎧⎨--=⎩可得交点为(1,2)--，代入0x ky+=，可得12k=-．点拨：联立解方程然后代入求解．能力型师生共研7．()f x=）A．1 B．2C．D．4答案：C．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】数形结合．【解题过程】()f x=，所以()f x的几何意义为(,0)x到点(1,1),(1,1)--的距离之和，由数形结合可得()f x=．点拨：将问题转化为几何问题，利用两点间直线距离最短求得．8．点(cos ,sin ),(1,2)θθ之间距离的最小值为_______．1-．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】函数思想．【解题过程】d ===所以d 的最小值为1d ==-．点拨：将问题转化为三角函数的最值问题．探究型多维突破9．求过直线20,60x y x y -=+-=的交点且与直线3x y =垂直的直线方程．答案：310y x =-+．解析：【知识点】直线交点．【数学思想】方程思想，待定系数．【解题过程】由于直线与直线3x y =垂直，所以它的斜率为3-，法一，直线20,60x y x y -=+-=的交点为(2,4)，由点斜式可得43(2)y x -=--，即310y x =-+；法二，设所求直线方程为2(6)0x y x y λ-++-=，它的斜率为231k λλ+==--，解得52λ=，代入化简得310y x =-+．点拨：可考虑整体设置方程，待定系数求解． 10．已知平行四边形的两条边所在直线方程为10,340x y x y +-=-+=，且它的对角线的交点是(3,3)M ，求这个平行四边形的其他两边所在直线的方程．答案：:3160BC x y --=，:110CD x y +-=．解析：【知识点】直线交点，直线方程．【数学思想】方程思想．【解题过程】如图，联立10,340x y x y +-=-+=，求得37(,)44A -，又由M 为AC 中点，由中点坐标公式解得2717(,)44C ，由平行关系可得1727:3()44BC y x -=-，化简得:3160BC x y --=，同理，可解得:110CD x y +-=．点拨：结合平行关系，利用斜率相等和交点求解．自助餐1．已知点(,5),(0,10)A a B -间的距离为17，则a 的值为_______．答案：8a =．解析：【知识点】两点间距离公式．17=，解得8a =．点拨：列式求解．2．经过两条直线30,230x y x y -+=+-=的交点，且过原点的直线方程为________．答案：20x y +=．解析：【知识点】过两直线交点的直线系．【数学思想】待定系数．【解题过程】设所求直线方程3(23)0x y x y λ-+++-=，将原点坐标代入得1λ=，所求直线方程为20x y +=．点拨：整体设置直线，求解待定系数．3.经过两条直线23100,3420x y x y -+=+-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线方程为________．答案：2320x y +-=．解析：【知识点】直线间位置关系，直线交点．【数学思想】待定系数．【解题过程】设所求直线方程2310(342)0x y x y λ-+++-=，化简(23)(43)+10x λλ++- 20λ-=，由垂直关系可得3(23)2(43)0x λλ+--=，解得12λ=-，代入整理得直线2320x y +-=．点拨：整体设置直线，求解待定系数．4．点(1,1)P --到曲线1(0)xy x =>上任意一点距离的最小值为________．答案：解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】不等式思想．【解题过程】在曲线上任意取点1(,)x x ，则d ==≥1x =时取得．点拨：列式，利用均值不等式求最值．5．已知,a b 为单位向量，则a b a b -++的最大值为__________．答案：解析：【知识点】平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和．【数学思想】不等式．【解题过程】由向量的平行四边形法则和平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和可知224a b a b -++=，由不等式,2a b a b +>≥，可得a b a b -++的最大值为．点拨：由平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和得到定值条件，再利用均值不等式求解．6．已知(0,1),(0,1)x y ∈∈，求证：≥．答案：见解题过程．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】如图所示，(,)P x y 为正方形内任意一点，由根式的几何意义可知，，所以问题转化为求证2PO PA PC PB +++≥，在三角形POB OB上取得，同理，在三角形PAC AC 上取得，所以当P 在,OB AC 交点处11(,)22时，PO PA PC PB +++取得最小值，所以≥．点拨：利用根式的几何意义将问题转化为几何最值求解．。

《两直线的交点坐标》教案与导学案和同步练习

《2.3.1 两直线的交点坐标》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两直线的交点坐标从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况，在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.【教学目标与核心素养】【教学重点】：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标【教学难点】：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系【教学过程】一、情境导学在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。

二、探究新知两条直线的交点1.已知两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,设这两条直线的交点为P,则点P 既在直线l 1上,也在直线l 2上.所以点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x+B 1y+C 1=0,也满足直线l 2的方程A 2x+B 2y+C 2=0,即点P 的坐标就是方程组{A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.2.方程组的解一组无数组无解直线l 1和l 2公共点的个数一个无数个零个直线l 1和l 2的位置关系相交重合平行点睛：如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解. 1.直线 x+y=5与直线x-y=3交点坐标是( )A.(1,2)B.(4,1)C.(3,2)D.(2,1) 解析:解方程组{x +y =5,x -y =3,得{x =4,y =1.因此交点坐标为(4,1).答案:B 三、典例解析例1.直线l 过直线x ＋y －2＝0和直线x －y ＋4＝0的交点，且与直通过直线与二元一次方程的关系，提出运用方程研究直线位置关系得问题，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。

人教A版高中数学选择性必修一231两条直线的交点坐标教学设计

第二章直线和圆的方程2.3.1 两条直线的交点坐标（1课时）【教学内容】两条直线的交点坐标的求法；两条直线的位置关系（相交、平行、重合）的判定方法．【教学目标】1．理解并掌握用直线方程求两条相交直线的交点坐标的方法；2．理解二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，会用直线方程组的解和斜率两种方法判断两条直线的位置关系；3．提高数形结合能力，初步感悟坐标法的运用，培养提高逻辑推理，数学运算和直观想象素养。

【教学重难点】教学重点：求两直线的交点坐标的方法、判断两条直线的位置关系的方法. 教学难点：判断两条直线的位置关系的方法.【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）（一）引言在初中平面几何中，我们对直线作定性研究。

通过前一阶段的学习，我们把几何图形放入平面直角坐标系中。

用坐标来表示点00(,)x y ，用二元一次方程0Ax By C ++=来表示直线，实现几何图形的代数化。

这样我们可以通过把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如两条直线的交点坐标。

（二）求解两条直线交点坐标问题1：已知两条直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=相交，如何求得两条直线的交点坐标？因为两条直线相交，所以两条直线存在唯一交点，记为00(,)x y .也就是说，点00(,)x y 既在直线1l 上也在直线2l 上.因此，00(,)x y 同时满足两条直线方程。

即，00(,)x y 是方程组的唯一解。

反之，00(,)x y 是方程组的唯一解，说明00(,)x y 既在1l 上也在直线2l 上. 所以, 00(,)x y 是两条直线的唯一交点. 因此求两条直线的交点，只需联立方程组求解即可.联立方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，解得00,.x x y y =⎧⎨=⎩即，00(,)x y 就是两条直线的交点坐标.例1：求下列两条直线的交点坐标，并画出图形.12:3420,:220.l x y l x y +-=++=解：（1）解方程组3420, 220,x y x y +-=⎧⎨++=⎩，得2,2.x y =-⎧⎨=⎩. 所以，12l l 与交点坐标为(2,2)-. （如图）（三）二元一次方程组的解与两直线位置的对应关系问题2：如果两条直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=平行，能否判断对应方程组解的情况？两条直线平行说明两条直线没有公共点，即不存在点同时满足两条直线方程，所以方程组无解.反之亦然. 所以两条直线平行等价于对应方程组无解.问题3：如果两条直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=重合，能否判断对应方程组解的情况？两条直线重合等价于两条直线有无数个公共点，即存在无数个点同时满足两条直线方程，所以方程组有无数组解.梳理两条直线的位置关系与对应二元一次方程组解的个数的关系.如果相交，求出交点的坐标.（1）12:0,:33100l x y l x y -=+-=；（2）12:340;:6210l x y l x y -+=--=；（3）12:3450,:68100l x y l x y +-=+-=.(逐题讲解)解：（1）解方程组033100x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得5353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 交点坐标为55(,)33.（2）解方程组3406210x y x y -+=⎧⎨--=⎩，90,⨯=①2-② 得矛盾，方程组无解，所以，l 1与l 2无公共点， l 1∥l 2.（3）解方程组：345068100x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，两方程为同一方程，即方程组有无数解，所以两条直线重合.追问1：题目改为只问“判断下列各对直线的位置关系”，你还有没有其他的判断方法？用斜率，对于斜率分别为12,k k 的两条直线12,l l ，有1212//l l k k ⇔=.追问2：能否用直线斜率判断上述两对直线的位置关系？可以，但关注方程形式，我们所给的直线方程都是一般式.追问3：如何从直线方程的一般式中确定斜率？将两条直线方程化为斜截式,找x 的系数即为斜率.（1）将两条直线方程化为斜截式，直线1:l y x =，210:3l y x =-+直线1l 与直线2l 的斜率不等，12,l l 相交. （2）将两条直线方程化为斜截式，直线1:34l y x =+，21:33l y x =-直线1l 与直线2l 的斜率相等，截距不等，12,l l 平行. （3）将两条直线方程化为斜截式，直线135:44l y x =-+，235:44l y x =-+直线1l 与直线2l 的斜率与截距均相等，因此两条直线重合.小结：用斜率判断两直线位置关系如果两直线斜率都不存在，就看截距：截距相同，则重合；不同则平行如果两直线一个的斜率不存在，另一个的斜率存在：则相交如果两直线斜率都存在，就先看斜率：斜率相同，则看截距，若截距不等则平行，若截距相等则重合问题4：比较用斜率判断和解方程组判断两直线位置关系，你有什么体会？用斜率能快速判断两条直线平行或相交。

高中数学3.3.1两直线的交点坐标

高中数学 3.3.1 两直线的交点坐标（一）教学目标1．知识与技能（1）直线和直线的交点.（2）二元一次方程组的解.2．过程和方法（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.（2）掌握数形结合的学习法.（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程.3．情态和价值（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系.（2）能够用辩证的观点看问题.（二）教学重点、难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标.难点：两直线相交与二元一次方程的关系.（三）教学方法：启发引导式在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的相互关系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决.教具：用POWERPOINT课件的辅助式数学.= 0有何关系？么关系？2 =0 +2 =0.=2.10=0 10=0.备选例题例1 求经过点(2，3)且经过l1：x + 3y– 4 = 0与l2：5x + 2y + 6 = 0的交点的直线方程.解法1：联立3402,52602x y xx y y+-==-⎧⎧⎨⎨++==⎩⎩得，所以l1，l2的交点为(–2,2).由两点式可得：所求直线方程为322322y x--=---即x– 4y + 10 = 0.解法2：设所求直线方程为：x + 3y– 4 +λ(5x + 2y + 6) = 0.因为点(2，3)在直线上，所以2+3×3–4+λ(5×2+2×3+6) = 0，所以722λ=-，即所求方程为x + 3y– 4 + (722-)(5x + 2y + 6) = 0，即为x– 4y + 10 = 0.例2 已知直线l1：x + my + 6 = 0，l2：(m– 2)x + 3y + 2m = 0，试求m为何值时，l1与l2：（1）重合；（2）平行；（3）垂直；（4）相交.【解析】当l1∥l2(或重合) 时：A 1B 2 – A 2B 1 = 1×3 – (m – 2)·m = 0，解得：m = 3，m = –1.（1）当m = 3时，l 1：x + 3y + 6 = 0，l 2：x + 3y + 6 = 0，所以l 1与l 2重合；（2）当m = –1时，l 1：x – y + 6 = 0，l 2：–3x + 3y – 2 = 0，所以l 1∥l 2；（3）当l 1⊥l 2时，A 1A 2 + B 1B 2 = 0，m – 2 + 3m = 0，即12m =；（4）当m ≠3且m ≠–1时，l 1与l 2相交.例3 若直线l ：y = kx – 与直线2x + 3y – 6 = 0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是：A ．[30,60)B ．(30,90)C ．(60,90)D ．[30,90]【解析】直线l 1：2x + 3y – 6 = 0过A (3，0)，B (0，2)而l 过定点C (0,由图象可知.0ACk k k >⎧⎨>⎩即可所以l 的倾斜角的取值范围是(30°，90°)，故选B.。

人教版高中数学必修2第三章直线的交点坐标与距离公式同步教案3

(4)特殊平行线与过定点(x0，y0)的直线系方程：当斜率k一定而m变动时，y＝kx＋m表示斜率为k的平行直线系，y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线系(不含直线x＝x0)．
在求直线方程时，可利用上述直线系设出方程，再利用已知条件求出待定系数，从而求出方程．
例题精讲
【题型1、两直线的交点问题】
【例1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
【方法总结】1.方程组的解的组数与两条直线的位置关系
2．两条直线相交的判定方法：
(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交；
(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．
特别提醒：若两直线的斜率一个不存在，另一个存在，则两直线一定相交．
11。

《两条直线的交点坐标》示范公开课教案【高中数学北师大】

《两条直线的交点坐标》教案1．通过联系二元一次方程组的知识点，解决直线交点坐标的相关问题.2．感受方程思想在解析几何中的运用.教学重点：两直线交点坐标的求法．教学难点：结合上一节课的内容，对两条直线的具体位置关系进行判断．一、新课导入知识回顾：上节课我们学习了两条不重合直线平行与垂直的条件，一起回顾一下.l1∥l2k1=k2l1⊥l2k1k2=−1想一想：若两条不重合直线不平行，那么它们的交点坐标怎样求呢？设计意图：本节课的核心内容是两条直线的交点坐标的求解方法，这个内容其实在初中已经有所铺垫，稍微有点基础的学生都已经掌握了求交点的方法——联立方程组，所以在方法讲解上并不需要花费太多的篇幅，直入主题更好．二、新知探究问题1：若两条直线相交，它们的交点应该满足什么条件？答案：假设两条不重合的直线l1，l2交于点P因为点P在直线l1上，所以它的坐标必定满足直线l1的方程同理，它的坐标也必定会满足直线l2的方程因此我们联立l1，l2的方程，通过解方程组即可求出交点坐标.对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0步骤一：利用斜率k判断两条直线是否相交步骤二：解方程组{A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0得到交点坐标设计意图：这个环节的解题方法难度并不大，因为学生初中接触过了，所以快速带过，直接进入例题环节，让学生马上运用会更加好.◆教学目标◆教学重难点◆教学过程◆三、应用举例例1：求下列各组直线的交点坐标：（1）l 1:x −y +2=0 l 2:x −2y +3=0（2）l 1:3x −2y +1=0 l 2:x +2y +3=0（3）l 1:y =3x +2 l 2:y =−2x −3解：（1）由{x −y +2=0x −2y +3=0解得{x =−1y =1即交点坐标为(-1,1)（2）由{3x −2y +1=0x +2y +3=0解得{x =−1y =−1即交点坐标为(-1,-1)（3）由{y =3x +2y =−2x −3解得{x =−1y =−1即交点坐标为(-1,-1)例2：判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标.（1）l 1:x −2y +1=0 l 2:x −2y +3=0（2）l 1:3x +2y −1=0 l 2:x +5y +4=0（3）l 1:x 2+y 4=1 l 2:y =−3x +8 解：（1）变形可得l 1:y =x 2+12 l 2:y =x 2+32 易知两直线平行.（2）变形可得l 1:y =−3x 2+12 l 2:y =−x 5−45 易知两直线相交由{3x +2y −1=0x +5y +4=0解得{x =1y =−1即交点坐标为(1,-1)（3）变形可得l 1:y =−2x +4 l 2:y =−3x +8易知两直线相交由{y =−2x +4y =−3x +8解得{x =4y =−4即交点坐标为(4,-4)例3：已知A （1，4），B （-2，-1），C （4，1）是△ABC 的三个顶点，求证：△ABC 的三条中线交于一点.解：易得三条边中点的坐标分别是E (−12,32),F (1,0),G(52,52) 利用两点式分别求出三条中线的方程分别为中线AF ：x =1中线BG ：y =79x +59 中线CE ：y =−19x +139由{x =1y =79x +59解得{x =1y =43即交点P 坐标为 (1, 43)因为43=−19×1+139，所以点P 满足中线CE 所在直线方程，即点P 在中线CE 所在直线所以△ABC 三条中线交于一点四、课堂练习1.判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标.（1）l 1:x −y −4=0 l 2:2x −4y +1=0（2）l 1:−2x +y −2=0 l 2:y =2x +8（3）l 1:2y −x +4=0 l 2:y =−x +1解：（1）变形可得l 1:y =x −4 l 2:y =x 2+14易知两直线相交.由{x −y −4=02x −4y +1=0解得{x =172y =92 即交点坐标为(172, 92) （2）变形可得l 1:y =2x +2 l 2:y =2x +8易知两直线平行（3）变形可得l 1:y =12x −2 l 2:y =−x +1 易知两直线相交由{2y −x +4=0y =−x +1解得{x =2y =−1即交点坐标为(2,-1)2. 已知直线l 1:ax +y +1=0的倾斜角为45°．（1）求a ；（2）若直线l 2与直线l 1平行，且l 2在y 轴上的截距为-2，求直线l 2与直线2x −y −6=0的交点坐标．解：（1）因为直线l 1的斜率为−a ，所以−a =tan45°=1故a =−1（2）依题意可得直线l 2的方程为y =x −2，由{2x −y −6=0y =x −2解得{x =4y =2故所求交点坐标为（4，2）3. 已知直线l 1:x −3y −2=0，l 2:3x −2y +1=0设直线l 1，l 2的交点为P ．（1）求P 的坐标；（2）若直线l 过点P 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：（1）联立方程{x −3y −2=03x −2y +1=0解得P （-1，-1）（2）∵直线l 在两坐标轴上的截距相等，∴直线l 的斜率为-1或经过原点，当直线l 过原点时，∵直线l 过点P ，∴l 的方程为y =x ，当直线l 斜率为-1时，∵直线l 过点P ，∴l 的方程为y +1=−(x +1)综上所述，直线l的方程为y=−x−2或y=x．五、课堂小结对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0解方程组{A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0即可得到交点坐标六、布置作业教材P20 练习第1题，P25 A组第6题．。

高中数学(人教A版)选择性必修一《2.3.1两直线的交点坐标》【教案匹配版】最新中小学课程

例1 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
解方法一由方程组32xx＋＋4y＋y－22＝＝0， 0，解得xy＝＝－ 2，2，即l1与l2的交点坐标为(－2,2). ∵直线过坐标原点，
∴其斜率 k＝－22＝－1. 故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
跟踪训练1 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
解方法一由方程组xx－＋2y－y＋24＝＝00，，得xy＝＝02，，即 P(0,2). ∵l⊥l3，l3 的斜率为34， ∴kl＝－43，
∴直线 l 的方程为 y－2＝－43x，
二、判断两直线位置关系的方法
知识梳理
已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22 ＋B22≠0)：
方程组AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00，的解
直线l1与l2的公共点的个数直线l1与l2的位置关系
一组无数组 _无__解__
例3 无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点 P的坐标. 解 ∵(m＋1)x－y－7m－4＝0， ∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0， ∴xx－－7y－＝40＝，0， ∴xy＝＝73， . ∴点P的坐标为(7,3).
反思感悟解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解. (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋ λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00，解得.若整理成y－y0＝k(x－x0) 的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0).

2.3.1 两条直线交点的坐标(课时教学设计)(高洪春)-高中数学新教材选择性必修第一册小单元教学+

2.3.1 两条直线交点的坐标（课时教学设计）（高洪春）-高中数学新教材选择性必修第一册小单元教学+专家指导（视频+教案）教学目标：1.了解两条直线的方程形式和交点的定义及特性。

2.掌握两条直线交点的坐标计算方法。

3.能够应用所学知识解决实际问题。

教学重点：1.理解两条直线的交点定义及特性。

2.熟练掌握交点的计算方法。

教学难点：1.应用所学知识解决实际问题。

2.如何理解交点的特性。

教学方法：1.讲授法2.演示法3.练习法教学过程：1.引入：教师通过实际生活中的例子或图片引入本节课的内容，激发学生的学习兴趣。

如：两条直线相交的情况。

2.讲授：教师进行讲解，介绍两条直线的方程形式和交点的定义及特性。

让学生理解直线方程的含义，学习如何计算两条直线的交点。

3.演示：教师通过绘制图形和解题示范，演示如何计算两条直线的交点坐标。

4.练习：老师出一些例题，让学生进行练习，帮助学生掌握两条直线交点的计算方法。

5.拓展：让学生在实际题目中进行思考，尝试解决实际问题，使得学生掌握所学知识的应用。

6.归纳：让学生总结本节课所学的知识，并回答教师提出的问题，巩固所学内容。

7.作业：布置练习题，让学生巩固所学知识。

教学资源：1. 教科书。

2. 教具：黑板、彩色粉笔。

3. 课件、PPT等多媒体教学资料。

教学评价：1.通过练习和课堂互动，检查学生对所学知识的掌握情况。

2.通过测试和巩固作业，评价学生掌握所学知识的程度。

序化教学，总结教学，不断提高教学水平。

教学反思：1.本节课要求较高，对学生的基础知识要求较高，需要教师在讲解中强调基础知识的重要性。

2.为了学生的生动感和体验度，可适当加入实例并与实际生活联系起来。

高中数学必修二教案-两条直线的交点坐标示范

3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标整体设计教学分析本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.三维目标1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.2.当两条直线相交时，会求交点坐标.培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.4.以“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.重点难点教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题. 推进新课新知探究提出问题①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)： (ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x . 如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空.②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系.设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解. (ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l(代数问题) (几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点： (ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠211. 一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C C B B A A l l C C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用. (b)如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合.应用示例例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2). 变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0. 解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0,得x=2,y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.(1)l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0.(2)l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0.(3)l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0.活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.35,35y x 所以l 1与l 2相交,交点是(35,35). (2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,043y x y x ①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2.(3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)2(,01086)1(,0543y x y x①×2得6x+8y-10=0. 因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).例3 求过点A(1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5=0平行的直线方程.解法一：∵直线2x ＋3y ＋5=0的斜率为-32，∴所求直线斜率为-32.又直线过点A(1，－4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x ＋3y ＋10=0. 解法二：设与直线2x ＋3y ＋5=0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋m=0，∵l 经过点A(1，－4),∴2×1＋3×(－4)＋m=0.解之,得m=10.∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10=0.点评：解法一求直线方程的方法是通法，须掌握.解法二是常常采用的解题技巧.一般地，直线Ax ＋By ＋C=0中系数A 、B 确定直线的斜率.因此，与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m=0，其中m 待定.经过点A(x 0，y 0)，且与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线方程为A(x －x 0)＋B(y －y 0)=0.变式训练求与直线2x ＋3y ＋5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为65的直线方程. 答案：2x+3y-1=0.知能训练课本本节练习1、2.拓展提升问题：已知a 为实数，两直线l 1:ax+y+1=0,l 2:x+y-a=0相交于一点，求证:交点不可能在第一象限及x 轴上.分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横、纵坐标的范围. 解:解方程组⎩⎨⎧=-+=++0,01a y x y ax ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+-=.11,112a a y a a x .若112-+a a ＞0，则a ＞1. 当a ＞1时，－11-+a a ＜0，此时交点在第二象限内. 又因为a 为任意实数时，都有a 2+1≥1＞0，故112-+a a ≠0. 因为a≠1(否则两直线平行，无交点)，所以交点不可能在x 轴上，交点(－11,112-+-+a a a a )不在x 轴上. 课堂小结本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.作业课本习题3.3 A 组1、2、3,选做4题.设计感想本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线位置特点，其实质是直线方程Ax ＋By ＋C=0中A 、B 、C 就表示了直线的本质属性.还要注重研究方法的探讨，为学习下一章圆锥曲线时，对于曲线交点的研究打基础.。

2.3.1两条直线交点的坐标 2.3.2两点间距离公式教案-高中数学人教版(2019)选择性必修一

2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式一、内容解析内容解析第 3 节“直线的交点坐标与距离公式”是运用直线的方程判断两条直线的位置关系，求两条直线相交时交点的坐标；推导点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式.求两直线的交点坐标的方法，学生在初中的一次函数中已经学会使用，高中阶段则重新从直线上点的坐标与直线的方程的关系的角度切入，加深了对求交点坐标的本质的理解.在前节已经学习了如何利用直线的方程来判断两直线的位置关系的基础上，本节要通过解两条直线的方程组成的方程组，从解的个数来判断两直线的位置关系.距离问题是欧氏几何的基本问题之一，在欧氏几何中，把两点间线段的长度定义为距离. 而两点间的距离公式与过两点的直线斜率公式是平面解析几何中两个最基本的公式. 教科书中用向量方法得出平面上两点间的距离公式，同时，还设置了问题引导学生思考两点间的距离公式是否可以使用勾股定理来解决，使学生了解两种推导两点间距离的方法，并且能够评价对两种方法的体会.运用坐标法解决平面几何问题主要是培养学生数形结合的数学思想.将坐标语言的表述应用于平面几何问题有助于培养学生的直观想象、数学运算素养.通过对平面几何问题的解决，使得学生首先会用原理、公式、并通过练习实现学生达到熟练掌握运算方法、技巧的能力.结合以上分析，确定本节课的教学重点：求两条直线交点坐标、判断两直线的位置关系、求两点间的距离.二、目标和目标解析1.目标与学科素养目标：（1）理解解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；（2）了解根据方程组的解的个数判定两条直线的位置关系；（3）掌握平面上两点间的距离公式；（4）理解用坐标法证明简单的平面几何问题.素养：（1）数学抽象：掌握平面内两点间的距离公式；（2）数学运算：求两直线的交点坐标、判断两直线的位置关系、求两点间的距离；（3）数学建模：用坐标法解决平面几何问题.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能列出方程组，并正确求出两直线的交点坐标.（2）能够根据方程组解的个数判断两直线的位置关系．（3）能够运用公式求出两点间的距离.（4）能够根据题意，建立合适的平面直角坐标系，完成对平面几何问题的证明.三、教学问题诊断分析学生在初中的一次函数中已经能够解决过求两直线交点的问题，在2.2节直线的方程一节中也学习了如何用直线的方程来判断两直线的位置关系.在本节中从曲线上的点与曲线方程的关系入手，揭示解方程组法求两直线交点坐标的本质.由于前面学生已有知识的铺垫，理解这一点应该不太困难.从两曲线公共点个数来判断它们的位置关系，是几何中的重要方法，在解析几何后面的位置关系问题的研究中还要多次出现，要让学生理解这种判断两曲线位置关系的思路，从而理解通过方程组解的个数来判断两直线位置关系的方法.学生在必修课程中已经接触过已知起点坐标和终点坐标的向量求解模长的问题，这实际上为本节课两点间的距离公式提供了基础.实际上，本节中两点间距离公式就是通过求一个向量的模长来证明的.因此，两点间距离公式的推导和记忆都不会对学生造成太大的认知障碍.但是对于两点间距离公式的应用，会给学生带来一些困扰.首先，就是运算量会稍大一些；其次，对于简单的平面几何问题的证明，是否想到通过建系用坐标法解决、怎么建系以及建系后的运算都会使学生的学生产生困难.本节课的教学难点是用坐标法解决平面几何问题.四、教学过程设计（一）概念的引入在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，本节课我们学习的主要问题是两条直线的交点坐标以及平面内两点间距离问题.问题1：点与直线的关系是什么？师生活动：学生独立思考、讨论交流．教师提示，引导学生从点与直线的关系入手，并填写表格.设计意图：通过对点与直线关系的复习，帮助学生再次明确曲线上的点的坐标满足曲线方程.问题2：如果两直线11110l:A x+B y+C=，22220l:A x+B y+C=相交于一点A,若点A的坐标为()m,n则点A的坐标与这两条直线的方程有何关系?师生活动：学生独立思考、讨论交流．设计意图：引导学生明确公共点同时在两条直线上，因此公共点的坐标应该同时满足两条直线的方程，也就是公共点的坐标就是方程组的解..（二）概念的理解（1）两条直线的交点坐标问题1：求两条直线交点坐标的方法是什么？师生活动：学生独立思考，根据复习引入部分的探讨回答问题．设计意图：总结复习引入部分的探究，并得到求交点坐标的方法.问题2：直线1111:0,l A x B y C ++=2222:0,l A x B y C ++=它们的方程组成的二元一次方程组为1112220;0.A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩当方程组有唯一解时，直线1l 与2l 的位置关系是怎样的？当方程组有无数个解时，直线1l 与2l 的位置关系是怎样的？当方程组无解时，直线1l 与2l 的位置关系是怎样的？师生活动：指导学生分析，找到方程组的解的情况与两条直线位置关系之间的对应关系.学生讨论，在教师的指导下总结.设计意图：.通过问题引起学生对方程组解的个数与直线间位置关系二者之间的联系的思考，使学生理解可以通过解方程组的方法来判断直线的位置关系.问题3：根据对问题2的研究，我们可以怎么样判断直线1l 与直线2l 的位置关系？师生活动：学生思考、讨论交流，总结结论.设计意图：对问题2的探究进行总结归纳，同时得到判断两直线位置关系的方法．问题4：你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会？师生活动：学生思考、讨论交流，教师总结.设计意图：让学生回忆使用斜率的方法解决本题，并与解方程组的方法进行比较，体会两种方法的联系与区别：用斜率判断和解方程组判断这两种方法都是通过代数方法研究直线与直线的位置关系.用斜率容易判断直线与直线的平行或相交（垂直），但无法直接得出相交时两直线的交点坐标.（2）两点间的距离公式我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的.所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.下面我们就来研究这个公式.请同学们阅读教科书第72页的探究部分：如图2.3-2，已知平面内两点111222()()P x ,y ,P x ,y ，如何求1P ，2P 间的距离12PP ？问题1：此公式与两点的先后顺序有关吗？师生活动：学生思考、讨论交流. 设计意图：通过问题，使学生明确公式与点的顺序无关，从而加深对公式的理解. 问题2：当直线12P P 平行于x 轴时，12PP 怎么表示？当直线12P P 平行于y 轴时，12PP 怎么表示？师生活动：学生思考、讨论交流.设计意图：两点间距离公式适用于两个点在平面内任意位置的问题，使学生明确公式与点的顺序无关.问题3：你能利用111222()()P x ,y ,P x ,y 构造直角三角形，再用勾股定理推到两点间距离公式吗？师生活动：学生思考、讨论交流，教师总结.设计意图：先引导学生如何构造直角三角形，再利用分类讨论思想，使用勾股定理推导出两点间的距离公式，并与向量法的推导形成对比，让学生体会方法的不同.（三）概念的巩固应用例1.求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：12:3420,:220.+-=++=l x y l x y师生活动：学生分析解题思路，并尝试写出解题过程.教师可以根据学生的解题过程是否规范，条理是否清楚进行讲解.设计意图：利用例1使学生明确求交点坐标的方法，会使用解方程组的方法求解两条直线的交点坐标，并能根据直线方程画出图形.例2.判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标：（1）12:0:3100;l x y l x y -=+3-=，，（2）12:340:6210;l x y l x y -+=--=，（3）12:3450:68100.l x y l x y +-=+-=，师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.设计意图：利用例2使学生巩固利用方程组解的个数判断两直线位置关系的方法. 练习2.分别判断下列直线的位置关系,若相交,求出它们的交点.(1)12:27:3270l x y l x y -=+-=和;(2)12:2640:41280l x y l x y -+=-+=和;(3)12:4240:23l x y l y x ++==-+和.师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．设计意图：利用与例2完全类似的问题，有针对性的对判断两直线位置关系的方法进行巩固.例3.已知点2()1,A -，(2),7B ，在x 轴上求一点P ,使PA PB =，并求PA 的值. 师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.设计意图：通过例3使学生巩固两点间距离公式，以及学会将已知条件中的几何关系转化为代数语言.除此之外，也培养学生的数学运算的素养..练习3.已知点(3),6A ，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标．师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．设计意图：利用与例4完全类似的问题，有针对性的对例题进行巩固.例4.用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍教师引导学生分析解题思路，与学生共同完成解题过程，并向学生提出以下问题：问题1：证明过程的第一步是什么？问题2：建系后的步骤是什么？问题3：写出点的坐标后，应继续做什么？问题4：用坐标进行代数运算后的步骤是什么？问题5：通过这个例题，我们利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤应该是怎样的？问题6：根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法？师生活动：学生阅读证明过程，教师以问题串的形式向学生提出问题，学生交流讨论，教师归纳总结.设计意图：问题1，2,3，4,5的作用是引导学生注意解题步骤，并启发学生概括出坐标法解决平面几何问题的基本步骤；问题6引导学生明白，对于同一个问题，建系的方法并不唯一，但是我们应该选择更有利于我们运算的坐标系.比如，建系时可以利用相互垂直的两直线作为坐标轴；应该让几何图形的边或顶点等几何元素更多的位于坐标轴上；也可以利用几何图形的对称性，以对称轴为其坐标轴；等等.△的形状．练习4.已知点(3),(3,3),--，判断ABC,1(1,7)A B C师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．设计意图：通过练习4，使学生巩固用坐标法解决平面几何问题的基本思想，本题可以使用两种不同的方法进行解决，通过一题多解，拓宽学生的思维，提升学生逻辑推理的数学素养.（四）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识，本节课我们学习了以下问题：（1）求两条直线的交点坐标；（2）判断两直线的位置关系；（3）两点间的距离公式；（4）用坐标法解决平面几何问题.设计意图：从方法以及公式两个方面对本节课的知识进行归纳小结，使学生从整体上把握本节课所学的知识.布置作业：教科书第72页，练习1,2,3；教科书第74页，练习1,2,3.。

高中数学必修二《两条直线的交点坐标》教学设计 (1)

1.直线上的点与直线方程的解的关系：
①讨论：直线上的点与二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的解有什么样的关系？
②练习：完成书上P102的填表
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线L
L：Ax+By+C= 0
点A在直线上
直线L1与L2的交点是A
③讨论：两条直线的交点坐标与方程组的解的关系
（2）L1:x=2,L2:3x+2y-12=03.3.1两条直线的位置关系，能够根据
活动2：两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数，和直线的位置关系有什么联系？3.
问题：如何判断两直线的位置关系？3
【合作交流与展示】
例2、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：3.3.1 两条直
线的（1）L1：x－y＝0，L2：3x＋3y－10＝03.3.1 两条直线的交点坐标方程成方程组求交点坐标。 2、进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据
两条直线的交点坐标
【学习目标】
1.通过复习回顾，能说出直线和二元一次方程的对应关系及两条直线的位置关系。
2.通过对点的坐标和直线方程的关系的分析，总结出两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解，通过具体实例计算，得出解方程组求解两条直线交点坐标的方法，体会数形结合思想、转化思想。
3.借助具体实例能用解方程组的方法判断两条直线的位置关系，通过解决问题的过程，发展分析问题和解决问题的能力。
【合作交流与展示】
例1、求下列两直线交点坐标
L1：3x+ 4y–2 =0
L2：2x+y+2 =0
一、教学目标：1、会联立两条直线所表示的方程成方程组求交点坐标。 2、进一步掌握两

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

3.3.1两直线的交点坐标教案
教学目标
知识与技能：1.直线和直线的交点
2．二元一次方程组的解
过程和方法：1. 学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。

2．掌握数形结合的学习法。

3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断。

情态和价值：1. 通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。

2．能够用辩证的观点看问题。

教学重点，难点
重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系。

教学方法：启发引导式
在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。

引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。

由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。

教具：用POWERPOINT课件的辅助式教学
教学过程：
一、情境设置，导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。

课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？
二、讲授新课
1.分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系
已知两直线l1：A1x+B1y +C1=0, l2：A2x+B2y+C2=0，如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。

课堂设问：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？
（1）若二元一次方程组有唯一解，l 1与l 2相交。

（2）若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行。

（3）若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合。

课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？
2.例题讲解，规范表示，解决问题例1求下列两直线交点坐标
l 1：3x +4y -2=0，L 2：2x +y +2=0 解：解方程组 34202220x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 得 x=-2，y=2
所以l 1与l 2的交点坐标为M （-2，2），如图。

例2求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l 1：x －2y+2=0，l 2：2x －y －2=0. 解：解方程组 x －2y+2=0 得x=2，y=2
2x －y －2=0
∴l 1与l 2的交点是（2，2）
设经过原点的直线方程为y=k x
把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为y= x
例3 判断下列各对直线的位置关系。

如果相交，求出交点坐标。

（1）l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0
（2）l 1：3x-y=0，l 2：6x-2y=0
（3）l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。

例4求经过两条直线x+2y －1=0和2x －y －7=0的交点，且垂直于直线x+3y －5=0的直线方程。

解法一：解方程组 x+2y －1=0，得x=3，y=-1
2x －y －7=0
∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+2y －5=0的斜率是－1/3
∴所求直线的斜率是3
所求直线方程为y+1=3（x －3）即 3x －y －10=0
解法二：所求直线在直线系2x －y －7+λ（x+2y －1）=0中
经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y －λ－7=0
31
22=-+-∴λλ 解得 λ= 1/7
因此，所求直线方程为3x －y －10=0
3.巩固：
①两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y 轴上，则m 的值是
（A ）0 （B ）－24 （C ）±6 （D ）以上都不对
②若直线kx －y+1=0和x －ky = 0相交，且交点在第二象限，则k 的取值范围是
（A ）（- 1，0）（B ）（0，1]
（C ）（0，1）（D ）（1，＋∞）
③若两直线（3－a ）x+4y=4+3a 与2x+（5－a ）y=7平行，则a 的值是
（A ）1或7 （B ）7 （C ）1 （D ）以上都错
④直线A 1x+B 1y+C 1=0与直线A 2x+B 2y+C 2=0重合，则必有
642
-2
-4-55
y
x
（A ）A 1=A 2，B 1=B 2，C 1=C 2
（B ）（C ）两条直线的斜率相等截距也相等
（D ）A 1=mA 2，B 1=mB 2，C 1=mC 2，（m ∈R ，且m ≠0）
4.思考题
1）当k 为何值时，直线y=kx+3过直线2x-y+1=0与y=x+5的交点?
2）求经过原点及两条直线L 1:x-2y+2=0, L 2:2x-y-2=0的交点的直线的方程.
3）两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0,的交点在第四象限，则的取值范围是
三、小结：
直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。

四、作业：
1.光线从M （-2，3）射到x 轴上的一点P （1，0）后被x 轴反射，求反射光线所在的直线方程。

2.教科书104页练习 109页习题
3.3 A 组1，2，3
2
12121C C B B A A ==。