奥数-因式分解-2(师)

第十四讲 因式分解2

第一部分：知识要点

以下的几种方法是因式分解中常用的：

1、 换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母代替它，从

而简化运算过程，分解以后要注意将新字母还原。 2、 双十字相乘法：对于某些二元二次六项式2

2

ax bxy cy dx ey f +++++可以看作关于x

的多项式2

2

()()ax by d x cy ey f +++++，先用十字相乘法将“常数项”2

cy ey f

++分解，再次利用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。

3、 待定系数法：若能断定多项式可分解为某几个确定次数因式的乘积，而这几个因式中的

某些系数尚未确定，就可以用一些字母来表示待定的系数。将这几个因式相乘以后，与多项式的系数进行比较，就可以求出待定的系数。 4、 利用因式定理分解

因式定理：如果x=a 时，多项式1

110()...n n n n f x a x a x a x a --=++++的值为0，那么

x-a 是该多项式的一个因式。

【余数定理】n 次多项式()f x 除以x a -，其商式()q x 为x 的1n -次多项式，余数记为r ，并且有恒等式：()()()f x x a q x r =-⋅+

5、 在上式中，当x a =时，得()f a r =，由此可得余数定理。

6、 添项、拆项法：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相

反的项。使得便于用分组分解法进行分解因式。

6. 因式分解这一章在整个初中代数中占有重要的地位及作用，应该注意以下几点：

①因式分解的对象是多项式，如果不是多项式，即使写成乘积的形式也不是因式分解。 ②结果一定是乘积的形式。 ③每个因式必须是整式。 ④分解要彻底。

⑤一般而言，把一个多项式分解因式时，可按下列步骤进行：

多项式各项有公因式时，因先提取公因式； 各项没有公因式时，看能否用公式法分解；

对于二次三项式可考虑用完全平方公式或十字相乘法分解； 如果运用上述方法不能分解时，再看能否用分组分解法分解。

若以上方法均感到困难，可考虑配方法，换元法，待定系数法等。

第二部分：典型例题 换元法例题

例1．分解因式2

(1)(2)(3)(6)x x x x x +++++

分析如果将前面四项展开，此式为一个关于z 的四次

多项式，不容易分解因式．但把前面的四个因式两两分组，使 得分组相乘后所得的二次三项式的首项系数、一次项系数和 常数项中有两个相同，这样就可以利用换元法了．

例2．分解因式2

2

(1)(2)12x x x x ++++-

例3．分解因式2

2

(3)(5)3x x x x ----- =（x ＋1）（x －2）（x ＋2）（x －3）

例4．分解因式4

4

2

22

()()()a b a b a b -+++-

双十字相乘法

例5．分解因式2

2

344883x xy y x y +-+--

例6．分解因式2

2

243x y x y ---- =（x －y －3）（x ＋y ＋1）

例7．分解因式2

2

276212x xy y x y -++-- =（2x －3y －4）（x －2y ＋3）

例8．分解因式2

2

121021152x xy y x y -++-+ =（3x －y ＋2）（4x －2y ＋1）

待定系数法例题

例9．分解因式2

2

62288x xy y x y +-+--

例10．分解因式2

2

252x xy y x y ---+- =（x ＋y －2）（x －2y ＋1）

例11．待定系数法分解因式2

2

276212x xy y x y -++-- =（2x －3y －4）（x －2y ＋3）

例12．多项式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能够分解成两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1，且一次项系数相同），则p 的最大值是多少？

例13．多项式2

2

12102115x xy y x y m -++-+可以分解成两个一次因式的乘积，求m 的值。 解：m=2

因式定理分解方法例题

例14．分解因式4322928x x x x +--+

例15．分解因式3231315x x x --+ =（x+3）（x-1）（x-5）

例16．分解因式4324883x x x x +---

例17．分解因式32

464x x x -+-

2(2)(22)x x x --+

例18．分解因式43276x x x x --++

(1)(1)(3)(2)x x x x -+-+

添项、拆项分解法： 例19．分解因式3234x x +- （1）把－4拆成－1－3 （2）添四次项4x ，再减去 （3）添一次项4x ，再减去4x （4）拆22234x x x =- （5）拆三次项33343x x x =- 结果2

(1)(2)x x -+

例20．分解因式51x x ++

例21．分解因式4

2

2

4

x x y y ++

分解因式3333a b c abc ++-

例22．分解因式32

92624x x x +++