矩阵位移法等效结点荷载

总码
总码
ql 2 − 1 12 ql 2 {FE } = 2 FP 3 − 2 ql 2 FP l 4 − 8 12
3. 综合（自由）结点荷载列阵 综合（自由）
{F} = {FD } + {FE }
综合结点 荷载列阵 直接结点 荷载列阵 等效结点 荷载列阵
M q 结 点 位 移 等 效
F
E 1
F
E 2
1. 等效结点荷载的概念
M (A) q
=
内 q
FF 1
M (B)
F
F 2
力 相 等
+
F = −F
(C)
E 1
F 1
F = −F
E 2
F 2
结Leabharlann Baidu位 移等效
2. 等效结点荷载的计算
2(4,5,6)
FP ② 3(7,8,9)
FP l ql 2 − 8 12
1. 等效结点荷载的概念
荷载等效的原则是不改变结构的结点位移情况， 荷载等效的原则是不改变结构的结点位移情况， 原则是不改变结构的结点位移情况 即结构在等效结点荷载作用下的结点位移 结点位移与实际荷载 即结构在等效结点荷载作用下的结点位移与实际荷载 作用下的结点位移相等 相等。 作用下的结点位移相等。
4 5 6 1 2 3
4 5 6 7 8 9
{FE }
(1)
{FE }
( 2)
ql 2 0 2 ql − 12 ql 2 FP {FE } = − 2 2 F l ql − P 12 8 0 F − P 2 FP l 8
2
F (1)
0
ql − 2
{F }
F ( 2)
= [0 0 0 0 0 0]
T
{F }
F ( 3)
= 0
FP 2
FP l 8
0
FP 2
F l − P 8
T
2. 整体坐标系下单元等效结点荷载
α 1 = α 2 = −90 , α 3 = 0
o
o
总码
ql 0 2 ql − 0 2 ql 2 ql 2 − 12 12 = ql 0 0 2 0 ql 1 − 0 2 ql 2 ql 2 12 − 12
(2)
局部坐标系下单元等效结点荷载： 局部坐标系下单元等效结点荷载：
{F }
E
e
=−F
{ }
F e
整体坐标系下单元等效结点荷载： 整体坐标系下单元等效结点荷载：
{FE }
e
= [T ] F E
T
{ } = −[T ] {F
e T
F e
}
总码
ql 0 2 ql − 0 2 ql 2 ql 2 − 12 12 = ql 0 0 2 0 ql 1 − 0 2 ql 2 ql 2 12 − 12
1 2 3 4 5 6
4 5 6 7 8 9
总码
ql 2 0 ql 2 12 = ql 2 0 ql 2 − 12
总码 总码 4 5 6 1 2 3
1 2 3 0 0 0
FP l FP l 2 − FP l 2 8
q
①
1(1,2,3)
＝
−
ql 2 12
ql 2
没有结 点位移
0
+
0
ql 2 ql − 2 −
F l FP l − P F l − ql − P 2 2 FP l 12 8 8 ql 0 只有结 2 ql 点位移 2 ql 2
2
ql − 2
−
12
0
ql 2 − 12
(1)
FP 2(4,5,6) ② 3(7,8,9) q ①
1(1,2,3)
{F }
F e
F F F = F F F
F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6

e
{F }
F (1)
{F }
F
(2)
0 F P 2 FP l 8 = 0 FP 2 F l − P 8
在矩阵位移法分析过程中， 在矩阵位移法分析过程中，可用综合结点荷载来 代替原来荷载进行计算。 代替原来荷载进行计算。
F3y F3x 3(2,3) ⑥
F4y
4(4,5)
F4x ⑤ ② F1y ③ ④ F2y F1x ① F2x 1(0,0) 2(1,0) FR1x FR2y FR1y
F1 F2 x F F 2 3x {F } = F3 = F3 y F F 4 4x F5 F4 y
F 2
+
=
F = −F
(C)
E 1
F 1
F = −F
E 2
有非结点荷载作用的单元杆 端力，可以由两部分叠加而得， 端力，可以由两部分叠加而得， 一部分是单元固端力， 一部分是单元固端力，另一部分 是杆端位移产生的杆端力。 是杆端位移产生的杆端力。
练习：用先处理法、 练习：用先处理法、后处理法分别计算结构的 综合结点荷载列阵。 综合结点荷载列阵。
1(0,0,1)
2(2,3,4)
{FE }(1)
ql 2 0 2 2 F 0 3 − P 3 2 2 ql FP l 4 4 − = 12 {F }( 2) = 8 ql 0 E 0 0 2 FP 0 0 − 2 0 2 F l − ql 1 P 0 12 8
第九章 矩阵位移法
9.4 等效结点荷载
非结点荷载的处理
有限元分析的重要一步是把一个连续的结构看成是 由离散单元在结点处连接拼装而成。 由离散单元在结点处连接拼装而成。而把作用在结构上 的荷载统统考虑作用在结点上。 的荷载统统考虑作用在结点上。然而无论是恒载还是活 常常是分布作用在单元上。 载，常常是分布作用在单元上。 对这种非结点荷载的处理： 对这种非结点荷载的处理： 方法一：把分布荷载改用若干集中荷载代替， 方法一：把分布荷载改用若干集中荷载代替，并把集 中荷载的作用点选作结点； 中荷载的作用点选作结点； 方法二：等效结点荷载法。 方法二：等效结点荷载法。
4 5 6 1 2 3
{FE }(1)
= −[T ] F
T
{ }
F (1)
0 − 1 0 = −
1 0 0
0 0 1 0 −1 0
[0]
1 0 0
[0]
总码
0 0 F F P − P 2 2 FP l FP l 8 − 8 = − = 0 0 FP FP 2 − 2 F l F l − P P 8 8
4 5
7 8
7 10 0 11 0 12 0 13
{FE }(3)
= −[T ] F
T
{ }
F ( 3)
0 0 F F P − P 2 2 FP l FP l 8 − 8 = − = 0 0 FP FP 2 − 2 F l F l − P P 8 8
0
FP l FP l 2
FP l F l − P 2
ql 2 12
8
8
0
0
0
局部坐标系下单元固端力列阵
0 ql − 2 ql 2 − 12 = 0 ql − 2 ql 2 12
4 5 6 7 8 9
{FE }( 2)
= −[T ] F
T
{ }
F ( 2)
总码 总码
ql 2 0 2 ql 12 = ql 2 0 2 − ql 12
总码
0 F − P 2 FP l − 8 = 0 FP − 2 F l P 8
{FE }
(1)
{FE }
1 2 3 0 0 0
4 5 6 1 2 3
{FE }
(1)
= −[T ] F
T
{ }
F (1)
0 − 1 0 = −
1 0 0
0 0 1 0 −1 0
[0]
1 0 0
[0]
总码 总码
{FE }
( 2)
0 0 0 = 0 0 0
M＝FPl FP＝ql q
C
FP
D
2(1,2,3)
3(4,5,6)
2(4,5,6)
3(7,8,9)
③ ① ②
4(4,5,7)
③ ①
1(1,2,3)
4(7,8,10)
②
5(11,12,13)
A
B 1(0,0,0) 5(0,0,0)
ql 12
2 T
{F }
解：1. 局部坐标系下单元固端力
= 0 ql − 2 ql − 12
在后处理法中， 在后处理法中，结构的结点荷载列阵等于综合结点荷载列阵 与结构约束反力列阵之和。 与结构约束反力列阵之和。
※结构在实际荷载作用下的单元杆端力
M (A) q
{F }
F
F 2
e
= F
{ } + [k ] {δ }
F e e
e
F
(B)
F 1
M
q
对计算杆端位移而言， 对计算杆端位移而言，等效 结点荷载与原非结点荷载作用效 果等效，由此可以断定， 果等效，由此可以断定，在综合 结点荷载作用下求得的即是杆端 的实际位移。 的实际位移。
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2(4,5,6)
FP ② 3(7,8,9)
2(2,3,4)
FP ② 3(0,0,0)
q
①
1(1,2,3)
q
①
1(0,0,1)
{F }
E
e
=−F
e
{ }
F e
{FE }
e
= [T ] F E
T
{ }
= −[T ] F
T
{ }
F e
总码 FP ② 3(0,0,0) q ①
在先处理法中，结构的结点荷载列阵等于综合结点荷载列阵。 在先处理法中，结构的结点荷载列阵等于综合结点荷载列阵。
F3y F3x 3(5,6) ⑥
F4y
4(7,8)
F4x ⑤ F1y② ③ ④ F2y F1x ① F2x 1(1,2) 2(3,4) FR1x FR2y FR1y
{F }0
F1x FR1x + F1x F1 F F F F + F 1y 2 R1x 1 y R1 y F3 FR1 y F2 x F2 x 0 F2 y FR 2 y + F2 y F4 = = + ＝ FR 2 y F3 x F3 x F5 F6 0 F3 y F3 y F7 0 F4 x F4 x F F4 y F4 y 8