2_2_连续时间基本信号(奇异信号)解析
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信号第一章2讲_2
23
连续函数f(t)与单位冲激函数的乘积等于冲 连续函数 与单位冲激函数的乘积等于冲 的乘积等于 激点的函数值与 相乘 激点的函数值与δ(t)相乘
f ( t )δ ( t ) = f ( 0)δ ( t )
(15 21)
若冲激点在t 若冲激点在 0处，且f(t)在t0处连续，则 在 处连续，
f (t )δ (t t0 ) = f (t0 )δ (t t0 )
20
若冲激点在t=t 则定义式为： 若冲激点在 0处，则定义式为：
∫ ∞ δ ( t t 0 ) dt = 1 δ ( t t 0 ) = 0 ( t ≠ t0 )
单位冲激函数的特性： 单位冲激函数的特性： 的特性
+∞
δ(t-t0) (1)
0
t0
t
单位冲激函数的积分是单位阶跃函数 单位冲激函数的积分是单位阶跃函数 的积分是
17
冲激函数定义： 冲激函数定义： 矩形脉冲演变为冲激函数 单位冲激函数可视为幅度 脉宽τ 单位冲激函数可视为幅度 τ 与脉宽τ的乘积 矩形面积） 个单位的矩形脉冲 （矩形面积）为1个单位的矩形脉冲。 个单位的矩形脉冲。 当τ趋于0时，脉冲的幅度趋于无穷大。 趋于 时 脉冲的幅度趋于无穷大。
1
1
G(t)
返回
9
二、奇异信号 定义：奇异信号是一类特殊的连续时间信 定义：奇异信号是一类特殊的连续时间信 其函数本身有不连续点 跳变点）， 有不连续点（ 号，其函数本身有不连续点（跳变点）， 其函数的导数与积分有不连续点 导数与积分有不连续点。 或其函数的导数与积分有不连续点。 它们是从实际信号中抽象出来的理想化 了的信号， 了的信号，在信号与系统分析中占有很重 要的地位。 要的地位。 常见的奇异信号：单位斜坡信号， 常见的奇异信号：单位斜坡信号，单位阶 跃信号， 单位冲激信号等 跃信号，和单位冲激信号等。
连续时间信号的分析讲义
②频率分析可以方便求解系统响应。 例如相量法。
③频域分析的结果具有明显的物理意义，例如抽样定理和无
失真传输概念都是频域分析的结果。
④可直接在频域内设计可实现的系统，例如滤波器的设计。
狄里赫利条件
1、在一个周期内只有有限个间断点；
2、在一个周期内有有限个极值点；
3、在一个周期内函数绝对可积，即 t0T x(t)dt t0
Im( x(t ))
Im( x(t ))
Im( x(t ))
O
tO
tO
t
0 增幅振荡 0 衰减振荡 0 等幅振荡
复指数信号是连续信号与系统的复频域分析中使用的基本信号。
其中复频率s中的实部绝对值的大小反映了信号增长或衰减的速
率，虚部的大小反映了信号振荡的频率。
（2）用复指数信号表示正余弦信号
t0
t
2） 脉冲函数极限定义法
对γn(t)求导矩形脉冲pn(t)
def
(t) ln im pn(t)
γn
11
2
1 o 1
n
n
n pn(t)
2
矩形脉冲逼近：
a
π(a 2 t 2 ) 脉冲逼近：
1 o 1 t
n
n
t δ (t) (1)
o
t
（3）冲激函数的性质
1） 与普通函数 x(t) 的乘积——筛分性质
• 正交函数集：若函数集{gi(t)} 在区间(t1,t2)内 且函数g1(t) ，... gn(t) 满足
t2
t1t2 t1
gi(t)gj(t)dt gi2(t)dtki
0 ij,i、j1,2,L,n i1,2,L,n
则这个函数集就是正交函数集，当ki=1时为 归一化正交函数集。
③频域分析的结果具有明显的物理意义，例如抽样定理和无
失真传输概念都是频域分析的结果。
④可直接在频域内设计可实现的系统，例如滤波器的设计。
狄里赫利条件
1、在一个周期内只有有限个间断点；
2、在一个周期内有有限个极值点；
3、在一个周期内函数绝对可积，即 t0T x(t)dt t0
Im( x(t ))
Im( x(t ))
Im( x(t ))
O
tO
tO
t
0 增幅振荡 0 衰减振荡 0 等幅振荡
复指数信号是连续信号与系统的复频域分析中使用的基本信号。
其中复频率s中的实部绝对值的大小反映了信号增长或衰减的速
率，虚部的大小反映了信号振荡的频率。
（2）用复指数信号表示正余弦信号
t0
t
2） 脉冲函数极限定义法
对γn(t)求导矩形脉冲pn(t)
def
(t) ln im pn(t)
γn
11
2
1 o 1
n
n
n pn(t)
2
矩形脉冲逼近：
a
π(a 2 t 2 ) 脉冲逼近：
1 o 1 t
n
n
t δ (t) (1)
o
t
（3）冲激函数的性质
1） 与普通函数 x(t) 的乘积——筛分性质
• 正交函数集：若函数集{gi(t)} 在区间(t1,t2)内 且函数g1(t) ，... gn(t) 满足
t2
t1t2 t1
gi(t)gj(t)dt gi2(t)dtki
0 ij,i、j1,2,L,n i1,2,L,n
则这个函数集就是正交函数集，当ki=1时为 归一化正交函数集。
第二章 连续时间信号分析
P 1 | F (n 0 ) | F (0) 2 | F (n 0 ) |2 0.1806
2 2 n =1 4 4
n = —4
P 0.1806 1 90% P 0.200
Fn
1 25
8
2
40
40
n 0
周期信号的功率谱
吉伯斯现象
用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲（肩峰），过冲峰值不随谐波分量增加而 减少，且约为跳变值的9% 。
2
T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) dt
2
若 x（t）存在相应的 X（nω0），则平均功率可写成
1 p T0
T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) x ( t ) dt
1 p T0
1 T0
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) x ( t ) dt
谱线只在基波频率的整倍数处出现，具有非周期性 的离散频谱，即线谱。信号周期T越大，ω 0就越小，则 谱线越密。反之，T越小，ω 0越大，谱线则越疏。
2、幅度衰减特性
当周期信号的幅度频谱 随着谐波n0增大 时， 幅度频谱|Fn|不断衰减，并最终趋于零。 若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就 越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变 化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱 衰减越慢。
物理意义：信号的能量主要集中在有效带宽内, 因此 若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号 产生明显影响。
2．3．3 离散频谱与功率分配
周期信号是功率信号。如果信号 x(t) 表示为加在1欧姆电 阻两端的电压或通过的电流，则其瞬时功率为 x2(t)，平均 功率为：
2 2 n =1 4 4
n = —4
P 0.1806 1 90% P 0.200
Fn
1 25
8
2
40
40
n 0
周期信号的功率谱
吉伯斯现象
用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲（肩峰），过冲峰值不随谐波分量增加而 减少，且约为跳变值的9% 。
2
T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) dt
2
若 x（t）存在相应的 X（nω0），则平均功率可写成
1 p T0
T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) x ( t ) dt
1 p T0
1 T0
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
x ( t ) x ( t ) dt
谱线只在基波频率的整倍数处出现，具有非周期性 的离散频谱，即线谱。信号周期T越大，ω 0就越小，则 谱线越密。反之，T越小，ω 0越大，谱线则越疏。
2、幅度衰减特性
当周期信号的幅度频谱 随着谐波n0增大 时， 幅度频谱|Fn|不断衰减，并最终趋于零。 若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就 越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变 化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱 衰减越慢。
物理意义：信号的能量主要集中在有效带宽内, 因此 若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号 产生明显影响。
2．3．3 离散频谱与功率分配
周期信号是功率信号。如果信号 x(t) 表示为加在1欧姆电 阻两端的电压或通过的电流，则其瞬时功率为 x2(t)，平均 功率为：
2信号时域分析一
信号的时域分析
连续时间信号的时域描述 连续时间信号的基本运算 离散时间信号的时域描述 离散时间信号的基本运算 确定信号的时域分解
连续时间信号的时域描述 典型普通信号
直流信号 正弦信号 指数类信号 抽样信号
奇异信号
单位阶跃信号 冲激信号 斜坡信号 冲激偶信号
一、典型普通信号
1. 指数信号
f (t ) = Aeαt
冲激信号的物理意义 ③ 冲激信号的物理意义：
表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型。 表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型。
二、奇异信号
2. 冲激信号 冲激信号
(4) 冲激信号的极限模型 (4) 冲激信号的极限模型
f ∆ (t ) 1 2∆
g ∆ (t ) 1 ∆
t
−∆
∆
−∆
−t −t
+6
−4 +2
(5)e
−4t
⋅ δ (2 + 2t ) = e
−4t
1 1 − 4 ×(-1) 1 4 ⋅ δ (t + 1) = e δ (t + 1) = e δ (t + 1) 2 2 2
1. 在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定 冲激信号的取样特性中 都是（ 但只要积分区间不包括冲 都是（−∞，+∞），但只要积分区间不包括冲 ∞），但只要积分区间不包括 激信号δ(t−t0)的t=t0时刻，则积分结果必为零。 − 的 时刻，则积分结果必为零。 2.对于δ(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信 . 形式的冲激信号 形式的冲激信号，要先利用冲激信 展缩特性将其化为 /|a|形式后， 号的展缩特性将其化为δ(t+b/a) /| |形式后， 方可利用冲激信号 取样特性与筛选特性。 冲激信号的 方可利用冲激信号的取样特性与筛选特性。
连续时间信号的时域描述 连续时间信号的基本运算 离散时间信号的时域描述 离散时间信号的基本运算 确定信号的时域分解
连续时间信号的时域描述 典型普通信号
直流信号 正弦信号 指数类信号 抽样信号
奇异信号
单位阶跃信号 冲激信号 斜坡信号 冲激偶信号
一、典型普通信号
1. 指数信号
f (t ) = Aeαt
冲激信号的物理意义 ③ 冲激信号的物理意义：
表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型。 表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型。
二、奇异信号
2. 冲激信号 冲激信号
(4) 冲激信号的极限模型 (4) 冲激信号的极限模型
f ∆ (t ) 1 2∆
g ∆ (t ) 1 ∆
t
−∆
∆
−∆
−t −t
+6
−4 +2
(5)e
−4t
⋅ δ (2 + 2t ) = e
−4t
1 1 − 4 ×(-1) 1 4 ⋅ δ (t + 1) = e δ (t + 1) = e δ (t + 1) 2 2 2
1. 在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定 冲激信号的取样特性中 都是（ 但只要积分区间不包括冲 都是（−∞，+∞），但只要积分区间不包括冲 ∞），但只要积分区间不包括 激信号δ(t−t0)的t=t0时刻，则积分结果必为零。 − 的 时刻，则积分结果必为零。 2.对于δ(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信 . 形式的冲激信号 形式的冲激信号，要先利用冲激信 展缩特性将其化为 /|a|形式后， 号的展缩特性将其化为δ(t+b/a) /| |形式后， 方可利用冲激信号 取样特性与筛选特性。 冲激信号的 方可利用冲激信号的取样特性与筛选特性。
第2章连续系统的时域分析
0 ( 1) ( 1) g (t ) g ( t ) t 2 2 t
2013年8月13日8时12分
2.2 卷积积分
2.2.2 卷积的图解机理
y( t ) f ( t ) h( t )
f ( )h(t )d
①变量替换t→τ
f (t ) f ( )
h(t ) h( )
11
2013年8月13日8时12分
2.2 卷积积分
2.2 卷积积分
2.2.3 卷积的性质
性质1：卷积代数 交换律：
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 ( t ) f1 ( t )
结合律：
f1 ( t ) f 2 ( t ) f3 ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t ) f3 ( t )
f ( )h(t )d
④相乘
f h t
⑤扫描积分
f h t d
13
2013年8月13日8时12分
2.2 卷积积分
2.2.2 卷积的图解机理 替换 翻转 平移 相乘 积分
14
2013年8月13日8时12分
(t mT )
f ( t mT )
f ( t ) T ( t )
m
f ( t
f (t ) A
…
… …
…
-3T -2T -T o T 2T 3T
- 0 1
1
t
- 2T T
o
T
2T
t
2013年8月13日8时12分
2.2 卷积积分
2.2.2 卷积的图解机理
y( t ) f ( t ) h( t )
f ( )h(t )d
①变量替换t→τ
f (t ) f ( )
h(t ) h( )
11
2013年8月13日8时12分
2.2 卷积积分
2.2 卷积积分
2.2.3 卷积的性质
性质1：卷积代数 交换律：
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 ( t ) f1 ( t )
结合律：
f1 ( t ) f 2 ( t ) f3 ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t ) f3 ( t )
f ( )h(t )d
④相乘
f h t
⑤扫描积分
f h t d
13
2013年8月13日8时12分
2.2 卷积积分
2.2.2 卷积的图解机理 替换 翻转 平移 相乘 积分
14
2013年8月13日8时12分
(t mT )
f ( t mT )
f ( t ) T ( t )
m
f ( t
f (t ) A
…
… …
…
-3T -2T -T o T 2T 3T
- 0 1
1
t
- 2T T
o
T
2T
t
2_2_连续时间基本信号(奇异信号)
(5) 2 (t2 3t) ( t 1)dt
2
3
(3) 6 e2t (t 8)dt 4
(6) e4t (2 2t)
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺
[例] 计算下列各式
(1) sin(t) (t π)dt sin( π) 2 / 2
4
4
(2) e 3 5t (t 1)dt e5 1 1 / e5 2
(3) 6 e2t (t 8)dt 0 4
(4) et (2 2t)dt et 1 (t 1) dt 1
2
2e
(5) 2 (t2 3t) ( t 1)dt 2 (t2 3t) 3 (t 3) dt 0
2
3
2
(6) e4t (2 2t) e4t 1 (t 1) 1 e4 (-1) (t 1) 1 e4 (t 1)
(1902～1984)
英国理论物理学家，量子力学的创始人之一。 1935年应清华大学邀请，在清华大学作了关于 正电子的演讲，曾被选为中国物理学会名誉会员。
1928年他把相对论引进了量子力学，建立了相 对论形式的薛定谔方程，也就是著名的狄拉克方 程。狄拉克由此做出了存在正电子的预言， 1933年获诺贝尔奖。主要著作有《量子力学原 理》。此外，他和费米各自独立发现了费米-狄 拉克统计法，发表过大量有关宇宙学方面的论文， 提出可能存在磁单极的预言。
x(t)
1
t
0
T
2T
x(t) = u(tT)u(t2T)
x(t)
1
t
0
T
2T
-1
1. 单位阶跃信号
作用：(2) 利用阶跃信号的单边性表示信号的时间范围
sin0t u(t) t
信号的时域分析
虚指数信号
复指数信号
斜坡信号
冲激偶信号
抽样信号
2 信号的时域分析 p 2/95
一、典型普通信号
1. 正弦信号
f (t ) A sin( 0t )
sin( 0 t ) A
A: 振幅 0:角频率弧度/秒 :初始相位
t
0
-A
2 信号的时域分析 p 3/95
一、典型普通信号
-t -t
(3) e -2t (t 8)dt 0
-4
2 6
2 信号的时域分析 p 20/95
1. 在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定 都是（-，+），但只要积分区间不包括冲 激信号(t-t0)的t=t0时刻，则积分结果必为零。 2.对于(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信 号的展缩特性将其化为形式:
sin 0 (t - t0 ) u(t )
t
0 t0
0
sin 0t u(t - t0 )
t
sin 0 (t - t0 ) u(t - t0 )
t
0 t0
2 信号的时域分析 p 10/95
t
0
t0
二、奇异信号
2. 冲激信号
1）冲激信号的引出
= Cdu(t)/dt 可用冲激信号表示。
的定积分值。在图中用括号注明，以区分信号的幅值。 ③ 冲激信号的物理意义： 表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型。
④ 冲激信号的作用：A. 表示其他任意信号
B. 表示信号间断点的导数
2 信号的时域分析 p 14/95
二、奇异信号
2. 冲激信号
4）冲激信号的极限模型
f (t ) 1 2
第2讲 信号的运算及奇异信号
1 t
求法：宗量相同，函数值相同→求新坐标
宗量相同，函数值相同 t
-1 0 f(t) 0 1 t+1 -1 0 f(t+1） 0 1
求新坐标
t -2 -1 f(t+1) 0 1
f (t ) f ( t 1)
1
左加右减！
1 O
1
t
3
2．倒置(反演/翻转)
f (t ) f ( t )
例：
f (t )
( t )d t 1
( t ) 0( t 0 )
2 .奇 偶
3 .抽 样
'( t ) d t 0
( t ) (t )
f ( t ) ( t ) f ( 0 ) ( t )
'( t ) '( t )
f ( t ) ( t ) f ( 0 ) '( t ) f '( 0 ) ( t )
f (5 t ) f ( t ) ：左移 5；
f(-t)
(4) t 0 f(t) 1 2 3 6
f ( t ) f [5 (t 5)] 4 (t 1)
f ( t ) f ( t ) ：倒置；
(4)
f ( t ) 4 ( t 1)
0 1 2 3 6
n个函数 g 1 ( t ), g 2 ( t ), g n ( t )
如在区间
构成一函数集，
( t 1 , t 2 ) 内满足正交特性，即
(i j)
t2 g ( t ) g ( t )d t 0 j t1 i t 2 2 t1 g i ( t ) d t K i
求法：宗量相同，函数值相同→求新坐标
宗量相同，函数值相同 t
-1 0 f(t) 0 1 t+1 -1 0 f(t+1） 0 1
求新坐标
t -2 -1 f(t+1) 0 1
f (t ) f ( t 1)
1
左加右减！
1 O
1
t
3
2．倒置(反演/翻转)
f (t ) f ( t )
例：
f (t )
( t )d t 1
( t ) 0( t 0 )
2 .奇 偶
3 .抽 样
'( t ) d t 0
( t ) (t )
f ( t ) ( t ) f ( 0 ) ( t )
'( t ) '( t )
f ( t ) ( t ) f ( 0 ) '( t ) f '( 0 ) ( t )
f (5 t ) f ( t ) ：左移 5；
f(-t)
(4) t 0 f(t) 1 2 3 6
f ( t ) f [5 (t 5)] 4 (t 1)
f ( t ) f ( t ) ：倒置；
(4)
f ( t ) 4 ( t 1)
0 1 2 3 6
n个函数 g 1 ( t ), g 2 ( t ), g n ( t )
如在区间
构成一函数集，
( t 1 , t 2 ) 内满足正交特性，即
(i j)
t2 g ( t ) g ( t )d t 0 j t1 i t 2 2 t1 g i ( t ) d t K i
信号与系统(教案) 第二章
二、图解机理
用图形方式理解卷积运算过程，包括以下6个步骤： Step1：换元。画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴 改换成τ轴，分别得到f1(τ)和f2(τ)。 Step2：翻转。将f2(τ)波形以纵轴为中心轴翻 180°，得 到f2(-τ)波形。 4
信号与系统
2.2
卷积积分
Step3:平移。给定t值,将f2(-τ)波形沿τ轴平移|t|。
卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质 （或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
性质1.卷积代数 满足乘法的三律： 1. 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律： f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律： [f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)]
1.奇异信号
单位冲激信号 (t), 单位阶跃信号 (t).
2.正弦信号
也称为虚指数信号。 f (t ) A cos( t ) A [e j (t ) e j (t ) ] 2
式 中A、和分 别 为 正 弦 信 号 的 振 幅 角 频 率 和 初 相 。 、 f ( t )是 周 期 信 号 ， 其 周 期 2 T＝
1 0
f 1(t)
2
t
14
信号与系统 例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1)
2.2 卷积积分 2.2 卷积积分
连续信号的分析
将单位冲激信号δ(t)平移to，得到延时冲激信号δ(t-to)，它 是出现在t=to时刻的冲激信号，即 δ（t-t0）=0 t≠t0
(1)两个同频率的正弦信号相加，即使它们的振幅和初相位 不同，但相加的结果仍是原频率的正弦信号。
(2)如果一个正弦信号的频率f1是另一个正弦信号频率f0 的整数倍，即f1=nf0（n为整数)，则其合成信号是频率为f0 的非正弦周期信号。把f0称为该信号的基波频率，f1称为n 次谐波频率。据此，可以把一个周期信号分解为基波信号 和一系列谐波信号。 (3)正弦信号的微分和积分仍然是同频率的正弦信号。
f（t）（ ' t）dt f（ ' 0）
例1-1应用冲激函数的重要性质求下例表达式的值。（补充）
1) f (t t0 ) (t )dt
2) f (t0 t ) (t )dt
3) (t 4)u(t 2)dt
4) (t 4)u(t 5)dt
st
t
j t
可以分解为实部和虚部两个部分
Re [ x（t） ] Ae cos t I m [ x（t） ] Ae sin t
t
t
（1-5） （1-6）
分别为余弦和正弦信号，Ae σ t反映了它们振荡幅度的 变化情况，即它们的包络线。
图1-3表示了σ <0时的Re[x(t)]和Im[x(t)]， 其中虚线为包络线Ae σ t
*冲激信号具有一系列重要性质： (1)取样(筛选)特性:若f(t)在t=0处连续，则有
f（t）（t）dt f（0）
一个任意信号f(t)经与δ（t）相乘后再取积分，就是该信号 在t=0处的取值，表明δ（t)具有取样(筛选)特性。
§1.2常用连续时间基本信号及特点
X
第 9 页
三.连续时间奇异信号
函数本身有不连续点(跳变点) 函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 函数。 主要内容： 主要内容： •单位斜变信号 单位斜变信号 •单位阶跃信号 单位阶跃信号 •单位冲激信号 单位冲激信号 •冲激偶信号 冲激偶信号
X
第 10 页
(一)．单位斜变信号
1． 定义
0 R(t ) = t t<0 t≥0
O
R(t )
1 1 t
2．有延迟的单位斜变信号
0 R(t − t0 ) = t − t 0 t < t0 t ≥ t0
R(t − t 0 )
1
O
由宗量t 由宗量 -t0=0 可知起始点为 t 0 3．三角形脉冲
R(t ) 1
O
24 页
u(t ) 1 t 1
O
δ (t )
∞
(1)
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 δ(t)
(-∞<t< ∞) ∞
X
第 25 页
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
（6）卷积性质 f (t ) ∗ δ (t ) = f (t )
§1.2 常用连续时间基本信号及 特点
•常用基本信号 常用基本信号 •连续时间周期信号 连续时间周期信号 •连续时间奇异信号 连续时间奇异信号
中国计量学院信息工程分院
第 2 页
一．几种常用确定性信号
1.指数信号 1.指数信号 信号的表示 函数表达式 f (t ) 2.正弦信号 2.正弦信号 波形 3.复指数信号 表达具有普遍意义) 复指数信号( 3.复指数信号(表达具有普遍意义) 抽样信号(Sampling Signal) 4. 抽样信号
2_1_连续时间基本信号(普通信号)
1 jwt (e e jwt ) 2j
Euler公式建立了正、余弦信号与虚指数信号的关系。
莱昂哈德 欧拉（ （Leonhard, Euler ）
瑞士数学家、物理学家，近代数学前驱之一。 欧拉是数学史上多产的数学家，平均每年写出八 百多页的论文，还撰写大量的力学、分析学、几 何学、变分法等课本，其中《无穷小分析引论》、 《微分学概论》、《积分学原理》等都成为数学 界中的经典著作。 在众多数学的分支中，经常见到以欧拉命名的重 要公式和定理，例如数论中的欧拉函数、欧拉公 式、流体力学中的欧拉方程等。最著名的是欧拉 首次使用“函数”概念来描述包含各种参数的表 达式，记为 f (x)。
3. 指数类信号
指数类信号 — 复指数信号
x (t ) = Ae st s = s + jw 0
当 0且 w0 0 时，不等幅震荡正弦信号 当 s = 0且w0 0时，等幅震荡正弦信号
w 0 = 0 时，实指数信号 当 0且
当s = 0且w 0 = 0时，直流信号
4. 抽样信号
.
(1707～1783)
3. 指数类信号
复指数信号
x(t ) Aest s jw0
t Aet cosw0 t jAet sin w0 t x(t ) Aet e jw0
et sin w0 t
0
et sin w弹簧阻尼振动过程
最著名的是欧拉首次使用函数概念来描述包含各种参数的表达式记为faest指数类信号模拟弹簧阻尼振动过程aest指数类信号satsatdt抽样信号面积为连续时间基本信号本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累来源于多种媒体及同事同行朋友的交流难以一一注明出处特此说明并表示感谢
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(1902～1984)
2. 单位冲激信号
极限模型
f (t )
gΔ(t)
1
面积为1
0
1
t
/ 2
0
/2
t
d (t ) = lim fD (t ) = limgD (t )
D® 0 D® 0
2. 单位冲激信号
性质1：筛选特性
x ( t ) ( t t 0 ) x ( t 0 ) ( t t 0 )
d u (t ) (t ) dt
0
(t )
(1)
t
1 t 0 u(t ) ( ) d 0 t 0
t
u (t )
1
0
t
冲激信号的作用：
A. 表示其他任意信号 B. 表示信号间断点的导数
3. 单位斜坡信号
t r (t ) 0 t 0 r (t ) t u (t ) t 0
1. 单位阶跃信号
u (t )
1 u (t ) 0
1 u ( t t0 ) 0
t0 t0
t t0 t t0
1
0
u (t t0 )
1
0
注意： t 在跳变点0处，函数值未定义。
t0
t
开关
实际问题： 开关电路
+
电压源 -
tt= =t 0 0
灯
+ i -
1. 单位阶跃信号
t
0 t0
t
sin 0 (t t0 ) u(t t0 )
0 t0
t
0 t0
t
2. 单位冲激信号
实际问题：力学中瞬间作用的冲击力、自然界中的闪电等
冲激信号可以 很好地描述这 些实际现象！
子弹击穿苹果
闪电
特点：作用时间极短，而幅值极大。
2. 单位冲激信号
狄拉克(Dirac)定义
tt) t 0 ) ((
(1)
0
t) 00, tt0 (t (t ) t0 0=
(1) t0
t
t
(t t t= t(t))dd 1 (t t
0 t0 Biblioteka t0 0
)dt 1
冲激信号具有强度，其强度就是冲激信号对时间的 定积分值。在图中用括号注明，以区分信号的幅值。
作用： (1) 表示任意的矩形脉冲信号
x(t )
1 0 T 2T
1
x(t )
t
0 -1
T
2T
t
x(t) = u(tT)u(t2T)
1. 单位阶跃信号
作用：(2) 利用阶跃信号的单边性表示信号的时间范围
sin 0t u(t )
sin 0 (t t0 ) u(t )
0
sin 0t u(t t0 )
2
t 1)dt 3
(2)2 e 5t (t 1)dt
(3)4 e 2t (t 8)dt
'( at )
1 '( t ) aa
(a 0)
' ( t ) dt 0
' ( t ) ' ( t )
四种奇异信号之间的关系
r (t )
1
0
u (t )
1
(t )
(1)
'(t )
(1)
t
0
1
t
0
t
0
t
微分关系
积分关系
r(t ) u(t ) (t ) '(t )
(1)
0
t
4. 单位冲激偶信号
冲激偶信号的性质：
x (t ) ' (t t 0 ) x (t 0 ) ' (t t 0 ) x ' (t 0 ) (t t 0 )
(筛选特性)
x(t ) ' (t t )dt x' (t )
0 0
(抽样特性)
(展缩特性)
'(t ) (t ) u(t ) r(t )
t
d() dt
d() dt
d() dt
()d
t
()d
()d
t
[例] 计算下列各式
sin(t )
(1)
π (t )dt 4
(5)2 (t 2 3t ) (
2. 单位冲激信号 冲激信号的广义函数定义
( t ) ( t )dt (0)
j (t)为测试函数,是任意连续的信号
狄拉克（Paul Adrie Maurice Dirac）
英国理论物理学家，量子力学的创始人之一。 1935年应清华大学邀请，在清华大学作了关于 正电子的演讲，曾被选为中国物理学会名誉会员。 1928年他把相对论引进了量子力学，建立了相 对论形式的薛定谔方程，也就是著名的狄拉克方 程。狄拉克由此做出了存在正电子的预言， 1933年获诺贝尔奖。主要著作有《量子力学原 理》。此外，他和费米各自独立发现了费米-狄 拉克统计法，发表过大量有关宇宙学方面的论文， 提出可能存在磁单极的预言。
r (t )
1
0
1
t
3. 单位斜坡信号
斜坡信号与阶跃信号之间的关系
r(t ) =
ò
u (t )
t -¥
u(t ) × dt
1
0
r (t )
t
dr (t ) = u(t ) dt
1 1
t
4. 单位冲激偶信号 定义：
d ( t ) ' (t ) dt
冲激偶信号的图形表示
' (t )
x (t)
x(t ) (t t0 )
(1)
t0
t
( x(t0 ) )
t0
t
2. 单位冲激信号
性质2：抽样特性
x (t ) (t t 0 ) d t x (t 0 )
证明：
利用筛选 特性
x(t ) (t t0 )dt
x(t0 ) (t t0 )dt x(t0 ) (t t0 )dt x(t0 )
2. 单位冲激信号
性质3：展缩特性
1 ( at ) (t ) a
(a 0)
取 a 1 , 可得 (t) (t)
推论：冲激信号是偶函数。
1 ( at b ) (t b / a ) a
(a 0)
2. 单位冲激信号
性质：冲激信号与阶跃信号的关系
电子信息工程学院
连续时间基本信号
普通信号
※ 直流信号 ※ 正弦信号 ※ 指数类信号 ※ 抽样信号
奇异信号
※ 阶跃信号 ※ 冲激信号 ※ 斜坡信号 ※ 冲激偶信号
奇异信号
定义 函数本身或其导数或高阶导数具有不连续点（跳变点）。
x(t )
1 0 1 2
x(t )
1
t
0
1
2
t
函数本身具有不连续点
函数的高阶导数具有不连续点
2. 单位冲激信号
极限模型
f (t )
gΔ(t)
1
面积为1
0
1
t
/ 2
0
/2
t
d (t ) = lim fD (t ) = limgD (t )
D® 0 D® 0
2. 单位冲激信号
性质1：筛选特性
x ( t ) ( t t 0 ) x ( t 0 ) ( t t 0 )
d u (t ) (t ) dt
0
(t )
(1)
t
1 t 0 u(t ) ( ) d 0 t 0
t
u (t )
1
0
t
冲激信号的作用：
A. 表示其他任意信号 B. 表示信号间断点的导数
3. 单位斜坡信号
t r (t ) 0 t 0 r (t ) t u (t ) t 0
1. 单位阶跃信号
u (t )
1 u (t ) 0
1 u ( t t0 ) 0
t0 t0
t t0 t t0
1
0
u (t t0 )
1
0
注意： t 在跳变点0处，函数值未定义。
t0
t
开关
实际问题： 开关电路
+
电压源 -
tt= =t 0 0
灯
+ i -
1. 单位阶跃信号
t
0 t0
t
sin 0 (t t0 ) u(t t0 )
0 t0
t
0 t0
t
2. 单位冲激信号
实际问题：力学中瞬间作用的冲击力、自然界中的闪电等
冲激信号可以 很好地描述这 些实际现象！
子弹击穿苹果
闪电
特点：作用时间极短，而幅值极大。
2. 单位冲激信号
狄拉克(Dirac)定义
tt) t 0 ) ((
(1)
0
t) 00, tt0 (t (t ) t0 0=
(1) t0
t
t
(t t t= t(t))dd 1 (t t
0 t0 Biblioteka t0 0
)dt 1
冲激信号具有强度，其强度就是冲激信号对时间的 定积分值。在图中用括号注明，以区分信号的幅值。
作用： (1) 表示任意的矩形脉冲信号
x(t )
1 0 T 2T
1
x(t )
t
0 -1
T
2T
t
x(t) = u(tT)u(t2T)
1. 单位阶跃信号
作用：(2) 利用阶跃信号的单边性表示信号的时间范围
sin 0t u(t )
sin 0 (t t0 ) u(t )
0
sin 0t u(t t0 )
2
t 1)dt 3
(2)2 e 5t (t 1)dt
(3)4 e 2t (t 8)dt
'( at )
1 '( t ) aa
(a 0)
' ( t ) dt 0
' ( t ) ' ( t )
四种奇异信号之间的关系
r (t )
1
0
u (t )
1
(t )
(1)
'(t )
(1)
t
0
1
t
0
t
0
t
微分关系
积分关系
r(t ) u(t ) (t ) '(t )
(1)
0
t
4. 单位冲激偶信号
冲激偶信号的性质：
x (t ) ' (t t 0 ) x (t 0 ) ' (t t 0 ) x ' (t 0 ) (t t 0 )
(筛选特性)
x(t ) ' (t t )dt x' (t )
0 0
(抽样特性)
(展缩特性)
'(t ) (t ) u(t ) r(t )
t
d() dt
d() dt
d() dt
()d
t
()d
()d
t
[例] 计算下列各式
sin(t )
(1)
π (t )dt 4
(5)2 (t 2 3t ) (
2. 单位冲激信号 冲激信号的广义函数定义
( t ) ( t )dt (0)
j (t)为测试函数,是任意连续的信号
狄拉克（Paul Adrie Maurice Dirac）
英国理论物理学家，量子力学的创始人之一。 1935年应清华大学邀请，在清华大学作了关于 正电子的演讲，曾被选为中国物理学会名誉会员。 1928年他把相对论引进了量子力学，建立了相 对论形式的薛定谔方程，也就是著名的狄拉克方 程。狄拉克由此做出了存在正电子的预言， 1933年获诺贝尔奖。主要著作有《量子力学原 理》。此外，他和费米各自独立发现了费米-狄 拉克统计法，发表过大量有关宇宙学方面的论文， 提出可能存在磁单极的预言。
r (t )
1
0
1
t
3. 单位斜坡信号
斜坡信号与阶跃信号之间的关系
r(t ) =
ò
u (t )
t -¥
u(t ) × dt
1
0
r (t )
t
dr (t ) = u(t ) dt
1 1
t
4. 单位冲激偶信号 定义：
d ( t ) ' (t ) dt
冲激偶信号的图形表示
' (t )
x (t)
x(t ) (t t0 )
(1)
t0
t
( x(t0 ) )
t0
t
2. 单位冲激信号
性质2：抽样特性
x (t ) (t t 0 ) d t x (t 0 )
证明：
利用筛选 特性
x(t ) (t t0 )dt
x(t0 ) (t t0 )dt x(t0 ) (t t0 )dt x(t0 )
2. 单位冲激信号
性质3：展缩特性
1 ( at ) (t ) a
(a 0)
取 a 1 , 可得 (t) (t)
推论：冲激信号是偶函数。
1 ( at b ) (t b / a ) a
(a 0)
2. 单位冲激信号
性质：冲激信号与阶跃信号的关系
电子信息工程学院
连续时间基本信号
普通信号
※ 直流信号 ※ 正弦信号 ※ 指数类信号 ※ 抽样信号
奇异信号
※ 阶跃信号 ※ 冲激信号 ※ 斜坡信号 ※ 冲激偶信号
奇异信号
定义 函数本身或其导数或高阶导数具有不连续点（跳变点）。
x(t )
1 0 1 2
x(t )
1
t
0
1
2
t
函数本身具有不连续点
函数的高阶导数具有不连续点