两个变量之间的相关关系
两个连续变量之间的相关关系
两个连续变量之间的相关关系两个连续变量之间的相关关系，即指两个随机变量之间的相关性。
它是衡量两个连续变量之间相互依赖程度的重要指标。
在数据分析、统计学以及机器学习等领域，相关性分析是一项基础而重要的任务。
一、计算相关性系数在统计学中，通常通过相关系数来衡量两个连续变量之间的相关关系。
相关系数通常是在-1到1之间取值，其中-1表示完全的负相关关系，即两个变量之间有完全相反的关系；1则表示完全的正相关关系，即两个变量之间具有完全相同的变化趋势；而0则表示两个变量之间没有线性关系。
计算相关系数的方法有多种，其中比较常用的是皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续型变量，并且假设变量服从正态分布。
斯皮尔曼等级相关系数则适用于序数型数据以及不满足正态分布的变量。
在这里以皮尔逊相关系数为例进行说明。
二、使用Python计算相关性系数在Python中，统计分析库numpy和pandas都提供了计算相关性系数的函数。
numpy提供的pearsonr函数可以计算两个变量之间的皮尔逊相关系数以及相关性显著性；而pandas提供的corr函数可以计算两个DataFrame对象中所有列的相关系数矩阵。
下面通过一个例子来说明如何使用Python计算相关系数。
```pythonimport numpy as npimport pandas as pd# 构造样本数据x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])# 计算皮尔逊相关系数correlation, p_value = np.corrcoef(x, y)[0][1],scipy.stats.pearsonr(x, y)[0]print(f"皮尔逊相关系数: {correlation:.4f} (p-value:{p_value:.4f})")# 构造DataFrame对象df = pd.DataFrame({'x': [1, 2, 3, 4, 5], 'y': [2, 4, 6, 8, 10]})# 计算相关系数矩阵corr_matrix = df.corr()print(f"相关系数矩阵: \n{corr_matrix}")```以上代码首先构造了两个变量x和y，分别表示1到5的整数和2到10的偶数。
两个变量的相关关系知识点和典例
两个变量的相关关系知识点和典例1.两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.（回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x ，y )，其它点不一定过直线只是在直线附近，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据.）(2)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i =1nx i y i －n xy∑i =1nx 2i －n x2＝∑i =1n)(x i －x )(y i －y )∑i =1n)(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .(3)相关系数：相关系数r ＝∑i =1n)(t i －t )(y i －y )∑i =1n)(t i －t )2∑i =1n )(y i －y )2当r ＞0时，表明两个变量正相关；当r ＜0时，表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.（r 的符号表明两个变量是正相关还是负相关；|r |的大小表示线性相关性的强弱.）例一．某公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前5个月的微信推广费用x 与月利润y （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经计算，微信推广费用x 与月利润y 满足线性回归方程 6.517.5y x ∧=+.求p 的值．[解] ()()11245685,3040607040555p x y p =++++==++++=+， 因为样本中心(),x y 在回归直线 6.517.5y x ∧=+上， 所以40 6.5517.55p+=⨯+，解得50p = [变式练习]已知变量x ，y 之间的线性回归方程y ^=－0.7x +10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是( )x 6 8 10 12 y6m32A.变量x ，y 之间呈负相关关系))))B.可以预测，当x ＝20时，b ^＝－3.7 C.m ＝4))))))))))))))))))))))))D.该回归直线必过点(9，4)[解]由－0.7<0，得变量x ，y 之间呈负相关关系，故A 正确；当x ＝20时，y ^＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B 正确；由表格数据可知x －＝14×(6＋8＋10＋12)＝9，y －＝14(6＋m ＋3＋2)＝11＋m 4，则11＋m 4＝－0.7×9＋10.3，解得m ＝5，故C 错；由m ＝5，得y －＝6＋5＋3＋24＝4，所以该回归直线必过点(9，4)，故D 正确.故选C.例二．下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据：∑i =17y i ＝9.32，∑i =17t i y i ＝40.17,)∑i =17)(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i =1n)(t i －t )(y i －y )∑i =1n )(t i －t )2∑i =1n )(y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i =1n)(t i －t )(y i －y )∑i =1n)(t i －t )2，a ^＝y －b ^)t .[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑i =17)(t i －t)2＝28,)∑i =17)(y i －y )2＝0.55，∑i =17)(t i －t )(y i －y )＝∑i =17t i y i －t ∑i =17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i =17)(t i －t )(y i －y )∑i =17)(t i －t )2＝2.8928≈0.103. a ^＝y －b ^)t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2019年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.[变式练习]1.(2019·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X (单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y (千克)与使用某种液体肥料的质量x (千克)之间的对应数据为如图所示的折线图.(1)依据折线图计算相关系数r (精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(若|r |＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3)000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1)000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值.参考数据：0.3≈0.55，0.9≈0.95. 解：(1)由已知数据可得x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝3＋4＋4＋4＋55＝4.因为∑i ＝15)(x i －x )(y i －y )＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，∑i ＝15)(x i －x )2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝25，∑i ＝15)(y i －y )2＝(－1)2＋02＋02＋02＋12＝2，所以相关系数r ＝∑i ＝15)(x i －x )(y i －y )∑i ＝15)(x i －x)2)∑i ＝15)(y i －y )2＝625×2＝)910≈0.95. 因为|r |＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. (2)由条件可得在过去50周里，当X ＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 每周的周总利润为1×3)000－2×1)000＝1)000(元).当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 每周的周总利润为2×3)000－1×1)000＝5)000(元).当30＜X ＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 每周的周总利润为3×3)000＝9)000(元).所以过去50周的周总利润的平均值为1)000×10＋5)000×35＋9)000×550＝4)600(元)，所以商家在过去50周的周总利润的平均值为4)600元.例三．某机构为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.x y u∑i＝18)(x i－x)2∑i＝18)(x i－x)(y i－y)∑i＝18)(u i－u)2∑i＝18)(u i－u)(y i－y) 15.25 3.630.2692)085.5－230.30.7877.049表中u i＝1x i，u＝18∑i＝18u i.(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(回归系数的结果精确到0.01).(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78)840元？(假设能够全部售出.结果精确到1)附：对于一组数据(ω1，υ1)，(ω2，υ2)，…，(ωn，υn)，其回归直线υ^＝α^＋β^ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i＝1n)(ωi－ω)(υi－υ)∑i＝1n)(ωi－ω)2，α^＝υ－β^ω.解：(1)由散点图判断，y＝c＋dx更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的回归方程.(2)令u＝1x，先建立y关于u的线性回归方程，由于d ^＝∑i ＝18)(u i －u )(y i －y )∑i ＝18)(u i －u )2＝7.0490.787≈8.957≈8.96， ∴c ^＝y －d ^·u ＝3.63－8.957×0.269≈1.22， ∴y 关于u 的线性回归方程为y ^＝1.22＋8.96u ， ∴y 关于x 的回归方程为y ^＝1.22＋8.96x .(3)假设印刷x 千册，依题意得10x －⎝⎛⎭⎫1.22＋8.96x x ≥78.840， 解得x ≥10，∴至少印刷10)000册才能使销售利润不低于78)840元.[变式练习](2015课标Ⅰ,19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i )和年销售量y i ))(i =1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw∑i=18(x i -x )2∑i=18(w i -w )2 ∑i=18(x i -x )(y i -y ) ∑i=18(w i -w )(y i -y )46.6 563 6.8 289.81.61 469108.8表中w i =√x ,w =18∑i=18w i.(1)根据散点图判断,y =a +bx 与y =c +d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x,y 的关系为z =0.2y −x .根据(2)的结果回答下列问题: (i)年宣传费x =49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ))),其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1n (u i -u )(v i -v )∑i=1n(u i -u )2,α^=v -β^)u .解析 (1)由散点图可以判断,y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.(2分)(2)令w =√x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于 d ^=∑i=18(w i -w )(y i -y )∑i=18(w i -w )2=108.81.6=68,c ^=y -d ^)w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68√x .(6分) (3)(i)由(2)知,当x =49时,年销售量y 的预报值 y ^=100.6+68√49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32.(9分) (ii)根据(2)的结果知,年利润z 的预报值 z ^=0.2(100.6+68√x )-x =-x +13.6√x +20.12. 所以当√x =13.62=6.8,即x =46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.。
(完整word)两个变量的相关关系
(完整word)两个变量的相关关系两个变量间的相关关系变量间的相互关系有两种：一类是确定性的函数关系,如正方形的边长和面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的。
例如,学生的总成绩和他的单科成绩,一般说来“总成绩高者,单科成绩也高”，我们说总成绩和单科成绩具有相关关系。
相关关系又分为两种:（1)正相关:两个变量具有相同的变化趋势。
（2)负相关：两个变量具有相反的变化趋势。
对相关关系的理解可以从下面三个角度把握:相关关系的概念:自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系.对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系,而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系。
因此,不能把相关关系等同于函数关系.相关关系与函数关系的异同点为：相同点:均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系;而相关关系是一种非确定关系。
函数关系是自变量与函数值之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.其二是函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系。
然而,学会新词并不能使脚变大,而是涉及到第三个因素——年龄。
当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据,对数据进行统计分析，发现规律,才能作出科学的判断。
我们再来认识生活中的确定两个变量间的相关关系的两个例子：【例1】“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平也越高。
变量间的相关关系
2.正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上 角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将 它称为正相关。
思考6：如图是高原含氧量与海拔高度的相关关系 的散点图，高原含氧量与海拔高度有何相关关系？ 点的分布有何特点？
海平面以上，海拔高度 越高，含氧量越少。
点散布在从左上角到右 下角的区域内。
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
思考3：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含 义吗？
1.散点图：在平面直角坐标系中，表示具有相关关系 的两个变量的一组数据图形，称为散点图.
脂肪含量
思考4：观察散点图的大致趋势，人的年龄的与人体 脂肪含量具有什么相关关系？
大体上看，随着年龄的增加，人体中脂肪百分比也 在增加。
年龄 23 脂肪 9.5
27 39 17.8 21.2
41 25.9
45
49 50
27.5 26.3 28.2
年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思考2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明 确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可 以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴 表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系 中描出样本数据对应的图形吗？
销售价格 12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2 22
（万元）
画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积 这两个变量是正相关还是负相关.
解： 35
30 25 20 15 10 5 0
两个变量之间的相关关系称为
两个变量之间的相关关系称为
统计学中，两个变量之间的相关关系被称为相关性。
它是一种检测和研究变量间关系的方法，它可以帮助研究人员探索实验结果的数据。
相关性测量两个变量的关联程度，帮助我们更多地了解被调查者中变量之间的因果关系，以及几种变量之间的结构关系。
相关性可以使企业在未来进行数据分析时，更好地推断某些事件发生的可能性。
它可以帮助研究者更深入地了解被调查者中变量之间的潜在相关性，因此可以有效地预测变量未来变化的趋势。
相关性分析也可以检查多个变量之间的关系，因此有助于确定定义变量和被调查者之间的关系，进而确定这些变量的分类组合。
另外，相关性分析还可以帮助企业识别出重要的变量，从而有效地预测业务结果。
总之，相关性可以说是统计学中一种重要的概念。
它能够有效地识别和解释变量之间的关系，并为企业在未来数据分析中应用提供重要的参考。
因此，我们可以看出，相关性对学习统计学和收集数据分析有着重要意义。
用于描述两个变量之间相关关系
用于描述两个变量之间相关关系1. 引言嘿，大家好！今天我们要聊聊一个听起来有点严肃，但其实超级有趣的话题：两个变量之间的相关关系。
可能你会想，哎呀，什么是相关关系呢？别担心，我来给你捋一捋。
简单来说，相关关系就是当一个东西变化时，另一个东西也会跟着变化的情况。
就像吃冰淇淋的时候，天气变热一样，哈哈，没错，就是这么简单！1.1 相关关系的类型那么，相关关系其实可以分为几种类型哦。
首先是正相关，意思是当一个变量增加时，另一个变量也增加，听起来是不是很美好？比如说，运动量和快乐感，这两者常常是成正比的，越运动越开心，真是“越努力，越幸福”嘛！反过来，如果你懒得动，躺在沙发上追剧，那你的快乐感可能就会缩水，嘿嘿。
然后还有负相关，这就有点意思了。
当一个变量增加时，另一个变量却减少。
想象一下，当你加班到深夜，疲劳感飙升，而你的精神状态就像气球一样瘪下去，真是“越加班，越心累”呀！还有个经典的例子就是，吃得太多和体重，简直是一对“冤家”。
吃得多，体重就跟着上升，没办法，真是“羊肉串越吃越多，肚子也跟着鼓”！2. 生活中的相关关系2.1 亲密关系与快乐说到生活中的相关关系，我们不妨从人际关系开始。
研究发现，朋友越多，快乐感往往越高。
哎，真是“朋友多了路好走”！想象一下，你约上三五好友一起吃饭、唱歌，那种感觉简直是“乐在其中”。
但是如果朋友少得可怜，周末的聚会就是一场孤独的旅行，唉，孤单的感觉就像海绵一样吸水，越吸越重，越发难受。
当然，相关关系并不意味着因果关系哦。
你可能会想，朋友多了就一定快乐，但实际上，快乐的人可能更容易交到朋友，这就像是一个好人缘的循环。
就像一颗美丽的种子，发芽后就会吸引到更多的阳光和水分，形成一个良性循环，真是“良性互动，事半功倍”！2.2 学习与成绩再来看看学习和成绩之间的关系。
大家都知道，努力学习通常能带来好的成绩，但这其中的相关性可真复杂。
有时候，你拼命复习，结果考试却不理想，真是“付出与收获不成正比”！反之，有些同学轻轻松松就能考高分，这不禁让人心中感慨：“天上掉馅饼，真是天上有个王老五！”所以，学习的态度、方法和时间管理都在其中起着重要的作用。
变量之间的相关关系
变量间的相互关系是指两个或两个以上变量之间相联系的性质,主要有两种类型。
(1)因果关系:是指在两个有关系的变量中,因为一个变量的变化而引起另一个变量的变化。
应注意三点:第一,在两个变量中,只能一个是因,另一个是果,而不能互为因果。
第二,原因变量一定出现在结果变量之前。
第三,两者之间的变化关系是必然的,否则就不是因果关系。
社会现象的因果关系十分复杂,有一因一果、一果多因、一因多果以及多因多果等。
在社会调查研究中,调查者应注意区别事物之间因果关系的类型,对一果多因、一因多果以及多因多果等复杂的因果关系要仔细分析,逐一明确,这样才能清楚地认识社会现象和事物发展变化的规律。
(2)相关关系:是指变量的变化之间存在着非因果关系的一定联系和一定关系。
社会调查研究运用相关这一概念,其目的是了解社会现象和事物之间关系的密切程度,从中探寻其规律性。
变量之间的相关关系从变化的方向来看,可以分为正相关与负相关;从变化的表现形式来看,可以分为直线相关和曲线相关。
当一个变量的数值发生变化时,另一个变量的数值也随之发生同方向的变化,这种相关关系是正相关,也叫直接相关。
当一个变量的数值发生变化时,另一个变量的数值也随之发生反方向的变化,这种相关关系是负相关,也叫逆相关。
在社会调查研究中,掌握变量关系的正相关与负相关的概念,有利于了解社会现象和事物的发展方向和趋势。
当一个变量的数值发生变动(增加或减少),另一个变量的数值随着发生大致均等的变动时,这种关系称为直线相关;当一个变量的数值发生变动,另一个变量的数值随之发生不均等的变动时,这种关系称为曲线相关。
两个变量的相关关系
散点图有助于发现异常值和离群点，这些值可能会对相关关系的度量产生 影响。
线性回归分析
01
线性回归分析是一种数学方法，用于量化两个或多个变量之间 的线性关系。
02
通过最小二乘法等统计技术，线性回归分析可以估计出一条最
佳拟合线，该线能够描述自变量和因变量之间的关系。
销售预测
通过分析历史销售数据与市场趋 势，了解产品销量与市场活动、 季节性等因素的相关关系，预测 未来的销售情况。
竞争分析
研究竞争对手的市场表现、产品 策略等，分析其与市场占有率、 品牌知名度等变量的相关关系， 为制定竞争策略提供依据。
消费者行为研究
通过分析消费者购买决策与个人 特征、环境因素等变量的相关关 系，了解消费者偏好和行为模式， 优化产品定位和营销策略。
线性回归分析不仅可以确定变量的关系强度，还可以预测因变
03
量的取值。
相关系数
相关系数是一种量化指标，用于描述 两个变量之间相关关系的强度和方向 。
相关系数的绝对值越大，表示两个变 量之间的相关关系越强。
最常用的相关系数是皮尔逊相关系数 （Pearson correlation coefficient）， 其值介于-1和1之间。
由于数据获取的限制，本研究 只使用了小样本数据进行研究， 可能影响结果的准确性和普适
性。
变量选择主观性
在选择研究变量时，可能存在 主观偏见，导致所选变量不够
客观全面。
研究方法局限性
本研究主要采用线性回归分析 方法，对于非线性相关关系可
能无法准确描述。
未来研究方向
未来研究可以尝试使用更复杂的方法和模型，如机器学习、神经网络等，以更准确地描述和分析两个变量的 相关关系。同时，扩大样本量和增加变量类型也是重要的研究方向。
两个变量的相关关系
两个变量间的相关关系变量间的相互关系有两种:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长和面积的关系；另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的.例如,学生的总成绩和他的单科成绩,一般说来“总成绩高者,单科成绩也高”,我们说总成绩和单科成绩具有相关关系.相关关系又分为两种:(1)正相关:两个变量具有相同的变化趋势.(2)负相关:两个变量具有相反的变化趋势.对相关关系的理解可以从下面三个角度把握：相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系.对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.相关关系与函数关系的异同点为：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系.函数关系是自变量与函数值之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.我们再来认识生活中的确定两个变量间的相关关系的两个例子：【例1】“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.那么,教师的水平与学生的水平成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中的两个变量的相关关系的成语吗？解析:“名师出高徒”的意思是说有名的教师一定能教出高明的徒弟,通常情况下,高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生.所以,教师的水平与学生的水平成正相关关系.生活中这样的成语很多,如“龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞”.【例2】历史上,有人认为人们的着装与经济好坏有关系,着装越鲜艳,经济越景气.你认为着装与经济真的有这种相关关系吗？解析:人们的着装只能反映个人的爱好以及个人心情状况,与经济的好坏没有任何关系,并不能反映经济的景气与否.所以,着装与经济并没有“着装越鲜艳,经济越景气”这种相关关系.。
两个变量之间存在显著相关关系
两个变量之间存在显著相关关系
首先，我们可以通过计算皮尔逊相关系数来衡量两个变量之间
的线性相关性。
皮尔逊相关系数的取值范围在-1到1之间，0表示
没有线性相关性，1表示完全正相关，-1表示完全负相关。
如果计
算得到的皮尔逊相关系数显著大于0，那么可以认为这两个变量之
间存在正相关关系；反之，如果相关系数显著小于0，则可以认为
存在负相关关系。
其次，斯皮尔曼相关系数用于衡量两个变量之间的等级相关性，即使得两个变量之间的关系不是严格的线性关系，也可以通过斯皮
尔曼相关系数来进行衡量。
当斯皮尔曼相关系数显著大于0时，可
以认为两个变量之间存在正相关关系；反之，当相关系数显著小于
0时，则可以认为存在负相关关系。
除了相关系数，我们还可以通过散点图来观察两个变量之间的
关系。
如果散点图呈现出明显的趋势，比如向上或向下的趋势，那
么可以初步判断这两个变量之间存在相关关系。
此外，还可以进行假设检验来验证两个变量之间的相关性是否
显著。
通过计算相关系数的置信区间或者进行相关性检验，可以得
出两个变量之间的相关性是否显著。
综上所述，我们可以通过计算相关系数、绘制散点图以及进行假设检验来全面、多角度地判断两个变量之间是否存在显著相关关系。
当然，对于不同类型的数据和研究问题，需要综合考虑不同的方法来进行判断。
变量间的相关关系
变量间的相关关系 【知识梳理】(1)相关关系：当自变量的取值一定时，因变量的取值带有 ，那么这两个变量之间的关系叫做 ,如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小到大，这种相关称为 ,反之，如果一个变量的值由小变大，另一个变量的值由大到小，这种关系为 (2)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有 关系，这条直线叫做回归直线． (3)线性回归方程方程y=ˆbx+ˆa 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性回归方程，其中ˆb , ˆa 是待定参数．ˆˆb a ⎧=⎪⎨=⎪⎩【基础练习】1．(2009·海南高考题)对变量x ，y 有观测数据(x 1，y 1)(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u 1，v 1)(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( ) A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关2．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y(万元)，有如下统计资料：若y 对x 呈线性相关关系，则回归直线方程ˆy＝ˆb x ＋ˆa 表示的直线一定过定点________．3. (原创题)经研究表明，学生的体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)有很强的线性相关关系，其回归方程为y=0.75x-68.2，如果一个学生的身高为170 cm ，则他的体重( ) A. 一定是59.3 kg B. 一定大于59.3 kg C. 有很大的可能性在59.3 kg 左右 D. 一定小于59.3 kg 【互动探究】【例1】(1)如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？画出散点图，并判断它们是否有相关关系【例2】 三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的回归方程是( )A.y ∧＝－5.75＋1.75xB.y ∧＝1.75x ＋5.75C.y ∧＝－1.75x ＋5.75 D.y ∧＝－1.75x －5.75练习：一家保险公司调查其总公司营业部的加班程度，收集了5周中每周加班工作时间y (小时)与签发新保单数目x 的数据如下表：【例3】(2007·广东卷)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝ˆbx ＋ˆa ； (2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)练习： (原创题)某服装厂引进新技术，其生产服装的产量x (百件)与单位成本y (元)满足回归直线方程y ＝149.36－16.2x ，则以下说法正确的是( ) A. 产量每增加100件，单位成本下降16.2元 B. 产量每减少100件，单位成本上升149.36元 C. 产量每增加100件，单位成本上升16.2元 D. 产量每减少100件，单位成本下降16.2元【当堂检测】1．观察下列散点图，则①正相关；②负相关；③不相关．它们的排列顺序与图形相对应的是( ) A ．a —①，b －②，c －③ B ．a －②，b －③，c －①C ．a －②，b －①，c －③D ．a －①，b －③，c －② 2．(2010·湖南，3)某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A.y ∧＝－10x ＋200 B.y ∧＝10x ＋200 C.y ∧＝－10x －200 D.y ∧＝10x －200 3．设有一线性回归方程为y ＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时，y 平均减少________个单位． 4．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的回归方程是( ) A.y ^＝1.23x ＋4 B.y ^＝1.23x ＋5 C.y ^＝1.23x ＋0.08D.y ^＝0.08x ＋1.235．若施化肥量x kg 与水稻产量y kg 在一定范围内线性相关，若回归方程为y ^＝5x ＋250.当施化肥量为80 kg 时，预计水稻的产量为________．6. 实验测得4组（x,y ）的值为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为 ( ) A. y =x+1B. y =x+2C. y =2x+1D. y =x-17．具有线性相关关系的两个变量满足如下关系：A. y ＝0.56x ＋997.4B. y ＝0.63x －231.2C. y ＝50.2x ＋501.4D. y ＝60.4x ＋400.7 8. 一般来说，一个人的脚越长，他的身高就越高.现对10名成年人的脚长x 与身高y 进行测量，得如下数据（单位：作出散点图后，发现散点在一条直线附近.经计算得到一些数据：x =24.5，y =171.5，()()101iii x x y y =--=∑577.5, ()2101ii x x =-∑=82.5.某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长26.5 cm ，请你估计案发嫌疑人的身高为 cm.。
两个变量间相关关系的举例
两个变量间相关关系的举例相关关系是指两个变量之间的变化是否存在某种联系或者依赖。
在统计学中，我们可以通过计算相关系数来度量两个变量之间的相关程度。
下面，我将为你举例说明两个变量间的相关关系。
举例一：首先，我们来看身高和体重之间的相关关系。
身高和体重是人体的两个重要指标，一般来说，身高越高，体重也会相应增加。
我们可以通过一个调查统计来验证这种关系。
在调查中，我们随机选择了1000名男性被试，记录了他们的身高和体重。
通过运用统计学方法，我们计算得到了身高和体重之间的相关系数为0.8，这说明身高和体重之间存在着强正相关关系。
也就是说，身高增加会促使体重的增加。
举例二：其次，让我们来考察学习时间和考试成绩之间的相关关系。
有一种常见的观点是，学习时间越多，考试成绩也会越好。
我们可以通过一个实验证明这种关系。
我们在一所学校中随机选取了500名学生，将他们分为两组：一组进行了加强学习时间的训练，每天学习4个小时；另一组保持正常学习时间，每天学习2个小时。
在经过一段时间的训练后，我们进行了一次考试，记录了两组学生的考试成绩。
通过对比两组学生的考试成绩，我们发现加强学习时间组的平均分高于正常学习时间组，这说明学习时间和考试成绩之间存在着正相关关系。
举例三：再次，让我们来研究睡眠时间和工作效率之间的相关关系。
一般来说，充足的睡眠对于提高工作效率很重要。
为了验证这个假设，我们进行了一项睡眠实验。
我们让20名被试者进行七天的实验，在前三天，他们每晚只睡4个小时；在后四天，他们每晚睡眠时间恢复到正常的8个小时。
在每天的工作结束后，我们记录了被试者当天的工作成绩。
通过实验数据的分析，我们发现在睡眠时间缺乏的前三天，被试者的工作效率明显降低；而在恢复充足睡眠的后四天，工作效率也得到了明显的提高。
这表明睡眠时间和工作效率之间存在着正相关关系。
以上三个例子表明，两个变量之间的相关关系可以通过实验证明或者调查统计来证实。
将变量之间的相关关系研究清楚，对我们了解事物的本质以及提高效率具有重要意义。
具有相关关系的两个变量的关系式
具有相关关系的两个变量的关系式具有相关关系的两个变量的关系式【引言】在数学和统计学中，很多研究都关注于两个变量之间的相关关系。
相关关系是指两个或多个变量之间的相互依赖程度。
了解变量之间的关系可以帮助我们理解事物的本质和变化规律，从而做出更准确的预测和决策。
本文将探讨具有相关关系的两个变量之间的关系式，旨在帮助读者了解相关性的概念以及如何建立和解读关系式。
【正文】一、相关关系的概念和度量相关关系是指两个变量之间的相互依赖程度。
在统计学中，常用的相关性度量方式包括皮尔逊相关系数、斯皮尔曼等级相关系数和判定系数等。
其中，皮尔逊相关系数是最常见且广泛应用的一种度量方法。
皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）是用于衡量两个连续变量之间线性关系的强度和方向的统计量。
它的取值范围在-1到1之间，值越接近1或-1表示两个变量之间关系越强，值越接近0表示两个变量之间关系越弱。
当系数为正值时，表示两个变量之间正向线性关系；而当系数为负值时，表示两个变量之间负向线性关系。
二、建立具有相关关系的两个变量之间的关系式在研究中，我们可以通过实际观察或实验来获得变量之间的数据，并通过统计分析确定它们之间的关系。
下面以简单线性回归作为例子来介绍如何建立具有相关关系的两个变量之间的关系式。
简单线性回归是一种用于描述一个因变量和一个自变量之间关系的统计模型。
它的关系式可以表示为y = a + bx，其中y表示因变量，x 表示自变量，a和b分别表示截距和斜率。
通过最小二乘法可以估计出关系式中的参数。
具体建立关系式的步骤如下：1. 提出研究问题：确定自变量和因变量的关系，并给出观察或实验数据。
2. 绘制散点图：将观察或实验得到的数据绘制成散点图，以观察变量之间的整体趋势。
3. 计算相关系数：使用合适的方法计算出两个变量之间的相关系数，判断它们是否具有相关关系以及相关性强度。
4. 拟合线性回归模型：通过最小二乘法拟合出最符合数据的线性回归模型。
变量之间的相关关系
变量之间的相间确实存在关系，但又不 具备函数关系所要求的确定性，若它们的关系是 带有随机性的，就说两个变量具有相关关系. 注：相关关系是一种非确定性关系. 2、散点图：从一个统计数表中，为了更清楚地 看出x与y是否有相关关系，常将x的取值作为横 坐标，将y的相应取值作为纵坐标，在直角坐标 系中描点 i i ，这样的图形叫做散 点图.
温热度饮/℃杯数-5 与当0 天4气温7的对12比表15：19 23 27 31 36 热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
(1)画出散点图; (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的 一般规律;
变量之间的相关关系
【典型例题】 解：（1）散点图如图所示
变量之间的相关关系
【分类】
线性相关关系：
正相关：指的是两个变量有相同的变化趋势，即从 整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而变大. 这在散点图上的反映就是散点的分布在斜率大于0的 直线附近;
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
40
50
60
70
变量之间的相关关系
【分类】
负相关：指的是两个变量有相反的变化趋势，即 从整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而 变小，这在散点图上的反映就是散点的分布在斜 率小于0的直线附近.
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
变量之间的相关关系
【典型例题】
1、某机构曾研究温度对翻车鱼的影响，在一定温 度下，经过x单位时间，翻车鱼的存活比例为y，数 据如下： （0.10，1.00），（0.15，0.95），（0.20，0.95）， （0.25，0.90），（0.30，0.85），（0.35，0.70）， （0.40，0.65），（0.45，0.60），（0.50，0.55）， （0.55，0.40） (1)请作出这些数据的散点图； (2)关于这两个变量的关系，你能得出什么结论？
两个变量的关系
图1.1 3
没有错误 , 则需要寻找其他的原因 .另外 , 残差点比较
均匀地落在水平的带状 区域的宽度越窄 , 说明模型
拟合精度越高 ,回归方程的预报精确度 越高 .
另外,我们还可以用相关指数R2来刻画回归的效果,
n
yi yˆ i 2
其计算公式是: R2
1
i1 n
.
yi y2
i1
显然,R2取值越大,意味着残差平方和越小,也就是说 模型的拟合效果越好.在线性回归模型中, R2 表示解 释变量对于预报变量变化的贡献率. R2 越 接近于1, 表 示 回 归 的 效 果 越 好(因 为R2越 接 近 于1, 表 示 解 释 变 量和预报变量的线性相关性越强) .如果对某组数据
函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一 般的情况
问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法 来刻划之间的关系呢？
2、最小二乘估计 最小二乘估计下的线性回归方程：
yˆ bˆx aˆ
n
(xi X )( yi Y )
bˆ i1 n
(Xi X )2
i1
aˆ Y bˆX
65
60
55
50
45
40
x
150 155 160 165 170 175 180
画它们之间的关系.
图1.11
根据线性回归方程中的系数公式, 可以得到
aˆ 85.712, bˆ 0.849.
于是得到回归方程yˆ 0.849xˆ 85.712. 所以,对身高为172cm的女大学生 ,由回归方程可以
2画出确定好的解释主变量和预报变量的散点图,
观察它们之间的关系如是否存在线性关系等;
3由经验确定回归方程类型(如我们观察到数据呈
高中数学必修三-变量间的相关关系
变量间的相关关系知识集结知识元变量之间的相关关系知识讲解1、变量之间的相关关系两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系．当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系．相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系．2、线性相关和非线性相关：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系．3、两个变量相关关系与函数关系的区别和联系（1）相同点：两者均是两个变量之间的关系．（2）不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例题精讲变量之间的相关关系例1.用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性相关系数分别为0.81，-0.98，0.63，其中___（填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性相关性最强．例2.如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉___组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）例3.对两个变量的相关系数r，有下列说法：（1）|r|越大，相关程度越大；（2）|r|越小，相关程度越大；（3）|r|趋近于0时，没有非线性相关系数；（4）|r|越接近于1时，线性相关程度越强，其中正确的是_________．例4.下列两个变量之间的关系是相关关系的是___．①正方体的棱长和体积；②单位圆中圆心角的度数和所对弧长；③单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．两个变量的线性相关知识讲解1．散点图【知识点的知识】1．散点图的概念：在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．2．曲线拟合的概念：从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合．3．正相关和负相关：（1）正相关：对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到右上角的区域内．（2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散布在从左上角到右下角的区域．3、注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系．4、散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形态反映变量统计关系的一种图形．特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势．优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系．散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度．2．线性回归方程【概念】线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．【实例解析】例：对于线性回归方程，则＝解：，因为回归直线必过样本中心（），所以．故答案为：58.5．方法就是根据线性回归直线必过样本中心（），求出，代入即可求．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．【考点点评】这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．3．最小二乘法【概念】最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术．它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配．利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小．最小二乘法还可用于曲线拟合．其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达．【例题解析】例：关于x与y有如表数据：请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x+0.35．解：∵由题意知，，∴＝0.7∴要求的线性回归方程是y＝0.7x+0.35，故答案为：y＝0.7x+0.35．集体步骤就是先做出x，y的平均数，代入的公式，利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．【考点解析】最小二乘法一般在线性拟合中应用的比较多，主要是一种方法，能够熟记如何操作就可以了，剩下的就是计算要认真．例题精讲两个变量的线性相关例1.'2018年9月17日，世界公众科学素质促进大会在北京召开，国家主席习近平向大会致贺信中指出，科学技术是第一生产力，创新是引领发展的第一动力某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据{x i，y i）（i=1，2，3，4，5，6），如表（1）求出p的值；（2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价：x（百元）的线性国归方程y=bx+a（计算结果精确到整数位）；（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与x对应的产品销的估计值当销售数据（x i，y i）的残差的绝对值|y i-y|<1时，则将销售数据称为一个“有效数据”现从这6组销售数中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率．参考公式及数据=y i=80，=1606，=91，，'例2.'某地种植常规稻α和杂交稻β，常规稻α的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.90元/公斤的可能性为70%，变为4.00的可能性为20%．统计杂交稻β的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①．统计近10年杂交稻β的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为（x i，y i）（i=1，2，..10），并得到散点图如图②．（1）根据以上数据估计明年常规稻α的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻β的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻β的亩产超过795公斤的概率；（3）①判断杂交稻β的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；②调查得知明年此地杂交稻β的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻α和杂交稻β中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：=1.60，=2.82，（x i）（y i）=-0.52，（x i）2=0.65，附：线性回归方程=bx+a，b=．'当堂练习单选题练习1.用模型y=ce kx拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+2，则c=（）A．e2B．e4C．2D．4练习2.根据最小二乘法由一组样本点（x i，y i）（其中i=1，2，…，300），求得的回归方程是=x+，则下列说法正确的是（）A．至少有一个样本点落在回归直线=x+上B．若所有样本点都在回归直线=x+上，则变量间的相关系数为1C．对所有的解释变量x i（i=1，2….300）．bx i+的值一定与y i有误差D．若回归直线=x+的斜率b>0，则变量x与y正相关练习3.已知一组数据点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x7，y7），用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据x1，x2，x3，…x7的平均数为1，则=（）A．2B．11C．12D．14练习4.根据如下样本数据得到的回归直线方程为=bx+a，则（）A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b<0D．a<0，b>0练习5.下列表格所示的五个散点数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归直线方程为，则表格中m的值应为（）A．8.3B．8.2C．8.1D．8练习6.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程，则实数a的值为（）A．37.3B．38C．39D．39.5练习1.如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉___组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）练习2.有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中是相关关系的为_____．练习3.对两个变量的相关系数r，有下列说法：（1）|r|越大，相关程度越大；（2）|r|越小，相关程度越大；（3）|r|趋近于0时，没有非线性相关系数；（4）|r|越接近于1时，线性相关程度越强，其中正确的是_________．练习4.下列两个变量之间的关系是相关关系的是___．①正方体的棱长和体积；②单位圆中圆心角的度数和所对弧长；③单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．练习1.'2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10.2%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中心任选两个，求两个都低于5%的概率；（2）设年份代码x=t-2015，利用线性回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率y与年份代码x的相关情况，并预测2019年贫困发生率．'练习2.'某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i（i=1，2…，10）的数据，得到散点图如图所示．（1）利用散点图判断y=a+bx和y=c∙x d（其中c，d均为大于0的常数）哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（2）对数据作出如下处理，令u i=lnx i，v i=lny i，得到相关统计量的值如表：根据第（1）问的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（3）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为z=18y-x（其中e≈2.71828），根据第（2）问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=．'基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为x，市场占有率为y（%），得结果如表（1）观察数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）：（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年4月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的甲，乙两款车型报年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命表如下经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据（x i）2=17.5，（y i）2=76，（x i）（y i）=35，≈36.5参考公式：相关系数r=回归方程=x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=近期，某公交公司与银行开展云闪付乘车支付活动，吸引了众多乘客使用这种支付方式．某线路公交车准备用20天时间开展推广活动，他们组织有关工作人员，对活动的前七天使用云闪付支付的人次数据做了初步处理，设第x天使用云闪付支付的人次为y，得到如图所示的散点图．由统计图表可知，可用函数y=a∙b x拟合y与x的关系（1）求y关于x的回归方程；（2）预测推广期内第几天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次．附：①参考数据表中v i=lgy i，=lgy i②参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）…，（u n，v n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=，α=-β．'习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示作出这组数的散点图如图．（1）请根据散点图判断，y=ax+b与y=c+d中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度（结果保留1位小数）附：=，参考数据：'某老小区建成时间较早，没有集中供暖，随着人们生活水平的日益提高热力公司决定在此小区加装暖气该小区的物业公司统计了近五年（截止2018年年底）小区居民有意向加装暖气的户数，得到如下数据（Ⅰ）若有意向加装暖气的户数y与年份编号x满足线性相关关系求y与x的线性回归方程并预测截至2019年年底，该小区有多少户居民有意向加装暖气；（Ⅱ）2018年年底郑州市民生工程决定对老旧小区加装暖气进行补贴，该小区分到120个名额物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式分配名额，竞拍方案如下：①截至2018年年底已登记在册的居民拥有竞拍资格；②每户至多申请一个名额，由户主在竞拍网站上提出申请并给出每平方米的心理期望报价；③根据物价部门的规定，每平方米的初装价格不得超过300元；④申请阶段截止后，将所有申请居民的报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则认为申请时问在前的居民得到名额，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的50位居民进行调查统计了他们的拟报竞价，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求所抽取的居民中拟报竞价不低于成本价180元的人数；（2）如果所有符合条件的居民均参与竞拍，请你利用样本估计总体的思想预测至少需要报价多少元才能获得名额（结果取整数）参考公式对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为，=，=-。
两个变量的相关关系
.
知识回顾
1 相关关系
①变量之间除了函数关系之外,还有相关关系,即从总的变 化趋势来看变量之间存在着某种关系,但这种关系又不能用 函数精确表达出来.
②两个变量之间产生相关关系的原因是许多不确定的随机 因素的影响.
③需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系.
2 正关系、负相关、散点图
. 方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧
的点的个数基本相同。
脂肪含量 40
35 30
25 20 15 10
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的 斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。而得回归方 程。 如图:
从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在 一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加” 这一规律.而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄 人群的样本平均数.我们也可以对它们作统计图、 表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断.
如图：
脂肪含量 40 35
30
25
20
15
10
5
年龄
O
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
x,
y,
x2, i
xi
y i
；
i 1
i 1
第三步：代入公式计算b,a的值；
第四步：写出直线方程。
练习：书P92A组1、3
作业：P94 A组 2
我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附 近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系,这条直线叫做回归直线，该直线叫回归方程。
变量间的相关关系
数学成绩
由散点图可见，两者之间具有正相关关系。
小结：用Excel作散点图的步骤如下 ： (结合软件边讲边练）
（1）进入Excel，在A1，B1分别输入“数学成 绩”、“物理成绩”，在A、B列输入相应的数据。 （2）点击图表向导图标，进入对话框，选择“标准 类型”中的“XY散点图”，单击“完成”。 （3）选中“数值X轴”，单击右键选中“坐标轴格 式”中的“刻度”，把“最小值”、“最大值”、 “刻度主要单位”作相应调整，最后按“确定”。y 轴方法相同。
(3)从散点图可以看出，0 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0 10
^ Y=-2.352x+147.767
20
30
40
^ （4）当x=2时，y=143.063, 因此，这天大 约可以卖出143杯热饮。
练习：P96 小结：
解2：用Excel求线性回归方程，步 骤如下:
. （1）进入Excel作出散点图。
（2）点击“图表”中的“添加趋势 线”，单击“类型”中的“线性”，单 击“确定”，得到回归直线。 （3）双击回归直线，弹出“趋势线格 式”，单击“选项”，选定“显示公 式”，最后单击“确定”。
三、利用线性回归方程对总体进行估计
二、求线性回归方程
例2：观察两相关变量得如下表： x y -1 -9 -2 -7 -3 -5 -4 -3 -5 -1 5 1 3 5 4 3 2 7 1 9
求两变量间的回归方程
解1： 列表：
i 1
i
2 -2 -7 14
3 -3 -5 15
4 -4 -3 12
10
5 -5 -1 5
2
6 5 1 5
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i
12 3
4
5
xi
24 6
8
10
yi
64 134 205 285 360
xiyi
128 536 1 230 2 280 3 600
x ＝6， y ＝209.6，
5
5
x2i ＝220，xiyi＝7 774
i＝1
i＝1
∴b^ ＝7 7742－205－×56××62209.6＝1 44086＝37.15. ∴a^＝209.6－37.15×6＝－13.3. 于是所求的回归直线的方程为y^ ＝37.15x－13.3.
3．假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万 元)有如下的统计资料：
使用年限 x 2 3 4 5 6 维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系．试求： (1)线性回归方程y^ ＝bx＋a 的回归系数 a，b； (2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？
≈1.27，
10
xi2－10 x 2
i＝1
a^＝ y －b^ x ≈－30.95， 即所求的回归直线方程为y^ ＝1.27x－30.95. (3)当 x＝160 时，y^ ＝1.27×160－30.95≈172，即大约冶炼
172 min.
方法点评：回归直线可以模拟两个变量之间的相关关系．我 们可以利用回归直线方程进行运算，如求函数值、研究增减性 等，通过这些运算结果进行合理的预测．这也正是回归分析的 意义所在．
典例剖析 题型一 相关关系 【例 1】 下列关系中，带有随机性相关关系的是_②__④_____． ①正方形的边长与面积之间的关系； ②水稻产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 思路点拨：根据线性相关的概念逐个判断．
1．以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格 y(单 位：万元)和房屋面积 x(单位：m2)的数据：
错解：借助散点图可知两者是相关关系，故求回归直线方 程有意义．
错因分析：利用散点图判断相关性时，要将点的坐标尽量 画准确．
正解：以 x 轴为年平均气温，y 轴为年降雨量，可得相应的 散点图如图所示：
因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有相 关关系，没必要用回归直线进行拟合，即使用公式求得回归直 线也是没有意义的．
b.
(2)回归直线方程求解的方法步骤 根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可
以方便地求出回归方程．
(3)利用回归直线对总体进行估计 利用回归直线，我们可以进行预测，若回归直线方程为y^ ＝ bx＋a，则 x＝x0 处的估计值为：y^ 0＝bx0＋a.
特别提示：进行回归分析，通常先进行相关性检验，若能 确定两个变量具有线性相关关系，再去求其线性回归方程，否 则所求方程毫无意义．
2．线性相关 (1)回归直线 如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在 一__条__直__线__附近，那么称这两个变量之间具有线性相关关系，这 条直线叫做回归直线．
(2)回归方程与最小二乘法 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数
据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，用 Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2 －bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2 表示点到直线 y＝bx＋a 的“整体 距离”，当 Q 最小时，a，b 的值可由下列公式给出：
程
为
__y^_＝__b^_x_＋__a^_______________．
通过上述求 Q 最小值而得到回归直线的方法，即使得样本
数据的点到回归直线的距离的___平__方__和__最__小_____的方法叫做最
小二乘法．
自主探究 1．回归直线通过样本点的中心，对照平均数与样本数据之 间的关系，你能说说回归直线和散点图中各点之间的关系吗？
Hale Waihona Puke 2．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(毫克/升) 与消光系数如下表：
尿汞含量 x 2 4 6 8 10 消光系数 y 64 134 205 285 360 如果 y 与 x 之间具有线性相关关系，求回归直线的方程．
【解析】由散点图可知 y 与 x 线性相关，设回归直线方程为y^ ＝b^ x＋a^ 列表：
10
10
10
x ＝159.8， y ＝172，x2i ＝265 448，y2i ＝312 350，xiyi＝287 640
i＝1
i＝1
i＝1
设所求的回归直线方程为y^ ＝bx＋a，其中 a，b 的值使 Q＝
10
(yi－bxi－a)2 的值最小．
i＝1
10
xiyi－10 x y
i＝1
b^ ＝
一般规律吗？ (2)求回归直线方程； (3)预测当钢水含碳量为 1.6%时，应冶炼多少分钟？
思路点拨：先画出散点图，求出回归直线方程，再进行预 测．
【解析】(1)以 x 轴表示含碳量，y 轴表示冶炼时间，可作 散点图，如图所示：
从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性 相关．
(2)列出下表，并用科学计算器进行计算：
【答案】假设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，
记 x ＝1ni＝n1xi， y ＝1ni＝n1yi，则( x ， y )为样本点的中心，回归直
线一定过这一点，对于单变量样本数据而言，平均数是样本 数据的中心，类似地，对于双变量样本点而言，回归直线是 样本点的中心．
2．怎样画出散点图和回归直线？
2．求回归直线方程的步骤： (1)将已知的数据列表，列出 xi，yi，并求出 x2i ，y2i ，xiyi.
n
xiyi－n x ·y
课堂总结 1．变量相关关系又分为两种： (1)正相关：两个变量具有相同的变化趋势，一个变量增大 时，另一个变量也有增大的趋势；一个变量减小时，另一个变 量也有减小的趋势． (2)负相关：两个变量具有相反的变化趋势，一个变量增大 时，另一个变量有减小的趋势；一个变量减小时，另一个变量 有增大的趋势．
n
xi－ x yi－ y
n
xiyi－n x y
b^ ＝i＝1
i＝1
＝
，
n
n
xi－ x 2
xi2－n x 2
i＝1
i＝1
a^ ＝
y －b^ x
.
其中 x ＝1ni＝n1xi， y ＝1ni＝n1yi，
这
样
，
回
归
方
程
的
斜
率
为
^
b
，
截
距
为
^
a
，
回
归
方
自学导引
1．变量之间的相关关系 如果两个变量中一个变量取值一定时，另一个变量的取值 带有一定的_随__机__性___，那么这两个变量之间的关系，叫做相关 关系．如果散点图中点的分布是从左下角到右上角的区域，那
么这两个变量的相关关系称为___正_____相关，如果散点图中点 的分布是从左上角到右下角的区域，那么这两个变量的相关关 系称为_____负___相关．
要点阐释 回归直线方程问题 (1)回归直线方程的思想方法 ①回归直线：观察散点图的特征，发现各点大致分布在通 过散点图中心的一条直线附近．如果散点图中点的分布从整体 上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性 相关关系， 这条直线叫回归直线．
②显见，根据不同的标准可画出不同的直线来近似地表示
题型二 求回归方程 【例 2】 每立方米混凝土的水泥用量 x(单位：kg)与 28 天 后混凝土的抗压强度 y(单位：kg/cm2)之间的关系有如下数据：
求两变量间的回归直线的方程．
思路点拨：按照求回归直线方程的步骤和公式，写出回归 直线方程．
【解析】列表如下
∴b^ ＝1825198436－001－2×122×052×05722.6＝144334070≈0.304， a^＝ y －b^ x ＝72.6－0.304×205＝10.28， 于是所求的回归直线的方程是y^ ＝0.304x＋10.28.
i1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121
yi 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125
xiyi 10400 36000 39900 32745 22785 18090 25500 39155 47940 15125
房屋面积 x/m2 115 110 80 135 105 销售价格 y/万元 24.8 21.6 19.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图； (2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关 系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？
【解析】(1)数据对应的散点图如图所示：
(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价 格和房屋的面积之间具有相关关系，且是正相关．
【答案】 (1)建立直角坐标系，两轴的长度单位可以不一致． (2)将 n 个数据点(xi，yi)(n＝1,2,3，…，n)描在平面直角坐 标系中． (3)描的点可以是实心点，也可以是空心点． (4)画回归直线时，一定要画在多数点经过的区域．实际画 线时，先观察有哪两个点在直线上即可． (5)具体作回归直线时，用一把透明的直尺边缘在这些点间 移动，使它尽量靠近或通过大多数点，然后画出直线．
题型三 利用回归直线方程对总体进行估计 【例 3】 炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少 直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的 关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量 x 与冶炼时 间 y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：