随机信号分析
随机信号分析
d f X ( x ; t ) FX ( x; t ) dx
23/116
fX(x; t)
x
t
24/116
2
1
25/116
离散型二维随机向量的概率特性
联合密度函数：
f XY ( x, y) pij ( x xi , y y j )
i j
联合分布函数 ：
18/116
t
③
（4）时间离散、取值连续 C.R.Seq.
例：每隔单位时间对噪声电压抽样
X ( n)
2 0
n
1 2 3 4 5
19/116
2.1.2 基本概率特性
1. 例子
20/116
21/116
22/116
2.一阶（维）概率分布和密度函数 一阶概率分布函数定义：
FX ( x ; t ) P[ X (t ) x]
X1( ), X 2 ( ),
X n ( )
1
, X n ( ),
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5/116
则有
1 正面 t n时刻 X n ( ) X (n, ) 0 正面
其概率
P[ X (n, ) 1] p, P[ X (n, ) 0] q, p q 1
C.R.P. xf ( x; t )dx ( x ) m X (t ) E X (t ) xi P[ X (t ) xi ] D.R.P. i
X(t,ξ1) X(t,ξ2) X(t,ξ3) X(t,ξ4)
t
X(t1,ξ) X(t2,ξ) X(tn,ξ)
随机信号分析实验报告
随机信号分析实验报告引言：随机信号是指信号在时间或空间上的其中一种特性是不确定的，不能准确地预测其未来行为的一类信号。
随机信号是一种具有随机性的信号，其值在一段时间内可能是不确定的，但是可以通过概率论和统计学的方法来描述和分析。
实验目的：通过实验，学习了解随机信号的基本概念和特性，学习了解和掌握常见的随机信号分析方法。
实验原理：随机信号可以分为离散随机信号和连续随机信号。
离散随机信号是信号在离散时间点上，在该时间点上具有一定的随机性；而连续随机信号是信号在连续时间上具有随机性。
常见的随机信号分析方法包括概率密度函数、功率谱密度函数等。
实验器材：计算机、MATLAB软件、随机信号产生器、示波器、电缆、电阻等。
实验步骤：1.配置实验仪器：将随机信号产生器和示波器与计算机连接。
2.生成随机信号：调节随机信号产生器的参数，产生所需的随机信号。
3.采集数据：使用示波器采集随机信号的样本数据，并将数据导入MATLAB软件。
4.绘制直方图：使用MATLAB软件绘制样本数据的直方图，并计算概率密度函数。
5.计算统计特性：计算随机信号的均值、方差等统计特性。
6.绘制功率谱密度函数：使用MATLAB软件绘制随机信号的功率谱密度函数。
实验结果和讨论：我们采集了一段长度为N的随机信号样本数据，并进行了相应的分析。
通过绘制直方图和计算概率密度函数，我们可以看出随机信号的概率分布情况。
通过计算统计特性，我们可以得到随机信号的均值、方差等重要参数。
通过绘制功率谱密度函数，我们可以分析随机信号的频谱特性。
结论：本实验通过对随机信号的分析，加深了对随机信号的理解。
通过绘制直方图、计算概率密度函数、计算统计特性和绘制功率谱密度函数等方法，我们可以对随机信号进行全面的分析和描述，从而更好地理解随机信号的特性和行为。
2.王五,赵六.随机信号分析方法.物理学报,2024,30(2):120-130.。
通信原理第2章-随机信号分析
1 1 2
f ( x)dx f ( x)dx
a
2
在点 a 处取极大值: 1
2
■ a f x 左右平移
f x宽窄
a
x
37
二、正态分布函数
积分无法用闭合形式计算，要设法把这个积分式和可以在数学 手册上查出积分值的特殊函数联系起来，常引入误差函数和互 补误差函数表示正态分布函数。
38
三、误差函数和互补误差函数
39
40
四、为了方便以后分析，给出误差函数和互补误差 函数的主要性质：
41
42
2.5.4 高斯白噪声
43
这种噪声称为白噪声，是一种理想的宽带随机过程。 式子是一个常数，单位是瓦/赫兹。白噪声的自相关 函数：
说明，白噪声只有在 ＝0 时才相关，而在任意
两个时刻上的随机变量都是不相关的。白噪声的功 率谱和自相关函数如图。
F1 x1 ,
x1
t1
f1 x1 ,
t1
则称 f1 x1 , t1 为 (t的) 一维概率密度函数。
显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数 仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，没 有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，因 此需要在足够多的时间上考虑随机过程的多维分布函 数
60
用示波器观 察一个实现 的波形，如 图所示，是 一个频率近 似为fc，包 络和相位随 机缓变的正 弦波。
Df －fc
s(t)
S( f )
O (a) 缓慢变化的包络[a(t)]
O
频率近似为 fc (b)
窄带过程的频谱和波形示意
61
Df
fc
f
t
因此，窄带随机过程ξ(t)可表示成:
随机信号分析课后习题答案
随机信号分析课后习题答案随机信号分析课后习题答案随机信号分析是现代通信系统设计和信号处理领域中的重要基础知识。
通过对随机信号的分析，我们可以更好地理解和处理噪声、干扰等随机性因素对通信系统性能的影响。
下面是一些关于随机信号分析的课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 什么是随机信号？随机信号是在时间域上具有随机性质的信号。
与确定性信号不同，随机信号的每个样本值都是随机变量，其取值不是确定的。
随机信号可以用统计特性来描述，如均值、方差、功率谱密度等。
2. 什么是平稳随机信号？平稳随机信号是指在统计性质上不随时间变化的随机信号。
具体来说，平稳随机信号的均值和自相关函数不随时间变化。
平稳随机信号在实际应用中较为常见，因为它们具有一些方便的数学性质，可以简化信号处理的分析和设计。
3. 如何计算随机信号的均值？随机信号的均值可以通过对信号样本值的求平均来计算。
对于离散时间随机信号，均值可以表示为：E[x[n]] = (1/N) * Σ(x[n])其中，E[x[n]]表示信号x[n]的均值，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
4. 如何计算随机信号的方差？随机信号的方差可以用均方差来表示。
对于离散时间随机信号，方差可以表示为：Var[x[n]] = E[(x[n] - E[x[n]])^2]其中，Var[x[n]]表示信号x[n]的方差，E[x[n]]表示信号的均值。
5. 什么是自相关函数？自相关函数是用来描述随机信号与其自身在不同时间延迟下的相似性的函数。
自相关函数可以用来分析信号的周期性、相关性等特性。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = E[x[n] * x[n-m]]其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，E[ ]表示期望运算。
6. 如何计算随机信号的自相关函数？随机信号的自相关函数可以通过对信号样本值的乘积进行求平均来计算。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = (1/N) * Σ(x[n] * x[n-m])其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
《随机信号分析》课件
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
随机信号分析课件
密度函数
连续型随机变量
？
连续取值而非连续型或混合
型随机变量
分布函数定义：设(S，F ，P)是一概率空间，X(s)是定义在其上的 随机变量，R1={x:-∞<x< ∞}，对于任意x∈R1，令
FX(x)=P[X≤x] 称FX(x)为随机变量X的分布函数。
按分布函数的定义，当a<b时， P[a＜X≤b]如何用分布函数表示？
P[B|A]=P[B] P[A∩B]=P[A]P[B]
两个事件的独立性 具有相互对称性质
P[A|B]=P[A]
在概率独立性的定义中，一般是使用乘积公式，即 概率范畴的
P[A∩B]=P[A]P[B] 注意：互斥事件与统计独立的区别。
统计独立---- P[A∩B]=P[A]P[B]
概念 集合范畴的
概念
互斥----A∩B=φ ，P[A∩B]=P[φ]
几何概率的基本性质：
1 0P[A]1
2
P[S] 1
3
Pkn1
Ak
n k1
P
Ak
1.1.3 统计概率
f (n) A
nA n
事件频率的性质：
1Leabharlann 0f (n) A1
2
f (n) S
1
n
3
(n )
(n )
f f n Ai
Ai i 1
i 1
几种概率共有的基本性质：
P { X 2 } 1 P { X 2 } 1 P { X 0 } P { X 1 } 1 0 . 9 4- 4 0 8 0 0 0 3 . 0 9 0 . 9 0 ， 98 2
随机信号分析课件第5章
100%
计算方法
通过计算随机信号各个时刻取值 小于或等于某个值的概率，然后 绘制成函数图像。
80%
应用
用于分析随机信号的统计特性， 如均值、方差等。
数字特征
01
02
03
定义
数字特征是一组描述随机 信号统计特性的数值，如 均值、方差、偏度、峰度 等。
计算方法
通过计算随机信号的各个 数字特征，得到一组数值。
随机信号的特点
不确定性
随机信号的值是不确定的，无法准确预测。
统计特性
随机信号具有特定的统计特性，如均值、方差、概 率分布等。
时间变化性
随机信号的值随时间变化，但遵循一定的统计规律 。
随机信号的应用场景
01
02
03
04
通信系统
在通信系统中，随机信号可用 于模拟噪声和干扰，以测试系 统的抗干扰性能。
高通滤波器
允许高频信号通过，抑制低频信号。
滤波器分类与设计
带通滤波器
允许某一频段的信号通过，抑制其他 频段信号。
带阻滤波器
允许某一频段以外的信号通过，抑制 该频段信号。
滤波器分类与设计
模拟滤波器设计
使用电阻、电容、电感等元件实现。
数字滤波器设计
使用数字信号处理算法实现。
滤波器性能评估
01
02
03
频域分析
02
01
03
定义
频域分析是对随机信号在频率域上的表现形式进行的 研究。
主要内容
包括信号的功率谱密度、频率特性等。
目的
通过频域分析，可以了解信号的长期行为和变化规律 。
时频分析方法
1 2 3
短时傅里叶变换
随机信号分析
第9章 随机信号分析随机信号和确定信号是两类性质完全不同的信号，对它们的描述、分析和处理方法也不相同。
随机信号是一种不能用确定数学关系式来描述的，无法预测未来某时刻精确值的信号，也无法用实验的方法重复再现。
随机信号分为平稳和非平稳两类。
平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经。
本章所讨论的随机信号是平稳的且是各态历经的。
在研究无限长信号时，总是取某段有限长信号作分析。
这一有限长信号称为一个样本（或称子集），而无限长信号x(t)称为随机信号总体（或称集）。
各态历经的平稳随机过程中的一个样本的时间均值和集的平均值相等。
因此一个样本的统计特征代表了随机信号总体，这使得研究大大简化。
工程上的随机信号一般均按各态历经平稳随机过程来处理。
仅在离散时间点上给出定义的随机信号称为离散时间随机信号，即随机信号序列。
随机信号序列可以是连续随机信号的采样结果，也可以是自然界里实际存在的物理现象，即它们本身就是离散的。
平稳随机过程在时间上是无始无终的，即其能量是无限的，本身的Fourier 变换也是不存在的；但功率是有限的。
通常用功率谱密度来描述随机信号的频域特征，这是一个统计平均的频谱特性。
平稳随机过程统计特征的计算要求信号x(n)无限长，而实际上这是不可能的，只能用一个样本，即有限长序列来计算。
因此得到的计算值不是随机信号真正的统计值，而仅仅是一种估计。
本章首先介绍随机信号的数字特征，旨在使大家熟悉描述随机信号的常用特征量。
然后介绍描述信号之间关系的相关函数和协方差。
这些是数字信号时间域内的描述。
在频率域内，本章介绍功率谱及其估计方法，并给出了功率谱在传递函数估计方面的应用。
最后介绍描述频率域信号之间关系的函数---相干函数。
9.1 随机信号的数字特征9.1.1 均值、均方值、方差若连续随机信号x(t)是各态历经的，则随机信号x(t)均值可表示为： []⎰∞→==TT x dt t x Tt x E 0)(1)(limμ （9-1）均值描述了随机信号的静态（直流）分量，它不随时间而变化。
随机信号分析李晓峰
随机信号分析李晓峰引言随机信号分析是一门研究信号及其性质的学科，其在现代通信、图像处理、生物医学工程等领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍随机信号分析的基本概念、常见的分析方法以及李晓峰教授在随机信号分析领域的研究成果。
随机信号的定义随机信号是指在某个时间段内具有随机性质的信号。
其特点是信号的取值在时间和幅度上都是不确定的，只能通过概率统计的方法来描述。
一个随机信号可以用一个概率密度函数来描述其取值的分布情况。
随机信号有两种基本的分类方式：离散随机信号和连续随机信号。
离散随机信号是在离散的时间点上进行取样的信号，连续随机信号则是在连续的时间上变化的信号。
随机信号分析方法统计特性分析统计特性分析是随机信号分析的基本方法之一，它通过对信号进行统计分析，从而得到信号的数学特性。
常见的统计特性包括均值、方差、自相关函数和谱密度等。
均值是衡量随机信号集中程度的一个指标，它表示信号的中心位置。
方差则用来衡量信号的离散程度，方差越大表示信号的波动性越大。
自相关函数描述了信号在不同时间点之间的相关性，而谱密度则表示信号在不同频率上的能量分布情况。
概率密度函数分析随机信号的概率密度函数描述了信号取值的概率分布情况。
常见的概率密度函数包括高斯分布、均匀分布和指数分布等。
高斯分布是最常用的概率密度函数之一，其形状呈钟型曲线，具有对称性。
均匀分布则表示信号的取值在一个区间上是均匀分布的，而指数分布则表示信号的取值在一个时间段内的分布服从指数规律。
谱分析谱分析是通过对随机信号进行频域分析来研究其频率成分的分析方法。
常见的谱分析方法有功率谱密度分析和相关函数分析。
功率谱密度分析可以用来分析信号在不同频率上的能量分布情况，通过功率谱密度分析可以得到信号的频谱图。
相关函数分析则是通过对信号进行自相关操作，得到信号的相关函数，从而分析信号在不同频率上的相关性。
李晓峰教授的研究成果李晓峰教授是我国著名的随机信号分析专家，他在随机信号分析领域做出了许多重要的研究成果。
随机信号分析
随机信号分析随机信号是在时间或空间上具有随机性质的信号，其数学模型采用随机过程来描述。
随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其应用广泛涉及通信、控制、电力系统等领域。
本文将从随机信号的基本特性、常见的随机过程以及随机信号分析的方法等方面进行阐述。
随机信号的基本特性包括：平均性、相关性和功率谱密度。
首先，平均性是指随机信号的统计平均等于其数学期望值。
随机信号的平均性是通过计算信号在一定时间或空间范围内的平均值来描述的。
其次，相关性是指随机信号在不同时刻或不同空间位置上的取值之间存在一定程度的相关性。
相关性可以描述信号之间的相似度和相关程度，常用相关函数来表示。
最后，功率谱密度是用来描述信号在频域上的分布特性，它表示了随机信号在不同频率上所占的功率份额。
随机信号的常见模型主要有白噪声、随机行走、随机震荡等。
其中，白噪声是指功率谱密度在整个频率范围内均匀分布的信号，其在通信领域中应用广泛。
随机行走模型是一种随机过程，它描述了随机信号在不同时刻之间的步长是独立同分布的。
随机震荡模型是一种具有振荡特性的随机过程，常用于描述具有周期性或周期性变化的信号。
对于随机信号的分析方法，主要包括时间域分析和频域分析两种。
时间域分析是通过观察信号在时间上的波形和变化规律来分析随机信号的特性，常用的方法有自相关函数和互相关函数等。
频域分析是将信号转换为频率域上的功率谱密度来分析信号的频谱特性，常用的方法有傅里叶变换和功率谱估计等。
在实际应用中，随机信号的分析对于信号处理和系统设计具有重要意义。
在通信系统中，随机信号的噪声特性是衡量系统性能的关键因素之一，因此通过对随机信号的分析可以有效地优化通信系统的传输质量。
此外，在控制系统和电力系统中，随机信号的分析也能帮助我们进行系统建模和性能预测，从而实现系统的稳定性和可靠性。
综上所述，随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其对于各个领域的应用具有重要的意义。
通过对随机信号的基本特性、常见的随机过程以及分析方法的了解，可以为我们深入理解和应用随机信号提供帮助。
《随机信号分析》课件
连续随机信号
连续时间和连续幅度的随机信号，如噪声信号。
高斯随机信号
服从高斯分布的随机信号，常用于描述自然界 的随机现象。
非高斯随机信号
不服从高斯分布的随机信号，如脉冲信号和干 扰信号。
常见的随机信号分析方法
自相关分析
用于分析信号的自身相关性和 平稳性。
频谱分析
通过对信号进行频域分析，得 到信号的频谱特性。
统计特性分析
对信号的均值、方差等统计特 性进行分析。
使用MATLAB进行随机信号分析的步骤
1
准备据
收集并整理所需信号的数据。
2
数据预处理
对数据进行去噪、归一化等预处理操作。
3
信号分析
运用MATLAB提供的工具进行信号分析和特征提取。
随机信号分析的应用领域
通信系统
用于优化信道传输和抗干扰能力的研究。
金融市场
用于分析股票价格、汇率等随机变动的特性。
生物医学
用于分析心电图、脑电图等生物信号。
气象预报
用于分析天气数据，提高气象预报的准确性。
总结
通过本课件，您了解了随机信号的定义、特性、分类以及分析方法，以及其在不同领域的应用。
《随机信号分析》PPT课 件
本课件将介绍随机信号分析的基本概念和方法，包括随机信号的定义、特性、 分类以及常见的分析方法。
分析随机信号的定义
1 随机信号
随机信号是不确定的信号，具有随机性和不可预测性。
2 随机过程
随机信号可以看作是随时间变化的随机过程。
3 概率论基础
随机信号的定义和性质可以通过概率论进行分析和描述。
随机信号的特性
1 均值和方差
随机信号的均值和方差是 表征其平均值和离散程度 的重要特性。
随机信号分析
随机信号是一种不能用确定的数学关系式来描述的、无法预测未来时刻精确值的信号，也无法用实验的方法重复再现。
换言之，随机信号是指不能用确定性的时间函数来描述，只能用统计方法研究的信号。
其统计特性：概率分布函数、概率密度函数。
统计平均：均值、方差、相关。
随机信号分为平稳和非平稳两大类。
平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经。
1） 各态历经信号——指无限个样本在某时刻所历经的状态，等同于某个样本在无限时间里所经历的状态的信号。
2） 平稳随机信号——其均值和相关不随时间变化。
注：各态历经信号一定是随机信号，反之不然。
工程上的随机信号通常都按各态历经平稳随机信号来处理。
仅在离散时间点上给出定义的随机信号称为离散时间随机信号，即随机信号序列。
平稳随机信号在时间上的无限的，故其能量是无限的，只能用功率谱密度来描述随机信号的频域特性。
1. 随机信号的数字特征 均值、均方值、方差若连续随机信号x(t)是各态历经的，则随机信号x(t)的均值可表示为：⎰→∞==TT x dt t x Tt x E 0)(1lim)]([μ均值描述了随机信号的静态分量（直流）。
随机信号x(t)的均方值表达式为：dt t x TTT x)(1lim22⎰→∞=ψ2xψ表示信号的强度或功率。
随机信号x(t)的均方根值表示为：⎰→∞=T T x dt t x T 02)(1limψ x ψ也是信号能量的一种描述。
随机信号x(t)的方差表达式为：⎰-==-→∞Tx T x x dx t x Tx E 0222])([1lim])[(μσμ2xσ是信号的幅值相对于均值分散程度的一种表示，也是信号纯波动分量（交流）大小的反映。
随机信号x(t)的均方差（标准差）可表示为⎰-=→∞T x T x dx t x T 02])([1limμσ 它和2x σ意义相同。
平稳随机过程统计特征的计算要求信号x(t)无限长，而实际上只能用一个样本即有限长序列来计算。
第5章随机信号分析
Rxy () 0
R xy ( )
0 的最大峰值一般不在 处。
3. 估计
直接方法：
1 R ( m ) x ( n ) y ( n m ) xy N mn 0
^
N 1 m
1 R ( m ) y ( n ) x ( n m ) yx N mn 0
求傅立叶变换，得
N 1 ^
N 1N 1 1 j m j m R ( m ) e x ( n ) x ( n m ) e x N N N m ( N 1 ) m ( N 1 ) n 0
N 1 N 1 1 j m x ( n ) x ( n m ) e N N N n 0 m ( N 1 )
^
4 自相关函数的应用
检测淹没在随机噪声中的周期信号
x ( t ) x sin( t ) 0
T / 2 1 2 R ( ) lim x sin( t ) sin[ ( t ) ] dt x 0 T / 2 T T
t 令(
) ,则 dt 1 d
R 0 )R m ) X( X(
性质3
周期平稳过程的自相关函数必是周期函数， 且与过程的周期相同。
E[ X 2 (n)]
性质4
性质5
2 R ( 0 ) = EX [ ( n ) ] X
不包含任何周期分量的非周期平稳过程 满足
m 2 lim R ( m ) R ( ) X X X
平稳随机过程
均值和时间无关，是常数；自相关函数与时间的起点无关， 只与两点的时间差有关。
第三章 随机信号分析
随机信号是一类变化规律不确定的、随时间变化的 信号。知道当前的值，不能精确地预计未来某个时刻 的值。 一般来说，由人工产生的信号大都是确知信号，如 周期正弦波、雷达的发射信号等 自然界产生的许多信号都是随机信号，如海浪、地 物杂波、图象信号、语音信号、地震信号和医学上的 生理信号等。 在实际中遇到的信号，大部分都是随机信号。即使 由人工产生的信号是确知的，但信号经信道传输以后 也会受到噪声污染而变成了随机信号。
p1 x 1 , t 1 p1 x 1 , p 2 x 1 , x 2 , t 1 , t 1
p 2 x 1 , x 2 ,
24
2、严平稳随机过程的数字特征
（1） 数学期望（均值函数）:与时间无关
E X t
x p1 x , t d x
第三章 随机信号
1
学习目标
随机过程的基本概念; 随机过程的数字特征（均值函数、方差函数、相关函 数）; 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、 维纳－辛钦定理; 高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正 态分布函数，高斯白噪声; 平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值函数、 自相关函数和功率谱密度、带限白噪声; 窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其 同相分量、正交分量的统计特性； 余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性(选学） 匹配滤波器 2 循环平稳随机过程
13
如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数
或概率密度，即n越大，对随机过程统计特性的描述
就越充分，但问题的复杂性也随之增加。
14
2、随机过程的数字特征
第3章随机信号分析
➢ 随机信号：信号的某个或某几个参数不 能预知或不能完全预知。 ➢ 随机噪声：不能预测的噪声。（简称噪声）
➢ 随机过程：随机信号与随机噪声的统称。
1
主要内容
3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统
12
3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统
13
定义一：若随机过程的任何n维分布函数或概率 密度函数与时间起点无关，则称之为平稳随机过 程。（狭义）
即： fn (x 1 ,x 2 , x n ;t1 ,t2 , ,tn ) f n ( x 1 ,x 2 , x n ; t 1 ,t 2 , ,t n )
15
假设x(t)是平稳随机过程的任一实现，其数字特征为：
a
lim T
2
lim T
T 1 T 1 T 2 T 2 T 2T 2 [x x((tt)) dat]2dt
lim R ()T T 1 T 2 T 2x(t)x(t)dt
则由“各态历经性”可得随机过程的数字特征为：
a a
2 2
R ()R ()
平稳随机过程的数字特征： ① 数学期望和方差与t无关，分别为a和σ2 ② 自相关函数仅与时间间隔有关，即 R (t1,t1)R ()
14
定义二：数字特征满足上述特性的随机过程 称为平衡随机过程。（广义）
通信系统中的信号与噪声大部分都是平稳随 机过程。
平稳随机过程的各态历经性：平稳随机过 程的数字特征可由随机过程中的任一实现 的数字特征来决定，即随机过程的数字特 征可用“时间平均”代替“统计平均”。
第02章 随机信号分析 67页 1.4M PPT版
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数
随机信号分析第一章
02
随机信号的统计描
述
概率密度函数
定义
概率密度函数（PDF） 是描述随机信号在各个 时刻取值概率分布的函 数。
性质
概率密度函数具有非负 性、归一化性质，即概 率密度函数在全域上的 积分等于1。
计算方法
可以通过直方图法、核 密度估计法等方法计算 概率密度函数。
概率分布函数
定义
概率分布函数（CDF）是描述随机信号取值小于或等 于某个值的概率的函数。
随机信号的特性
统计特性
随机信号的统计特性包括均值、 方差、概率分布等，这些特性描 述了信号的平均行为和不确定性 。
时间特性
随机信号的时间特性包括自相关 函数、互相关函数、功率谱密度 等，这些特性描述了信号在不同 时间点的相关性以及频率成分。
随机信号的应用
通信
在通信领域，随机信号可用 于扩频通信、无线通信等领 域，以提高通信的抗干扰能 力和保密性。
05
随机信号的采样定
理
采样定理的内容
采样定理定义
对于一个时间连续的模拟信号，如果以不高于其最高频率分量的频 率进行采样，则可以无失真地恢复原始信号。
采样定理的数学表达式
如果信号的最高频率为Fmax，则采样频率应不小于2Fmax。
采样定理的意义
采样定理是数字信号处理的基础，它确保了从离散样本中能够准确 重建原始信号。
雷达与声呐
在雷达与声呐领域，随机信 号可用于目标检测、测距、 定位等方面，以提高探测的 精度和可靠性。
地球物理学
在地球物理学领域，随机信 号可用于地震勘探、矿产资 源探测等方面，以揭示地球 内部结构和物质分布。
金融与经济
在金融与经济领域，随机信 号可用于股票价格分析、市 场预测等方面，以揭示市场 动态和经济发展趋势。
随机信号分析课件
谱密度函数
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度分布。
04
随机信号的频域分析
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的方法， 通过将信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的线性组合， 可以更好地理解信号的频率成分。
功率谱密度的计算
功率谱密度可以通过傅里叶变换的模平方得到， 也可以通过相关函数得到。
功率谱密度的应用
功率谱密度在信号处理中用于频域滤波、噪声抑 制、频率估计等方面。
滤波器设计
滤波器的分类
滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波 器等类型，不同类型的滤波器具有不同的频率响应特性。
滤波器的设计方法
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、共轭性、对称 性等性质，这些性质有助于简化信号处理和分析的过程。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、通信、图像处理等领域有着广泛 的应用，例如频谱分析、滤波器设计、调制解调等。
功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度是描述随机信号频域特性的重要参数， 它表示信号功率随频率的分布情况。
04
通信
在通信领域中，随机信号分析 用于信道容量评估、信噪比估
计、误码率分析等方面。
雷达
在雷达领域中，随机信号分析 用于目标检测、跟踪和成像等
方面。
地球物理学
在地球物理学领域中，随机信 号分析用于地震勘探、矿产资
源评估等方面。
金融
在金融领域中，随机信号分析 用于股票价格波动分析、风险
评估等方面。
02
随机信号分析期末总结
随机信号分析期末总结随机信号分析是一门涉及信号处理、概率论和统计学的交叉学科，主要研究随机信号的特性、分析方法和应用。
随机信号是一种在时间和频率上都具有随机性质的信号，广泛应用于通信、图像处理、控制系统等领域。
在本学期的学习中，我系统地学习了随机信号的基本概念、统计特性和基本分析方法，并掌握了如何应用这些知识在实际问题中进行分析和处理。
首先，在学习随机信号的过程中，我对随机过程的概念和特性有了更深入的理解。
随机过程是一族具有随机性质的随时间变化的随机变量的集合，具有多种描述和分类方式。
我们可以用概率密度函数或累积分布函数来描述随机过程的概率特性，还可以通过均值函数、自相关函数和功率谱密度函数等统计特性来描述其时域和频域的特性。
通过学习，我了解了平稳性、宽带随机信号和高斯随机过程等重要的随机过程类别，并学会了如何从一个随机过程的统计特性来推断其所遵循的分布类型。
其次，在学习随机信号分析方法时，我掌握了基本的统计工具和频域分析方法。
在统计工具方面，我学习了矩阵运算、特征值分解和随机向量的概率特性等知识，这些工具在随机信号的统计分析和建模中有着广泛的应用。
在频域分析方法方面，我学习了傅里叶变换、功率谱密度估计和互相关函数等技术，这些方法能够有效地将随机信号转化为频域表示，并用于频域特性的分析和信号检测。
另外，在课程实践中，我通过编程和实验操作进一步巩固了所学的理论知识。
通过编写MATLAB程序，我实现了随机信号的生成、调制和解调过程，并对生成的信号进行了统计特性和频域特性的分析。
通过实验操作，我用实际的信号进行了统计特性和频域特性的测量，加深了对随机信号的认识和理解。
最后，在应用方面，我了解了随机信号在通信、图像处理、控制系统等领域的应用。
例如，在通信系统中，随机信号在信道建模、信号检测和误码率分析等方面有着重要的应用；在图像处理中，随机信号的统计特性和频域特性能够用于图像的噪声去除和图像增强等任务；在控制系统中，随机信号的自相关函数和互相关函数可以用于系统辨识和控制性能分析。
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x a(t)2 p1(x;t) dx
13
随机过程的自协方差函数
CX (t1,t2 ) E X (t1) a(t1)X (t2 ) a(t2 )
x1 a(t1) x2 a(t2 ) p2 (x1, x2; t1,t2 )dx1dx2
随机过程的自相关函数
RX (t1,t2 ) EX (t1)X (t2 )
R(t) P() lim FT () 2
T
T
9
卷积
卷积定义
卷积定理f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d
时域卷积定理
令
，
则有
f1(t) F1() f2 (t) F2 ()
f1(t) f2 (t) F1()F2 ()
频域卷积定理
令
，
则有
f1(t) F1() f2 (t) F2 ()
T T T / 2
R( ) R( ) lim 1 T /2 x(t)x(t )dt T T T / 2
16
平稳随机过程的功率谱密度
平稳随机过程的功率谱密度可以写为
PX
()
E
Px
()
E
lim T
XT ()
bn
2 T
T/ 2 T/ 2
f (t)sinn0tdt
f (t)
Fne jn 0t
n
3
Fn
1 T
T/2 T/2
f (t)ejn 0tdt
信号的傅里叶变换
一个非周期信号可以看成一个周期信号。 傅氏正变换
F( )
f (t)e j t dt
傅氏反变换
f (t) 1 F()ej td 2
f1(t)
f2
(t)
1 2π
[F1()
F2
()]
10
3.随机信号分析
概率及随机变量
概率分布函数
FX (x) P(X x)
分布函数属性
0 FX (x) 1
FX () 0, FX () 1
FX (是x)非降函数
P(x1 X x2 ) x2 pX (x)dx x1
11
随机分析 高斯随机过程 平稳随机过程通过系统的分析 窄带随机过程
1
1.信号和系统的分类
信号的分类
数字信号与模拟信号
周期信号与非周期信号
确定信号与随机信号
能量信号与功率信号
能量信号
T/ 2
E
f (t) 2 dt
T/ 2
功率信号
S lim 1 T/ 2 f (t) 2 dt T T T/ 2
自相关函数性质 R(t)=R(-t) R(0)≥|R(t)| R(0)表示能量或功率
8
相关函数与能量谱密度或功率谱密度之间的关系
对于互相关函数，有：
R12(t) F2 ()F1()
对于自相关函数，有：
R(t) F( )F( ) F( ) 2
所以，有：
R(t) E()
对于功率信号，同样有：
能量信号的R自12相(t)关
1 T
T/2 T / 2
f1( ) f2(t )d
功率信号的R自(t相) 关 f ( ) f (t )d
R(t) lim 1 T / 2 f ( ) f (t )d T T T / 2 7
互相关函数性质 若对于所有t，R12(t)=0，则两信号为互不相关 当t≠0时，若R12（t）≠ R21(t)， 而有R12(t)＝ R21(－t) 当t＝0时， R12(0)表示f1(t)， f2(t)在无时差 时的相关性
数学期望
方差
aX E[X ] xpX (x)dx E[g(x)] g(x) pX (x)dx
D[X ] E ( X aX )2
( X aX )2 pX (x)dx
协方差
C[ XY ] E ( XY ) aX aY
12
随机过程和它的统计特性
随机过程的定义
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的 时间函数描述。
4
信号的能量谱与功率谱
信号的能量谱
E f 2 (t) dt 1
2
F () d
2
1
E()d 2 E( f )df
2
0
上式中利用了帕什瓦尔定理及 F( ) 2 F( ) 2
式中 E() F()称2 之为能量谱密度。
5
信号的功率谱
P lim 1 T/ 2 f (t) 2 d t 1 lim FT () 2 d
x1x2 p2(x1, x2; t1,t2 )dx1dx2
14
平稳随机过程
定义
若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关， 也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有
fn (x1,x2 ,,xn ；t1,t2 ,,tn ) fn (x1, x2 ,, xn；t1 ,t2 ,,tn )
则称该随机过程是平稳随机过程。
15
平稳过程的自相关函数
R( ) EX (t)X (t )
性质
R( ) R( )
R(0) E X 2(t) S
R(0) R( )
各态历经性
aa
x(t)
lim
1
T /2
x(t) dt
2 2 lim T 1T T /2
T / 2
x(t) a 2 dt
T T T/ 2
2 T T
1
P()d 2 P( f )d f
0
上式中利用了帕什瓦尔定理及 P() P()
式中
P lim
FT
( )
2
称之为能量谱密度。
T T
6
波形的互相关和自相关
能量信号的互相关
功率信号的R互12相(t)关 f1( ) f2 (t )d
若两个信号R为12(周t)期 Tl信im号T1，T则T//22互f相1(关) f为2(t )d
理解1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。 理解2：看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
随机过程的数学期望
a(t) E X (t) xp1(x; t) dx
方差 2(t) DX (t) E X (t) E( X (t))2
EX (t) a(t)2
系统的分类
线性系统和非线性系统 时不变和时变系统
2
2.确定信号的分析
周期信号
周期信号的傅氏三角级数表示
f (t) a0 ancosn0t bnsinn0t n1
周期信号的傅氏指数级数表示
a0
1 T
T/ 2 T/ 2
f (t)dt
an
2 T
T/ 2 T/ 2
f (t)cosn0tdt