2021新高考数学二轮总复习专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问题含解析

专题突破练18 立体几何中的翻折问题及探索性问题

1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图

2.

(1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC;

(2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值.

2.

(2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点.

(1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由;

(2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.

3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1.

(1)求证:A1D∥平面BCC1B1;

(2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由.

4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2.

(1)证明:在图2中,平面ACG⊥平面BCG;

(2)设M为图2中线段CG上一点,且CM=1,若直线AG∥平面BMD,求图2中的直线BM与平面AHB 所成角的正弦值.

5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD 为菱形,且∠A=60°,取AD 中点为E.现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ,使得∠AEG=90°,如图2.

(1)求证:AE ⊥平面EBHG ; (2)求二面角A-GH-B 的余弦值;

(3)若点F 满足AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,当EF ∥平面AGH 时,求λ的值. 6.

如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是梯形,且BC ∥AD ,AC=CD=√22

AD ,AD=2PD=4BC=4. (1)求证:AC ⊥平面PCD ;

(2)求平面PCD 与平面PAB 所成的锐角的余弦值;

(3)在棱PD 上是否存在点M ,使得CM ∥平面PAB ?若存在,求PM PD

的值;若不存在,说明理由.

7.

(2020山东省实验中学模拟,19)在矩形ABCD 中,AB=3,AD=2,点E 是线段CD 上靠近点D 的一个三等分点,点F 是线段AD 上的一个动点,且DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1).如图,将△BEC 沿BE 折起至△BEG ,使得平面BEG ⊥平面ABED.

(1)当λ=1

时,求证:EF⊥BG;

2

(2)是否存在λ,使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为1

?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

3

8.

(2020河北衡水中学调研,18)已知,图中直棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,其中AA1=AC=2BD=4.又点E,F,P,Q分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上运动,且满足BF=DQ,CP-BF=DQ-AE=1.

(1)求证:E,F,P,Q四点共面,并证明EF∥平面PQB;

?如果存在,求出CP的长;如果不存在,请说明理由.

(2)是否存在点P使得二面角B-PQ-E的余弦值为√5

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专题突破练18立体几何中的

翻折问题及探索性问题

1.(1)证明在图1的△ABC中,D,E分别为AC,AB边中点,∴DE∥BC.

又AC⊥BC,∴DE⊥AC.

在图2中,DE⊥A1D,DE⊥DC,A1D∩DC=D,则DE⊥平面A1CD,

又DE ∥BC ,∴BC ⊥平面A 1CD.

又BC ⊂平面A 1BC ,∴平面A 1CD ⊥平面A 1BC.

(2)解由(1)知DE ⊥平面A 1CD ,且DE ⊂平面BCDE ,∴平面A 1CD ⊥平面BCDE.

又平面A 1CD ∩平面BCDE=DC ,

在等边三角形A 1CD 中过点A 1作A 1O ⊥CD ,垂足为O ,则O 为CD 中点,且A 1O ⊥平面BCDE ,分别以DC ,梯形BCDE 中位线,OA 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则A 1(0,0,√3),B (1,4,0),C (1,0,0),E (-1,2,0).

A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-√3),EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,√3),E

B ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0).设平面A 1BE 的法向量为n =(x 1,y 1,z 1), 则{EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =x 1-2y 1+√3z 1=0,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =2x 1+2y 1=0,

令x 1=1,则y 1=-1,z 1=-√3,∴平面A 1BE 的一个法向量为n =(1,-1,-√3).设直线A 1C 与平面A 1BE 所成角为θ,则sin θ=|cos |=

|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |

|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n |

=

√3)√3)|

√1+3×√1+1+3

=

2√5

5

. ∴直线A 1C 与平面A 1BE 所成角的正弦值为

2√55

.

2.解(1)当E 为BC 的中点时,CF ∥平面PAE.理由如下,

如图,分别取BC ,PA 的中点E ,G ,连接PE ,AE ,GE ,FG.

又F 是PD 的中点,∴FG ∥AD ,FG=1

2AD.