2021新高考数学二轮总复习专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问题含解析
大题专项训练18：立体几何(折叠问题)-2021届高三数学二轮复习 含答案详解
二轮大题专练18—立体几何（折叠问题）1．如图①，在长方形中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起（如图②)，使得平面ABD ⊥平面ABCF ．（1）判断AD 是否与BD 垂直，并说明理由．（2）图②中，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足，求AK 的取值范围． 解：（1）AD 与BD 不垂直．证明过程如下： 若AD BD ⊥，AD DF ⊥，BD DF D =，BD 、DF ⊂平面BDF ，AD ∴⊥平面BDF ，AD BF ∴⊥，BC AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABCF ，平面ABD ⋂平面ABCF AB =，BC ⊂平面ABCF ， BC ∴⊥平面ABD ，BC AD ∴⊥，又BF BC B =，BF 、BC ⊂平面ABCF ，AD ∴⊥平面ABCF ，AD AB ∴⊥，在翻折后的ABD ∆中，这是不可能的， 故AD 与BD 不垂直．（2）设AK t =，(01)CF x x =<<，则2DF x =-，DK AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABCF ，平面ABD ⋂平面ABCF AB =，DK ⊂平面ABD ，DK ∴⊥平面ABCF ，DK KF ∴⊥，由勾股定理知，221DK t =-，221(2)KF t x =+--，222DF DK KF =+，222(2)11(2)x t t x ∴-=-++--，化简整理得，12t x=-，在(0,1)x ∈上单调递增，∴112t <<，故AK 的取值范围为1(2，1)．2．如图1，已知菱形AECD 的对角线AC ，DE 交于点F ，点E 为AB 的中点．将三角形ADE 沿线段DE 折起到PDE 的位置，如图2所示． （Ⅰ）求证：DE PC ⊥；（Ⅱ）试问平面PFC 与平面PBC 所成的二面角是否为90︒，如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（Ⅲ）在线段PD ，BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面//CFM 平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：折叠前，四边形AECD 是菱形，AC DE ∴⊥，∴折叠后，DE PF ⊥，DE CF ⊥，PF CF F =，DE ∴⊥平面PCF ，PC ⊂平面PCF ，DE PC ∴⊥．（Ⅱ）解：平面PFC 与平面PBC 所成的二面角为90︒． 证明如下：四边形AECD 是菱形，//DC AE ∴，DC AE =， 又点E 为AB 的中点，//DC EB ∴，DC EB =，∴四边形DEBC 是平行四边形，//CB DE ∴，由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ，CB ∴⊥平面PCF ， CB ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCF ，∴平面PFC 与平面PBC 所成的二面角为90︒．（Ⅲ）解：在线段PD ，BC 上是分别存在点M ，N ，且M ，N 分别是PD ，BC 的中点，使得平面//CFM 平面PEN ． 证明如下：如图，分别取PD ，BC 的中点M ，N ，连结EN ，PN ，MF ，CM ， 四边形DEBC 是平行四边形，//EF CN ∴，12EF BC CN ==， 在PDE ∆中，M ，F 分别是PD ，DE 的中点，//MF PE ∴，F 、N 分别是DE 、BC 的中点，四边形DEBC 是平行四边形， //EF CN =∴，∴四边形EFCN 是平行四边形，//CF EN ∴，又EN ，PE ⊂平面PEN ，PE EN E =，MF ，CF ⊂平面CFM ，∴平面//CFM 平面PEN ．3．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90BAD ∠=︒，8AB =，4AD =，6DC =，点E 在CD 上，且4DE =，将三角形ADE 沿线段AE 折起到PAE 的位置，43PB =（如图2)．（Ⅰ）求证：平面PAE ⊥平面ABCE ；（Ⅱ）在线段PB 上是否存在点M ，使//CM 平面PAE ？若存在，求出PMMB的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）证明：取AE 的中点G ，连接PG ，GB ， 在AGB ∆中，由余弦定理可得222(22)82228cos 404BG π=+-=，22248PB BG PG ==+，所以PG GB ⊥，因为PA PE =，AG GE =，所以PG AE ⊥， 又AEGB G =，AE ⊂面ABCE ，GB ⊂面ABCE ，所以PG ⊥面PAE ，又PG ⊂面PAE ，所以面PAE ⊥面ABCE ； （Ⅱ）存在M ，满足13PM MB =，使得//CM 平面PAE ． 证明：取AB 的三等分点N ，且2AN =，连接CN ，则//EC AN ，且2EC AN ==， 所以四边形EANC 为平行四边形，可得//CN EA ，又3BN BMNA MP==，所以//MN AP ， 又//CN EA ，CN ⊂/面PAE ，AE ⊂面PAE ，所以//CN 面PAE ， 同理可得//MN 面PAE ，又MNNC N =，所以面//CMN 面PAE ，CM ⊂面CMN ，可得//CM 面PAE ．4．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD AB CD ===，4BC =，M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点，以AC 为折痕将ACD ∆折起，使点D 到达点P 位置(P ∉平面)ABC ．（1）若H 为直线QN 上任意一点，证明：//MH 平面ABP ； （2）若直线AB 与MN 所成角为4π，求三棱锥P ABC -的表面积．解：（1）证明：连接QM ．m ，N ，Q 分别是BC ，CD ，AC 的中点，//QM AB ∴，QM ⊂/平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， //QM ∴平面PAB ，同理//QN 平面PAB ，QM ⊂平面MNQ ，QN ⊂平面MNQ ，QMQN Q =，∴平面//MNQ 平面PAB ，MH ⊂平面MNQ ，//MH ∴平面PAB ．（2）解：在等腰梯形ABCD 中，作AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ， 由题意得2EF AD ==，4BC =，1cos 2BE ABE AB ∴∠==， ∴3ABE π∠=，ABE ∠与ADC ∠互补，23ADC π∴∠=， 在ADC ∆中，222cos 23AC AD DC AD DC ADC =+-∠=， 222BC AB AC ∴=+，AB AC ∴⊥， //BP MN ，ABP ∠为锐角，∴4ABP π∠=为直线AB 与MN 所成角，2AB AP ==，ABP ∴∆为等腰直角三角形，∴2 2.BP =∴三棱锥P ABC -的表面积为：PAB PBC PAC ABC S S S S S ∆∆∆∆=+++22211816411222241()232(3)22322222224+-=⨯⨯+⨯⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯ 2733=++．5．如图，已知图1中ABC ∆是等腰三角形，AC BC =，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，沿着DE 把CDE ∆折起到△C DE '，使得平面C DE '⊥平面BADE ，图2中2AD =，4AB =，F 为BC '的中点，连接EF ．（Ⅰ）求证：//EF 平面AC D '；（Ⅱ）求四棱锥C ABED '-的侧面积．（Ⅰ）证明：取AC '中点G ，连接DG ，FG ， 由点F 、G 分别是BC '，AC '的中点， 得//GF AB ，12GF AB =， 又//DE AB ，12DE AB =． 所以四边形DEFG 是平行四边形， 所以//DG EF ，且EF ⊂/平面AC D '， DG ⊂平面AC D '，所以//EF 平面AC D '；（Ⅱ）因为ABC ∆是等腰三角形，AC BC =，2AD =，4AB =， 所以90ACB ∠=︒，所以ABC ∆是等腰直角三角形，且22AC BC ==．分别取DE 、AB 的中点H 、I ，连接C H '，HI ，C I '，从而有C H DE '⊥．又因为平面C DE '⊥平面BADE ，平面C DE '⋂平面BADE DE =， 所以C H '⊥平面BADE ，又HI ⊂平面BADE ，所以C H HI '⊥，在△C HI '中，1C H HI '==，∴2C I '=，又翻折后，C A C B '='，在△C IA '中，6C A '=，∴四棱锥C ABED '-的侧面积为：221161212(2)()64213222222S =⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯⨯=++．6．如图，平行四边形ABCD 中，26AD AB ==，E ，F 分别为AD ，BC 的中点．以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，使点C 到达点M 的位置，点D 到达点N 的位置，且NF NA =． （1）求证：平面AFN ⊥平面NEB ；（2）若23BE =，求点F 到平面BEM 的距离．解：（1）证明：记AFBE O =，连结NO ，由题意知四边形ABFE 是菱形，AF BE ∴⊥，且O 是AF 、BE 的中点， NF NA =，AF NO ∴⊥， NOBE O =，NO ⊂平面NEB ，BE ⊂平面NEB ，AF ∴⊥平面NEB ，AF ⊂平面AFN ，∴平面AFN ⊥平面NEB ．（2）解：由（1）知NO AF ⊥，且AFBE O =，AF ⊂平面ABFE ，BE ⊂平面ABFE ，NO ∴⊥平面ABFE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OA 为y 轴，ON 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0A 6，0)，(3B -0，0)，(3E 0，0)，(0F ，6-0)，(0N ，06)，(0OM ON NM ON AB =+=+=，06)(3,6+-0)(3=66)，(3M ∴-6-6)，(3,6MN =0)，(23BE =，0，0)，(0BM =，6-6)，(3BF =6，0)，设平面BEM 的法向量(n x =，y ，)z ，则230660n BE x n BM z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得(0n =，1，1)，则点F 到平面BEM 的距离为：||63||2BF n d n ⋅===．7．如图1，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过A ，B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．若AB ＝AE ＝2，CD ＝5，DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 折起，且平面ADE ⊥平面ABFE （如图2）． （Ⅰ）证明：AF ⊥BD ；（Ⅱ）若CF ∥DE ，在线段AB 上是否存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为，若存在，求出AP 的值，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）证明：∵平面ADE ⊥平面ABFE ，DE ⊂平面ADE ， 平面ADE ∩平面ABFE ＝AE ，DE ⊥AE ，∴DE ⊥平面ABFE ，又AF ⊂平面ABFE ，∴DE ⊥AF ， 又正方形ABFE 中，AF ⊥BE ，且BE ∩DE ＝E ，DE⊂平面BDE，BE⊂平面BDE，∴AF⊥平面BDE，∵BD⊂平面BDE，∴AF⊥BD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DE、EA、EF两两垂直，如图建立空间直角坐标系，∵CF∥DE，CF⊥平面ABFE，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，2），D（0，0，1），＝（﹣2，0，1），＝（﹣2，2，2），设平面ACD的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，2），设P（2，t，0），且0≤t≤2，则＝（2，t﹣2，﹣2），设直线CP与平面ACD所成角为θ∵在线段AB上存在一点P，使得直线CP与平面ACD所成角的正弦值为，∴sinθ＝＝＝，解得t＝1或t＝﹣（舍）．∴AP＝1．8．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，以BE为折痕把△ABE折起使点A到达点A1的位置，且A1C ＝1，如图2．（1）证明：平面A1BE⊥平面BCDE；（2）求二面角C﹣A1B﹣E的余弦值．证明：（1）在图（1）中，∵AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，∠BAD＝，∴四边形ABCE为正方形，∴BE⊥AC，AO＝OC，即在图2中，A1O⊥BE，BE⊥OC，A1O＝OC＝，∵A1C＝1，∴在△A1OC中，+OC2＝，∴A1O⊥OC，∴A1O⊥平面BCDE，∵A1O⊂平面A1BE，∴平面A1BE⊥平面BCDE．解：（2）由（1）知OA1，OB，OC互相垂直，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，∴O（0，0，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），∴＝（﹣，，0），＝（0，，﹣），＝（0，，0），设平面A1BC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，1），由（1）得平面A1BE⊥平面BCDE，且OC⊥BE，∴OC⊥平面A1BE，∴＝（0，，0）是平面A1BE的法向量，设二面角C﹣A1B﹣E的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角C﹣A1B﹣E的余弦值为．。
2021年高考数学难点突破(新课标版) 专题12 立体几何中探索性问题(解析版)
专题12 立体几何中探索性问题专题概述立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．典型例题【例1】（2018•全国三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，90BAC ∠=︒，1AA BC ⊥，124AA AC AB ===，且11BC AC ⊥． （1）求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ；（2）设D 是11A C 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使得//DE 平面1ABC ．若存在，求二面角1E AC B --的余弦值．【分析】（1）推导出1AA AB ⊥，1A A AC ⊥，从而1A C ⊥平面1ABC ，由此能证明平面1ABC ⊥平面11A ACC ． （2）当E 为1B B 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ，取1A A 的中点F ，连接EF ，FD ，设点E 到平面1ABC的距离为d ，由11E ABC C ABE V V --=，求出d =A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角1E AC B --的余弦值．【解答】证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，1AA AB ∴⊥， 又1AA BC ⊥，ABBC B =，1AA ∴⊥平面ABC ，1A A AC ∴⊥．又1A A AC =，11AC AC ∴⊥．又11BC AC ⊥，111BC AC C =，1A C ∴⊥平面1ABC ，又1A C ⊂平面11A ACC ， ∴平面1ABC ⊥平面11A ACC ．解：（2）当E 为1B B 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ， 如图，取1A A 的中点F ，连接EF ，FD ， //EF AB ，1//DF AC ，又EFDF F =，1ABAC A =，∴平面//EFD 平面1ABC ，则有//DE 平面1ABC ．设点E 到平面1ABC 的距离为d ，AB AC ⊥，且1AA AB ⊥，AB ∴⊥平面11A ACC ，1AB AC ∴⊥，∴1122BAC S=⨯= 1A A AC ⊥，AB AC ⊥，AC ∴⊥平面11A ABB ， 11//AC AC ，11AC ∴⊥平面11ABB ，∴11111182243323C ABE ABE V S AC -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 由1183E ABC C ABE V V --==，解得188333ABC d S=⨯==以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， (0A ，0，0)，(2B ，0，0)，1(0C ，4，4)，(2E ，0，2)， 1(0AC =，4，4)，(2AB =，0，0)，(2AE =，0，2)，设平面1AC E 的法向量(n x =，y ，)z ，则1440220n AC y z n AE x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1x =，得(1n =，1，1)-， 设平面1AC B 的法向量(m x =，y ，)z ，则144020m AC y z m AB x ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩，取1y =，得(0m =，1，1)-， 设二面角的平面角为θ， 则6cos ||||32m n m n θ===．∴二面角1E AC B --【例2】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，且1BC BB ==，1160A AB A AD ∠=∠=︒． （1）求证：1BD CC ⊥；（2）若动点E 在棱11C D 上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面1BDB ．【分析】（1）连接1A B ，1A D ，AC ，则△1A AB 和△1A AD 均为正三角形，设AC 与BD 的交点为O ，连接1A O ，则1AO BD ⊥，由四边形ABCD 是正方形，得AC BD ⊥，从而BD ⊥平面1A AC ．进而1BD AA ⊥，由此能证明1BD CC ⊥．（2）推导出11A B A D ⊥，1AO AO ⊥，1AO BD ⊥，从而1A O ⊥底面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法能求出当E 为11D C 的中点时，直线DE 与平面1BDB ． 【解答】解：（1）连接1A B ，1A D ，AC ， 因为1AB AA AD ==，1160A AB A AD ∠=∠=︒， 所以△1A AB 和△1A AD 均为正三角形， 于是11A B A D =．设AC 与BD 的交点为O ，连接1A O ，则1AO BD ⊥， 又四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 而1A OAC O =，所以BD ⊥平面1A AC ．又1AA ⊂平面1A AC ，所以1BD AA ⊥，又11//CC AA ，所以1BD CC ⊥．（2）由11A B A D ==2BD ==，知11A B A D ⊥，于是1112AO AO BD AA ===，从而1AO AO ⊥， 结合1AO BD ⊥，1A AC O =，得1A O ⊥底面ABCD ，所以OA 、OB 、1OA 两两垂直．如图，以点O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -， 则(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(0D ，1-，0)，1(0A ，0，1)，(1C -，0，0)， (0,2,0)DB =，11(1,0,1)BB AA ==-，11(1,1,0)D C DC ==-，由11(1,0,1)DD AA ==-，得1(1D -，1-，1)．设111([0,1])D E D C λλ=∈，则(1E x +，1E y +，1)(1E z λ-=-，1，0)，即(1E λ--，1λ-，1)， 所以(1,,1)DE λλ=--．设平面1B BD 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由100n DB n BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00y x z =⎧⎨-+=⎩令1x =，得(1,0,1)n =，设直线DE 与平面1BDB 所成角为θ，则sin |cos ,|2DE n θ=<>==⨯解得12λ=或13λ=-（舍去）， 所以当E 为11D C 的中点时，直线DE 与平面1BDB ．【变式训练】（2018•全国三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，90BAC ∠=︒，1AA BC ⊥，124AA AC AB ===，且11BC AC ⊥ （1）求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC（2）设D 是11A C 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使//DE 平面1ABC ，若存在，求点E 到平面1ABC 的距离．【分析】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，由侧面11ABB A 是矩形，可得1AA AB ⊥，又1AA BC ⊥，可得1AA ⊥平面ABC ，得到1AA AC ⊥，进一步有11AC AC ⊥，结合11BC AC ⊥，可得1A C ⊥平面1ABC ，由面面垂直的判定得平面1ABC ⊥平面11A ACC ；（2）当E 为1BB 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ，取1AA 的中点F ，连接EF ，FD ，由面面平行的判定和性质可得//DE 平面1ABC ，咋爱优等体积法可求点E 到平面1ABC 的距离为． 【解答】（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形， 1AA AB ∴⊥，又1AA BC ⊥，AB BC B =，1AA ∴⊥平面ABC ，1AA AC ∴⊥，又1AA AC =，11AC AC ∴⊥， 又11BC AC ⊥，111BC AC C =，1A C ∴⊥平面1ABC ，又1A C ⊂平面11A ACC ， ∴平面1ABC ⊥平面11A ACC ；（2）解：当E 为1BB 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ， 如图，取1AA 的中点F ，连接EF ，FD ， //EF AB ，1//DF AC ，又EF DF F =，1ABAC A =，∴平面//EFD 平面1ABC ，又DE ⊂平面EFD ，//DE ∴平面1ABC ，又11E ABC C ABE V V --=，11C A ⊥平面ABE ，设点E 到平面1ABC 的距离为d ，∴111122243232d ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，得d =∴点E 到平面1ABC ．专题强化1．（2020•3月份模拟）如图．在正三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面，且底面三角形ABC 是等边三角形）中，1BC CC =，M 、N 、P 分别是1CC ，AB ，1BB 的中点． （1）求证：平面//NPC 平面1AB M ；（2）在线段1BB 上是否存在一点Q 使1AB ⊥平面1A MQ ？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，也请说明理由．【分析】（1）由M 、N 、P 分别是1CC ，AB ，1BB 的中点．利用平行四边形、三角形中位线定理即可得出1//NP AB ，1//CP MB ，再利用线面面面平行的判定定理即可得出结论．（2）假设在线段1BB 上存在一点Q 使1AB ⊥平面1A MQ ．四边形11ABB A 是正方形，因此点Q 为B 点．不妨取2BC =．判断10AB MQ =是否成立即可得出结论．【解答】（1）证明：M 、N 、P 分别是1CC ，AB ，1BB 的中点． 1//NP AB ∴，四边形1MCPB 为平行四边形，可得1//CP MB ，NP ⊂/平面1AB M ；1AB ⊂平面1AB M ；//NP ∴平面1AB M ；同理可得//CP 平面1AB M ；又CP NP P =，∴平面//NPC 平面1AB M ．（2）假设在线段1BB 上存在一点Q 使1AB ⊥平面1A MQ ． 四边形11ABB A 是正方形，因此点Q 为线段1BB 的中点． 不妨取2BC =．(0M ，1-，1)，(0Q ，1，0)，A 0，0)，1(0B ，1，2)，1(AB =-1，2)，(0MQ =，2，1)-， 10AB MQ =．∴在线段1BB 上存在一点Q ，使1AB ⊥平面1A MQ ，其中点Q 为线段1BB 的中点2．（2020•湖南模拟）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直．已知2AB =，1EF =． （Ⅰ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ； （Ⅰ）求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；（Ⅰ）当AD 的长为何值时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60︒？【分析】()I 利用面面垂直的性质，可得CB ⊥平面ABEF ，再利用线面垂直的判定，证明AF ⊥平面CBF ，从而利用面面垂直的判定可得平面DAF⊥平面CBF；()II确定ABF∠为直线AB与平面CBF所成的角，过点F作FH AB⊥，交AB于H，计算出AF，即可求得直线AB与平面CBF所成角的大小；（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面DCF的法向量1(0,2,n t=，平面CBF的一个法向量21(0)2n AF==-，利用向量的夹角公式，即可求得AD的长．【解答】()I证明：平面ABCD⊥平面ABEF，CB AB⊥，平面ABCD⋂平面ABEF AB=，CB∴⊥平面ABEF．AF ⊂平面ABEF，AF CB∴⊥，⋯（2分）又AB为圆O的直径，AF BF∴⊥，AF∴⊥平面CBF．⋯（3分）AF ⊂平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF．⋯（4分）()II解：根据（Ⅰ）的证明，有AF⊥平面CBF，FB∴为AB在平面CBF内的射影，因此，ABF∠为直线AB与平面CBF所成的角⋯（6分）//AB EF，∴四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FH AB⊥，交AB于H．2AB=，1EF=，则122AB EFAH-==．在Rt AFB∆中，根据射影定理2AF AH AB=，得1AF=．⋯（8分）∴1sin2AFABFAB∠==，30ABF∴∠=︒．∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30︒．⋯（9分）（Ⅰ）解：设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设(0)AD t t=>，则点D的坐标为(1，0，)t，则(1C-，0，)t，1(1,0,0),(1,0,0),(2A B F-∴1(2,0,0),(,)2CD FD t==⋯（10分）设平面DCF的法向量为1(,,)n x y z=，则1n CD =，1n FD =，即200.xy tz=⎧⎪⎨+=⎪⎩令z=0x=，2y t=，∴1(0,2,n t=⋯（12分）由()I 可知AF ⊥平面CFB ，取平面CBF 的一个法向量为21(0)2n AF ==-，依题意1n 与2n 的夹角为60︒，∴1212cos60||||n n n n ︒=，即12=，解得t =因此，当AD DFC 平面FCB 所成的锐二面角的大小为60︒．⋯（14分）3．（2019•全国二模）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是棱11B C 的中点． （Ⅰ）求证：1//AC 平面1A BD ；（Ⅰ）若AB AC ==12BC BB ==，在棱AC 上是否存在点M ，使二面角1B A D M --的大小为45︒，若存在，求出AMAC的值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）先连接1AB ，交1A B 于点O ，再由线面平行的判定定理，即可证明1//AC 平面1A BD ； （Ⅰ）先由题意得AB ，AC ，1AA 两两垂直，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，设(0M ，a ，0)，(02)a，求出两平面的法向量，根据法向量夹角余弦值以及二面角的大小列出等式，即可求出a ，进而可得出结果．【解答】证明：（Ⅰ）连接1AB ，交1A B 于点O ，则O 为1AB 中点， 连接OD ，又D 是棱11B C 的中点，1//OD AC ∴， OD ⊂平面1A BD ，1AC ⊂/平面1A BD ，1//AC ∴平面1A BD ．解：（Ⅰ）由已知AB AC ⊥，则AB ，AC ，1AA 两两垂直， 以A 为原点，如图建立空间直角坐标系A xyz -，则B ，1(0A ，0，2)，D ，2)，(0C0)， 设(0M ，a ，0)，(02)a，则1(BA =-，12(22A D =，0)，1(0A M =，a ，2)-， 设平面1BA D 的法向量为(n x =，y ，)z ，则11220202n BA z n A D y ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1z =，得(2,n =-1)． 设平面1A DM 的法向量为(m x =，y ，)z ，则1120202m A M ay z m A D y ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，2x =-，得(2m =-，2，)a ． 二面角1BA D M --的大小为45︒， 2|||2222cos 45|cos ,|||||58m na m n m n a --+∴︒=<>===+，23240a ∴+-=，解得a =-a =02a ，3a ∴=， ∴存在点M ，此时23AM AC =，使二面角1B A D M --的大小为45︒．4．（2019•3月份模拟）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 为BC 边上一点，BD =122AA AB AD ===．（1）证明：平面1ADB ⊥平面11BB C C ．（2）若BD CD =，试问：1A C 是否与平面1ADB 平行？若平行，求三棱锥11A A B D -的体积；若不平行，请说明理由．【分析】（1）先证AD 与BC ，1BB 垂直，进而得线面垂直，面面垂直；（2）连接1A B 得中点E ，利用中位线得线线平行，进而得线面平行，再利用等分三棱柱的方法求得三棱锥的体积．【解答】解：（1）证明：2AB =，1AD =，BDAD BD ∴⊥，1AA ⊥平面ABC ， 1BB ∴⊥平面ABC ， 1BB AD ∴⊥，AD ∴⊥平面11BB C C ，∴平面1ADB ⊥平面11BB C C ；（2）1A C 与平面1ADB 平行，证明如下：连接1A B 交1AB 于E ，连接DE ，则E 为1AB 中点， BD CD =，1//AC DE ∴， 又1A C ⊂/平面1ADB ，DE ⊂平面1ADB ， 1//AC ∴平面1ADB ， 利用三等分三棱柱的知识可知， 1111116A A B D A B C ABC V V --=116ABC S AA ∆=⨯ 11162BC AD AA =⨯⨯⨯ 111262=⨯⨯⨯=．故三棱锥11A A B D -． 5．（2018秋•全国期末）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，111112AA A B AB ===，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ．（1）若点M 是AD 的中点，求证：1//C M 平面11AA B B ；（2）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D --的余弦值为13？若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接1B A ，推导出四边形11AB C M 是平行四边形，从而11//C M B A ，由此能证明1//C M 平面11AA B B ．（2）取BC 中点Q ，连接AQ ，推导出AQ BC ⊥，AQ AD ⊥，分别以AQ ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】证明：（1）连接1B A ，由已知得，11////B C BC AD ，且1112B C AM BC == 所以四边形11AB C M 是平行四边形，即11//C M B A ⋯（2分）又1C M ⊂/平面11AA B B ，1B A ⊂平面11AA B B ， 所以1//C M 平面11AA B B ⋯（4分）解：（2）取BC 中点Q ，连接AQ ，因为ABCD 是菱形，且60ABC ∠=︒， 所以ABC ∆是正三角形，所以AQ BC ⊥，即AQ AD ⊥， 由于1AA ⊥平面ABCD ⋯（6分）所以，分别以AQ ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 如图(0A ，0，0)，1(0A ，0，1)，1(0D ，1，1)，Q 假设点E 存在，设点E的坐标为,0)λ，11λ-， (3,0)AE λ=，1(0,1,1)AD =⋯（7分）设平面1AD E 的法向量(,,)n x y z =则100n AE n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y y z λ+=+=⎪⎩，可取(,3,n λ=-⋯（9分）平面1ADD 的法向量为(3,0,0)AQ =⋯（10分） 所以，31|cos ,|33AQ n λ<>==，解得：λ=（11分） 又由于二面角1E AD D --大小为锐角，由图可知，点E 在线段QC 上， 所以λ=，即1CE =（12分）6．（2019•山东模拟）如图所示的矩形ABCD 中，122AB AD ==，点E 为AD 边上异于A ，D 两点的动点，且//EF AB ，G为线段ED 的中点，现沿EF 将四边形CDEF 折起，使得AE 与CF 的夹角为60︒，连接BD ，FD ．（1）探究：在线段EF 上是否存在一点M ，使得//GM 平面BDF ，若存在，说明点M 的位置，若不存在，请说明理由；（2）求三棱锥G BDF -的体积的最大值，并计算此时DE 的长度．【分析】（1）取线段EF 的中点M ，由G 为线段ED 的中点，M 为线段EF 的中点，可得//GM DF ，再由线面平行的判定可得//GM 平面BDF ；（2）由//CF DE ，且AE 与CF 的夹角为60︒，可得AE 与DE 的夹角为60︒，过D 作DP 垂直于AE 交AE 于P ，由已知可得DP 为点D 到平面ABFE 的距离，设DE x =，则4AE BF x ==-，然后利用等积法写出三棱锥G BDF -的体积，再由基本不等式求最值，并求出DE 的长度． 【解答】（1）解：取线段EF 的中点M ，有//GM 平面BDF ． 证明如下：如图所示，取线段EF 的中点M ， G 为线段ED 的中点，M 为线段EF 的中点， GM ∴为EDF ∆的中位线，故//GM DF ，又GM ⊂/平面BDF ，DF ⊂平面BDF ，故//GM 平面BDF ； （2）解：//CF DE ，且AE 与CF 的夹角为60︒， 故AE 与DE 的夹角为60︒， 过D 作DP 垂直于AE 交AE 于P ，由已知得DE EF ⊥，AE EF ⊥，EF ∴⊥平面AED ， 则DP 为点D 到平面ABFE 的距离， 设DE x =，则4AE BF x ==-， 由（1）知//GM DF ， 故111333[1(4)](4)332G BDF M BDF D MBF MBF V V V S DP x x x x ---∆====⨯⨯⨯-⨯=-， 当且仅当4x x -=时等号成立，此时2x DE ==．故三棱锥G BDF -，此时DE 的长度为2．7．（2018•全国模拟）如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，112AD AB BC ===，PD ⊥平面ABCD ，PD =M 为PC 上的动点．（Ⅰ）当M 为PC 的中点时，在棱PB 上是否存在点N ，使得//MN 平面PDA ？说明理由； （Ⅰ）BDM ∆的面积最小时，求三棱锥M BCD -的体积．【分析】（Ⅰ）当N 为PB 中点时，//MN 平面PDA ．取PB 的中点N ，连接MN ，由M ，N 分别为PC ，PB 中点，可得//MN BC ，又//BC AD ，得//MN AD ，再由直线与平面平行的判定对立即可证明//MN 平面PDA ；（Ⅰ）由PD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，知PD BD ⊥，又BD CD ⊥，CDPD D =，得BD ⊥平面PCD ，又MD ⊂平面PDC ，可得BD MD ⊥，进一步得到DBM ∆为直角三角形，当MD PC ⊥时BDM∆的面积最小，然后利用等积法即可求出三棱锥M BCD -的体积． 【解答】解：（Ⅰ）当N 为PB 中点时，//MN 平面PDA ． 证明如下：取PB 的中点N ，连接MN ，M ，N 分别为PC ，PB 中点，//MN BC ∴，又//BC AD ， //MN AD ∴，又DA ⊂平面PDA ，MN ⊂/平面PDA ， //MN ∴平面PDA ；（Ⅰ）由PD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，知PD BD ⊥， 又BD CD ⊥，CDPD D =，BD ∴⊥平面PCD ，又MD ⊂平面PDC ，BD MD ∴⊥，DBM ∴∆为直角三角形．当MD PC ⊥时BDM ∆的面积最小． 在底面直角梯形ABCD 中，由90ABC BAD ∠=∠=︒，112AD AB BC ===，得CD =BD ∴==在Rt PDC ∆中，由PD =CD =可得PC =MD =．则CM =122MCD S ∆∴=⨯=．∴1133M BCD B MCD MCD V V S BD --∆===⨯=8．（2018•全国二模）直三棱柱111ABC A B C -中，14AC AA ==，AC BC ⊥． （Ⅰ）证明：11AC A B ⊥；（Ⅰ）当BC 的长为多少时，直线1A B 与平面1ABC 所成角的正弦值为13．【分析】（Ⅰ）由BC AC ⊥，1BC AA ⊥，得BC ⊥平面11AA C C ，从而1AC BC ⊥，连结1A C ，四边形11AA C C 是正方形，则11AC AC ⊥，由此能证明1AC ⊥平面1A BC ，从而11AC A B ⊥． （Ⅰ）以C 为原点，CA 、CB 、1CC 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，利用向量法能求出a ．【解答】证明：（Ⅰ）BC AC ⊥，1BC AA ⊥，1AC AA A =，BC ∴⊥平面11AA C C ，又1AC ⊂平面11AA C C ，1AC BC ∴⊥，连结1A C ，四边形11AA C C 是正方形，11AC AC ∴⊥， 且1BCA C C =，1AC ∴⊥平面1A BC ，又1A B ⊂平面1A BC ，11AC A B ∴⊥．解：（Ⅰ）以C 为原点，CA 、CB 、1CC 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -， 设BC a =，则(0C ，0，0)，(4A ，0，0)，(0B ，a ，0)，1(0C ，0，4)，1(4A ，0，4)， 1(4A B =-，a ，4)-，(4AB =-，a ，0)，1(4AC =-，0，4)，设平面1ABC 的法向量为(n x =，y ，)z ，则140440AB n x ay AC n x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取x a =，得(n a =，4，)a ，直线1A B 与平面1ABC 所成角的正弦值为13．1|cos A B ∴<，221||332216n a ==++．解得4a =．9．（2018•新课标Ⅰ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？说明理由．【分析】（1）通过证明CD AD ⊥，CD DM ⊥，证明CM ⊥平面AMD ，然后证明平面AMD ⊥平面BMC ； （2）存在P 是AM 的中点，利用直线与平面平行的判断定理说明即可．【解答】（1）证明：矩形ABCD 所在平面与半圆弦CD 所在平面垂直，所以AD ⊥半圆弦CD 所在平面，CM ⊂半圆弦CD 所在平面， CM AD ∴⊥，M 是CD 上异于C ，D 的点．CM DM ∴⊥，DMAD D =，CM ∴⊥平面AMD ，CM ⊂平面CMB ，∴平面AMD ⊥平面BMC ；（2）解：存在P 是AM 的中点， 理由：连接BD 交AC 于O ，取AM 的中点P ，连接OP ，可得//MC OP ，MC ⊂/平面BDP ，OP ⊂平面BDP ， 所以//MC 平面PBD ．。
2021新高考数学二轮复习：专题突破练18 立体几何中的翻折问题及探索性问题
专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问题1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图2.(1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC;(2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值.2.(2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点.(1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由;(2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1.(1)求证:A1D∥平面BCC1B1;(2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由.4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2.(1)证明:在图2中,平面ACG ⊥平面BCG ;(2)设M 为图2中线段CG 上一点,且CM=1,若直线AG ∥平面BMD ,求图2中的直线BM 与平面AHB 所成角的正弦值.5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD 为菱形,且∠A=60°,取AD 中点为E.现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ,使得∠AEG=90°,如图2.(1)求证:AE ⊥平面EBHG ; (2)求二面角A-GH-B 的余弦值;(3)若点F 满足AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,当EF ∥平面AGH 时,求λ的值.6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是梯形,且BC∥AD,AC=CD=√2AD,AD=2PD=4BC=4.2(1)求证:AC⊥平面PCD;(2)求平面PCD与平面PAB所成的锐角的余弦值;(3)在棱PD上是否存在点M,使得CM∥平面PAB?若存在,求PM的值;若不存在,说明理由.PD7.(2020山东省实验中学模拟,19)在矩形ABCD 中,AB=3,AD=2,点E 是线段CD 上靠近点D 的一个三等分点,点F 是线段AD 上的一个动点,且DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1).如图,将△BEC 沿BE 折起至△BEG ,使得平面BEG ⊥平面ABED. (1)当λ=12时,求证:EF ⊥BG ;(2)是否存在λ,使得FG 与平面DEG 所成的角的正弦值为13?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 8.(2020河北衡水中学调研,18)已知,图中直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,其中AA 1=AC=2BD=4.又点E ,F ,P ,Q 分别在棱AA 1,BB 1,CC 1,DD 1上运动,且满足BF=DQ ,CP-BF=DQ-AE=1. (1)求证:E ,F ,P ,Q 四点共面,并证明EF ∥平面PQB ;(2)是否存在点P 使得二面角B-PQ-E 的余弦值为√5?如果存在,求出CP 的长;如果不存在,请说明理由.专题突破练18 立体几何中的翻折问题及探索性问题1.(1)证明 在图1的△ABC 中,D ,E 分别为AC ,AB 边中点,∴DE ∥BC.又AC ⊥BC ,∴DE ⊥AC.在图2中,DE ⊥A 1D ,DE ⊥DC ,A 1D ∩DC=D ,则DE ⊥平面A 1CD , 又DE ∥BC ,∴BC ⊥平面A 1CD.又BC ⊂平面A 1BC ,∴平面A 1CD ⊥平面A 1BC.(2)解 由(1)知DE ⊥平面A 1CD ,且DE ⊂平面BCDE ,∴平面A 1CD ⊥平面BCDE.又平面A 1CD ∩平面BCDE=DC , 在等边三角形A 1CD 中过点A 1作A 1O ⊥CD ,垂足为O ,则O 为CD 中点,且A 1O ⊥平面BCDE ,分别以DC ,梯形BCDE 中位线,OA 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(0,0,√3),B (1,4,0),C (1,0,0),E (-1,2,0). A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-√3),EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,√3),EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0).设平面A 1BE 的法向量为n =(x 1,y 1,z 1), 则{EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =x 1-2y 1+√3z 1=0,EB⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =2x 1+2y 1=0, 令x 1=1,则y 1=-1,z 1=-√3,∴平面A 1BE 的一个法向量为n =(1,-1,-√3).设直线A 1C 与平面A 1BE 所成角为θ,则sin θ=|cos <A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n |=√3)√3)|1+3×1+1+3=2√55. ∴直线A 1C 与平面A 1BE 所成角的正弦值为2√55. 2.解 (1)当E 为BC 的中点时,CF ∥平面PAE.理由如下,如图,分别取BC ,PA 的中点E ,G ,连接PE ,AE ,GE ,FG.又F 是PD 的中点,∴FG ∥AD ,FG=12AD.又四边形ABCD 为正方形,则AD ∥BC ,AD=BC ,∴FG ∥BC ,FG=12BC.又E 是BC 的中点,∴FG ∥CE ,FG=CE ,则四边形ECFG 是平行四边形,∴CF ∥EG.又EG ⊂平面PAE ,CF ⊄平面PAE , ∴CF ∥平面PAE.(2)如图,取AD 中点O ,连接PO ,OE ,又PA=PD ,∴PO ⊥AD.∵平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ∩平面ABCD=AD ,PO ⊂平面PAD ,∴PO ⊥平面ABCD.∴以O 为原点,OA ,OE ,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2,则A (1,0,0),B (1,2,0),C (-1,2,0),P (0,0,√3),F -12,0,√32,∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ =-32,0,√32,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-√3), 设平面PBC 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{-2x =0,x +2y -√3z =0,令y=3,得x=0,z=2√3,则平面PBC 的一个法向量n =(0,3,2√3),∴|cos <n ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ||AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|√21×√3|=√77,∴直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值为√77.3.(1)证明 如图所示,连接B 1C ,∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AB CD ,又A 1B 1 AB ,∴A 1B 1 CD ,∴四边形A 1B 1CD 为平行四边形,∴A 1D ∥B 1C. 又B 1C ⊂平面BCC 1B 1,A 1D ⊄平面BCC 1B 1,∴A 1D ∥平面BCC 1B 1.(2)解 存在.假设存在点F ,使平面DA 1C 1与平面A 1C 1F 垂直,则平面DA 1C 1与平面A 1C 1F 所成的二面角为直二面角.设平面DA 1C 1与平面A 1C 1F 所成的二面角的平面角为θ,则θ=90°.如图所示,以A 为坐标原点,分别以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系.∵∠ACB=90°,AC=BC=3,AA 1=2,∴A (0,0,0),D (3,0,0),A 1(0,0,2),C 1(0,3,2). ∵点F 在BC 上,∴设点F (m ,3,0).∴A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-2),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,0),A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,3,-2).设平面A 1C 1D 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则{n 1·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{3x 1-2z 1=0,y 1=0,取x 1=2,则y 1=0,z 1=3,∴平面A 1C 1D 的一个法向量n 1=(2,0,3).设平面A 1C 1F 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则{n 2·A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{mx 2+3y 2-2z 2=0,y 2=0, 取x 2=2,则y 2=0,z 2=m ,∴平面A 1C 1F 的一个法向量n 2=(2,0,m ). 则cos <n 1,n 2>=cos θ=cos 90°=0,∴n 1·n 2|n 1||n 2|=0,即4+3m=0,∴m=-43,即CF=43,∴BF=3-43=53.∴在线段BC 上存在点F ,使平面DA 1C 1与平面A 1C 1F 垂直,此时BF=5. 4.(1)证明 ∵四边形DCGH 为矩形,∴CG ⊥CD.又CG ⊥AD ,CD ∩AD=D ,∴CG ⊥平面ADC ,故CG ⊥AC. ∵六边形AEFBCD 为正六边形, ∴∠ADC=∠DCB=120°,故∠DCA=30°,∴∠ACB=90°, 即AC ⊥CB.又CG ∩CB=C ,∴AC ⊥平面BCG. ∵AC ⊂平面ACG ,∴平面ACG ⊥平面BCG. (2)解 设AC 与BD 的交点为N ,连接MN.∵AG ∥平面BMD ,且平面BMD ∩平面ACG=MN ,∴AG ∥MN ,∴CMMG =CNNA =CDAB =48=12.∴MG=2,∴CG=3.由(1)知,AC ⊥CB ,CG ⊥平面ABC ,故以CA ,CB ,CG 分别作为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图,A (4√3,0,0),B (0,4,0),M (0,0,1),H (2√3,-2,3),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4√3,4,0),AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√3,-2,3),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4,1),设平面AHB 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2√3x -2y +3z =0,-4√3x +4y =0,取x=√3,则y=3,z=4,∴平面AHB 的一个法向量n =(√3,3,4).设直线BM 与平面AHB 所成角为θ,∴sin θ=|cos <BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n |=16+1·3+9+16=4√119119,即直线BM 与平面AHB所成角的正弦值为4√119119.5.(1)证明 在图1中,△ABD 为等边三角形,E 为AD 中点,∴BE ⊥AD ,∴BE ⊥AE.∵∠AEG=90°,∴GE ⊥AE. ∵GE ⊥AE ,BE ⊥AE ,GE ∩BE=E , ∴AE ⊥平面EBHG.(2)解 设菱形ABCD 的边长为2,由(1)可知AE ⊥GE ,AE ⊥BE ,GE ⊥BE ,∴以E 为原点,EA ,EB ,EG 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.可得A (1,0,0),B (0,√3,0),G (0,0,1),H (0,√3,2),∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,2).设平面AGH 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{n ·AG⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +z =0,-x +√3y +2z =0,令x=√3,则平面AGH 的一个法向量n =(√3,-1,√3).易知平面EBHG 的一个法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0).设二面角A-GH-B 的大小为θ,则θ为锐角,∴cos θ=|cos <n ,EA ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ||EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√217.(3)解 由AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3y ,0),得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3y ,0)-(-1,0,0)=(1-λ,√3y ,0).∵EF ∥平面AGH ,则n ·EF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即1-2λ=0,∴λ=12. 6.(1)证明 ∵AC=CD=√22AD ,∴AC 2+CD 2=12AD 2+12AD 2=AD 2,∴AC ⊥CD.∵PD ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥AC.又PD ∩CD=D ,∴AC ⊥平面PCD.(2)解 分别以直线DA ,DP 为x 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (4,0,0),B (3,2,0),C (2,2,0),P (0,0,2),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,2), 设n =(x ,y ,z )为平面PAB 的一个法向量,由{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-x +2y =0,-4x +2z =0,取y=1,则n =(2,1,4).由(1)AC ⊥平面PCD ,可知AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0)为平面PCD 的一个法向量,设平面PCD 与平面PAB 所成的锐角为θ,则cos θ=|cos <n ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√2+1+4×√(-2)+2+0=√4242.故平面PCD 与平面PAB 所成的锐角的余弦值为√4242. (3)解 (方法一)存在.假设在棱PD 上存在点M ,使得CM ∥平面PAB ,则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ,即CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0.设M (0,0,h ),则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,h ),由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,得2×(-2)+1×(-2)+4h=0,解得h=32.此时,PMPD=2-322=14.故在棱PD 上存在点M ,使得CM ∥平面PAB ,此时PMPD =14.(方法二)存在.在棱PD 上取点M ,使PMPD =14,过M 作MN ∥AD 交PA 于点N ,则MN=14AD. 又BC 14AD ,∴BC MN ,∴四边形MNBC 为平行四边形, ∴CM ∥BN.∵CM ⊄平面PAB ,BN ⊂平面PAB ,∴CM ∥平面PAB.故在棱PD 上存在点M ,使得CM ∥平面PAB ,此时PM=1. 7.(1)证明 当λ=1时,F 是AD 的中点.∴DF=12AD=1,DE=13CD=1. ∵∠ADC=90°,∴∠DEF=45°. ∵CE=23CD=2,BC=2,∠BCD=90°, ∴∠BEC=45°.∴BE ⊥EF.又平面GBE ⊥平面ABED ,平面GBE ∩平面ABED=BE ,EF ⊂平面ABED , ∴EF ⊥平面BEG.∵BG ⊂平面BEG ,∴EF ⊥BG.(2)解 存在.以C 为原点,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系,则E (2,0,0),D (3,0,0),F (3,2λ,0). 取BE 的中点O ,∵GE=BG=2,∴GO ⊥BE ,∴易证得OG ⊥平面BCE. ∵BE=2√2,∴OG=√2,∴G (1,1,√2).∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1-2λ,√2),EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,√2),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,√2).设平面DEG 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x +y +√2z =0,n ·EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +y +√2z =0,令z=√2,则平面DEG 的一个法向量n =(0,-2,√2).设FG 与平面DEG 所成的角为θ,则sin θ=|cos <FG⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=√6×√6+(1-2λ)=13, 解得λ=12或λ=-710(舍去).∴存在实数λ,使得DG 与平面DEG 所成的角的正弦值为13,此时λ=12. 8.(1)证明 (方法一)在线段CP ,DQ 上分别取点M ,N ,使得QN=PM=1,易知四边形MNQP 是平行四边形, ∴MN ∥PQ ,连接FM ,MN ,NE ,则AE=ND ,且AE ∥ND ,∴四边形ADNE 为矩形,故AD ∥NE ,同理,FM ∥BC ∥AD 且NE=MF=AD ,故四边形FMNE 是平行四边形,∴EF ∥MN , ∴EF ∥PQ.故E ,F ,P ,Q 四点共面.又EF ∥PQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ , ∴EF ∥平面PQB.(方法二)∵直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,∴AC ⊥BD ,AA 1⊥底面ABCD. 设AC ,BD 交点为O ,以O 为原点,分别以OA ,OB 及过O 且与AA 1平行的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则有A (2,0,0),B (0,1,0),C (-2,0,0),D (0,-1,0).设BF=a ,a ∈[1,3],则E (2,0,a-1),F (0,1,a ),P (-2,0,a+1),Q (0,-1,a ),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),∴EF ∥PQ ,故E ,F ,P ,Q 四点共面.又EF ∥PQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,∴EF ∥平面PQB.(2)解 不存在.理由如下,∵直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,∴AC ⊥BD ,AA 1⊥底面ABCD.设AC ,BD 交点为O ,以O 为原点,分别以OA ,OB 及过O 且与AA 1平行的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则有A (2,0,0),B (0,1,0),C (-2,0,0),D (0,-1,0).设BF=a ,a ∈[1,3],则E (2,0,a-1),F (0,1,a ),P (-2,0,a+1),Q (0,-1,a ),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,1),设平面EFPQ 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,即{-2x 1+y 1+z 1=0,-2x 1-y 1+z 1=0,令x 1=1,可得平面EFPQ 的一个法向量n 1=(1,0,2).BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,a+1),BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,a ),设平面BPQ 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则{BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0,即{-2x 2-y 2+(a +1)z 2=0,-2y 2+az 2=0, 令y 2=2a ,可得x 2=a+2,z 2=4,∴平面BPQ 的一个法向量n 2=(a+2,2a ,4).若|cos <n 1,n 2>|=|12√5·√(a+2)+4a 2+16|=√55,则(a+10)2=5a 2+4a+20,即有a 2-4a-20=0,a ∈[1,3],解得a=2±2√6∉[1,3],故不存在点P 使之成立.。
2021新高考数学二轮总复习学案：5.3.2 立体几何中的翻折问题及探索性问题含解析
5.3.2立体几何中的翻折问题及探索性问题关键能力学案突破热点一翻折问题1.翻折问题中空间关系的证明【例1】(2020陕西西安中学高三模拟,19)在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=2,过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E,AE=.连接EB交AD于点F,如图1,将△ADE沿AD折起,使得点E到达点P的位置,如图2.(1)证明:直线AD⊥平面BFP;(2)若G为PB的中点,H为CD的中点,且平面ADP⊥平面ABCD,求三棱锥G-BCH 的体积.解题心得解翻折问题的关键是辨析清楚“不变的位置关系和数量关系”以及“变的位置关系和数量关系”,转化为一般的立体几何问题解答.【对点训练1】(2020湖南怀化三模,18)图1是直角梯形ABCD,AB∥DC,∠D=90°,AB=2,DC=3,AD=,点E在DC上,CE=2ED,以BE为折痕将△BCE折起,使点C到达点C1的位置,且AC1=,如图2.(1)证明:平面BC1E⊥平面ABED;(2)求点B到平面AC1D的距离.2.求翻折问题中的空间角【例2】(2020北京顺义二模,17)如图1所示,四边形ABCD是边长为的正方形,沿BD将点C翻折到点C1位置(如图2所示),使得二面角A-BD-C1成直二面角.E,F分别为BC1,AC1的中点.(1)求证:BD⊥AC1;(2)求平面DEF与平面ABD所成的二面角的余弦值.解题心得平面图形翻折后成为空间图形,翻折后还在同一个平面上的线线关系不发生变化,不在同一个平面上的可能发生变化.解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值.【对点训练2】(2020山东济宁三模,18)如图1,四边形ABCD为矩形,BC=2AB,E为AD的中点,将△ABE,△DCE分别沿BE,CE折起得图2,使得平面ABE⊥平面BCE,平面DCE ⊥平面BCE.(1)求证:平面ABE⊥平面DCE;(2)若F为线段BC的中点,求直线FA与平面ADE所成角的正弦值.热点二探索性问题1.与空间位置关系有关的探索性问题【例3】(2020天津河西一模,17)在如图所示的几何体P-ABCDE中,△ABP和△AEP均为以A为直角顶点的等腰直角三角形,AB⊥AE,AB∥CE,AE∥CD,CD=CE=2AB=4,M为PD 的中点.(1)求证:CE⊥PE;(2)求二面角M-CE-D的大小;(3)在线段PE上是否存在点N,使得平面ABN∥平面MCE,若存在,求出线段AN的长;若不存在,请说明理由.解题心得1.对于空间位置关系中的存在性问题,解题思路是将假设存在所得的结论当作条件,据此条件以向量为工具,列出满足条件的方程或方程组把“是否存在”问题转化为“是否有解”“是否有规定范围内的解”等.2.对于位置探索型问题,通常借助向量引入参数,综合条件和结论列方程或方程组,解出参数,从而确定位置.【对点训练3】(2020福建福州三模,19)如图,在多面体P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PAD,AD∥BC,∠BAD=90°,∠PAD=120°,BC=1,AB=AD=PA=2.(1)求多面体P-ABCD的体积;(2)已知E是棱PB的中点,在棱CD上是否存在点F使得EF∥PD,若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.2.与空间角有关的探索性问题【例4】(2020山东济南二模,19)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,∠PAB=∠PBA=45°,∠ABC=2∠BAC=60°,D是棱AB的中点,点E在棱PB上,点G是△BCD的重心.(1)若E是PB的中点,证明GE∥平面PAC;(2)是否存在点E,使二面角E-CD-G的大小为30°,若存在,求的值;若不存在,请说明理由.解题心得利用空间向量求解探索性问题的策略(1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论.(2)在这个前提下进行逻辑推理,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解”“是否有规定范围内的解”等.若由此推导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.【对点训练4】(2020天津滨海新区高三四校联考,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,CD∥AB,AD⊥AB,AD=AB=2,CF=CD=,PA=PB=,E,N分别为AB,PB的中点.(1)求证:CN∥平面PEF;(2)求二面角N-CD-A的余弦值;(3)在线段BC上是否存在一点Q,使NQ与平面PEF所成角的正弦值为,若存在,求出BQ的长;若不存在,说明理由.核心素养微专题(六)立体几何解答题中的条件选择问题【例题】(2020山东青岛二模,18)试在①PC⊥BD,②PC⊥AB,③PA=PC三个条件中选两个条件补充在下面的横线处,使得PO⊥平面ABCD成立,请说明理由,并在此条件下进一步解答该题.如图,在四棱锥P-ABCD中,AC∩BD=O,底面ABCD为菱形,若,且∠ABC=60°,异面直线PB与CD所成的角为60°,求二面角A-PB-C的余弦值.核心素养分析数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,新高考数学对核心素养的考查和渗透日趋加强.山东新高考创新性地出现了开放性的解答题,有利于立德树人,提升素养.本题首先需要理解题意,从数量关系、图形关系中抽象出数学问题,体现了数学抽象的核心素养;结合图形,理解直线、平面之间的位置关系,并进行推理证明,对直观想象和逻辑推理的核心素养有较高的要求;建立空间直角坐标系,根据向量坐标及相关公式,通过“数学运算”得出答案.【跟踪训练】(2020山东潍坊二模,19)请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作答.①AB⊥BC,②FC与平面ABCD所成的角为,③∠ABC=.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,PD的中点为F.(1)在线段AB上是否存在一点G,使得AF∥平面PCG?若存在,指出G在AB上的位置并给以证明;若不存在,请说明理由;(2)若,求二面角F-AC-D的余弦值.5.3.2 立体几何中的翻折问题及探索性问题关键能力·学案突破【例1】(1)证明如题图1,在Rt △BAE 中,AB=3,AE=,∴∠AEB=60°.在Rt △AED 中,AD=2,∴∠DAE=30°.∴BE ⊥AD.如题图2,PF ⊥AD ,BF ⊥AD ,PF ∩BF=F ,∴AD ⊥平面BFP. (2)解(方法一)∵平面ADP ⊥平面ABCD ,且平面ADP ∩平面ABCD=AD ,PF ⊂平面ADP ,PF ⊥AD ,∴PF ⊥平面ABCD.取BF 的中点为O ,连接GO ,则GO ∥PF ,∴GO ⊥平面ABCD ,即GO 为三棱锥G-BCH 的高,∴GO=PF=PA×sin30°=CH=DC=,∴S △BCH =CH·AE=V 三棱锥G-BCH =S △BCH ·GO=(方法二)∵平面ADP ⊥平面ABCD ,且平面ADP ∩平面ABCD=AD ,PF ⊂平面ADP ,PF ⊥AD ,∴PF ⊥平面ABCD.∵G 为PB 的中点,∴三棱锥G-BCH 的高等于PF.∵H 为CD 的中点,∴△BCH的面积是四边形ABCD的面积的三棱锥G-BCH的体积是四棱锥P-ABCD的体积的∵V P-ABCD=S四边形ABCD·PF=3,∴三棱锥G-BCH的体积为对点训练1(1)证明在图1中,连接AE,由已知得AE=2.∵CE∥BA,且CE=BA=AE,∴四边形ABCE为菱形.连接AC交BE于点F,∴CF⊥BE.在Rt△ACD中,AC==2∴AF=CF=在图2中,AC1=AF2+C1F2=A,∴C1F⊥AF.由题意知,C1F⊥BE,且AF∩BE=F,∴C1F⊥平面ABED,又C1F⊂平面BC1E,∴平面BC1E⊥平面ABED;(2)解如图2,取AD的中点N,连接FN,C1N和BD,设B到平面AC1D的距离为h.在直角梯形ABED中,FN为中位线,则FN⊥AD,FN=由(1)得C1F⊥平面ABED,AD⊂平面ABED,∴C1F⊥AD.又FN∩C1F=F,∴AD ⊥平面C1FN.又C1N⊂平面C1FN,∴C1N⊥AD,且C1N=在三棱锥C1-ABD中,,即AB×AD×C1F=AD×C1N×h,∴h=故点B到平面AC1D的距离为【例2】(1)证明取BD的中点O,连接AO,OC1.因为四边形ABCD是正方形,所以在三棱锥中,BD⊥AO,BD⊥OC1.因为AO∩OC1=O,AO,OC1⊂平面AOC1,所以BD⊥平面AOC1.又因为AC1⊂平面AOC1,所以BD⊥AC1.(2)解因为二面角A-BD-C1为直二面角,平面ABD∩平面BDC1=BD,且BD⊥AO,BD⊥OC1,AO∩OC1=O,所以∠C1OA=90°,即C1O⊥AO,所以AO,OC1,BD两两垂直.以O为原点,OA,OB,OC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.易知AO=OC1=BD=1,所以O(0,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),A(1,0,0),C1(0,0,1),F,0,E0,,则=0,,=,-,0.显然平面ABD的一个法向量m=(0,0,1).设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则取x=2,可得y=2,z=-6,所以平面DEF的一个法向量n=(2,2,-6),则|cos<m,n>|===,所以平面DEF与平面ABD所成的二面角的余弦值为对点训练2(1)证明在题图1中,BC=2AB,且E为AB的中点,∴AE=AB, ∴∠AEB=45°,同理∠DEC=45°,∴∠CEB=90°,∴BE⊥CE.又平面ABE⊥平面BCE,平面ABE∩平面BCE=BE,∴CE⊥平面ABE.又CE⊂平面DCE,∴平面ABE⊥平面DCE.(2)解以E为坐标原点,EB,EC所在的直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则E(0,0,0),B(,0,0),C(0,,0),A,D,F设平面ADE的法向量为n=(x,y,z),由令z=1,得平面ADE的一个法向量为n=(-1,-1,1).又,设直线FA与平面ADE所成角为θ,则sinθ=|cos<,n>|=,故直线FA与平面ADE所成角的正弦值为【例3】解依题意得,△ABP和△AEP均为以A为直角顶点的等腰直角三角形, 则PA⊥AB,PA⊥AE,所以PA⊥面ABCDE.又因为AB⊥AE,可以建立以A为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),得A(0,0,0),B(2,0,0),C(4,2,0),D(4,6,0),E(0,2,0),P(0,0,2),M(2,3,1).(1)证明:由题意,=(-4,0,0),=(0,2,-2),因为=0,所以CE ⊥PE.(2)=(-2,-1,-1),=(2,-1,-1),设平面MEC的法向量为n=(x,y,z),则即不妨令y=1,可得平面MEC的一个法向量为n=(0,1,-1).平面DEC的一个法向量=(0,0,2),所以cos<n,>==-,由图可得二面角M-CE-D的平面角为锐角,所以二面角M-CE-D的大小为45°.(3)(方法一)存在.假设在线段PE上存在点N,使得平面ABN∥平面MCE.设=(λ∈[0,1]),N(x,y,z),所以(x,y,z-2)=λ(0,2,-2),所以N(0,2λ,2-2λ).因为平面ABN∥平面MCE,所以n,即n=0,解得λ=,即N为PE的中点,此时N(0,1,1),||=,所以线段AN的长为所以在线段PE上存在点N,使得平面ABN∥平面MCE,此时线段AN的长为(方法二)存在.假设在线段PE上存在点N,使得平面ABN∥平面MCE.设=(λ∈[0,1]),N(x,y,z),所以(x,y,z-2)=λ(0,2,-2),因此N(0,2λ,2-2λ).设平面ABN的法向量为m=(x,y,z),则即令y=λ-1,可得m=(0,λ-1,λ).因为平面ABN∥平面MCE,所以m∥n,解得λ=,此时N(0,1,1),||=,所以线段AN的长为所以在线段PE上存在点N,使得平面ABN∥平面MCE,此时线段AN的长为对点训练3解(1)如图,作PH⊥AD交DA的延长线于点H.因为平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,且PH⊂平面PAD,所以PH⊥平面ABCD,所以PH为点P到平面ABCD的距离.因为∠PAD=120°,PA=2,所以PH=PA·sin60°=,又因为S四边形=(BC+AD)·AB=3,所以V P-ABCD=PH·S四边形ABCD=3=ABCD(2)不存在.理由如下:假设在棱CD上存在点F,使得EF∥PD.连接BD,取BD的中点M,连接EM,EF.在△BPD中,因为E,M分别为BP,BD的中点,所以EM∥PD.因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行,所以EM与EF重合.因为点F在线段CD 上,所以F=BD∩CD,又因为BD∩CD=D,所以F是BD与CD的交点D,即EF就是ED,而ED与PD相交,这与EF∥PD相矛盾,所以假设不成立,故在棱CD上不存在点F使得EF∥PD.【例4】(1)证明延长DG交BC于点F,连接EF,因为点G是△BCD的重心,故F为BC的中点.因为D,E分别是棱AB,BP的中点,所以DF∥AC,DE∥AP,又因为DF∩DE=D,所以平面DEF∥平面APC.又因为GE⊂平面DEF,所以GE∥平面PAC.(2)解存在.连接PD,因为∠PAB=∠PBA=45°,所以PA=PB.又因为D是AB的中点,所以PD⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABC,而平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,所以PD⊥平面ABC.如图,以D为原点,垂直于AB的直线为x轴,DB,DP所在直线分别为y轴,z轴建立空间直角坐标系,设PA=PB=2,则AB=2,PD=CD=,所以D(0,0,0),B(0,,0),C,0,G,0,P(0,0,).假设存在点E,设=,λ∈(0,1],则+=(0,,0)+λ(0,-)=(0,(1-λ),),所以E(0,(1-λ),).又因为,设平面ECD的法向量为n1=(x,y,z),则令x=1,解得n1=1,-.又因为平面CDG的一个法向量n2=(0,0,1),而二面角E-CD-G的大小为30°,所以|cos<n1·n2>|==,即,解得λ=,所以存在点E,使二面角E-CD-G的大小为30°,此时对点训练4(1)证明取PE中点G,连接GN,FG,则GN∥BE,GN=BE=,即GN∥CF,GN=CF,所以GNCF为平行四边形,CN∥FG,CN⊄平面PEF,FG⊂平面PEF,所以CN∥平面PEF.(2)解因为PA=PB,点E为AB的中点,所以PE⊥AB.又因为侧面PAB⊥底面ABCD且侧面PAB∩底面ABCD=AB,所以PE⊥平面ABCD.分别以EB,EF,EP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,则P(0,0,2),C,D(-1,2,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),N,平面CDA 的一个法向量m=(0,0,1),(0,-2,1).设平面CDN的法向量n=(x,y,z),则令y=1,得平面CDN的一个法向量n=(0,1,2).所以cos<m,n>=,因此二面角N-CD-A的余弦值为(3)解存在.假设存在点P,满足题意,连接NQ.设==-,2λ,0(λ∈[0,1]),则Q-+1,2λ,0,=-+,2λ,-1.因为平面PEF的一个法向量p=(1,0,0),所以|cos<,p>|=,解得λ=或λ=-9(舍),所以在线段BC上存在点Q满足题意,此时BQ=核心素养微专题(六)【例题】解若选②,由PO⊥平面ABCD知PO⊥AB,又因为PC⊥AB,所以AB⊥平面PAC,所以AB⊥AC,所以∠BAC=90°,BC>BA,这与底面ABCD为菱形矛盾,所以②必不选,故选①③.下面证明:PO⊥平面ABCD.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为PC⊥BD,PC∩AC=C,所以BD⊥平面APC.又因为PO⊂平面APC,所以BD ⊥PO.因为PA=PC,O为AC中点,所以PO⊥AC.又AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD.因为PO⊥平面ABCD,以O为坐标原点,以的方向分别作为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.因为AB∥CD,所以∠PBA为异面直线PB与CD所成的角,所以∠PBA=60°.在菱形ABCD中,设AB=2,因为∠ABC=60°,所以OA=1,OB=,设PO=a,则PA=,PB=在△PBA中,由余弦定理得PA2=BA2+BP2-2BA·BP·cos∠PBA,所以a2+1=4+a2+3-2×2,解得a=所以A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),P(0,0,).设平面ABP的法向量为n1=(x1,y1,z1),=(,1,0),=(0,1,),由可得令z1=1,得n1=(,-,1).设平面CBP的法向量为n2=(x2,y2,z2),=(,-1,0),=(0,-1,),由可得令z2=1,得n2=(,1).设二面角A-PB-C的平面角为θ,所以cosθ=,所以二面角A-PB-C的余弦值为跟踪训练解(1)在线段AB上存在中点G,使得AF∥平面PCG.证明如下:如图所示,设PC的中点为H,连接FH.∵FH∥CD,FH=CD,AG∥CD,AG=CD,∴FH∥AG,FH=AG,∴四边形AGHF为平行四边形,则AF∥GH.又GH⊂平面PGC,AF⊄平面PGC, ∴AF∥平面PGC.(2)方案一:选条件①.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,由题意知AB,AD,AP两两垂直,以AB,AD,AP分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图.∵PA=AB=2,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),F(0,1,1),P(0,0,2),=(0,1,1),=(-2,-1,1).设平面FAC的法向量为μ=(x,y,z),取y=1,得平面FAC的一个法向量μ=(-1,1,-1).又平面ACD的一个法向量为ν=(0,0,1),设二面角F-AC-D的平面角为θ,则cosθ=,∴二面角F-AC-D的余弦值为方案二:选条件②.∵PA⊥平面ABCD,取BC中点E,连接AE,取AD的中点M,连接FM,CM,则FM∥PA,且FM=1,∴FM⊥平面ABCD,FC与平面ABCD所成角为∠FCM,∴∠FCM=在Rt△FCM中,CM=,又CM=AE,∴AE2+BE2=AB2,∴BC⊥AE,∴AE,AD,AP两两垂直,以AE,AD,AP分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图.∵PA=AB=2,∴A(0,0,0),B(,-1,0),C(,1,0),D(0,2,0),E(,0,0),F(0,1,1),P(0,0,2), =(0,1,1),=(-,0,1).设平面FAC的法向量为m=(x,y,z), 则取x=,得平面FAC的一个法向量m=(,-3,3).又平面ACD的一个法向量为n=(0,0,1),设二面角F-AC-D的平面角为θ,则cosθ=,∴二面角F-AC-D的余弦值为晨鸟教育方案三:选条件③.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,取BC中点E,连接AE,∵底面ABCD是菱形,∠ABC=,∴△ABC是正三角形.∵E是BC的中点,∴BC⊥AE,∴AE,AD,AP两两垂直,以AE,AD,AP分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图.∵PA=AB=2,∴A(0,0,0),B (,-1,0),C (,1,0),D(0,2,0),E (,0,0),F(0,1,1),P (0,0,2), =(0,1,1),=(-,0,1),设平面FAC的法向量为m=(x,y,z),则取x=,得平面FAC的一个法向量m=(,-3,3).又平面ACD的法向量n=(0,0,1),设二面角F-AC-D的平面角为θ,则cosθ=,∴二面角F-AC-D 的余弦值为Earlybird。
2021-2022年高考数学二轮复习难点2.8立体几何中的折叠问题最值问题和探索性问题测试卷文
2021-2022年高考数学二轮复习难点2.8立体几何中的折叠问题最值问题和探索性问题测试卷文（一）选择题（12*5=60分）1．在等腰梯形中，,,为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．B ． C. D ．【答案】C2．将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的内切球的半径为（ ）A ．1B ． C. D ．【答案】D【解析】设球心为，球的半径为，由D ABC O ABC O ADC O BCD O ABD V V V V V -----=+++，知，故选D.3．【北京市海淀区xx 届期末】已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点在平面内，点在线段上，若，则长度的最小值为A. B. C. D.【答案】C4．已知，如图，在矩形中，分别为边、边上一点，且，现将矩形沿折起，使得ADEF BCFE⊥平面平面，连接，则所得三棱柱的侧面积比原矩形的面积大约多（）ABDFA.68%B.70%C.72%D.75%【答案】D【解析】折叠后，根据题意，由直二面角的概念可知在三棱柱中，，根据题设的条件可得，所以三棱柱的侧面积比原矩形的面积多，从而三棱柱的侧面积比原矩形的面积多，故选D.5．【河南省漯河市xx届第四次模拟】已知三棱锥中，，，点在底面上的射影为的中点，若该三棱锥的体积为，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为（）A. 2B.C.D. 3【答案】D【解析】如图所示，设AC的中点为D，连结PD，很明显球心在PD上，设球心为O，PD=h，AB=x，则：，在Rt△OCD中：OC2=CD2+OD2,设OC=R,则：，解得：22232221271272727922322424444444hx h h h h h hhRh h h h h⨯++===+=++≥++=，当且仅当，即h=3 时等号成立，此时当其外接球的体积最小.即满足题意时三棱锥的高为.本题选择D选项.6．已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为120°，此时点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．B ． C． D ．【答案】CHMNDBCA7．【福建省南安xx 届第二次阶段考试】如图所示，长方体中，AB =AD =1,AA 1=面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为（ ）A. B. C. D.【答案】A8．如图，边长为的等边三角形的中线与中位线交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（）①；②平面；③三棱锥的体积有最大值．A．① B．①② C．①②③ D．②③【答案】C【解析】①中由已知可得面，∴．②，根据线面平行的判定定理可得平面．③当面面时，三棱锥的体积达到最大．故选C．9．【河南省林州市xx届8月调研】如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为（）A. B. C. D. 【答案】D10.一块边长为的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（ ）A ．B ． C. D ．【答案】B【解析】设四棱锥的棱长为,则底面边长为，则侧面的斜高为，棱锥的高为，则，即四棱锥的侧面是边长为正三角形，且，故该四棱锥的体积6462223132==⨯=a a a V .应选B. 11．【河南省师范大学附中xx 届8月】把边长为1的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（ ）A. B. C. D.【答案】D12．【湖北省武汉市xx届调研联考】设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（）A. B. C. 1 D.【答案】A（二）填空题（4*5=20分）13.如图，，平面，交于，交于，且，则三棱锥体积的最大值为．【答案】【解析】因为平面，所以,又，,又因为,所以平面,所以平面平面,，平面平面,所以平面,所以,所以平面,由22222AF EF AE AF EF+==≥⋅可得，所以,所以三棱锥体积的最大值为.14．【河北衡水金卷xx届模拟一】如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．【答案】15．已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积．【答案】【解析】如图所示，，，，∴，设，∵，，∴由勾股定理可得22222331234⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+=+=xxR，∴，∴四面体的外接球的表面积为，故答案为．16．【南宁市xx届12月联考】如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是__________（将符合题意的选项序号填到横线上）.①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.【答案】①③④(三)解答题（4*10=40分）17．【辽宁省丹东市xx届期末】长方形中，，是中点（图1）．将△沿折起，使得（图2）．在图2中：（1）求证：平面平面；（2）若，，求三棱锥的体积．18. 【辽宁省凌源市xx届期末】已知正四棱锥的各条棱长都相等，且点分别是的中点.（1）求证: ；（2）在上是否存在点，使平面平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）设,则为底面正方形中心，连接,因为为正四梭锥.所以平面,所以.又,且,所以平面；因为平面,故.（2）存在点，设,连.取中点，连并延长交于点，∵是中点，∴,即，又，平面，平面，∴平面, 平面，又，平面，∴平面平面，在中，作交于，则是中点，是中点，∴.19. 【黑龙江省七台河市xx届期末联考】如图，内接于圆，是圆的直径，，，设，且，四边形为平行四边形，平面.（1）求三棱锥的体积；（2）在上是否存在一点，使得平面？证明你的结论.20. 【四省名校xx届第一次大联考】在中，，，，是的中点，是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.（1）当时，证明：平面；（2）是否存在，使得三棱锥的体积是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.精品文档23414 5B76 孶30836 7874 硴MS'35023 88CF 裏36363 8E0B 踋•27264 6A80 檀~34577 8711 蜑 23776 5CE0 峠实用文档。
高考数学二轮复习专题突破—立体几何中的翻折问题及探索性问题(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—立体几何中的翻折问题及探索性问题1.(2021·山东聊城三模)如图,在平面四边形ABCD中,BC=CD,BC⊥CD,AD⊥BD,沿BD将△ABD折起,使点A到达点P的位置,且PC⊥BC.(1)求证:PD⊥CD;(2)若M为PB的中点,二面角P-BC-D的大小为60°,求直线PC与平面MCD所成角的正弦值.2.(2021·湖南师大附中二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=BC=1,△PDC是边长为2的等边三角形,平面PDC⊥平面ABCD,E为线段PC上一点.(1)设平面PAB∩平面PDC=l,求证:l∥平面ABCD.(2)是否存在点E,使平面ADE与平面ABCD的夹角为60°?若存在,求CE的值;若不存在,请说明理由.CP3.(2021·山东泰安三模)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,BC=2√2,BB1=2,M为CC1的中点.(1)试确定线段AB1上一点N,使AC∥平面BMN;(2)在(1)的条件下,若平面ABC⊥平面BB1C1C,∠ABB1=60°,求平面BMN与平面BB1C1C的夹角的余弦值.4.(2021·福建泉州二模)如图①,在等腰直角三角形ABC中,CD是斜边AB上的高,沿CD将△ACD折起,使点A到达点P的位置,如图②,∠PBD=60°,E,F,H分别为PB,BC,PD的中点,G为CF的中点.图①图②(1)求证:GH∥平面DEF;(2)求直线GH与平面PBC所成角的正弦值.5.(2021·天津二模)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面ABCD⊥平面ABE,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,AE=BE=√3,M为BE的中点.(1)求证:CM∥平面ADE.(2)求二面角E-BD-C的正弦值.(3)在线段AD上是否存在一点N,使直线MD与平面BEN所成角的正弦值为4√6?若存在,求出AN的21长;若不存在,说明理由.6.(2021·湖南长沙长郡中学一模)如图①,在等边三角形ABC中,D,E分别为边AB,AC上的动点,且满足DE∥BC,记DE=λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置,使得平面MDE⊥平面DECB,连接MB,MC,如BC图②所示,N为MC的中点.图①图②(1)当EN∥平面MBD时,求λ的值.(2)随着λ值的变化,二面角B-MD-E的大小是否改变?若是,请说明理由;若不是,请求出二面角B-MD-E的正弦值.答案及解析1.(1)证明 因为BC ⊥CD ,BC ⊥PC ,PC ∩CD=C ,所以BC ⊥平面PCD.又PD ⊂平面PCD ,所以BC ⊥PD.由翻折可知PD ⊥BD ,BD ∩BC=B ,所以PD ⊥平面BCD.又CD ⊂平面BCD ,所以PD ⊥CD.(2)解 因为PC ⊥BC ,CD ⊥BC ,所以∠PCD 为二面角P-BC-D 的平面角,即∠PCD=60°.在Rt △PCD 中,PD=CD tan 60°=√3CD.取BD 的中点O ,连接OM ,OC ,则OM ∥PD ,OM=12PD. 因为BC=CD ,所以OC ⊥BD.由(1)知PD ⊥平面BCD ,所以OM ⊥平面BCD , 所以OM ,OC ,OD 两两互相垂直.以O 为原点,OC ,OD ,OM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.设OB=1,则P (0,1,√6),C (1,0,0),D (0,1,0),M (0,0,√62),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,√6),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,√62).设平面MCD 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +y =0,-x +√62z =0,令z=√2,则x=√3,y=√3,所以n =(√3,√3,√2)为平面MCD 的一个法向量. 设直线PC 与平面MCD 所成的角为θ,则sin θ=|cos <CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|CP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√34,所以直线PC 与平面MCD 所成角的正弦值为√34.2.(1)证明 ∵AB ∥CD ,AB ⊄平面PDC ,DC ⊂平面PDC ,∴AB ∥平面PDC.又平面PAB ∩平面PDC=l ,AB ⊂平面PAB ,∴AB ∥l. 又l ⊄平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD ,∴l ∥平面ABCD. (2)解 设DC 的中点为O ,连接OP ,OA ,则PO ⊥DC.又平面PDC ⊥平面ABCD ,PO ⊂平面PDC ,平面PDC ∩平面ABCD=DC ,∴PO ⊥平面ABCD.∵AB ∥CD ,AB=OC=1,∴四边形ABCO 为平行四边形, ∴OA ∥BC.由题意可知BC ⊥CD ,∴OA ⊥CD.∴OA ,OC ,OP 两两互相垂直.以O 为原点,OA ,OC ,OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.则A (1,0,0),D (0,-1,0),C (0,1,0),P (0,0,√3).由PO ⊥平面ABCD ,可知m =(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量.假设存在点E ,使平面ADE 与平面ABCD 的夹角为60°,设CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1),则E (0,1-λ,√3λ),∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2-λ,√3λ).设平面ADE 的法向量为n =(x ,y ,z ),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0), 则{n ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +y =0,(2-λ)y +√3λz =0,取x=1,则y=-1,z=√3λ,∴n =(1,-1√3λ)为平面ADE 的一个法向量.由题意可知|cos <m ,n >|=|m ·n ||m ||n |=2-λ√3λ√12+12+(2-λ√3λ)=12,整理得λ2+4λ-4=0,解得λ=2(√2-1),故存在点E ,使平面ADE 与平面ABCD 的夹角为60°,此时CECP =2(√2-1). 3.解 (1)当AN=13AB 1时,AC ∥平面BMN.证明:如图,设BM ∩B 1C=E ,连接EN ,则CEB 1E =CMBB 1=12.由AN=13AB 1,得ANB 1N =12,∴AC ∥NE.又AC ⊄平面BMN ,NE ⊂平面BMN ,∴AC ∥平面BMN.(2)取BC 的中点O ,连接AO ,B 1O.∵AC=AB=2,∴AO ⊥BC.又BC=2√2,∴AO=BO=√2.∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ,平面ABC ∩平面BB 1C 1C=BC ,AO ⊂平面ABC ,∴AO ⊥平面BB 1C 1C.∵AB=BB 1=2,∠ABB 1=60°,∴AB 1=2,O B 12=A B 12-AO 2=2,∴OB 1=√2,O B 12+OB 2=B B 12,∴OB 1⊥OB.以O 为原点,OB ,OB 1,OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图所示,则A (0,0,√2),B (√2,0,0),C (-√2,0,0),C 1(-2√2,√2,0),B 1(0,√2,0),M (-3√22,√22,0),∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,0,√2),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-5√22,√22,0),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√23,-√23),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,√23,2√23). 设平面BMN 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{-√2x +√23y +2√23z =0,-5√22x +√22y =0,解得{y =5x ,z =-x ,令x=1,则y=5,z=-1,∴n =(1,5,-1)为平面BMN 的一个法向量. 由题意可知m =(0,0,1)为平面BB 1C 1C 的一个法向量.设平面BMN 与平面BB 1C 1C 的夹角为θ,则cos θ=|cos <m ,n >|=|m ·n ||m ||n |=√39, 故平面BMN 与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为√39.4.(1)证明 如图,连接BH ,交DE 于点M ,连接MF.因为△ABC 是等腰直角三角形,CD 是斜边AB 上的高,所以AD=DB ,即PD=DB. 因为∠PBD=60°,所以△PBD 是等边三角形.因为E ,H 分别为PB ,PD 的中点,所以M 是等边三角形PBD 的中心,所以BM=23BH. 因为F 为BC 的中点,G 为CF 的中点,所以BF=23BG. 所以MF ∥GH.又MF ⊂平面DEF ,GH ⊄平面DEF ,所以GH ∥平面DEF.(2)解 如图,建立空间直角坐标系,设PD=DB=DC=2,则C (0,2,0),B (2,0,0),P (1,0,√3),H (12,0,√32),G (12,32,0),所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,√3),HG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,-√32). 设平面PBC 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2x +2y =0,-x +√3z =0,令x=√3,则y=√3,z=1,所以n =(√3,√3,1)为平面PBC 的一个法向量. 设直线GH 与平面PBC 所成的角为θ, 则sin θ=|cos <n ,HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ||HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3√3×√7=√77, 故直线GH 与平面PBC 所成角的正弦值为√77. 5.(1)证明 取AE 的中点P ,连接MP ,PD (图略).∵P ,M 分别为AE ,BE 的中点,∴PM ∥AB ,PM=12AB.又CD ∥AB ,CD=12AB ,∴PM ∥CD ,PM=CD ,∴四边形PMCD 为平行四边形,∴CM ∥PD. 又CM ⊄平面ADE ,PD ⊂平面ADE ,∴CM ∥平面ADE. (2)解 取AB 的中点O ,连接OD ,OE.又CD ∥AB ,CD=12AB ,∴CD ∥OB ,CD=OB ,∴四边形BCDO 为平行四边形,∴OD ∥BC. 又AB ⊥BC ,∴OD ⊥AB.又平面ABCD ⊥平面ABE ,平面ABCD ∩平面ABE=AB ,OD ⊂平面ABCD ,∴OD ⊥平面ABE.∵AE=BE ,O 为AB 的中点,∴OE ⊥AB.以O 为坐标原点,OE ,OB ,OD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图所示,则E (√2,0,0),B (0,1,0),C (0,1,1),D (0,0,1).设平面BDE 的法向量为m =(x ,y ,z ),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,-1,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1), 由{m ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√2x -y =0,-y +z =0,取y=√2,则x=1,z=√2,∴m =(1,√2,√2)为平面BDE 的一个法向量. 易知n =(1,0,0)为平面BCD 的一个法向量.设二面角E-BD-C 的平面角为θ, 则|cos θ|=|cos <m ,n >|=|m ·n ||m ||n |=√55,∴sin θ=√1-cos 2θ=2√55. 故二面角E-BD-C 的正弦值为2√55.(3)解 假设在线段AD 上存在一点N ,使得直线MD 与平面BEN 所成角的正弦值为4√621.由(2)知M (√22,12,0),A (0,-1,0),D (0,0,1),BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,-1,0),则MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√22,-12,1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,0). 设AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,λ,λ),其中0≤λ≤1, ∴BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,λ-2,λ). 设平面BEN 的法向量为u =(x 1,y 1,z 1), 由{u ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,u ·BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√2x 1-y 1=0,(λ-2)y 1+λz 1=0,取y 1=√2λ,则x 1=λ,z 1=2√2−√2λ,∴u =(λ,√2λ,2√2−√2λ)为平面BEN 的一个法向量.由题意可知|cos <MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,u >|=|MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·u ||MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||u |=√2-√2λ√72×5λ2-8λ+8=4√621.整理得16λ2-34λ+13=0,解得λ=12或λ=138(舍去).∴AN=√22.故在线段AD 上存在一点N ,使直线MD 与平面BEN 所成角的正弦值为4√621,此时AN=√22.6.(1)证明 如图,取MB 的中点P ,连接DP ,PN ,又N 为MC 的中点,所以NP ∥BC ,NP=12BC.又DE ∥BC ,所以NP ∥DE ,即N ,E ,D ,P 四点共面.又EN ∥平面MBD ,EN ⊂平面NEDP ,平面NEDP ∩平面MBD=DP ,所以EN ∥PD ,即四边形NEDP 为平行四边形,所以NP=DE ,即DE=12BC ,即λ=12.(2)解 取DE 的中点O ,连接MO ,则MO ⊥DE.又平面MDE ⊥平面DECB ,平面MDE ∩平面DECB=DE ,MO ⊂平面MDE ,所以MO ⊥平面DECB.如图,建立空间直角坐标系,不妨设BC=2,则M (0,0,√3λ),D (λ,0,0),B (1,√3(1-λ),0), 所以MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,0,-√3λ),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,√3(1-λ),0). 设平面MBD 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则{MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =λx -√3λz =0,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =(1-λ)x +√3(1-λ)y =0, 即{x =√3z ,x =-√3y ,令x=√3,则y=-1,z=1,所以m =(√3,-1,1)为平面MBD 的一个法向量.由题意可知n =(0,1,0)为平面MDE 的一个法向量.设二面角B-MD-E的平面角为θ,则|cos θ|=|cos<m,n>|=|m·n||m||n|=√55,易知θ为钝角,所以二面角B-MD-E的大小不变.sin θ=√1-cos2θ=2√55,所以二面角B-MD-E的正弦值为2√55.。
2021新高考数学二轮总复习专题突破练17 立体几何中的翻折问题及探索性问题 含解析
专题突破立体几何中的翻折问题及探索性问题1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图2.(1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC;(2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值.2.(2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点.(1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由;(2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1.(1)求证:A1D∥平面BCC1B1;(2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由.4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2.(1)证明:在图2中,平面ACG⊥平面BCG;(2)设M为图2中线段CG上一点,且CM=1,若直线AG∥平面BMD,求图2中的直线BM 与平面AHB所成角的正弦值.5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD 为菱形,且∠A=60°,取AD 中点为E.现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ,使得∠AEG=90°,如图2.(1)求证:AE ⊥平面EBHG ; (2)求二面角A-GH-B 的余弦值;(3)若点F 满足AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,当EF ∥平面AGH 时,求λ的值. 6.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是梯形,且BC ∥AD ,AC=CD=√22AD ,AD=2PD=4BC=4. (1)求证:AC ⊥平面PCD ;(2)求平面PCD 与平面PAB 所成的锐角的余弦值;(3)在棱PD 上是否存在点M ,使得CM ∥平面PAB ?若存在,求PMPD 的值;若不存在,说明理由.7.(2020山东省实验中学模拟,19)在矩形ABCD 中,AB=3,AD=2,点E 是线段CD 上靠近点D 的一个三等分点,点F 是线段AD 上的一个动点,且DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1).如图,将△BEC 沿BE 折起至△BEG ,使得平面BEG ⊥平面ABED. (1)当λ=12时,求证:EF ⊥BG ;(2)是否存在λ,使得FG 与平面DEG 所成的角的正弦值为13?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 8.(2020河北衡水中学调研,18)已知,图中直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,其中AA 1=AC=2BD=4.又点E ,F ,P ,Q 分别在棱AA 1,BB 1,CC 1,DD 1上运动,且满足BF=DQ ,CP-BF=DQ-AE=1.(1)求证:E ,F ,P ,Q 四点共面,并证明EF ∥平面PQB ;(2)是否存在点P 使得二面角B-PQ-E 的余弦值为√55?如果存在,求出CP 的长;如果不存在,请说明理由.答案及解析1.(1)证明在图1的△ABC 中,D ,E 分别为AC ,AB 边中点,∴DE ∥BC.又AC ⊥BC ,∴DE ⊥AC.在图2中,DE ⊥A 1D ,DE ⊥DC ,A 1D ∩DC=D ,则DE ⊥平面A 1CD , 又DE ∥BC ,∴BC ⊥平面A 1CD.又BC ⊂平面A 1BC ,∴平面A 1CD ⊥平面A 1BC.(2)解由(1)知DE ⊥平面A 1CD ,且DE ⊂平面BCDE ,∴平面A 1CD ⊥平面BCDE.又平面A 1CD ∩平面BCDE=DC ,在等边三角形A 1CD 中过点A 1作A 1O ⊥CD ,垂足为O ,则O 为CD 中点,且A 1O ⊥平面BCDE ,分别以DC ,梯形BCDE 中位线,OA 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(0,0,√3),B (1,4,0),C (1,0,0),E (-1,2,0).A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-√3),EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,√3),EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0).设平面A 1BE 的法向量为n =(x 1,y 1,z 1), 则{EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =x 1-2y 1+√3z 1=0,EB⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =2x 1+2y 1=0, 令x 1=1,则y 1=-1,z 1=-√3,∴平面A 1BE 的一个法向量为n =(1,-1,-√3).设直线A 1C 与平面A 1BE 所成角为θ,则sin θ=|cos <A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n |=√3)√3)|√1+3×√1+1+3=2√55. ∴直线A 1C 与平面A 1BE 所成角的正弦值为2√55. 2.解(1)当E 为BC 的中点时,CF ∥平面PAE.理由如下,如图,分别取BC ,PA 的中点E ,G ,连接PE ,AE ,GE ,FG.又F 是PD 的中点,∴FG ∥AD ,FG=12AD.又四边形ABCD 为正方形,则AD ∥BC ,AD=BC ,∴FG ∥BC ,FG=12BC.又E 是BC 的中点,∴FG ∥CE ,FG=CE ,则四边形ECFG 是平行四边形,∴CF ∥EG.又EG ⊂平面PAE ,CF ⊄平面PAE ,∴CF ∥平面PAE.(2)如图,取AD 中点O ,连接PO ,OE ,又PA=PD ,∴PO ⊥AD.∵平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ∩平面ABCD=AD ,PO ⊂平面PAD ,∴PO ⊥平面ABCD.∴以O 为原点,OA ,OE ,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2,则A (1,0,0),B (1,2,0),C (-1,2,0),P (0,0,√3),F -12,0,√32,∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-32,0,√32,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-√3), 设平面PBC 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{-2x =0,x +2y -√3z =0,令y=3,得x=0,z=2√3,则平面PBC 的一个法向量n =(0,3,2√3),∴|cos <n ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗||n ||AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|√21×√3|=√77,∴直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值为√77.3.(1)证明如图所示,连接B 1C ,∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AB CD ,又A 1B 1 AB ,∴A 1B 1 CD ,∴四边形A 1B 1CD 为平行四边形,∴A 1D ∥B 1C. 又B 1C ⊂平面BCC 1B 1,A 1D ⊄平面BCC 1B 1,∴A 1D ∥平面BCC 1B 1.(2)解存在.假设存在点F ,使平面DA 1C 1与平面A 1C 1F 垂直,则平面DA 1C 1与平面A 1C 1F 所成的二面角为直二面角.设平面DA 1C 1与平面A 1C 1F 所成的二面角的平面角为θ,则θ=90°.如图所示,以A 为坐标原点,分别以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系.∵∠ACB=90°,AC=BC=3,AA 1=2, ∴A (0,0,0),D (3,0,0),A 1(0,0,2),C 1(0,3,2). ∵点F 在BC 上,∴设点F (m ,3,0).∴A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-2),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,0),A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,3,-2).设平面A 1C 1D 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 则{n 1·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{3x 1-2z 1=0,y 1=0,取x 1=2,则y 1=0,z 1=3,∴平面A 1C 1D 的一个法向量n 1=(2,0,3).设平面A 1C 1F 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则{n 2·A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{mx 2+3y 2-2z 2=0,y 2=0,取x 2=2,则y 2=0,z 2=m ,∴平面A 1C 1F 的一个法向量n 2=(2,0,m ). 则cos <n 1,n 2>=cos θ=cos90°=0,∴n 1·n 2|n 1||n 2|=0,即4+3m=0,∴m=-43,即CF=43,∴BF=3-43=53.∴在线段BC 上存在点F ,使平面DA 1C 1与平面A 1C 1F 垂直,此时BF=53. 4.(1)证明∵四边形DCGH 为矩形,∴CG ⊥CD.又CG ⊥AD ,CD ∩AD=D ,∴CG ⊥平面ADC ,故CG ⊥AC. ∵六边形AEFBCD 为正六边形, ∴∠ADC=∠DCB=120°, 故∠DCA=30°,∴∠ACB=90°, 即AC ⊥CB.又CG ∩CB=C ,∴AC ⊥平面BCG.∵AC ⊂平面ACG , ∴平面ACG ⊥平面BCG.(2)解设AC 与BD 的交点为N ,连接MN.∵AG ∥平面BMD ,且平面BMD ∩平面ACG=MN ,∴AG ∥MN ,∴CM MG =CN NA =CD AB =48=12.∴MG=2,∴CG=3.由(1)知,AC ⊥CB ,CG ⊥平面ABC ,故以CA ,CB ,CG 分别作为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图,A (4√3,0,0),B (0,4,0),M (0,0,1),H (2√3,-2,3),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4√3,4,0),AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√3,-2,3),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4,1),设平面AHB 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2√3x -2y +3z =0,-4√3x +4y =0,取x=√3,则y=3,z=4,∴平面AHB 的一个法向量n =(√3,3,4).设直线BM 与平面AHB 所成角为θ,∴sin θ=|cos <BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n |=√16+1·√3+9+16=4√119119,即直线BM 与平面AHB 所成角的正弦值为4√119119. 5.(1)证明在图1中,△ABD 为等边三角形,E 为AD 中点,∴BE ⊥AD ,∴BE ⊥AE.∵∠AEG=90°,∴GE ⊥AE. ∵GE ⊥AE ,BE ⊥AE ,GE ∩BE=E , ∴AE ⊥平面EBHG.(2)解设菱形ABCD 的边长为2,由(1)可知AE ⊥GE ,AE ⊥BE ,GE ⊥BE ,∴以E 为原点,EA ,EB ,EG 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.可得A (1,0,0),B (0,√3,0),G (0,0,1),H (0,√3,2),∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,2).设平面AGH 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{n ·AG⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +z =0,-x +√3y +2z =0,令x=√3,则平面AGH 的一个法向量n =(√3,-1,√3).易知平面EBHG 的一个法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0).设二面角A-GH-B 的大小为θ,则θ为锐角,∴cos θ=|cos <n ,EA⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·EA ⃗⃗⃗⃗⃗||n ||EA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√217. (3)解由AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3y ,0),得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3y ,0)-(-1,0,0)=(1-λ,√3y ,0).∵EF ∥平面AGH ,则n ·EF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即1-2λ=0,∴λ=12. 6.(1)证明∵AC=CD=√22AD ,∴AC 2+CD 2=12AD 2+12AD 2=AD 2,∴AC ⊥CD.∵PD ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥AC.又PD ∩CD=D ,∴AC ⊥平面PCD.(2)解分别以直线DA ,DP 为x 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (4,0,0),B (3,2,0),C (2,2,0),P (0,0,2),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,2), 设n =(x ,y ,z )为平面PAB 的一个法向量,由{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-x +2y =0,-4x +2z =0,取y=1,则n =(2,1,4).由(1)AC ⊥平面PCD ,可知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0)为平面PCD 的一个法向量,设平面PCD 与平面PAB 所成的锐角为θ,则cos θ=|cos <n ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√22+12+42×√(-2)+22+02=√4242.故平面PCD 与平面PAB 所成的锐角的余弦值为√4242. (3)解(方法一)存在.假设在棱PD 上存在点M ,使得CM ∥平面PAB ,则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ,即CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0.设M (0,0,h ),则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,h ),由CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,得2×(-2)+1×(-2)+4h=0,解得h=32.此时,PMPD =2-322=14.故在棱PD上存在点M ,使得CM ∥平面PAB ,此时PMPD =14.(方法二)存在.在棱PD 上取点M ,使PMPD =14,过M 作MN ∥AD 交PA 于点N ,则MN=14AD. 又BC 14AD ,∴BC MN ,∴四边形MNBC 为平行四边形, ∴CM ∥BN.∵CM ⊄平面PAB ,BN ⊂平面PAB ,∴CM ∥平面PAB.故在棱PD 上存在点M ,使得CM ∥平面PAB ,此时PMPD =14. 7.(1)证明当λ=12时,F 是AD 的中点.∴DF=12AD=1,DE=13CD=1. ∵∠ADC=90°,∴∠DEF=45°. ∵CE=23CD=2,BC=2,∠BCD=90°, ∴∠BEC=45°.∴BE ⊥EF.又平面GBE ⊥平面ABED ,平面GBE ∩平面ABED=BE ,EF ⊂平面ABED ,∴EF ⊥平面BEG.∵BG ⊂平面BEG ,∴EF ⊥BG.(2)解存在.以C 为原点,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系,则E (2,0,0),D (3,0,0),F (3,2λ,0). 取BE 的中点O ,∵GE=BG=2,∴GO ⊥BE ,∴易证得OG ⊥平面BCE. ∵BE=2√2,∴OG=√2,∴G (1,1,√2).∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1-2λ,√2),EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,√2),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,√2).设平面DEG 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x +y +√2z =0,n ·EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +y +√2z =0,令z=√2,则平面DEG 的一个法向量n =(0,-2,√2).设FG 与平面DEG 所成的角为θ,则sin θ=|cos <FG⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=√6×√6+(1-2λ)=13, 解得λ=12或λ=-710(舍去).∴存在实数λ,使得DG 与平面DEG 所成的角的正弦值为13,此时λ=12. 8.(1)证明(方法一)在线段CP ,DQ 上分别取点M ,N ,使得QN=PM=1,易知四边形MNQP 是平行四边形,∴MN ∥PQ ,连接FM ,MN ,NE ,则AE=ND ,且AE ∥ND ,∴四边形ADNE 为矩形,故AD ∥NE ,同理,FM ∥BC ∥AD 且NE=MF=AD ,故四边形FMNE 是平行四边形,∴EF ∥MN ,∴EF ∥PQ.故E ,F ,P ,Q 四点共面.又EF ∥PQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ , ∴EF ∥平面PQB.(方法二)∵直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,∴AC ⊥BD ,AA 1⊥底面ABCD. 设AC ,BD 交点为O ,以O 为原点,分别以OA ,OB 及过O 且与AA 1平行的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则有A (2,0,0),B (0,1,0),C (-2,0,0),D (0,-1,0).设BF=a ,a ∈[1,3],则E (2,0,a-1),F (0,1,a ),P (-2,0,a+1),Q (0,-1,a ),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),∴EF ∥PQ ,故E ,F ,P ,Q 四点共面.又EF ∥PQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,∴EF ∥平面PQB.(2)解不存在.理由如下,∵直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,∴AC ⊥BD ,AA 1⊥底面ABCD. 设AC ,BD 交点为O ,以O 为原点,分别以OA ,OB 及过O 且与AA 1平行的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则有A (2,0,0),B (0,1,0),C (-2,0,0),D (0,-1,0).设BF=a ,a ∈[1,3],则E (2,0,a-1),F (0,1,a ),P (-2,0,a+1),Q (0,-1,a ),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,1),设平面EFPQ 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,即{-2x 1+y 1+z 1=0,-2x 1-y 1+z 1=0,令x 1=1,可得平面EFPQ 的一个法向量n 1=(1,0,2).BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,a+1),BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,a ),设平面BPQ 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则{BP ⃗⃗⃗⃗⃗·n 2=0,BQ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0, 即{-2x 2-y 2+(a +1)z 2=0,-2y 2+az 2=0, 令y 2=2a ,可得x 2=a+2,z 2=4,∴平面BPQ 的一个法向量n 2=(a+2,2a ,4).若|cos <n 1,n 2>|=|12√5·√(a+2)+4a 2+16|=√55, 则(a+10)2=5a 2+4a+20,即有a 2-4a-20=0,a ∈[1,3],解得a=2±2√6∉[1,3],故不存在点P 使之成立.。
2021新高考数学二轮总复习专题突破练18 立体几何 含解析
专题突破 立体几何过关检测一、单项选择题1.(2020山东德州一模,4)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 是C 1D 1的中点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数x+y 的值为( ) A.-32B.-12C.12D.322.(2020山西晋中一模,5)给定下列四个命题,其中真命题是( ) A.垂直于同一直线的两条直线相互平行B.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行C.垂直于同一平面的两个平面相互平行D.若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 3.(2020山东临沂一模,7)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中《商功》有如下问题:“今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈,问积及为粟几何?”,意思是“有粟若干,堆积在平地上,底面圆周长为12丈,高为2丈,问它的体积和粟各为多少?”如图,主人意欲卖掉该堆粟,已知圆周率约为3,一斛粟的体积约为2 700立方寸(单位换算:1立方丈=106立方寸),一斛粟米卖270钱,一两银子1 000钱,则主人卖后可得银子( )A.800两B.1 600两C.2 400两D.3 200两4.(2020福建厦门质量检查,8)如图,在圆柱OO 1中,OO 1=2,OA=1,OA ⊥O 1B ,则AB 与下底面所成角的正切值为( )A.2B.√2C.√22D.125.(2020湖南怀化三模,7)已知一块形状为正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1(底面是正方形,侧棱与底面垂直的四棱柱)的实心木材,AB=2,AA 1=3.若将该木材经过切割加工成一个球体,则此球体积的最大值为( ) A.92π B.8√23π C.43πD.17√176π 6.(2020青海西宁一模,10)某同学在参加《通用技术》实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4√3的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为4π,则该球的半径是( ) A.2B.4C.2√6D.4√67.(2020广东湛江二模,7)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积都相等,那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一,则该几何体的体积为( ) A.2√23π B.4√23π C.4√2πD.83π8.已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个定点,∠ABC=60°,AC=2,P 为球O 的球面上的动点,记三棱锥P-ABC 的体积为V 1,三棱锥O-ABC 的体积为V 2,若V1V 2的最大值为3,则球O 的表面积为( ) A.16π9B.64π9C.3π2D.6π二、多项选择题9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,其中正确的结论为()A.直线AM与C1C是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线MN与AC所成的角为60°10.(2020山东潍坊三模,10)已知m,n是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,则下列命题正确的是()A.若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥nB.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC.若m∥β,n∥β,m,n⊂α,则α∥βD.若n⊂α,n⊥β,则α⊥β11.(2020山东青岛二模,11)如图,正方形SG1G2G3的边长为1,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,SG2交EF于点D,现沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,则在四面体S-GEF中必有()A.SG⊥平面EFGB.设线段SF的中点为H,则DH∥平面SGEC.四面体S-GEF的体积为112πD.四面体S-GEF的外接球的表面积为3212.(2020山东济宁三模,10)线段AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直,且AB=2,AD=EF=1.则()A.DF∥平面BCEB.异面直线BF与DC所成的角为30°C.△EFC为直角三角形D.V C-BEF∶V F-ABCD=1∶4三、填空题13.(2020宁夏银川联考,14)《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺,术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是说:×底面圆的周长的平方×高,则由此可推得圆周率π的取值圆堡瑽(圆柱体)的体积为V=112为.14.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2 m,一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P 出发,绕圆锥表面爬行一周后回到P点,蚂蚁爬行的最短路径为2√3 m,则圆锥的底面圆半径为.15.(2019天津,文12)已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形,侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.16.(2020江西南昌三模,16)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=3,AD=2,AA1=2√3,已知P是2,设点P形成的轨迹长度为α,则tan 矩形ABCD内一动点,PA1与平面ABCD所成角为π3α=.四、解答题17.(2020广东珠海三模,19)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,平面CDEF⊥平面ABCD,且四边形CDEF为矩形,BC=2AD=2,CF=2√3,AB=√13,BE=2√6.(1)求证:AD⊥平面BDE;(2)求点D到平面BEF的距离.18.BC,将直(2020山东济南三模,17)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=12角梯形ABCD(及其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90°,形成如图所示的几何体,⏜的中点.其中M为CE(1)求证:BM⊥DF;(2)求异面直线BM与EF所成角的大小.19.(2020河北唐山二模,18)如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=2AB=2BC=2,AE⊥平面ABCD,CF⊥平面ABCD,CF=2AE.(1)求证:CD⊥EF;(2)若二面角B-EF-D是直二面角,求AE的长.20.(2020江西重点中学协作体第一次联考,18)如图所示,正方形ABCD边长为2,将△ABD沿BD翻折到△PBD的位置,使得二面角P-BD-A的大小为120°.(1)证明:平面PAC⊥平面PBD;,求二面角M-BC-P (2)点M在直线PD上,且直线BM与平面ABCD所成角的正弦值为√32的余弦值.21.(2019北京,理16)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且PFPC =13.(1)求证:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)设点G在PB上,且PGPB =23,判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.22.(2020天津静海一中期中,18)如图所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,DE=2,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求证:DF∥平面ABE;(2)求二面角B-EF-D的正弦值;(3)在线段BE上是否存在点P,使得直线AP与平面BEF所成角的正弦值为√66?若存在,求出线段BP的长;若不存在,请说明理由.答案及解析1.D 解析AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故x=12,y=1,x+y=32.2.D 解析正方体同一顶点的三条棱两两垂直,则垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故A 错误;若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,则这两个平面互相平行,故B 错误;正方体的前面和侧面都垂直于底面,这两个平面不平行,故C 错误;若两个平面α,β垂直,假设一个平面α内与它们的交线l 不垂直的直线l 1与另一个平面β垂直,因为l 1⊥β,且平面α,β的交线l ⊂β,所以可得l 1⊥l ,这与题设l 与l 1不垂直相互矛盾,所以假设不成立,原命题成立,故D 正确.3.A 解析底面半径为r=122×3=2(丈),V=13×3×22×2=8(立方丈)=8×106(立方寸)=8000027(斛),故8000027×270÷1000=800(两).4.B 解析由题意,作BB'垂直于底面,连接OB',AB',如图所示.在圆柱OO 1中,OO 1=2,OA=1,OA ⊥O 1B ,则∠BAB'即为AB 与下底面所成角, 而OA ⊥OB',所以AB'=2+12=√2,所以tan ∠BAB'=BB 'AB '=√2=√2.5.C 解析根据题意,当球内切于棱长为2的正方体时,球的体积最大,故该球体积最大时,半径为1,体积为V=43πR 3=4π3.6.B 解析设截面圆半径为r ,球的半径为R ,则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2√3,根据截面圆的周长可得4π=2πr ,得r=2,故由题意知R 2=r 2+(2√3)2,即R 2=22+(2√3)2=16,所以R=4.7.A 解析由题意可知,该几何体的体积等于圆锥的体积,∵圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一,∴底面周长为2π×33=2π.∴圆锥的底面半径为1,母线长为3,∴高为√32-1=2√2.∴体积V 圆锥=13×π×12×2√2=2√23π. 8.B 解析如图,设△ABC 的外接圆圆心为O',其半径为r ,球O 的半径为R ,当球心O 在三棱锥P-ABC 内时,由题意可知,V 1V 2max =√R 2-r 2√R 22=3,可得R=√3r.∵2r=AC sin∠ABC =√3,∴r=√3,∴R=43,∴S 球=4π×169=64π9.当球心O 在三棱锥P-ABC 外时,结果不变.故选B .9.CD 解析结合图形,显然直线AM 与C 1C 是异面直线,直线AM 与BN 是异面直线,直线BN 与MB 1是异面直线,直线MN 与AC 所成的角即直线D 1C 与AC 所成的角.在等边三角形AD 1C 中,∠ACD 1=60°,所以直线MN 与AC 所成的角为60°.综上正确的结论为CD .10.AD 解析∵m ⊥α,α∥β,∴m ⊥β.又n ⊥β,∴m ∥n ,故A 正确;B 选项中,α,β可能平行,也可能相交,故B 不正确;C 选项中,当m ∥n 时,α,β可能相交,故C 不正确;由面面垂直判定定理,知D 正确.11.ABD 解析如图所示,SG ⊥GF ,SG ⊥GE ,GE ∩GF=G ,∴SG ⊥平面EFG ,故A 正确;∵DH 为△SEF 的中位线,则DH ∥SE ,DH ⊄平面SGE , ∴DH ∥平面SGE ,故B 正确;由题知,SG=1,GE=GF=12,V S-GEF =13×S △GEF ×SG=13×12×12×12×1=124,故C 不正确;∵GE ,GF ,GS 两两垂直,故外接球直径2R=√12+(12)2+(12)2=√62,所以S=4πR 2=32π,故D 正确.12.BD 解析因为AB ∥EF ,AB ∥CD ,所以四边形CDEF 确定一个平面,由于DC ,EF 长度不相等,则DF ,CE 不平行,即DF 与平面BCE 有公共点,故A 错误;连接OF ,OE ,OE 交BF 于点G ,因为OB ∥EF ,OB=EF ,OB=OF=1,所以四边形OBEF 为菱形,则BE=OF=1,所以△OBE 为等边三角形,由于G 为OE 的中点,则∠OBG=12∠OBE=30°,因为AB ∥CD ,所以异面直线BF 与DC 所成的角为∠ABF=∠OBG=30°,故B 正确;由于四边形OBEF 为菱形,则BF=2BG=2√12-(12)2=√3,由面面垂直的性质以及线面垂直的性质可知,BC ⊥BE ,BC ⊥BF , 所以CF=√12+(√3)2=2,CE=√12+12=√2,又因为EF 2+CE 2=3≠CF 2,所以△EFC 不是直角三角形,故C 错误; 因为BF=√3,BE=1,EF=1,所以S △BEF =12×√3×√12-(√32)2=√34, 由面面垂直的性质可知,BC ⊥平面BEF ,所以V C-BEF =13×√34×1=√312,过点F 作AB 的垂线,垂足为H ,则FH=12BF=√32, 根据面面垂直的性质可知HF ⊥平面ABCD , 则V F-ABCD =13×2×1×√32=√33,即V C-BEF ∶V F-ABCD =1∶4,故D 正确.13.3解析设圆柱底面圆的半径为r,圆柱的高为h,由题意知112×(2πr)2h=πr2h,解得π=3.14.23m解析将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形,蚂蚁从P爬行一周后回到P(记作P1),作OM⊥PP1,如图所示.由最短路径为2√3m,即PP1=2√3m,OP=2m,由圆的性质可得∠POM=∠P1OM=π3,即扇形所对的圆心角为2π3,则圆锥底面圆的周长为l=2π3×2=4π3(m),则底面圆的半径为r=l2π=4π32π=23(m).15.π4解析如图,由底面边长为√2,可得OC=1.设M 为VC 的中点,则O 1M=12OC=12,O 1O=12VO ,VO=√VC 2-OC 2=2,∴O 1O=1.∴V 圆柱=π·O 1M 2·O 1O=π×122×1=π4. 16.-3√7 解析因为在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥平面ABCD ,所以PA 1与平面ABCD 所成角为∠APA 1.因为PA 1与平面ABCD 所成角为π3,所以∠APA 1=π3. 因为AA 1=2√3,所以AP=2.从而点P 形成的轨迹为以A 为圆心,2为半径的圆在矩形ABCD 内一段圆弧DM ⏜,设其圆心角为θ,则sin θ=322=34,所以tan θ=√7.所以tan α=tan2θ=2tanθ1-tan 2θ=2×3√71-97=-3√7.17.(1)证明∵ED ⊥CD ,平面EDCF ⊥平面ABCD ,且平面EDCF ∩平面ABCD=CD ,ED ⊂平面EDCF ,∴ED ⊥平面ABCD.又AD ,BD ⊂平面ABCD ,∴ED ⊥BD ,AD ⊥ED.∵在Rt △BDE 中,ED=2√3,BE=2√6,∴BD=2√3.在△ABD 中,BD=2√3,AD=1,AB=√13,∵AB 2=AD 2+BD 2,∴AD ⊥BD. 又ED ∩BD=D ,ED ,BD ⊂平面BDE ,∴AD ⊥平面BDE. (2)解由(1)可知△BCD 为直角三角形,且BD=2√3,BC=2,∴CD=√BD 2+BC 2=4,作BH ⊥CD 于点H ,则BH=BC ·BD CD=√3.由已知平面EDCF ⊥平面ABCD ,且平面EDCF ∩平面ABCD=CD ,BH ⊂平面ABCD ,∴BH ⊥平面CDEF ,∴V B-DEF =13S △DEF ×BH=13×(12×4×2√3)×√3=4.在△BEF 中,BF=2+CF 2=4,EF=CD=4,BE=2√6,∴S △BEF =12×2√6×√42-(√6)2=2√15.设点D 到平面BEF 的距离为h ,则13S △BEF h=V B-DEF ,即13×2√15h=4,解得h=2√155,所以点D 到平面BEF 的距离为2√155.18.(1)证明(方法一)连接CE ,CE 与BM 交于点N ,根据题意,该几何体为圆台的一部分,且CD 与EF 相交.故C ,D ,F ,E 四点共面.因为平面ADF ∥平面BCE , 所以CE ∥DF.因为M 为CE ⏜的中点, 所以∠CBM=∠EBM ,所以N 为CE 的中点,又BC=BE , 所以BN ⊥CE ,即BM ⊥CE , 所以BM ⊥DF.(方法二)如图,以B 为坐标原点,BE ,BC ,BA 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则AD=AF=1,BC=BE=2,所以B (0,0,0),M (√2,√2,0),D (0,1,1),F (1,0,1),所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,0),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2−√2=0,所以BM ⊥DF.(2)解如图,以B 为坐标原点,BE ,BC ,BA 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则AD=AF=1,BE=2,所以B (0,0,0),M (√2,√2,0),E (2,0,0),F (1,0,1),所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,0),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),所以cos <BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22×√2=-12,所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60°.19.(1)证明连接AC ,∵CF ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,∴CF ⊥CD.∵AD=2,AB=BC=1,∴AC=CD=√2,∴AC 2+CD 2=AD 2,可得AC ⊥CD. ∵AE ⊥平面ABCD ,CF ⊥平面ABCD , ∴AE ∥CF ,∴A ,C ,F ,E 四点共面. 又AC ∩CF=C ,∴CD ⊥平面ACFE.∵EF ⊂平面ACFE ,∴CD ⊥EF.(2)解如图所示,以A 为原点,A B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,设AE=t ,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),E (0,0,t ),F (1,1,2t ).则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,t ),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2t ),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,t ),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2t ). 设平面BEF 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则{m ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x1+tz1=0,y1+2tz1=0,取z1=1,x1=t,y1=-2t,则平面BEF的一个法向量m=(t,-2t,1).设平面DEF的法向量为n=(x2,y2,z2),则{n·DE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n·DF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2y2+tz2=0,x2-y2+2tz2=0,取z2=2,x2=-3t,y2=t,则平面DEF的一个法向量n=(-3t,t,2).由二面角B-EF-D是直二面角,则m·n=0,即5t2=2,解得t=√105.所以AE=√105.20.(1)证明设AC交BD于点E,连接PE,即E为BD中点,又AB=AD,∴AE⊥BD,∵PD=PB,∴PE⊥BD.∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC,AE∩PE=E,∴BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD,∴平面PAC⊥平面PBD.(2)解∵AE⊥BD,PE⊥BD,∴∠PEA即为二面角P-BD-A的平面角,即∠PEA=120°,得∠PEC=60°.∵AB=2,∴EP=EC=PC=√2.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D (0,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),P 12,32,√62.设DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12B ,32B ,√62B ,∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12B -2,32B -2,√62B .易得平面ABCD 的一个法向量为n =(0,0,1).∵直线BM 与平面ABCD 所成角的正弦值为√32,∴|cos <n ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=|√62λ√(12λ-2)2+(32λ-2)2+(√62λ)|=√32,解得λ=2,∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,√6),CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0). 设平面MBC 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则{n 1·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x 1+y 1+√6z 1=0,2x 1=0,令y 1=√6,得平面MBC 的一个法向量n 1=(0,√6,-1).∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,-12,√62,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),设平面PBC 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则{n 2·CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{12x 2-12y 2+√62z 2=0,2x 2=0,令y 2=√6,得平面PBC 的一个法向量n 2=(0,√6,1). 设二面角M-BC-P 的平面角为θ,∴cos θ=|n 1·n 2|n 1||n 2||=|√7×√7|=57,即二面角M-BC-P 的余弦值为57. 21.(1)证明因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥CD.又因为AD ⊥CD ,PA ∩AD=A , 所以CD ⊥平面PAD.(2)解过A 作AD 的垂线交BC 于点M.因为PA ⊥平面ABCD , 所以PA ⊥AM ,PA ⊥AD.如图,建立空间直角坐标系A-xyz ,则A (0,0,0),B (2,-1,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2). 因为E 为PD 的中点,所以E (0,1,1). 所以B E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2). 所以PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23,-23,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23,43.设平面AEF 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{y +z =0,23x +23y +43z =0. 令z=1,则y=-1,x=-1.于是平面AEF 的一个法向量n =(-1,-1,1).又因为平面PAD 的一个法向量为p =(1,0,0),所以cos <n ,p >=n ·p|n ||p |=-√33.由题知,二面角F-AE-P 的平面角为锐角,所以其余弦值为√33. (3)解直线AG 在平面AEF 内.因为点G 在PB 上,且PG PB =23,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-2),所以PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23PB⃗⃗⃗⃗⃗ =43,-23,-43,AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP⃗⃗⃗⃗⃗ +PG⃗⃗⃗⃗⃗ =43,-23,23.由(2)知,平面AEF 的一个法向量n =(-1,-1,1).所以AG⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =-43+23+23=0.所以直线AG 在平面AEF 内. 22.(1)证明∵四边形EDCF 为矩形,∴DE ⊥CD.又平面EDCF ⊥平面ABCD ,平面EDCF ∩平面ABCD=CD , ∴ED ⊥平面ABCD.以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图,则A (1,0,0),B (1,2,0),C (-1,2,0),E (0,0,2),F (-1,2,2).设平面ABE 的法向量为m =(x ,y ,z ), ∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2,2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0), 由{m ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-x -2y +2z =0,2y =0,取z=1,得m =(2,0,1).又DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,2),∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0, ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m .又DF ⊄平面ABE ,∴DF ∥平面ABE.(2)解DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,2),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2,2),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,2),设平面BEF 的法向量为n =(x 1,y 1,z 1),则{n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x 1-2y 1+2z 1=0,-2x 1+2z 1=0,取x 1=1,得平面BEF 的一个法向量n =(1,12,1).设平面DEF 的法向量为p =(x 2,y 2,z 2),则{p ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,p ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2z 2=0,-x 2+2y 2+2z 2=0,取y 2=1,得平面DEF 的一个法向量p =(2,1,0).设二面角B-EF-D 的平面角为θ,则cos θ=|n ·p ||n ||p |=52√94×√5=√53, ∴二面角B-EF-D 的正弦值sin θ=√1-(√53)2=23.(3)解存在.假设在线段BE 上存在点P ,使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为√66,设P (x 1,y 1,z 1),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =B BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x 1-1,y 1-2,z 1)=λ(-1,-2,2),解得x 1=1-λ,y 1=2-2λ,z 1=2λ, ∴P (1-λ,2-2λ,2λ).由(2)知平面BEF 的法向量n =(1,12,1),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,2-2λ,2λ), ∵直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为√66,∴|n ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√94·√(-λ)+(2-2λ)+(2λ)=√66,解得λ=29或λ=23, ∵BE=3,∴BP=23或BP=2.∴在线段BE 上存在点P ,使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为√66,此时BP=23或BP=2.。
2021年高考数学二轮复习 立体几何中的探索性问题的解题策略
2021年高考数学二轮复习立体几何中的探索性问题的解题策略[策略诠释]1．主要类型：(1)对平行或垂直关系的探索．(2)对条件或结论不完备的开放性问题的探索．2．解题思路：首先假设其存在，然后在这个假设下推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，若推出了矛盾就否定假设．3．注意事项：(1)解决此类问题的关键是通过条件与所求把要探索的问题确定下来．(2)在转化过程中要有理有据，不能凭空猜测．【典例1】(xx·四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．[审题](1)切入点：先利用线面垂直的判定定理证明AA1⊥平面ABC，再证明直线BC⊥平面ACC1A1.关注点：注意条件AC⊥BC的应用．(2)切入点：由于D，E分别是线段BC，CC1的中点，易猜想M应为线段AB的中点．关注点：只要在平面A1MC内找到一条与DE平行的直线即可．[解题]【解】(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.2分因为AB，AC为平面ABC内两条相交的直线，所以AA1⊥平面ABC.4分因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交的直线，所以BC⊥平面ACC1A1.6分(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点． 由已知，O 为AC 1的中点.8分连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC，△ACC 1的中位线，所以，MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE.9分连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形， 则DE∥MO.因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE∥平面A 1MC.11分即线段AB 上存在一点M(线段AB 的中点)，使直线DE∥平面A 1MC.12分 [变题]1．(xx·北京东城模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD ，P 为DN 的中点．(1)求证：BD⊥MC.(2)线段AB 上是否存在点E ，使得AP∥平面NEC ，若存在，说明在什么位置，并加以证明；若不存在，说明理由．【解】 (1)连接AC ，因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC⊥BD.又ADNM 是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD ， 所以AM⊥平面ABCD. 因为BD ⊂平面ABCD ， 所以AM⊥BD. 因为AC∩AM＝A ， 所以BD⊥平面MAC.又MC ⊂平面MAC ，所以BD⊥MC.(2)当E 为AB 的中点时，有AP∥平面NEC.取NC 的中点S ，连接PS ，SE.因为PS∥DC∥AE，PS ＝AE ＝12DC ，所以四边形APSE 是平行四边形， 所以AP∥SE.又SE ⊂平面NEC ，AP ⊄平面NEC ， 所以AP∥平面NEC.【典例2】 (12分)(xx·北京丰台模拟)如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图(2)．(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由． [审题](1)切入点：先从折叠前后关系入手证明DE ⊥AC. 关注点：折叠前后线面间的位置关系．(2)切入点：先由条件建立空间直角坐标系，求面平面A 1BE 的法向量． 关注点：线面角与方向向量和法向量所求角的关系． (3)切入点：首先假设存在点P.关注点：由平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直知其法向量垂直． 【解】 (1)证明：∵AC ⊥BC ，DE ∥BC ， ∴DE ⊥AC.∴DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ， ∴DE ⊥平面A 1DC. ∴DE ⊥A 1C.又∵A 1C ⊥CD ，且DE∩CD＝D ， ∴A 1C ⊥平面BCDE. (2)如图所示，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则A 1(0,0,23)，D(0,2,0)，M(0,1，3)，B(3,0,0)，E(2，2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1B →＝0，n ·BE →＝0. 又A 1B →＝(3,0，－23)，BE →＝(－1,2,0)，∴⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝3， ∴n ＝(2,1，3).6分设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.∵CM →＝(0,1，3)，∴sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝|n ·CM →|n |·|CM →||＝48×4＝22.∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4.8分(3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．理由如下： 假设这样的点P 存在，使其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]． 设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)，则m ·A 1D →＝0，m ·DP →＝0. 又A 1D →＝(0,2，－23)，DP →＝(p ，－2,0)，∴⎩⎨⎧2y ′－23z ′＝0，px ′－2y ′＝0.令x ′＝2，则y ′＝p ，z ′＝p3， ∴m ＝(2，p ，p3).10分 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0， 即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾．∴线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直.12分 【变题】2．(xx·贵州贵阳质检)如图，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB ＝2AD ＝2.(1)若点E 为AB 的中点，求证：BD 1∥平面A 1DE ；(2)在线段AB 上是否存在点 E ，使二面角D 1－EC －D 的大小为π6？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．【解】 (1)四边形ADD 1A 1为正方形，连接AD 1，A 1D ∩AD 1＝F ，则F 是AD 1的中点，又因为点E 为AB 的中点，连接EF ，则EF 为△ABD 1的中位线，所以EF ∥BD 1.又因为BD 1⊄平面A 1DE ，EF ⊂平面A 1DE ， 所以BD 1∥平面A 1DE .(2)根据题意得DD 1⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，D 1(0，0,1)，C (0,2,0)．设满足条件的点E 存在， 令E (1，y 0,0)(0≤y 0≤2)， EC →＝(－1,2－y 0,0)，D 1C →＝(0,2，－1)， 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面D 1EC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EC →＝0，n 1·D 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2－y 0y 1＝0，2y 1－z 1＝0.令y 1＝1，则平面D 1EC 的法向量为n 1＝(2－y 0,1,2)，由题知平面DEC 的一个法向量n 2＝(0,0,1)．由二面角D 1－EC －D 的大小为π6得cos π6＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝22－y 02＋1＋4＝32，解得y 0＝2－33∈[0,2]， 所以当AE ＝2－33时，二面角D 1－EC －D 的大小为π6.30135 75B7 疷+~25224 6288 抈O34516 86D4 蛔023969 5DA1 嶡40851 9F93 龓20035 4E43 乃 Au 35131 893B 褻。
2021高考数学复习第8章立体几何第7节立体几何中的翻折、探究性、最值问题教学案理北师大版
第七节 立体几何中的翻折、探究性、最值问题考点1 平面图形的翻折问题3步解决平面图形翻折问题(2018·全国卷Ⅰ)如图,四边形ABCD 为正方形,E ,F 分别为AD ,BC 的中点,以DF 为折痕把△DFC 折起,使点C 到达点P 的位置,且PF ⊥BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．[解] (1)证明：由已知可得BF ⊥PF ,BF ⊥EF ,PF ∩EF ＝F ,PF ,EF 平面PEF ,所以BF ⊥平面PEF . 又BF 平面ABFD , 所以平面PEF ⊥平面ABFD . (2)如图,作PH ⊥EF ,垂足为H . 由(1)得,PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点,HF →的方向为y 轴正方向,|BF →|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H xyz .由(1)可得,DE ⊥PE .又DP ＝2,DE ＝1,所以PE ＝ 3. 又PF ＝1,EF ＝2,所以PE ⊥PF . 所以PH ＝32,EH ＝32. 则H (0,0,0),P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32,D ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32，0, DP →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，32，32,HP →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，32. 又HP →为平面ABFD 的法向量, 设DP 与平面ABFD 所成的角为θ,则sin θ＝|cos 〈HP →,DP →〉|＝|HP →·DP →||HP →||DP →|＝343＝34.所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34. 平面图形翻折为空间图形问题重点考查平行、垂直关系,解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化,根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量,这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．[教师备选例题](2019·贵阳模拟)如图所示,在梯形CDEF 中,四边形ABCD 为正方形,且AE ＝BF ＝AB ＝1,将△ADE 沿着线段AD 折起,同时将△BCF 沿着线段BC 折起,使得E ,F 两点重合为点P .(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)求直线PB 与平面PCD 的所成角的正弦值． [解] (1)证明：∵四边形ABCD 为正方形, ∴AD ⊥AB ,AD ⊥AE ,∴AD ⊥AP, ∴AD ⊥平面PAB , 又∵AD 平面ABCD , ∴平面ABCD ⊥平面PAB .(2)以AB 中点O 为原点,建立空间坐标系如图,∵AE ＝BF ＝AB ＝1, ∴AP ＝AB ＝BP ＝1,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0,P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0,∴PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－32,DC →＝(1,0,0),CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1，32,设n ＝(x ,y ,z )是平面PCD 的一个法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝0，n ·CP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x －y ＋32z ＝0，取z ＝2,则n ＝(0,3,2),设直线PB 与平面PCD 的所成角为θ,则sin θ＝|cos 〈n ,PB →〉|＝|n ·PB →||n ||PB →|＝37×1＝217,故直线PB 与平面PCD 的所成角的正弦值为217.(2019·广州模拟)如图1,在高为6的等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且CD ＝6,AB＝12,将它沿对称轴OO 1折起,使平面ADO 1O ⊥平面BCO 1O ,如图2,点P 为BC 的中点,点E 在线段AB 上(不同于A ,B 两点),连接OE 并延长至点Q ,使AQ ∥OB .图1 图2(1)证明：OD ⊥平面PAQ ；(2)若BE ＝2AE ,求二面角C BQ A 的余弦值． [解] (1)证明：由题设知OA ,OB ,OO 1两两垂直,∴以O 为坐标原点,OA ,OB ,OO 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AQ 的长为m ,则O (0,0,0),A (6,0,0),B (0,6,0),C (0,3,6),D (3,0,6),Q (6,m,0)．∵点P 为BC 的中点,∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，3, ∴OD →＝(3,0,6),AQ →＝(0,m,0),PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6，m －92，－3.∵OD →·AQ →＝0,OD →·PQ →＝0, ∴OD →⊥AQ →,OD →⊥PQ →,即OD ⊥AQ ,OD ⊥PQ ,又AQ ∩PQ ＝Q , ∴OD ⊥平面PAQ .(2)∵BE ＝2AE ,AQ ∥OB ,∴AQ ＝12OB ＝3,则Q (6,3,0),∴QB →＝(－6,3,0),BC →＝(0,－3,6)． 设平面CBQ 的法向量为n 1＝(x ,y ,z ), 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·QB →＝0，n 1·BC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋3y ＝0，－3y ＋6z ＝0，令z ＝1,则y ＝2,x ＝1,n 1＝(1,2,1)． 易得平面ABQ 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)． 设二面角C BQ A 的大小为θ,由图可知,θ为锐角,则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝66,即二面角C BQ A 的余弦值为66. 考点2 立体几何中的探究性问题(1)解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在,然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,则说明假设成立,即存在,并可进一步证明；否则不成立,即不存在．(2)在棱上探寻一点满足各种条件时,要明确思路,设点坐标,应用共线向量定理a ＝λb (b ≠0),利用向量相等,所求点坐标用λ表示,再根据条件代入,注意λ的范围．(3)利用空间向量的坐标运算,可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理．(2019·华南师大附中模拟)如图,在五面体ABCDEF 中,AB ∥CD ∥EF ,AD ⊥CD ,∠DCF ＝60°,CD ＝EF ＝CF ＝2AB ＝2AD ＝2,平面CDEF ⊥平面ABCD .(1)求证：CE ⊥平面ADF ；(2)已知P 为棱BC 上的点,试确定点P 的位置,使二面角P DF A 的大小为60°.[解] (1)证明：∵CD ∥EF ,CD ＝EF ＝CF , ∴四边形CDEF 是菱形,∴CE ⊥DF .∵平面CDEF ⊥平面ABCD ,平面CDEF ∩平面ABCD ＝CD ,AD ⊥CD ,AD 平面ABCD , ∴AD ⊥平面CDEF ,∵CE 平面CDEF ,∴AD ⊥CE .又∵AD 平面ADF ,DF 平面ADF ,AD ∩DF ＝D , ∴CE ⊥平面ADF .(2)由(1)知四边形CDEF 为菱形, 又∵∠DCF ＝60°, ∴△DEF 为正三角形．如图,取EF 的中点G ,连接GD ,则GD ⊥EF . ∵EF ∥CD ,∴GD ⊥CD . ∵平面CDEF ⊥平面ABCD ,GD 平面CDEF ,平面CDEF ∩平面ABCD＝CD ,∴GD ⊥平面ABCD .又∵AD ⊥CD ,∴直线DA ,DC ,DG 两两垂直．以D 为原点,分别以DA ,DC ,DG 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图的空间直角坐标系D xyz .∵CD ＝EF ＝CF ＝2,AB ＝AD ＝1,∴D (0,0,0),B (1,1,0),C (0,2,0),E (0,－1,3),F (0,1,3),∴CE →＝(0,－3,3),DF →＝(0,1,3),CB →＝(1,－1,0),DC →＝(0,2,0)．由(1)知CE →是平面ADF 的一个法向量． 设CP →＝aCB →＝(a ,－a,0)(0≤a ≤1), 则DP →＝DC →＋CP →＝(a,2－a,0)． 设平面PDF 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0，n ·DP →＝0，即⎩⎨⎧y ＋3z ＝0，ax ＋2－a y ＝0.令y ＝3a ,则x ＝3(a －2),z ＝－a , ∴n ＝(3(a －2),3a ,－a )． ∵二面角P DF A 的大小为60°, ∴|cos 〈n ,CE →〉|＝|n ·CE →||n ||CE →|＝43a123a －22＋3a 2＋a 2＝12, 解得a ＝23或a ＝－2(不合题意,舍去)．∴P 在靠近点B 的CB 的三等分点处．(1)对于存在判断型问题的求解,应先假设存在,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解、是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探究型问题,通常借助向量,引进参数,综合已知和结论列出等式,解出参数.[教师备选例题](2019·潍坊模拟)如图,在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,∠ADC ＝90°,平面PAD ⊥底面ABCD ,Q 为AD 的中点,M 是棱PC 上的点,PA ＝PD ＝2,BC ＝12AD ＝1,CD ＝3.(1)求证：平面PBC ⊥平面PQB ；(2)当PM 的长为何值时,平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°？[解] (1)证明：∵AD ∥BC ,Q 为AD 的中点,BC ＝12AD ,∴BC ∥QD ,BC ＝QD ,∴四边形BCDQ 为平行四边形,∴BQ ∥CD . ∵∠ADC ＝90°,∴BC ⊥BQ . ∵PA ＝PD ,AQ ＝QD ,∴PQ ⊥AD .又∵平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ∩平面ABCD ＝AD , ∴PQ ⊥平面ABCD ,∴PQ ⊥BC . 又∵PQ ∩BQ ＝Q ,∴BC ⊥平面PQB . ∵BC 平面PBC ,∴平面PBC ⊥平面PQB .(2)由(1)可知PQ ⊥平面ABCD .如图,以Q 为原点,分别以QA ,QB ,QP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则Q (0,0,0),D (－1,0,0),P (0,0,3),B (0,3,0),C (－1,3,0),∴QB →＝(0,3,0),DC →＝(0,3,0),DP →＝(1,0,3),PC →＝(－1,3,－3)．设平面PDC 的法向量为n ＝(x ′,y ′,z ′),则⎩⎪⎨⎪⎧DC →·n ＝0，DP →·n ＝0，即⎩⎨⎧3y ′＝0，x ′＋3z ′＝0.令x ′＝3,则y ′＝0,z ′＝－3,∴平面PDC 的一个法向量为n ＝(3,0,－3)．①当M 与C 重合时,平面MQB 的法向量QP →＝(0,0,3),则|n ·QP →||n ||QP →|＝12＝cos 60°,满足题意．②当M 与C 不重合时,设PM →＝λPC →,则PM →＝(－λ,3λ,－3λ),且0≤λ＜1,得M (－λ,3λ,3－3λ), ∴QM →＝(－λ,3λ,3(1－λ))． 设平面MBQ 的法向量为m ＝(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧QM →·m ＝0，QB →·m ＝0，即⎩⎨⎧－λx ＋3λy ＋31－λz ＝0，3y ＝0.令x ＝3,则y ＝0,z ＝λ1－λ, ∴平面MBQ 的一个法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，λ1－λ.∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°,∴cos 60°＝|n ·m ||n ||m |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－3·λ1－λ12·3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1－λ2＝12,∴λ＝12.∴PM ＝12PC ＝72.综上知,PM ＝7或72.(2019·北京高考)如图,在四棱锥P ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,AD ⊥CD ,AD ∥BC ,PA ＝AD ＝CD ＝2,BC ＝3.E 为PD 的中点,点F 在PC 上,且PF PC ＝13.(1)求证：CD ⊥平面PAD ； (2)求二面角F AE P 的余弦值；(3)设点G 在PB 上,且PG PB ＝23,判断直线AG 是否在平面AEF 内,说明理由．[解] (1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥CD . 又因为AD ⊥CD ,PA ∩AD ＝A ,所以CD ⊥平面PAD . (2)过A 作AD 的垂线交BC 于点M . 因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥AM ,PA ⊥AD . 如图建立空间直角坐标系A xyz ,则A (0,0,0),B (2,－1,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2)．因为E 为PD 的中点,所以E (0,1,1)．所以AE →＝(0,1,1),PC →＝(2,2,－2),AP →＝(0,0,2)． 所以PF →＝13PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，－23,AF →＝AP →＋PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，43.设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，23x ＋23y ＋43z ＝0.令z ＝1,则y ＝－1,x ＝－1.于是n ＝(－1,－1,1)． 又因为平面PAD 的法向量为p ＝(1,0,0),所以cos 〈n ,p 〉＝n·p |n ||p |＝－33.由题知,二面角F AE P 为锐角,所以其余弦值为33. (3)直线AG 在平面AEF 内．因为点G 在PB 上,且PG PB ＝23,PB →＝(2,－1,－2),所以PG →＝23PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－23，－43,AG →＝AP →＋PG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－23，23.由(2)知,平面AEF 的法向量n ＝(－1,－1,1)． 所以AG →·n ＝－43＋23＋23＝0.所以直线AG 在平面AEF 内．本题(3)先求得点G 的坐标,然后结合平面AEF 的法向量和直线AG 的方向向量即可判断直线是否在平面内．考点3 立体几何中的最值问题解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题,一般可以从三方面着手：一是从问题的几何特征入手,充分利用其几何性质去解决；二是利用空间几何体的侧面展开图；三是找出问题中的代数关系,建立目标函数,利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多,在函数建成后,可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、函数有界法(如三角函数等)及高阶函数的拐点导数法等．(1)(2019·衡水中学月考)如图所示,长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB ＝AD ＝1,AA 1＝2,面对角线B 1D 1上存在一点P 使得A 1P ＋PB 最短,则A 1P ＋PB 的最小值为( )A. 5B.2＋62C.2＋ 2D.2(2)(2019·三明模拟)如图所示,PA ⊥平面ADE ,B ,C 分别是AE ,DE 的中点,AE ⊥AD ,AD ＝AE ＝AP ＝2.①求二面角A PE D 的余弦值；②点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成的角最小时,求线段BQ 的长．(1)A [如图,把△A 1B 1D 1折起至与平面BDD 1B 1共面,连接A 1B 交B 1D 1于P ,则此时的A 1P ＋PB 最短,即为A 1B 的长,在△A 1B 1B 中,由余弦定理求得A 1B ＝5,故选A.(2)[解] ①因为PA ⊥平面ADE ,AD 平面ADE ,AB 平面ADE ,所以PA ⊥AD ,PA ⊥AB , 又因为AB ⊥AD ,所以PA ,AD ,AB 两两垂直．以{AB →,AD →,AP →}为正交基底建立空间直角坐标系A xyz ,则各点的坐标为A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),P (0,0,2)．因为PA ⊥AD ,AD ⊥AE ,AE ∩PA ＝A , 所以AD ⊥平面PAE ,所以AD →是平面PAE 的一个法向量,且AD →＝(0,2,0)．易得PC →＝(1,1,－2),PD →＝(0,2,－2)．设平面PED 的法向量为m ＝(x ,y ,z )．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1,解得z ＝1,x ＝1.所以m ＝(1,1,1)是平面PED 的一个法向量,所以cos 〈AD →,m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33, 所以二面角A PE D 的余弦值为33. ②BP →＝(－1,0,2),故可设BQ →＝λBP →＝(－λ,0,2λ)(0≤λ≤1)．又CB →＝(0,－1,0),所以CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ,－1,2λ)．又DP →＝(0,－2,2),所以cos 〈CQ →,DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2. 设1＋2λ＝t ,t ∈[1,3],则cos 2〈CQ →,DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910, 当且仅当t ＝95,即λ＝25时, |cos 〈CQ →,DP →〉|的最大值为31010. 因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数, 所以当λ＝25时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ＝12＋22＝5,所以BQ ＝25BP ＝255. 本例(1)属于线段和的最值问题,求解时采用了化空间为平面,化折为直的重要手段；本例(2)属于解决空间角的最值问题,求解时采用了把空间角的余弦三角函数值表示为参数λ的二次函数,利用这个函数的单调性求三角函数值的最值,求解时需要注意的是函数中自变量的取值范围对最值的决定作用．(2018·全国卷Ⅲ)如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵ 所在平面垂直,M 是CD ︵上异于C ,D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC 体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．[解] (1)证明：由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC 平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,所以BC ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ,D 的点,且DC 为直径,所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ,所以DM ⊥平面BMC .而DM 平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .(2)以D 为坐标原点,DA →的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz .当三棱锥M ABC 体积最大时,M 为CD ︵ 的中点．由题设得D (0,0,0),A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),M (0,1,1),AM →＝(－2,1,1),AB →＝(0,2,0),DA →＝(2,0,0)．设n ＝(x ,y ,z )是平面MAB 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AM →＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋z ＝0，2y ＝0.可取n ＝(1,0,2)．DA →是平面MCD 的法向量,因此cos 〈n ,DA →〉＝n ·DA →|n ||DA →|＝55,sin 〈n ,DA →〉＝255. 所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是255.。
2021-2022年高考数学二轮复习难点2.8立体几何中的折叠问题最值问题和探索性问题教学案文
2021年高考数学二轮复习难点2.8立体几何中的折叠问题最值问题和探索性问题教学案文对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答．从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼．分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨．1 立体几何中的折叠问题折叠问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现.处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系.折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材.解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试.例１【河南省中原名校xx届第五次联考】如图甲，在四边形中，，是边长为4的正三角形，把沿折起到的位置，使得平面平面，如图乙所示，点分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．思路分析：（1）在正三角形中可得，有根据题意得到平面，从而得，计算可得．由分别为棱的中点，得到，故．根据线面垂直的判定定理可得平面．（2）由条件得，故，又可得点到平面的距离为，故可求得三棱锥的体积．点评：本题考查了直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，以折叠问题为载体，折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体.如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面垂直的判定方法及相互转化，还要正确识别出折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题．这正是折叠问题的价值之所在．2 立体几何中的最值问题解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解;再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解;还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次顺序思考，基本可以找到解题的途径．例2【宁夏育才中学xx届第三次月考】一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体棱长的最大值为__________．【答案】【解析】设大正四面体的内切球半径为，则221111455322322r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯.设小正四面体棱长的最大值为，内切球为小正四面体的外接球，则22233r x x r ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得. 点评：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.立体几何中经常碰到求最值问题，不少学生害怕这类问题，主要原因是难以将立体几何问题转化为平面几何问题或代数问题去求解，对立体几何的最值问题，一般可以从两方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等．3 立体几何中的探索性问题探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．例3【江西省xx 届1月联考】如图，多面体是由三棱柱截去一部分而成， 是的中点.（1）若，平面，，求点到面的距离；（2）若为的中点，在上，且，问为何值时，直线平面？思路分析：（1）由，，可得面，即点到面的距离等于；（2）当时，直线平面，理由如下：取的中点，连接，可得，当时，四边形为平行四边形，即.点评：本题主要考查了点到面的距离，直线与平面平行的判定，属于基础题；在求点到面的距离中主要采用证明线面垂直找出距离或者等体积法；线面平行主要通过一下几种方式：1、利用三角形中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等.探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下列二种方法：⑴通过各种探索尝试给出条件;⑵找出命题成立的必要条件，也证明了充分性综合以上三类问题，折叠与展开问题、最大值和最小值问题和探究性问题都是高考中的热点问题，在高考试题的新颖性越来越明显，能力要求也越来越高，并且也越来越广泛．折叠与展开问题是立体几何的一对问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系；求最值的途径很多，其中运用公理与定义法、利用代数知识建立函数法、由常用不等式解不等式法等都是常用的一些求最值的方法；对于立体几何的探索性问题一般都是条件开放性的探究问题，采用的方法一般是执果索因的方法，假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决．如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．另外对于立体几何中的上述三种问题有时运用空间向量的方法也是一种行之有效的方法，能使问题简单、有效地解决．解答这些问题，需要主观的意志力，不要见到此类问题先发怵，进行消极的自我暗示，要通过一些必要的练习，加强解题信心的培养，确定解题的一般规律，积极的深入分析问题的特征，进而实现顺利解答．。
立体几何中的翻折问题与探索性问题-高考文科数学分类专题突破训练
考查角度2立体几何中的翻折问题与探索性问题分类透析一翻折问题例1 如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别是边CD,CB的中点,AC∩EF=O,以EF为折痕将△CEF折起,使点C运动到点P的位置,连接PA,PB,PD,得到如图所示的五棱锥P-ABFED,且PB=.(1)求证:BD⊥PA.(2)求四棱锥P-BFED的体积.分析 (1)抓住EF与BD的平行关系,结合菱形的性质,利用翻折前后的垂直关系可证EF⊥平面PAO,问题得以解决;(2)分别计算PO的长度和四边形BFED的面积,再利用公式计算体积.解析 (1)∵点E,F分别是边CD,CB的中点,∴BD∥EF.∵菱形ABCD的对角线互相垂直,∴BD⊥AC,∴EF⊥AC,∴EF⊥AO,EF⊥PO.∵AO?平面POA,PO?平面POA,AO∩PO=O,∴EF⊥平面POA,∴BD⊥平面POA,∴BD⊥PA.(2)设AO∩BD=H,连接BO,∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形,∴BD=4,BH=2,HA=2,HO=PO=.∴在Rt△BHO中,BO==.∵在△PBO中,BO2+PO2=10=PB2,∴PO⊥BO.又PO⊥EF,EF∩BO=O,EF?平面BFED,BO?平面BFED,∴PO⊥平面BFED.∵梯形BFED的面积S=(EF+BD)×HO=3,∴四棱锥P-BFED的体积V=S×PO=×3×=3.方法技巧 1.画好两个图——翻折前的平面图和翻折后的立体图;2.分析好两个关系——翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了改变,哪些没有改变.一般地,在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的,在两个半平面内的几何元素之间的关系是变化的,分别位于两个半平面内但垂直于翻折棱的直线翻折后仍然垂直于翻折棱.分类透析二空间线面关系的探索性问题例2 如图,三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,AA1⊥平面ABC,E,F 分别为棱A1B1,BC的中点.(1)求证:直线BE∥平面A1FC1.(2)若平面A1FC1与直线AB交于点M,请指出点M的位置,说明理由,并求三棱锥B-EFM的体积.分析 (1)取A1C1的中点G,连接EG,FG,利用线线平行得到线面平行;(2)采用分析法进行求解.解析 (1)取A1C1的中点G,连接EG,FG,则EG B1C1,又BF B1C1,所以BF EG.所以四边形BFGE是平行四边形,所以BE∥FG.而BE?平面A1FC1,FG?平面A1FC1,所以直线BE∥平面A1FC1.(2)M为棱AB的中点.理由如下:因为AC∥A1C1,AC?平面A1FC1,A1C1?平面A1FC1,所以直线AC∥平面A1FC1.又平面A1FC1∩平面ABC=FM,所以AC∥FM.又F为棱BC的中点,所以M为棱AB的中点.所以S△BFM=S△ABC=××2×2×sin 60°=,所以V B-EFM=V E-BFM=××2=.方法技巧探索性问题的处理思路:先假设存在,再通过推理,进行验证.探索空间中的线面平行与垂直关系,可以利用空间线面关系的判定与性质定理进行推理探索.分类透析三条件追溯型例3 如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等边三角形,且AA1⊥底面ABC,M为AA1的中点,点N在线段AB上,且AN=2NB,点P在线段CC1上.(1)证明:平面BMC1⊥平面BCC1B1.(2)当为何值时,PN∥平面BMC1?分析 (1)取BC1的中点O,BC的中点Q,连接MO,OQ得MO∥AQ.由AQ⊥平面BCC1B1得MO⊥平面BCC1B1,再利用线面垂直得到面面垂直.(2)采用分析法求解.解析 (1)设BC1的中点为O,BC的中点为Q,连接MO,OQ,AQ,则OQ CC1AM,∴四边形AQOM是平行四边形,∴AQ∥MO.∵AA1∥CC1,AA1⊥平面ABC,∴CC1⊥平面ABC.∵AQ?平面ABC,∴CC1⊥AQ.又∵AB=AC,∴AQ⊥BC.∵CC1?平面BCC1B1,BC?平面BCC1B1,BC∩CC1=C,∴AQ⊥平面BCC1B1,∴MO⊥平面BCC1B1.∵MO?平面BMC1,∴平面BMC1⊥平面BCC1B1.(2)取AE=2EM,则NE∥BM.∵NE?平面BMC1,BM?平面BMC1,∴NE∥平面BMC1.若PN∥平面BMC1,则平面NEP∥平面BMC1.∵EP?平面NEP,∴EP∥平面BMC1.∵平面BMC1∩平面AA1C1C=MC1,∴EP∥MC1.又∵EM∥PC1,∴四边形EMC1P是平行四边形,∴PC1=EM=AM=AA1=CC1,。
2021版新高考数学：立体几何中的翻折、探究性、最值问题含答案
第七节立体几何中的翻折、探究性、最值问题(对应学生用书第136页)考点1平面图形的翻折问题3步解决平面图形翻折问题(20xx·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．[解](1)证明：由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)如图，作PH ⊥EF ，垂足为H . 由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|BF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H -xyz .由(1)可得，DE ⊥PE .又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝3. 又PF ＝1，EF ＝2， 所以PE ⊥PF . 所以PH ＝32，EH ＝32. 则H (0，0，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，0，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，32，HP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32.又HP →为平面ABFD 的法向量， 设DP 与平面ABFD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈HP →，DP →〉|＝|HP →·DP →||HP →||DP →|＝343＝34.所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34.平面图形翻折为空间图形问题重点考查平行、垂直关系，解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．[教师备选例题](20xx·贵阳模拟)如图所示，在梯形CDEF 中，四边形ABCD 为正方形，且AE ＝BF ＝AB ＝1，将△ADE 沿着线段AD 折起，同时将△BCF 沿着线段BC 折起，使得E ，F 两点重合为点P .(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)求直线PB 与平面PCD 的所成角的正弦值． [解] (1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD ⊥AB ，AD ⊥AE ， ∴AD ⊥AP, ∴AD ⊥平面PAB ， 又∵AD ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面PAB .(2)以AB 中点O 为原点，建立空间坐标系如图， ∵AE ＝BF ＝AB ＝1， ∴AP ＝AB ＝BP ＝1，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，P (0，0，32)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫－12，1，0，图1 图2(1)证明：OD ⊥平面PAQ ；(2)若BE ＝2AE ，求二面角C -BQ -A 的余弦值． [解] (1)证明：由题设知OA ，OB ，OO 1两两垂直， ∴以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ 的长为m ，则O (0，0，0)，A (6，0，0)，B (0，6，0)，C (0，3，6)，D (3，0，6)，Q (6，m ，0).∵点P 为BC 的中点，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫0，92，3，∴OD →＝(3，0，6)，AQ →＝(0，m ，0)，PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6，m －92，－3.∵OD →·AQ →＝0，OD →·PQ →＝0， ∴OD →⊥AQ →，OD →⊥PQ →，即OD ⊥AQ ，OD ⊥PQ ，又AQ ∩PQ ＝Q ， ∴OD ⊥平面PAQ .(2)∵BE ＝2AE ，AQ ∥OB ，∴AQ ＝12OB ＝3，则Q (6，3，0)，∴QB →＝(－6，3，0)，BC →＝(0，－3，6). 设平面CBQ 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n1·QB →＝0，n1·BC →＝0，得⎩⎨⎧－6x ＋3y ＝0，－3y ＋6z ＝0，令z ＝1，则y ＝2，x ＝1，n 1＝(1，2，1). 易得平面ABQ 的一个法向量为n 2＝(0，0，1). 设二面角C -BQ -A 的大小为θ，由图可知，θ为锐角， 则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n1·n2|n1|·|n2|＝66， 即二面角C -BQ -A 的余弦值为66. 考点2 立体几何中的探究性问题(1)解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在．(2)在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围．(3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理．如图，在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，AD⊥CD，∠DCF＝60°，CD＝EF＝CF＝2AB＝2AD＝2，平面CDEF⊥平面ABCD.(1)求证：CE⊥平面ADF；(2)已知P为棱BC上的点，试确定点P的位置，使二面角P-DF-A的大小为60°.[解](1)证明：∵CD∥EF，CD＝EF＝CF，∴四边形CDEF是菱形，∴CE⊥DF.∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，AD ⊂平面ABCD，∴AD⊥平面CDEF，∵CE⊂平面CDEF，∴AD⊥CE.又∵AD⊂平面ADF，DF⊂平面ADF，AD∩DF＝D，∴CE⊥平面ADF.(2)由(1)知四边形CDEF为菱形，又∵∠DCF＝60°，∴△DEF为正三角形．如图，取EF的中点G，连接GD，则GD⊥EF.∵EF∥CD，∴GD⊥CD.∵平面CDEF⊥平面ABCD，GD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解、是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.[教师备选例题](20xx·潍坊模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝12AD＝1，CD＝3．(1)求证：平面PBC⊥平面PQB；(2)当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°？[解](1)证明：∵AD∥BC，Q为AD的中点，BC＝12AD，∴BC∥QD，BC＝QD，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴BQ∥CD.∵∠ADC＝90°，∴BC⊥BQ.∵PA＝PD，AQ＝QD，∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥BC.∴QM →＝(－λ，3λ，3(1－λ)).设平面MBQ 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧QM →·m ＝0，QB →·m ＝0，即⎩⎨⎧－λx ＋3λy ＋3（1－λ）z ＝0，3y ＝0. 令x ＝3，则y ＝0，z ＝λ1－λ， ∴平面MBQ 的一个法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，λ1－λ. ∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°，∴cos 60°＝|n·m||n||m|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－3·λ1－λ12·3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1－λ2＝12， ∴λ＝12.∴PM ＝12PC ＝72.综上知，PM ＝7或72.(20xx·北京高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA ＝AD ＝CD ＝2，BC ＝3.E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且PF PC ＝13.(1)求证：CD ⊥平面PAD ；(2)求二面角F -AE -P 的余弦值；(3)设点G 在PB 上，且PG PB ＝23，判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．[解] (1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD .又因为AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面PAD .(2)过A 作AD 的垂线交BC 于点M .因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD .如图建立空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，－1，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).因为E 为PD 的中点，所以E (0，1，1).所以AE →＝(0，1，1)，PC →＝(2，2，－2)，AP →＝(0，0，2).所以PF →＝13PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，－23，AF →＝AP →＋PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，43. 设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n·AE →＝0，n·AF →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，23x ＋23y ＋43z ＝0. 令z ＝1，则y ＝－1，x ＝－1.于是n ＝(－1，－1，1).又因为平面PAD 的法向量为p ＝(1，0，0)，所以cos 〈n ，p 〉＝n·p |n||p|＝－33.由题知，二面角F -AE -P 为锐角，所以其余弦值为33.(3)直线AG 在平面AEF 内．因为点G 在PB 上，且PG PB ＝23，PB →＝(2，－1，－2)，所以PG →＝23PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－23，－43，AG →＝AP →＋PG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－23，23. 由(2)知，平面AEF 的法向量n ＝(－1，－1，1).所以AG →·n ＝－43＋23＋23＝0.所以直线AG 在平面AEF 内．本题(3)先求得点G 的坐标，然后结合平面AEF 的法向量和直线AG 的方向向量即可判断直线是否在平面内．考点3 立体几何中的最值问题解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是利用空间几何体的侧面展开图；三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、函数有界法(如三角函数等)及高阶函数的拐点导数法等．(1)(20xx·衡水中学月考)如图所示，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2面对角线B 1D 1上存在一点P 使得A 1P ＋PB 最短，则A 1P ＋PB 的最小值为( )A.5B ．2＋62C ．2＋2D ．2(2)(20xx·三明模拟)如图所示，PA ⊥平面ADE ，B ，C 分别是AE ，DE 的中点，AE ⊥AD ，AD ＝AE ＝AP ＝2.①求二面角A -PE -D 的余弦值；②点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．(1)A [如图，把△A 1B 1D 1折起至与平面BDD 1B 1共面，连接A 1B 交B 1D 1于P ，则此时的A 1P ＋PB 最短，即为A 1B 的长，在△A 1B 1B 中，由余弦定理求得A 1B ＝5，故选A.(2)[解] ①因为PA ⊥平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，AB ⊂平面ADE ，所以PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，又因为AB ⊥AD ，所以PA ，AD ，AB 两两垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立空间直角坐标系A -xyz ，则各点的坐标为A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).因为PA ⊥AD ，AD ⊥AE ，AE ∩PA ＝A ，所以AD ⊥平面PAE ，所以AD →是平面PAE 的一个法向量，且AD →＝(0，2，0).易得PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2).设平面PED 的法向量为m ＝(x ，y ，z ).则⎩⎪⎨⎪⎧m·PC →＝0，m·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0. 令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1.所以m ＝(1，1，1)是平面PED 的一个法向量，所以cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m|＝33，所以二面角A -PE -D 的余弦值为33.②BP →＝(－1，0，2)，故可设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1).又CB →＝(0，－1，0)，所以CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ).又DP →＝(0，－2，2)，所以cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2. 设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t25t2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910， 当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数， 所以当λ＝25时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.本例(1)属于线段和的最值问题，求解时采用了化空间为平面，化折为直的重要手段；本例(2)属于解决空间角的最值问题，求解时采用了把空间角的余弦三角函数值表示为参数λ的二次函数，利用这个函数的单调性求三角函数值的最值，求解时需要注意的是函数中自变量的取值范围对最值的决定作用．(20xx·全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M -ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，所以BC ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC .(2)以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .当三棱锥M -ABC 体积最大时，M 为CD ︵的中点．由题设得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，M (0，1，1)，AM →＝(－2，1，1)，AB →＝(0，2，0)，DA →＝(2，0，0).设n ＝(x ，y ，z )是平面MAB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n·AM →＝0，n·AB →＝0， 即⎩⎨⎧－2x ＋y ＋z ＝0，2y ＝0.可取n ＝(1，0，2). DA →是平面MCD 的法向量，因此cos 〈n ，DA →〉＝n·DA →|n||DA →|＝55，sin 〈n ，DA →〉＝255.所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是255.。
专题突破-立体几何中的翻折与探索性问题
二面角的正弦值最小．
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解
二、模拟大题 3．(2024·四川乐山金口河区延风中学高三月考)在图 1 中，△ABC 为 等腰直角三角形，∠B＝90°，AB＝2 2，△ACD 为等边三角形，O 为 AC 的中点，E 在 BC 边上，且 EC＝2BE，沿 AC 将△ ACD 进行折叠，使点 D 运动到点 F 的位置，如图 2，连接 FO，FB，FE，使得 FB＝4.
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解 (1)证明：因为直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，F 为 CC1 的中点，侧 面 AA1B1B 为正方形，且 AB＝BC＝2，
所以 CF＝1，BF＝ 5，连接 AF，由 BF⊥A1B1 且 AB
∥A1B1，得 BF⊥AB，所以 AF＝3.
所以 AC＝2 2，由 AB2＋BC2＝AC2，得 AB⊥BC. 如图所示，建立空间直角坐标系 Bxyz， 于是 A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(0，2，0)，E(1，1，0)，F(0，2，1)， 设 B1D＝m(0≤m≤2)，则 D(m，0，2)． 于是B→F＝(0，2，1)，D→E＝(1－m，1，－2)． 由B→F·D→E＝0，得 BF⊥DE.
(1)证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE； (2)求图 2 中的二面角 B－CG－A 的大小．
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解 (1)证明：由已知得 AD∥BE，CG∥BE，
所以 AD∥CG， 所以 AD，CG 确定一个平面，从而 A，C，G，D 四点共面． 由已知得 AB⊥BE，AB⊥BC，且 BE∩BC＝B， 所以 AB⊥平面 BCGE. 又因为 AB⊂平面 ABC， 所以平面 ABC⊥平面 BCGE.
2021高考数学复习专题 翻折与探索性问题(文 精讲)
专题8.6 翻折与探索性问题【考情分析】1.掌握翻折与探索性问题的解决方法。
【典型题分析】高频考点一线面位置关系与体积计算【方法技巧】转化思想的应用(1)证明线面平行、面面平行可转化为证明线线平行；证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行．(2)从解题方法上讲，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行．(3)求几何体的体积也常用转化法．如三棱锥顶点和底面的转化，几何体的高利用平行、中点，比例关系的转化等．【例1】(2020·河南郑州模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝90°，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝8，平面PAD⊥平面ABCD，M是PC的三等分点(靠近C点处)．(1)求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求三棱锥D-MAB的体积．【变式探究】（2020·湖南湘潭模拟）已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点．(1)求证：EM∥平面ADF；(2)若∠ABE＝60°，求四面体M-ACE的体积．高频考点二平面图形的翻折问题【方法技巧】解决此类问题的关键就是根据折痕，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变关系”：(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变.其步骤为：第一步—确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量↓第二步—在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面↓第三步—利用判定定理或性质定理进行证明【例2】(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．【变式探究】(2020·山东济南模拟)如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达P的位置，得到如图2所示的四棱锥P-EBCD，点M为棱PB的中点．图1图2(1)求证：PD∥平面MCE；(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M-BCE的体积．高频考点三线面位置关系中的存在性问题【方法技巧】存在性问题的一般解题方法先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【例3】(2019·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若∠ABC ＝60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；(3)棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．【举一反三】(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧︵CD 所在平面垂直，M 是︵CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．【变式探究】（2020·山西临汾模拟）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .(1)求证：PC ⊥BC ；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．专题8.6 翻折与探索性问题【考情分析】1.掌握翻折与探索性问题的解决方法。
备战2025年高考二轮复习数学课件：立体几何 专题突破练-立体几何中的翻折问题、探究性问题
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设平面 AMB 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1),所以
· = 41 = 0,
· = (3-3)1 -21 + ( 3- 3)1 = 0.
令 y1= 3- 3,则 x1=0,z1=2λ,所以平面 AMB 的一个法向量为
因为 BP∥平面 DA1C1,所以 ⊥s,所以 s·=- 3 − 3=0,所以 λ=-1,
所以 =-1 ,即点 P 在 C1C 的延长线上,且 CP=C1C.
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3.(15分)(2024河北张家口模拟)如图,在矩形ABCD中,AB= 2 ,AD=2.将
△ABD沿对角线BD折起,形成一个四面体A-BCD,此时AC=m.
的空间直角坐标系,则 D(- 3,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0, 3),所以
=( 3,-1,0),1 =( 3,0, 3).
设平面 DAA1 的一个法向量为 m=(x,y,z),
则
· = 3- = 0,
·1 = 3 + 3 = 0.
取 x=1,则 y= 3,z=-1,所以平面 DAA1 的一个法向量为 m=(1, 3,-1).
以点H为坐标原点,以过点H且平行于BC的直线为y轴,分别以HB,PH所在直
线为x轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则 A(-1,0,0),P(0,0, 3),B(3,0,0),C(3,2,0),
所以 =(4,0,0), =(0,2,0), =(3,2,- 3).
设= =(3λ,2λ,- 3),λ∈[0,1],
又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.
又PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC.
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专题突破练18 立体几何中的翻折问题及探索性问题1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图2.(1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC;(2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值.2.(2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点.(1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由;(2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1.(1)求证:A1D∥平面BCC1B1;(2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由.4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2.(1)证明:在图2中,平面ACG⊥平面BCG;(2)设M为图2中线段CG上一点,且CM=1,若直线AG∥平面BMD,求图2中的直线BM与平面AHB 所成角的正弦值.5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD 为菱形,且∠A=60°,取AD 中点为E.现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ,使得∠AEG=90°,如图2.(1)求证:AE ⊥平面EBHG ; (2)求二面角A-GH-B 的余弦值;(3)若点F 满足AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,当EF ∥平面AGH 时,求λ的值. 6.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是梯形,且BC ∥AD ,AC=CD=√22AD ,AD=2PD=4BC=4. (1)求证:AC ⊥平面PCD ;(2)求平面PCD 与平面PAB 所成的锐角的余弦值;(3)在棱PD 上是否存在点M ,使得CM ∥平面PAB ?若存在,求PM PD的值;若不存在,说明理由.7.(2020山东省实验中学模拟,19)在矩形ABCD 中,AB=3,AD=2,点E 是线段CD 上靠近点D 的一个三等分点,点F 是线段AD 上的一个动点,且DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1).如图,将△BEC 沿BE 折起至△BEG ,使得平面BEG ⊥平面ABED.(1)当λ=1时,求证:EF⊥BG;2(2)是否存在λ,使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为1?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.38.(2020河北衡水中学调研,18)已知,图中直棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,其中AA1=AC=2BD=4.又点E,F,P,Q分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上运动,且满足BF=DQ,CP-BF=DQ-AE=1.(1)求证:E,F,P,Q四点共面,并证明EF∥平面PQB;?如果存在,求出CP的长;如果不存在,请说明理由.(2)是否存在点P使得二面角B-PQ-E的余弦值为√55专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问题1.(1)证明在图1的△ABC中,D,E分别为AC,AB边中点,∴DE∥BC.又AC⊥BC,∴DE⊥AC.在图2中,DE⊥A1D,DE⊥DC,A1D∩DC=D,则DE⊥平面A1CD,又DE ∥BC ,∴BC ⊥平面A 1CD.又BC ⊂平面A 1BC ,∴平面A 1CD ⊥平面A 1BC.(2)解由(1)知DE ⊥平面A 1CD ,且DE ⊂平面BCDE ,∴平面A 1CD ⊥平面BCDE.又平面A 1CD ∩平面BCDE=DC ,在等边三角形A 1CD 中过点A 1作A 1O ⊥CD ,垂足为O ,则O 为CD 中点,且A 1O ⊥平面BCDE ,分别以DC ,梯形BCDE 中位线,OA 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(0,0,√3),B (1,4,0),C (1,0,0),E (-1,2,0).A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-√3),EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,√3),EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0).设平面A 1BE 的法向量为n =(x 1,y 1,z 1), 则{EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =x 1-2y 1+√3z 1=0,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =2x 1+2y 1=0,令x 1=1,则y 1=-1,z 1=-√3,∴平面A 1BE 的一个法向量为n =(1,-1,-√3).设直线A 1C 与平面A 1BE 所成角为θ,则sin θ=|cos <A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n |=√3)√3)|√1+3×√1+1+3=2√55. ∴直线A 1C 与平面A 1BE 所成角的正弦值为2√55.2.解(1)当E 为BC 的中点时,CF ∥平面PAE.理由如下,如图,分别取BC ,PA 的中点E ,G ,连接PE ,AE ,GE ,FG.又F 是PD 的中点,∴FG ∥AD ,FG=12AD.又四边形ABCD 为正方形,则AD ∥BC ,AD=BC ,∴FG ∥BC ,FG=12BC.又E 是BC 的中点,∴FG ∥CE ,FG=CE ,则四边形ECFG 是平行四边形,∴CF ∥EG.又EG ⊂平面PAE ,CF ⊄平面PAE ,∴CF ∥平面PAE.(2)如图,取AD 中点O ,连接PO ,OE ,又PA=PD ,∴PO ⊥AD.∵平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ∩平面ABCD=AD ,PO ⊂平面PAD ,∴PO ⊥平面ABCD.∴以O 为原点,OA ,OE ,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2,则A (1,0,0),B (1,2,0),C (-1,2,0),P (0,0,√3),F -12,0,√32,∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-32,0,√32,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-√3), 设平面PBC 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{-2x =0,x +2y -√3z =0,令y=3,得x=0,z=2√3,则平面PBC 的一个法向量n =(0,3,2√3),∴|cos <n ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗||n ||AF ⃗⃗⃗⃗⃗|=|21×3|=√77,∴直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值为√77.3.(1)证明如图所示,连接B 1C ,∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AB CD ,又A 1B 1 AB ,∴A 1B 1 CD ,∴四边形A 1B 1CD 为平行四边形,∴A 1D ∥B 1C. 又B 1C ⊂平面BCC 1B 1,A 1D ⊄平面BCC 1B 1,∴A 1D ∥平面BCC 1B 1.(2)解存在.假设存在点F ,使平面DA 1C 1与平面A 1C 1F 垂直,则平面DA 1C 1与平面A 1C 1F 所成的二面角为直二面角.设平面DA 1C 1与平面A 1C 1F 所成的二面角的平面角为θ,则θ=90°.如图所示,以A 为坐标原点,分别以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系.∵∠ACB=90°,AC=BC=3,AA 1=2, ∴A (0,0,0),D (3,0,0),A 1(0,0,2),C 1(0,3,2). ∵点F 在BC 上,∴设点F (m ,3,0).∴A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-2),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,0),A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,3,-2).设平面A 1C 1D 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 则{n 1·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{3x 1-2z 1=0,y 1=0,取x 1=2,则y 1=0,z 1=3,∴平面A 1C 1D 的一个法向量n 1=(2,0,3). 设平面A 1C 1F 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则{n 2·A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{mx 2+3y 2-2z 2=0,y 2=0,取x 2=2,则y 2=0,z 2=m ,∴平面A 1C 1F 的一个法向量n 2=(2,0,m ). 则cos <n 1,n 2>=cos θ=cos90°=0,∴n 1·n 2|n 1||n 2|=0,即4+3m=0,∴m=-43,即CF=43,∴BF=3-43=53.∴在线段BC 上存在点F ,使平面DA 1C 1与平面A 1C 1F 垂直,此时BF=53.4.(1)证明∵四边形DCGH 为矩形,∴CG ⊥CD.又CG ⊥AD ,CD ∩AD=D ,∴CG ⊥平面ADC ,故CG ⊥AC. ∵六边形AEFBCD 为正六边形, ∴∠ADC=∠DCB=120°,故∠DCA=30°,∴∠ACB=90°, 即AC ⊥CB.又CG ∩CB=C ,∴AC ⊥平面BCG.∵AC ⊂平面ACG , ∴平面ACG ⊥平面BCG.(2)解设AC 与BD 的交点为N ,连接MN.∵AG ∥平面BMD ,且平面BMD ∩平面ACG=MN ,∴AG ∥MN ,∴CMMG =CNNA =CDAB =48=12.∴MG=2,∴CG=3.由(1)知,AC ⊥CB ,CG ⊥平面ABC ,故以CA ,CB ,CG 分别作为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图,A (4√3,0,0),B (0,4,0),M (0,0,1),H (2√3,-2,3),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4√3,4,0),AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√3,-2,3),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4,1),设平面AHB 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2√3x -2y +3z =0,-4√3x +4y =0,取x=√3,则y=3,z=4,∴平面AHB 的一个法向量n =(√3,3,4).设直线BM 与平面AHB 所成角为θ,∴sin θ=|cos <BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n |=16+1·3+9+16=4√119119,即直线BM 与平面AHB 所成角的正弦值为4√119119. 5.(1)证明在图1中,△ABD 为等边三角形,E 为AD 中点,∴BE ⊥AD ,∴BE ⊥AE.∵∠AEG=90°,∴GE ⊥AE. ∵GE ⊥AE ,BE ⊥AE ,GE ∩BE=E , ∴AE ⊥平面EBHG.(2)解设菱形ABCD 的边长为2,由(1)可知AE ⊥GE ,AE ⊥BE ,GE ⊥BE ,∴以E 为原点,EA ,EB ,EG 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.可得A (1,0,0),B (0,√3,0),G (0,0,1),H (0,√3,2),∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,2).设平面AGH 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{n ·AG⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +z =0,-x +√3y +2z =0,令x=√3,则平面AGH 的一个法向量n =(√3,-1,√3).易知平面EBHG 的一个法向量为EA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0).设二面角A-GH-B 的大小为θ,则θ为锐角,∴cos θ=|cos <n ,EA ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ||EA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√217. (3)解由AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3y ,0),得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3y ,0)-(-1,0,0)=(1-λ,√3y ,0).∵EF ∥平面AGH ,则n ·EF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即1-2λ=0,∴λ=12. 6.(1)证明∵AC=CD=√22AD ,∴AC 2+CD 2=12AD 2+12AD 2=AD 2,∴AC ⊥CD.∵PD ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥AC.又PD ∩CD=D ,∴AC ⊥平面PCD.(2)解分别以直线DA ,DP 为x 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (4,0,0),B (3,2,0),C (2,2,0),P (0,0,2),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,2), 设n =(x ,y ,z )为平面PAB 的一个法向量,由{n ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-x +2y =0,-4x +2z =0,取y=1,则n =(2,1,4).由(1)AC ⊥平面PCD ,可知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0)为平面PCD 的一个法向量,设平面PCD 与平面PAB 所成的锐角为θ,则cos θ=|cos <n ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√22+12+42×√(-2)+22+02=√4242.故平面PCD 与平面PAB 所成的锐角的余弦值为√4242.(3)解(方法一)存在.假设在棱PD 上存在点M ,使得CM ∥平面PAB ,则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ,即CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0.设M (0,0,h ),则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,h ),由CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,得2×(-2)+1×(-2)+4h=0,解得h=32.此时,PM PD=2-322=14.故在棱PD 上存在点M ,使得CM ∥平面PAB ,此时PM PD =14.(方法二)存在.在棱PD 上取点M ,使PMPD =14,过M 作MN ∥AD 交PA 于点N ,则MN=14AD. 又BC 14AD ,∴BC MN ,∴四边形MNBC 为平行四边形, ∴CM ∥BN.∵CM ⊄平面PAB ,BN ⊂平面PAB ,∴CM ∥平面PAB.故在棱PD 上存在点M ,使得CM ∥平面PAB ,此时PM PD=14.7.(1)证明当λ=12时,F 是AD 的中点.∴DF=12AD=1,DE=13CD=1. ∵∠ADC=90°,∴∠DEF=45°. ∵CE=23CD=2,BC=2,∠BCD=90°, ∴∠BEC=45°.∴BE ⊥EF.又平面GBE ⊥平面ABED ,平面GBE ∩平面ABED=BE ,EF ⊂平面ABED ,∴EF ⊥平面BEG.∵BG ⊂平面BEG ,∴EF ⊥BG.(2)解存在.以C 为原点,CD⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系,则E (2,0,0),D (3,0,0),F (3,2λ,0).取BE 的中点O ,∵GE=BG=2,∴GO ⊥BE ,∴易证得OG ⊥平面BCE. ∵BE=2√2,∴OG=√2,∴G (1,1,√2).∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1-2λ,√2),EG⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,√2),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,√2). 设平面DEG 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x +y +√2z =0,n ·EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +y +√2z =0,令z=√2,则平面DEG 的一个法向量n =(0,-2,√2). 设FG 与平面DEG 所成的角为θ,则sin θ=|cos <FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=√6×√6+(1-2λ)=13, 解得λ=12或λ=-710(舍去).∴存在实数λ,使得DG 与平面DEG 所成的角的正弦值为13,此时λ=12.8.(1)证明(方法一)在线段CP ,DQ 上分别取点M ,N ,使得QN=PM=1,易知四边形MNQP 是平行四边形,∴MN ∥PQ ,连接FM ,MN ,NE ,则AE=ND ,且AE ∥ND ,∴四边形ADNE 为矩形,故AD ∥NE ,同理,FM ∥BC ∥AD 且NE=MF=AD ,故四边形FMNE 是平行四边形,∴EF ∥MN ,∴EF ∥PQ.故E ,F ,P ,Q 四点共面.又EF ∥PQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ , ∴EF ∥平面PQB.(方法二)∵直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,∴AC ⊥BD ,AA 1⊥底面ABCD.设AC ,BD 交点为O ,以O 为原点,分别以OA ,OB 及过O 且与AA 1平行的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则有A (2,0,0),B (0,1,0),C (-2,0,0),D (0,-1,0).设BF=a ,a ∈[1,3],则E (2,0,a-1),F (0,1,a ),P (-2,0,a+1),Q (0,-1,a ),EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1), ∴EF ∥PQ ,故E ,F ,P ,Q 四点共面.又EF ∥PQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,∴EF ∥平面PQB. (2)解不存在.理由如下,∵直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,∴AC ⊥BD ,AA 1⊥底面ABCD.设AC ,BD 交点为O ,以O 为原点,分别以OA ,OB 及过O 且与AA 1平行的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则有A (2,0,0),B (0,1,0),C (-2,0,0),D (0,-1,0).设BF=a ,a ∈[1,3],则E (2,0,a-1),F (0,1,a ),P (-2,0,a+1),Q (0,-1,a ),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,1),设平面EFPQ 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,即{-2x 1+y 1+z 1=0,-2x 1-y 1+z 1=0,令x 1=1,可得平面EFPQ 的一个法向量n 1=(1,0,2). BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,a+1),BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,a ),设平面BPQ 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则{BP ⃗⃗⃗⃗⃗·n 2=0,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0, 即{-2x 2-y 2+(a +1)z 2=0,-2y 2+az 2=0, 令y 2=2a ,可得x 2=a+2,z 2=4,∴平面BPQ 的一个法向量n 2=(a+2,2a ,4).若|cos <n 1,n 2>|=|12√5·√(a+2)+4a 2+16=√55, 则(a+10)2=5a 2+4a+20,即有a 2-4a-20=0,a ∈[1,3],解得a=2±2√6∉[1,3],故不存在点P 使之成立.。