东莞市2019届高三第二学期第一次统考(省一模)模拟考试参考答案及阅卷评分细则

（2）当 k 不存在时，| AB | 2 ………………6 分
y kx 1
当k
存在时，设直线方程为
y

kx

1
，联立


x2 3

y2
， 1
得 (1 3k 2 )x2 6kx 0 ，…………7 分
xA

0, xB

6k 1 3k 2
………………8
分
| AB |
1 2x，x 1
（Ⅰ） f x x 1 x 2 3， 1 x 2 ，……………………3 分
2x 1，x 2
由 f x 3 解得 1 x 2 ……………………4 分
即不等式 f (x) 3 的解集为{x | 1 x 2} .
故 x 1 ，即 a 1 时， h x x x ln x 取最大值 1，故 m 1 ．
…………12 分
22.（本小题满分 10 分） （Ⅰ） Q 4sin , 2 4 sin ，
由 2 x2 y2 , cos x ,得 x2 y2 4y . ……………………2 分
右焦点 (c, 0)(c 0) 到直线 x y 2 2 0的距离 d | c 2 2 | 3 2
,c 2 ……3 分
a b2 c2 3 ………………4 分
∵椭圆 E 的焦点在 x 轴上，所以椭圆 E 的方程为 x2 y2 1 ………………5 分 3
单调递减；
当
x (x0, )
时，
g(x)

0
，
f
'(x)

x 1(xe x x
a)

0
，
f
(x)
单调递增；
故 x x0 时， f (x) 取得最小值，即 m f x0 x0e x0 a ln x0 x0 , …………8 分
由 x0ex0 a 0 得 m x0ex0 a ln x0ex0 a a ln a ， …………9 分
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18.（本小题满分 12 分）
解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为 t1 、 t2 ，则
t1

20 5

2510 10 15 60

5
20

10
（小时）……………2
分（单位未写扣
1
分）
t2
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故存在 x0 0, a ，使得 g(x0 ) x0e x0 a 0 ．
…………7 分
当
x (0, x0 )
时，
g(x)

0，
f
'(x)

x 1(xe x x
a)

0
，
f
(x)
共 9 种，……………11 分（未具体写出符合题意的可能情况该步骤不得分）
故所求的概率 P 9 3 ……………12 分 15 5
19.（本小题满分 12 分）
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20.（本小题满分 12 分）
【解析】（1）由题意， b 1， …………1 分
f
'(x)


x
1
e
x

e(
1 x

1)


x 1 x
xe x e
，
…………3 分
当 0 x 1时， f '(x) 0 ；当 x 1 时， f '(x) 0 ．
…………4 分
所以函数 f (x) 的单调递减区间为 0,1 ，单调递增区间为 1, ． …………5 分
东莞市 2019 届高三第二学期第一次统考（省一模）模拟考试
文科数学试题参考答案及阅卷评分细则
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同， 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未 改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部 分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
1 2n 1 ……………………8 分
Sn

2 1 3

2 3
5

5
2
7



2n
2
12n
1

1
1 3

1 3

1 5

1 5

1 7



1 2n 1

1 2n
1
……………………10
分
1 1 2n ……………………12 分 2n 1 2n 1
（Ⅱ）当 x 2,3 时， f x 2x 1 ，
……………………5 分 ……………………6 分
由 f x x2 2x m ，得 2x 1 x2 2x m ，
……………………7 分
也就是 m x2 1 在 x 2,3 恒成立，
……………………8 分
PQ t1 t2 t1 t2 2 4t1t2 4 sin 2 12 15
…………………8 分
得 sin
3 ， 或 2 ，
2
33
……………………9 分
∴直线 l 的斜率为 3 .
……………………………………10 分
23.（本小题满分 10 分）
1

k
2
6|k | 1 3k 2
,|
AB
|2

36k 2 (1 k 2 ) (1 3k 2 )2
令t 1 3k 2 ,t (1, ),则| AB |2 4[2(1)2 1 1]………………9 分 tt
1
所以，当

1
，即 k 2
1，得 k

1时…………10
∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ( y 2)2 0 .
……………………4 分
（Ⅱ）把
x y
t cos 1 t sin
代入
x2

y2

4y
，整理得 t 2

2t
sin

3

0
…………5 分
设其两根分别为 t1, t2 ，则 t1 t2 2 sin ,t1t2 3, ……………………7 分
令 x a 0 ， h x x x ln x ，则 h ' x 1 1 ln x ln x ，
当 x (0,1) 时， h ' x ln x 0 ， h x x x ln x 单调递增， …………10 分
当 x (1, ) 时， h ' x ln x 0 ， h x x x ln x 单调递减， …………11 分
故 m 3 ，即 m 的取值范围为[3, )
………………10 分
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84
16 8
2012 60
16 16

10.9
（小时）……………4
分（单位未写扣
1
分）
据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为 10 小时和 10.9 小时，因
10 10.9 ，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；……………5 分
（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 6 人,
则这 6 人中来自甲组的人数为： 6 10 2 ，……………6 分 30
来自乙组的人数为： 6 20 4 ，……………7 分 30
记来自甲组的 2 人为： a、b ；来自乙组的 4 人为： c、d、e、f ，
则从这 6 人中随机抽取 2 人的不同方法数有： (a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ) ，
（2）证明：由（1）得 f (x) 的定义域是 (0, ) ， f '(x) x 1(xe x a) ， x
令 g(x) xex a ，则 g '(x) (x 1)e x 0 ， g(x) 在 (0, ) 上单调递增， …………6 分 因为 a 0 ,
所以 g(0) a 0 ， g a aea a a a 0 ，
(b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ) ， (c, d ), (c, e), (c, f ) ， (d, e), (d, f ), (e, f ) ，共 15 种，……9 分
其中至少有 1 人来自甲组的有：(a,b), (a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ) ，(b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ),
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B A D C C A B D A D
二．填Baidu Nhomakorabea题
13． e 1
14． -1
15．16
16． 3 3
三、解答题
17.（本小题满分 12 分）
解：(1)设数列 an 的公差为 d，
a1＝1，且 a3 1是 a2 1 与 a4 2 的等比中项．
a3 12 a2 1a4 2，2 2d 2 2 d 3 3d ……………………2 分
d 2 或 d 1,
…………………………………………………3 分
分
t4
| AB |2 的最大值为 9 ，即| AB |的最大值为 3 2 …………11 分
2
2
直线的方程为 y x 1或y x 1. ………………12 分
21.（本小题满分 12 分）
（1）解：当 a e 时， f (x) xex e(ln x x) …………1 分 f (x) 的定义域是 (0, ) ……2 分
当 d 1 时， a3 1 0 ， a3 1是 a2 1 与 a4 2 的等比中项矛盾，舍去.………4 分
数列 an 的通项公式为 an 2n 1………………………………………6 分
(2) bn

2 an an1

2
2n 12n 1

1 2n 1