函数单调性(二)

证明 因为当x a, c 时, f x 单调增函数 , 所以对于 任意 x a, c , 都有 f x f c ; 又因为当x c, b时, f x 单调减函数 , 所以对于任意 x c, b, 都有 f x f c .
因此, 对于任意 x a, b都有 f x f c , 即 f x 在 x c 时取得最大值 .
一般地 , 设 y f x 的定义域为 若存在定值 x 0 A , 使得对任意
A. x A,
有 f x f x0 恒 成 立 , 则 称 f x0 为 y f x 的 最 大 值 (max imum value ) , 记为 y max f x 0 ;
x 1 , 3 都有
1 x 1 3
y
1
O
x
2 因为对任意实数
1 x 1 3 ,
-1
且当 x 3 时 ,
, 故
2 图
函数取最小值
1 3
, 即 y min
1 3
.
O
1
3
x
例5 已知函数 y f x 的定义域是a, b, a c b . 当x a, c 时, f x 单调增函数;当 x c, b, f x 是单 调减函数, 试证明 f x 在 x c 时取得最大值 .
y f x 当
x 3 时取得最大值 值 , 即 y min 2 .
函数的单调增区间为
, 即 y max 3 ; 当 x 1 . 5 时取得最小
1 . 5 , 3 , 5 , 6 , 单调减区间为
4 , 1 . 5 , 3 , 5 , 6 , 7 .
例4
求下列函数的最小值 :
2
y
1 y x
解
2 x ; 2 y
2
1 x
, x 1,3.
2
1图
1 因为
y x 2 x x 1
1 1 , 且当 x 1 时 y 1 , 故
函数取最小值
1 , 即 y min 1 .
若存在定值
x 0 A , 使得对任意
x A,
有 f x f x0 恒 成 立 , 则 称 f x0 为 y f x 的 最 小 值(min imum value ) , 记为 y min f x 0 ;
自主检测
课本P37练习3
例 3
右 图为函数 y
yห้องสมุดไป่ตู้
右图为第 2.1.1 第三个 问题的图象, 我们从图象看 出14 时的气 温为全天的最 高气 温, 它表 示在 0 ~ 24 时 之间, 气温于14 时达到最大 值 .从图上看出,图象在这一 点的位置最高 .
10 8 6 4 2
O -2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
x
y
2
在本节例 11 中, 可以看 出对于任意的x R, 都有 f x 2 f 0 .
分层训练 一.必做题 1.课本P37
2.求 y
4
2 x
在[2，4]上的最大值
二.选做题
2 x 6 , x [1, 2 ] 求f ( x ) x 7 , x [ 1,1 )
的最值
作业 p43
3
y
f x , x 4,7 的图象, 指出它的最大值、最 小值及单调区间 .
-1.5 -4 -3 -2 -1
3 2 1
O
1 -1 -2
2
3
4
5
6
7
x
解
观 察 函数 图象可以
知道 , 图象上位置最高的 点是
3 , 3 , 最低的点是 1 . 5 , 2 .所
以函数
O
1
x
函数的单调性（二）
学习目标
1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；
2.学会运用函数图象理解和研究函数的最 大（小）值。
自学指导
1.什么叫做函数的最大值？什么叫做函数的
最小值？
2.体会例题3中函数 f ( x ) 在区间[1，3]，[5，6] 上分别都是单调递增，但是函数 f ( x ) 在集合 [1，3] [5，6]上是否具有单调性? 3.例题4中的函数是否有最大值,当（1） 定义域改为[0,3]时函数有最大值么？（2）中 的函数最大值为多少？ 4. 你能用图象来描述例5的结论吗？