01.2古典概率几何概率统计概率
1.2古典概率
n
n
P( Ak ) P( Ak )
k 1
k 1
14
在400米赛跑中有7条跑道。其中有3条好跑道， 7名运动员抽签决定自己的跑道，运动员小张 最先抽，小李第二抽，试想小张，小李抽到 好跑道的概率是否相等？并证明你的结论。
利用古典概率考虑，把7个签所有可能的排列作
为基本事件总数，而“小张先抽到好跑道就是
5
有重复排列：从含有n个元素集合中抽取 k次，每次取一个，记录其结果后放回， 将记录结果排成一列
无重复排列：从含n有个元素集合中抽取k 次，每次取一个，记录其结果不放回，
将记录结果排成一列
6
组合：从含n有个元素集合中抽取k个，共有
Cnk
Ank k!
n! k !(n k)!
取法
7
1、抽球问题
成3组， 求：（1）每组有一名运动员的概率；
（2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
N(S)
C C C 10 10 10 30 20 10
10!
30! 10!
10!
3! 27! P( A) 9! 9! 9! 50
N (S) 203
P(B) 3 C277C2100C1100
N (S )
12
一般地，把n个球随机地分成m 组(n>m),要求第 i 组恰有ni个 球(i=1,…m)，共有分法：
n! n1!.... nm!
13
二、古典概率的性质
(1)非负性: 对任一事件A,有
0≤P(A) ≤1
(2)规范性: 对必然事件,有 P()=1
(3)有限可加性: 若事件A1, A2, …, An 两两互斥,则
1-2古典概率
又由性质 3 得
P ( B AB ) P ( B ) P ( AB ),
因此得
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB).
例7 设有180件产品，其中含8件次品，今从中任取 4件，问“次品超过1件”的概率是多少？
2 6
A 所包含基本事件的个数为
C
2 4
2 故 P( A) C C . 5
2 4 2 6
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A { 前 2 次摸到黑球, 第 3 次摸到红球}
第3次摸到红球 4种
(答案 : 2 9)
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率. 10 10 20 (答案 : p C20C10 365 )
二、典型例题
例1 将一枚硬币抛掷三次 (1) 设事件 A1 为“恰有一 .
次出现正面”求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 为 , “至少有一 次出现正面”求 P ( A2 ). ,
P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 )
概率的可列可加性
(4) P( A) 1 P( A). 证明 因为 A A S , A A , P ( S ) 1,
所以 1 P ( S ) P ( A A) P ( A) P ( A) . P ( A) 1 P ( A).
§1.2
古典概率
一、等可能概型
1.2古典概率模型
一、古典概率 二、几何概率
一、古典概率
古典概型的条件:
(1)它的样本空间只有有限个样本点 (2)每个样本点出现的可能性相同 (即等可能性)
比如: 足球比赛中扔硬币挑边; 围棋比赛中猜先
概率的古典定义:
在某随机现象的试验中共有n个等 可能的样本点,而随机事件A是由其中的 m (0≤m≤n) 个样本点组成,则事件A的概 率是：
m A所含的样本点的个数 P ( A) n 样本点总数
例1 将一颗均匀的骰子掷两次,观察其 先后出现的点数,设A表示事件“两次掷 出的点数之和为5”,B表示事件“两次 掷出的点数中一个恰好是另一个的两 倍”,试求P(A)和P(B)
解: 样本空间为: ={(i, j)|i, j=1,2,3,4,5,6} (i, j)表示“第一次掷出的点数为i, 第二次掷出的点数为j ”这一样本点
由于两人分别在0到T时之间任一 时刻到达约定地点是等可能的
故可看作几何型随机试验 “两人能相见”这事件: 甲先到: x<y, x+t≥y yx≤t 乙先到: x>y, y+t≥x xy≤t 则A={(x,y)|0≤x≤T, 0≤y≤T, |x－y|≤t}
y
T t o
A t
x T ( A) S A 故, P ( A) ( ) S 2 2 T (T t ) t )2 1 (1 2 T T
分别取得红球有7×6种
分别取得黑球为15×9种 则从甲、乙两袋取得同颜色球的取 法有3×10＋7×6＋15×9种
故 P ( A) 3 10 7 6 15 9 207 25 25 625
例3 有50件同一种商品,其中有5件次品, 从这50件商品中,任取出3件. 求: (1) 取到2件次品的概率 (2) 取到次品的概率
1-第二节古典概率与几何概率
N C C C 30!/ 10! 10! 10!
10 30 10 20 10 10
9 9 P(A) 3! C 27 C18 C99 /N 50/ 203
1 7 10 10 P(B) C 3 C 27 C 20 C10 /N
3 C / C
7 27
10 30
a( a b 1 )! a P ( Ak ) ( a b )! ab
解法2 1.把a只黑球和b只白球都看着没有区别.
2. 把a+b只球摸出来依次排在一直线的a+b个位置 上.若把a只黑球的位置固定下来,则其它位置必然 a C 为白球,则黑球在a+b个位置中的放法共有 a b , 3.有利于A的场合是在第k个位置上固定一个黑球, 其余a - 1个黑球被放到其余a+b-1个位置上,共有 a 1 Ca 种放法. 因此 b 1
k n k CM CN M P ， n CN
0 k minn , M n M
超几何分布
例11 30名毕业生中有3名运动员，将他们平均分配 到甲、乙、丙三个城市去工作，求： （1）每市都有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个市里的概率。 解 设A={每市有一名运动员}; B={3名运动员集中在一个市里}
P (e1 ) P (e 2 ) P (e n ) nP (e1 )
P ( e1 ) P ( e 2 ) P ( e n ) 1 / n
因此, 若事件A e i1 , e i2 , , e ik 包含了k个基本事件, 则 事件A发生的概率 P ( A) k / n
使 A 发生的基本事件是第一次抽到合格品 , 且第二次也抽到合格品, 共有mA=8×8=64种取法.于是 P(A)= mA/n=64/100 同理B包含的基本事件数mB=2×2=4.所以 P(B)= mB /n=4/100 由于C=A+B,且AB=,所以
§1.2 古典概型-§1.3 概率的定义
19
古典概率的性质
1.（非负性）对于任意事件 ，有 0≤P(A)≤1; （非负性）对于任意事件A， ≤ ≤ 2.（规范性） 必然事件 的概率等于 ，即 （规范性） 的概率等于1， P( )=1; 3.（有限可加性）若事件 1,A2,...,Ak两两互不相容，则 （有限可加性）若事件A 两两互不相容， P(A1∪A2∪... ∪Ak)=P (A1)+P (A2)+...+P (Ak)
3
二、概率的古典定义与实例
定义2 定义 若在某随机现象的试验中共有n个等可能的样 若在某随机现象的试验中共有 个等可能的样 本点，而随机事件A是由其中的 是由其中的m 本点，而随机事件 是由其中的 (0≤m≤n)个样本 个样本 点所组成，则定义事件A的概率为 的概率为: 点所组成，则定义事件A的概率为:
2 5 1 45
2 1 C 5 C 45 故 P ( A) = m = ≈ 0.023 3 n C 50
16
(2) 令B: “取出的3件商品中有次品” 取出的3 : 取出的 件商品中有次品” 3 全部是次品: 全部是次品: m1 = C 5 有2件次品: 件次品: 有1件次品: 件次品: 共有: 共有:
S阴 P= S整
21
几何型随机试验及其特征
若一个随机试验可归结为： 若一个随机试验可归结为： 向某可度量区域Ω内投掷一点， 向某可度量区域Ω内投掷一点，落在其中的各 个点是等可能性的，且落在Ω中任意子区域A的可能 个点是等可能性的，且落在Ω中任意子区域 的可能 性大小与A的度量 长度、面积、体积等)成正比 而 性大小与 的度量(长度、面积、体积等 成正比, 的度量 长度 成正比 与A的位置与形状无关 的位置与形状无关 则称这个随机试验为几何型随机试验， 则称这个随机试验为几何型随机试验，或称为 几何型随机试验 几何概型。 几何概型。
概率的古典概型和几何概型
即
P({ei })
1 n
,
i 1, 2,
,n.
若事件 A 包含其样本空间 S 中 k 个基本事件,即 A {ei1} {ei2 } {eik },
则事件 A 发生的概率
k
k
P( A) P eij P eij
j1
j1
k n
A包含的基本事件数 S中基本事件的总数
.
例 1.10 将1, 2, 3, 4 四个数随意地排成一行,求下列各事件的概
设试验的样本空间为 S {e1, e2 , , en} .在古典概型的假设下,
试验中每个基本事件发生的可能性相同,即有
P({e1}) P({e2}) P({en}) . 又由于基本事件是两两互不相容的.因而
1 P(S) P({e1} {e2}
{en})
P({e1}) P({e2}) P({en}) nP({ei}) ,
(1)事件 A 中共有 2 种排法,因而
P( A) 2 1 . 24 12
(2)事件 B 中有 2 (3!) 12 种排法,故有
P(B) 12 1 . 24 2
(3)先将数字1和 2 排在任意相邻两个位置,共有 23种排法, 其余两个数可在其余两个位置任意排放,共有 2!种排法,因而事件 C 有 23 2 12种排法,即
出的 n 只球中至少有 m 只红球} , Bm { 取出的 n 只球中恰有 m 只红球
} ,求 P( Am ) 及 P(Bm ) m min(n, M ) .
解 （i）放回抽样
在放回抽样的情况下,从 N 只球中取 n 只,共有 N n 种取法.
事件 Am 相当于从 n 次取球中先选取 m 次,使得这 m 次都取红球, 剩下的 n m 次可以任意取,因而 Am 中总的取法有 Cmn M m N nm 种.
概率论与数理统计-第1章-第2讲-古典概率与几何概率
概率论与数理统计
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20
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
10
02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
11
02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
5
02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
9
02 古典概率
概率与统计的基本概念和计算方法
概率与统计的基本概念和计算方法概率与统计是一门研究随机现象规律的数学学科，它在科学研究、工程技术和社会经济等领域起到重要的作用。
本文将介绍概率与统计的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用这门学科。
一、概率的基本概念及其计算方法概率是描述随机事件发生可能性的数值，一般用百分比、分数或小数表示。
在概率理论中，有三种常见的概率计算方法：古典概率、几何概率和统计概率。
1. 古典概率古典概率又称为理论概率，是基于等可能性假设进行计算的概率。
当随机事件的样本空间中的所有基本事件等可能发生时，可以使用古典概率进行计算。
计算公式为：事件A发生的概率P(A) = A的基本事件数/样本空间中的基本事件总数。
2. 几何概率几何概率是根据几何形状和空间位置关系计算的概率。
它常用于描述连续随机变量的概率。
几何概率的计算方法是通过计算事件A在样本空间中的面积或体积与样本空间总面积或总体积之比得到。
计算公式为：事件A发生的概率P(A) = A的几何形状的面积或体积/样本空间的几何形状的面积或体积。
3. 统计概率统计概率是根据实际观察到的频率计算的概率。
当无法直接使用古典概率或几何概率进行计算时，可以通过实际观测数据进行统计概率的计算。
统计概率的计算方法是事件A的发生频数除以样本空间试验次数的比值。
计算公式为：事件A发生的概率P(A) = 频数A/n。
二、统计的基本概念及其计算方法统计是通过收集、整理、分析数据并进行推断和预测的一门学科。
在统计学中，有两种常见的统计算法：描述统计和推断统计。
1. 描述统计描述统计是通过对已有数据进行总结和描述来了解数据分布和变化规律的统计方法。
常用的描述统计指标包括均值、中位数、众数、标准差等。
计算描述统计指标时，需要先收集数据，然后对数据进行计算和分析。
2. 推断统计推断统计是通过对样本数据进行推断和预测来做出总体特征的统计方法。
推断统计的核心思想是基于样本数据对总体进行推断。
常用的推断统计方法包括假设检验、置信区间估计和回归分析等。
古典概率模型和几何概率模型
2 3
16
一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中 去(nN)，则每盒至多有一球的概率是：
P PNn Nn
17
例11 设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概 率1/N落在N(n≤N)个盒子中的每一个盒子里，且每 个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件
的概率：
A={某指定的一个盒子中没有球} B={某指定的n个盒子中各有一个球} C={恰有n个盒子中各有一个球} D={某指定的一个盒子中恰有m个球}(m≤n)
和该点的连线与轴的夹角小于 4 的概率．
解 过原点Ｏ作线段OC，使其与x轴的夹角
为 4.
30
总共有多少个基本事件呢？
C
r m
C
s n
所以，事件A发生的概率为
P( A)
Cmr Cns Crs
mn
12
(2)从中任意接连取出k+1(k+1≤m+n)个球，如果每一 个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。
解 试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个
球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同
m
mn
14
在实际中，有许多问题的结构形式与抽球 问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地 抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个 ，求“被抽出的若干个事物满足一定要求”的 概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的 选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择 抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突 出，而不必过多的交代实际背景。
解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(n≤N),总共 有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。
事件A：指定的盒子中不能放球，因此， n个球中的
第2讲(事件的概率与古典概率、几何概率)
i 1 n 1i j n
P( A A )
i j
1i j k n
P( A A A ) (1)
i j k
n 1
P( A1 A2 An )
特别地，n = 3 时，有
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A3 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
稳定在概率 p 附近
频率在一定程度上反映了事件在一次试验 中发生的可能性大小 . 尽管每进行的 n 次试验， 所得到的频率可能各不相同,但只要 n足够大， 频率就会非常接近一个固定值——概率.
2.概率的统计定义
在 n 次重复试验中， A 的频率 fn(A) 随试验 次数 n 的增加而在 [0,1] 上的某个数 p 附近来回 摆动，且n越大，摆动的幅度越小，称p为A的 概率，记为P(A),即P(A)=p. 注意：统计定义没有给出定义概率的方法， 因为不可能依该定义确切地给出任一事件的 概率.但其重要性在于
因每个基本事件发生的可能性相同.故第 一次取一只甲类三极管共有4种可能取法,第二 次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法. 故取两只甲类三极管共有44=16 种可能 的取法,即A包含的基本事件数为16.所以 P(A)=16/36=4/9； 令E={抽到两只乙类三极管}，E 包含的基 本事件数为22=4,故P(E)=4/36=1/9； 因C是E的对立事件，所以 P(C)=1-P(E)=8/9; 因B=A∪E, 且A与E互斥，得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9； D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9.
概率论与数理统计 1.2 古典概型和几何概型
A 的度量 其位置及形状是无关的. 即 P( A)= 的度量
17
例1.15(会面问题) 两人相约7:00~8:00在某地会面, 先到 者可等候另一人20分钟, 过时就可离去, 试求这两人能
会面的概率.
解 记7:00为计算时刻的0时, 以分钟为单位, 并设x及 y分别表示甲、乙两人到达会面地点的时刻, 则样本空 间为 = x, y 0 x 60 , 0 y 60 以A表示 “两人会面”，由图分析知
A=
x, y x, y 且 x y 20
2 2
60 40 20 O
Ω
18
S ( A) 60 40 5 故 P ( A) = = = 2 S () 9 60
A
20 40 60
例1.16、（07年考研题）在区间（0,1）中随机取两个数
求事件“两数之差的绝对值小于1/2”的概率_______ 解：设这两个数分别为x,y.0<x<1,0<y<1; 再设事件A=“所取两数之差小于1/2”。 样本空间和事件A的几何图形如图所示：
m个步骤的每一个步骤才能完成该事件，则完成该事件的
方法总数为 n1 n2
5
nm
2、排列组合方法 （1）、排列公式 从n个不同元素中任取k（ 1≤ k ≤n ）个元素的排列
总数为p =n(n-1)(n-2)
k n
n! (n-k+1)= (n-k)!
k=n时，称为全排列：
pn n =n(n-1)(n-2) 2 1=n!
1 x y 1 2 x y 2 y x 1 2
1
19
1 1 SA 3 4 p( A) S 1 4
古典概型与几何概率
P1
Cma Cbn Cmn
ab
(2)抽取与次序有关。每次取一只，取后不放回，一共取k次，每种
取法即是从 a b 个不同元素中任取k 个不同元素的一个排列，每种
取法是一个基本事件，共有Akab个基本事件，且由于对称性知每个
基本事件发生的可能性相同。前 k 1 次都取到黑球，从b 只黑球
中任取 k 1只的排法种数，有Abk1种，第k 次抽取的白球可为a 只白
件，可能的抽法有CkM种，又要从 N M 件正品中抽取 n k 件，同
理有
Cnk N M
种取法，从而随机地抽取n
件中恰好有k
件次品的取法共
有CkM CnNkM 种，因此所求概率为
P
A
C C k nk M NM CNn
k
0，1，
，min Μ，N
例1.7 一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球。从袋中 取球两次，每次随机地取一只。考虑两种取球方式: (a)第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再任取一 球。这种取球方式叫做有放回抽取。 (b)第一次取一球后不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。 这种取球方式叫做不放回抽取。
P A k 5 0.5
n 10
例1.6 某批产品共N 件，其中有M 件次品，无放回任取 nn N 件产品，问其中恰好有 kk n 件次品的概率是多少?
解
将从N 件产品中任意抽取 n 件产品的所有可能的结果取作样本
空间，总的抽法有 CnN 种。以A 记抽取的 n 件产品中恰有 k 件次品 的事件，计算A 所包含的样本点数时，先考虑从M件次品中抽取k
(1)样本空间 Ω 可表示为一个几何区域，这个区域大小可以度 量(如可计算长度、面积、体积等)，并把 Ω 的度量记作m (Ω )。 (2)向区域 Ω 内任意投掷一个点，落在区域内任一个点处都是 “等可能的”，或者设落在 Ω 中的区域 A 内的可能性与 A 的 度量m (A)成正比，而与 A 的位置和形状无关。
概率论与数理统计古典概型
Ω={{正面向上}，{反面向上}}， 所以Ω的基本事件总数为2。 设A={正面向上} [或设A表示“正面向上”事件]，则A包含
的基 本事件为{正面向上}，即它包含的基本事件总数为1。
何时用排列何时用组合？一般来讲，当考虑“顺序”时用排列，不考虑
“顺序”时用组合。另外，当考虑“顺序”时，样本空间及所关心的事 件A 所包含的基本事件总数的计算，都要用排列，反之亦然。
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古典概型
4.3 古典概型的概率计算举例（利用运算性质）
例6.口袋中有6只球，其中白球4只，黑球2只。现从中任取1只(取 后不放回)，然后再任取1只，求：(1)取到2只白球的概率?(2)取到 两个颜色相同的球的概率?(3)至少取到1只白球的概率? 解：6只球中的任意2只球的一种排列，是一个基本事件，因此，所 有可能的基本事件总数为P62。 设A={取到2只白球},B={取到2只黑球} ,C={取到两个颜色相同 的球} ,D={至少取到1只白球} 。 则A包含的基本事件总数为P42，B包含的基本事件总数为P22， 则P(A),P(B)可求。 而显然，C=A∪B=A+B；D+B=Ω（即D与B互逆）， 从而有，P(C)= P(A)+P(A)； P(D)=1- P(B)。
§１.３ 古典概型
一、古典概型的定义
二、古典概型计算公式 三、古典概型计算步骤 四、古典概型计算举例 五、几何概型及其计算
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1. 古典概型
古典概型
若试验E具有以下两个特征： (1) 所有可能的试验结果(基本事件)为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 每个基本事件发生的可能性相同， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的数学模型为等可能概型（古典概型）。
古典概率与几何概率
古典概型与几何概型【知识要点】1.古典概率模型试验的两个共同特点：（1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. （2）等可能性：每个事件出现的可能性相等. 2.古典概率的计算方法：如果一次试验中的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性相等，每个基本事件的概率是1n ，如果事件A 包含的基本事件有m 个，那么事件A 的概率为()mP A n=，即： ()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数3.几何概率的特点：（1）试验的结果是无限不可数的； （2）每个结果的出现时等可能性的.5.几何概率模型中，事件A 的概率的计算公式是：()A P A =构成事件的区域的长度(面积或体积)试验的全部结果构成的长度(面积或体积)6.均匀随机数及其产生 均匀随机数：就是在一定能范围内随机产生的书，并且在这个范围内得到的每一个数的机会相等.由于计算机具有高速度和大容量的特点.我们往往用计算机模拟那些庞大而复杂的试验，称为随机模拟或数字模拟.均匀随机数的产生方法：（1）用函数型计算器产生均匀随机数的方法：按一次和键，产生一个0～1上的均匀随机数；若需要多个，则要重复按键；（2）用计算机产生均匀随机数的方法：每调用一次()rand 函数，就产生一个[0,1]上的均匀随机数；若要产生a ～b 上的均匀随机数，就是用变换()()rand b a a *-+即可. 7.复杂事件的古典概率模型对于求解较复杂的古典概型的概率问题，可以利用分类讨论的办法求出总体包含的基本事件的个数及事件包含的基本事件的个数，然后将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，活着先去求对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.8.常见的几种几何概型的概率求法：（1）设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，点落在线段l 上的概率为l P L =的长度的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，点落在区域g 上的概率为g P G =的面积的面积（3）设空间区域v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点，点落在区域v 上的概率为v P V =的体积的体积【典型例题】例1在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有一件次品的概率； （2）至少有一件次品的概率.例2某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别是0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.（1）求这名同学得300分的概率； （2）求这名同学至少得300分的概率.例3设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中任意一间去住()n N ≤.求下列事件的概率：（1）指定的n 个房间内各有一个人住；（2）恰好有n 个房间，其中各住一个人； （3）某指定的一个房间中恰有m 个人()m n ≤.例4甲、乙二人约定在点到点之间在某地见面，先到者等一个小时后若未等到后来者即可离去，设二人在这段时间内的各时刻到达时等可能的，且二人之间互不影响.求二人能会面的概率.例5广告法对插播广告时间有规定.某人对某台的电视节目作了时间的统计后得出结论：他任意时间打开电视看该台节目，看不到广告的概率为910，求该台每小时约有几分钟广告？例6已知关于x 的一元二次函数2()41f x ax bx =-+.（1）设集合{}1,2,3P =，{}1,1,2,3,4Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b 是区域8000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.【课堂练习】1.在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是（ ）.A.3040 B. 1240 C. 1230D.以上都不对 2.盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰好为合格的铁钉的概率是（ ）.A.15 B. 14 C. 45 D. 1103.如图所示，a b c d 、、、是四处处于断开状态的开关，任意将其中两个闭合，则电路被接通的概率是（ ）.A. 1B.12 C. 14D. 0 4.从三棱锥的六条棱中任意选取两条，则这两条棱所在直线是一对异面直线的概率是（ ）.A.120 B. 115C. 15D. 16 5.设a b 、分别是甲、乙各抛掷一枚骰子得到的点数，已知乙所得的点数为2，则方程20x ax b ++=有两个不等实根的概率是（ ）.A.23 B. 13 C. 12 D. 5126.在区间[1,1]-上随机抽取一个数x ，cos 2x π的值介于0到12之间的概率为（ ）.A. 13B. 2πC. 12D. 237. ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 中随机抽取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）.A. 4πB. 14π-C. 8πD. 18π- 8.从长度分别为的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种，在这些取法中，以取出的三条线段作为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则mn为（ ）.A. 110B. 15C. 310D. 259.在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于2S的概率是（ ）.A.14 B. 12 C. 34 D. 2310.某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率是（ ）. A.16 B. 15 C. 13 D. 2511.若连续掷两次骰子得到的点数m n 、分别作为点的P 坐标，则点P 落在圆2225x y +=外的概率是（ ）.A. 536B. 712C. 512D. 1312.将一根长为6米的绳子剪成两段，则两断绳子的长度都大于2米的概率是（ ）.A.13 B. 23 C. 12 D. 2213.先后抛投两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数123456、、、、、），骰子朝上的面的点数分别为X Y 、，则2log 1X Y =的概率为（ ）. A.16 B. 536 C. 112D. 12 14.已知k Z ∈，(,1)AB k =，(2,4)AC =，若10AB ≤，则ABC ∆是直角三角形的概率为（ ）. A.17 B. 27 C. 37 D. 4715.在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投入一点，则落入E 中的概率为 .16.将两枚骰子各抛掷一次，则事件“两数之和大于4”的概率为 . 17.将两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数之和是3的概率是多少？18.同时抛掷4枚均匀硬币，求：（1）恰有2枚“正面向上”的概率； （2）至少有2枚“正面向上”的概率.19.把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次投出的点数记为b ，给定方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩.（1）试求方程组只有一解的概率；（2）求方程组只有正数解(0,0)x y >>的概率.20.已知函数2()2f x ax bx a =-+，（,a b ∈R ）.（1）若a 从集合{}1,2,3,4中任取一个元素，b 从集合{}0,1,2,3中任取一个元素，求方程()0f x =恰有两个不同的实根的概率；（2）若b 从区间(0,2)中任取一个数，a 从区间(0,3)任取一个数，求方程()0f x =没有实 根的概率.21.假设你家里订了一份报纸，送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00—8:00之间，问你父亲在离开家前得到报纸的概率是多少？【课后作业】1.抛两颗骰子，事件“点数之和为6”的概率为（ ）. A.111 B. 19 C. 536D. 16 2.从1,2,9这9个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率为（ ）.A.59 B. 49 C. 1121 D. 10213.如图所示，在一个边长为a b 、(0)a b >>的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底分别为3a 与2a，高为b .向矩形内随机投一点，则该点落在梯形内的概率是（ ）.A.710 B. 57 C. 512D. 584.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他到第3次才取得卡口灯泡的概率为（ ）. A.2140 B. 1740 C. 310D. 7120 5.在区间(0,1)中随机抽取两个数，求下列事件的概率： （1）两个数中较小的小于12；（2）两数之和小于32.6.将甲、乙两颗均匀的骰子（骰子是一种正方体玩具，在正方体个面上标有点数1,2,3,4,5,6）各抛投一次，,a b 分别表示抛甲、乙两骰子所得点数.（1）若把点(,)P a b 落在不等式组004x y x y >⎧⎪>⎨⎪+≤⎩表示的平面区域内记为事件1A ，求事件1A 的概率；（2）若把点(,)P a b 落在直线7x y +=上记为事件2A ，求事件2A 的概率.7.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达码头时等可能的.（1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；（2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.。
1-2.古典概率ppt
如抛掷质量均匀的硬币,从一批产品中抽取部分产品等。
2016/11/20
1-2-2
等可能概型
二、 概率的计算公式
设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性， 得
P{e1} = P{e2 } = L =P { en }.
又由于基本事件两两互不相容；所以
1 = P{ S } = P{e1 } P{e 2 } L P{e n },
此式即为超几何分布的概率公式。
2016/11/20
1-2-15
等可能概型
2） 有放回抽样 从 N 件产品中有放回地抽取n 件产品进行排列，可能 的排列数为 N 个，将每一排列看作基本事件，总数 为 Nn。 而在 N 件产品中取 n 件，其中恰有 k 件次品的
k k n k 取法共有 C n M (N M) 于是所求的概率为：
5n 8n 4n = 1 9n 9n 9n
= 1 P B P C P B C
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1-2-18
每个灯泡被取到的可能性相同， 例 10一批灯泡40只，其中有3只坏的，从中任取3只
等可能概型
检查，求至少有一只是坏灯泡的概率。 解:故此属于古典概型问题。 设Ai表示“所取的3只灯泡有I只是坏的”的事件 （i=1,2,3），设B表示“所取的3只灯泡中至少有1只 是坏的”的事件。 B = A1 A2 A3 A1 , A2 , A3 两两互不相容
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1-2-4
等可能概型
例 1 抛掷两颗质量分布均匀的骰子，求出现两个点 数之和等于5的概率。 解：设A表示“抛掷两颗质量分布均匀的骰子，点数 之和等于5”的事件。 样本空间S={(1,1)(1,2)…(6,5)(6,6)},共有36个基本 事件数; A={(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)} 此试验属于古典概型试验。
第一章第三节 古典概型和几何概型 概率论课件
P(A)= PNn/Nn。
许多问题和上例有相同的数学模型。
例如(生日问题):某人群有n个人，他们中至 少有两人生日相同的概率有多大？
设每个人在一年(按365天计)内每天出 生的可能性都相同,现随机地选取n(n≤365) 个人,则他们生日各不相同的概率为
P365n/365n。 于是, n个人中至少有两人生日相同的概率 为 1- P365n/365n。
需要注意的是：
1、在应用古典概型时必须注意“等可能性” 的条件.
“等可能性”是一种假设，在实际应用 中，我们需要根据实际情况去判断是否可 以认为各基本事件或样本点是等可能的.
在许多场合，由对称性和均衡性，我 们就可以认为基本事件是等可能的并在此 基础上计算事件的概率.
有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每 个人在每站下车的概率为1/ N(N ≥ n) ，求指 定的n个站各有一人下车的概率.
旅客
车站
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 一类型：
某城市每周发生7次车祸，假设每天发生
车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸
的概率.
车祸
天
你还可以举出其它例子，留作课下练习.
2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须 注意不要重复计数，也不要遗漏.
例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只
鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）
的概率是多少？
13579
下面的算法错在哪里？ 2 4 6 8 10
P( A)
15
8 2
10
4
从5双中取1双，从剩 下的 8只中取2只
讲课比赛精品PPT-古典概率几何概率-概率论与数理统计
探问题之共性 纠错误之源头
应用微分思想 解决实际问题
3 几何概率
4 两者关系
（度量方式）
引出理论
理论指导实际
2 古典概率 （微分思想+创新精神）
研究高于实际
1 两个问题 （理性思维+严谨素质）
问题源于实际
古典概率几何概率
谢谢！
古典概率几何概率
古典概率几何概率
三、古典概率和几何概率的关系
古典概率几何概率
三、古典概率和几何概率的关系
古典概率几何概率
三、古典概率和几何概率的关系
思考：陀螺停止时A点和地面接触的概率？
几何概率视角：P(A)=
LA LΩ
m(A) 0 = m(Ω) = LΩ
古典概率视角： P(A)= A点数目 Ω中点数
=
m(A) m(Ω) =
A所包含样本点个数 Ω所包含样本点个数
古典概率几何概率
一、古典概率
应用
游戏规则：假设参赛者看不到门后，而主持人可以。 参赛者任选一扇门，主持人一定会开启另一扇后面有山 羊的门。 问：“此刻，你想改变选择另扇门吗？”请 问：参赛者改变选择可否提高获得车的概率P？
古典概率几何概率
一、古典概率
分析：确定样本空间Ω
e1: 参赛者选羊1
e2: 参赛者选羊2
e3: 参赛者选车 e4: 参赛者选车
e5: 参赛者选车
Ω={e1,e2,e3,e4}
P=
1 2
主持人开羊2门（确定）
主持人开羊1门（确定）
主持人选羊1门（随机） 主持人选羊2门 （随机）
主持人开羊门 （确定）
Ω={e1,e2,e5}
P=
2 3
应用
1.2-1.3事件的概率(统计、古典、几何定义)
称此概率为古典概率这种确定概率的方法称为古典方法
如何计算古典概率? 求古典概率的问题实际上就是计数问题 . 计算要点： 1）、确定样本点并计算其总数； 2）、计算事件所含样本点数。 排列组合是计算古典概率的重要工具 . 这里我们先简要复习一下计算古典概率 所用到的 基本计数原理
1）. 加法原理
设完成一件事有m种方式，
二、概率的古典定义
（1）有限样本空间：样本点总数有限； （2）等可能性：各基本事件发生的可能性相同． 则称试验E为古典概型（或有限等可能概型）． 2、古典概率：设试验E是古典概型, 其样本空 间 由n个样本点组成 , 事件A由m个样本点组 成 . 则定义事件A的概率为：
m A 所包含样本点的个数 P ( A) . n 样本点总数
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的n, 所得的f 不一定相同; (2) 抛硬币次数n 较小时, 频率f 的随机波动幅度
较大, 但随n 的增大 , 频率f 呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率f 总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐 稳定于0.5.
实验者 德 摩根 蒲 丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊
• 而在不同的学科中又有不同的称呼， • 如产品合格率，犯罪率，出生率，离婚率， 命中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率， 及格率等等。
一、概率的统计定义
1.频率的定义
在相同条件下，将实验进行了n次，在这n次实验中， 事件A发生的次数nA称为事件A的频数，比值nA/n称为事 件A发生的频率，并记为fn(A)。 2. 频率的性质
在大量实验中，随机事件发生的频率具有稳定性： n越大，fn(A)的波动越小；且随着n无限 增大， fn(A)逐渐稳定在某个常数p的附近。 将p作为P(A)是合理的。 概率的统计定义：由于当实验次数n趋于无穷大 时，频率fn(A)=nA/n 会逐渐稳定于某一常数p， 因此可将A的概率定义为:P(A)=p。 统计定义的概率具有与频率类似的性质。
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54
P( A)
C52 C82
2! 87
5 14
2!
令C=“取到两个白球”，由于有
B A C， AC
故 P(B) P(A C) P(A) P(C)
5 C32 14 C82
53 14 28
13 28
例3某校一年级新生共1000人,设每人的 生日是一年中的任何一天的可能性相同, 问至少有一人的生日是元旦这一天的概 率是多少？(一年以365天计).
B: 0.0156 F: 0.0256 J: 0.0010 N: 0.0706 R: 0.0594 V: 0.0102 Z: 0.0006
C: 0.0268 G: 0.0187 K: 0.0060 O: 0.0776 S: 0.0634 W: 0.0214
D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016
定义 (统计概率 )
若随着试验次数的增大，事件A
发生的频率在某个常数p 附近摆动， 并且逐渐稳定于p,则称该常数为事
件A的概率 。
在实际应用中，采取用频率来近似代替概率， P(A) fn (A).
f (S) 1 n
非负性 规范性
事件 A, B互斥，则
fn ( A B) fn ( A) fn (B)
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各 字母出现的频率，发现各字母出现的频率 不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202
第五组试验 1000次 1点向上 102次 频率0.102
统计定义
定义 设在 n 次试验中，事件 A 发生了nA 次， 则称
fn
(
A)
nA n
为事件A 在这 n 次试验中发生的频率。
fn ( A) 总是在某一个数之间摆动，此 数定义为概 率P( A)
频率的性质
0 fn ( A) 1
解：设A=“至少有一人的生日是 元旦这一天”，A =“则没有一人 的生日是元旦这一天”
364 1000 P( A)
365 1000
于是
P(
A)
1
P(
A)
1
364 365
1000 1000
几何概型
例1：在区间[0,1]上投针，则针落在 [0.2, 0.5]的概率是多大？
0 0.2 0.5
P( A) 1 SA S
1
602
-2
1 2
602
402
5 9
y=x 60 x
古典定义和几何定义的局限： 等可能性。
对一般的随机试验，不再具有等可能性，对这种随机 试验人们采用观察记录试验次数和事件发生次数的办法。
第一组试验 1000次 1点向上 100次 频率0.100 第二组试验 1000次 1点向上 98次 频率0.098 第三组试验 1000次 1点向上 101次 频率0.101 第四组试验 1000次 1点向上 99次 频率0.099
1
例2 : 如果在一个50000平方 公里的海域里有表面积达40 平方公里的大陆架贮藏着石 油，假如在这海域里随意选 定一点钻探，问钻到石油的 概率是多少？
50000 40
几何概型定义： 设样本空间是一个有限区域S （如：线段，
平面有界区域，空间有界区域等等。） ，做 随机试验：向区域S内投一质点M，若质点M 落入S内任何子区域A中的概率与区域A 的度 量成正比，而与A 的位置和形状无关，则称此 试验为几何型随机试验，简称几何概型
§1.2 概率的定义及其性质
概率的古典定义 概率的几何定义 概率的统计定义
概率的公理化定义
古典概率模型
定义 设 E 是一随机试验，如果它具有下列条件：
基本事件的个数有限 S {e1, e2 ,, en}
每个基本事件发生的可能性大小相同
P(e1) P(e2 ) P(en )
此时，样本点落入A内的概率为
P( A)
A的度量 S 的度量
L( A) L(S )
几何概型的性质：
非负性：A S, P(A) 0
规范性： P(S) 1
有限可加性：P
m i 1
Ai
m i 1
P( Ai )
其中 A1, A2, Am 为两两互斥事件。
可列可加性：
P i1
Ai
i 1
P( Ai )
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件。
例4 两人约定于8时至9时在某地会面。先
到者等候20分钟，过时就离去，试求两人
能见面的概率 y
y=x
解设两人 到达 60
的时间分别为8
时 x分、 8时y分，
则：0 x < 60，
0 y < 60
相遇条件： -20<x-y <20
60 x
{(x, y) 0 x 60,0 y 60}
A {(x, y) (x, y) ,
0 y x 20, 0 x y 20}
S 602
y
SA
2
1 2
402
60
非负性：A S, P(A) 0
规范性： P(S) 1
有限可加性：P
m i 1
Ai
m i 1
P( Ai )
其中A1, A2, …Am为两两互斥事件。 推导性质： P(A) P(A) 1
1 P(S) P(A A) P(A) P(A)
则称 E 为 古典概型
例子：投掷一颗匀称的骰子，观察其 出现的点数。易知，
S {e1, e2 ,, e6} 其中ei表示出现i点。
则出现奇数点的概率为 3
6
即：等可能概型中概率的计算：
记n = S中所包含的基本事件的个数 记k = 组成A的基本事件的个数 则 P( A) k
n
古典概ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的性质：
例1.从1至9这九个号码中，随机的取4个号码，
数码之和为奇数的概率。 解 设A=数码之和为奇数，
P( A)
C51C43 C53C14 C94
例2 盒内装有5个红球，3个白球。 从中任取两个，
试求：（1）取到两个红球的概率； （2）取到两个相同颜色球的概率。
解：设A=“取到两个红球”
B=“取到两个同颜色的球”