(完整版)立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习),推荐文档

立体几何中的轨迹问题
在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．
立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有：
1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；
2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．
轨迹问题
【例1】如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△
SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE AC．则动点P的轨迹与△SCD组
⊥
成的相关图形最有可能的是( )
D D
A．B．C．
解析：如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是△SCD的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC．又∵EG∥SB ∴EG⊥AC
∴AC⊥平面EFG，
∵P∈FG，E∈平面EFG，
∴AC⊥PE．
另解：本题可用排除法快速求解．B中P在D点这个特殊位置，显然不满足PE AC；C中P点所在的轨
⊥
迹与CD平行，它与CF成角，显然不满足PE AC；D于中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF所成的角
π
4⊥
为锐角，显然也不满足PE AC．
⊥
评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．
【例2】(1)如图，在正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足时，有MN∥平面B1BDD1．
(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，P在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是线段B1C．
(3)正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1B1，BC上的动点，且A1E=BF，P为EF的中点，则点P的轨迹是线段MN(M、N分别为前右两面的中心)．
(4)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是
．
1
A
C
C1
A
E
1
A
A
1
A1
(1)(2)(3)(4)
若将“在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合”改为“在正方体表面上与点A距离为的点的集合”
那么这条曲线的形状又是，它的长度又是．
A
【例3】(1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若
P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )
A ．A 直线
B ．圆
C ．双曲线
D ．抛物线
变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P 的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线)．(2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )
A ．一条直线
B ．一个圆
C ．一个椭圆
D ．双曲线的一支
解：设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直
这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所
有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ．(3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =，点P 到直1
3线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为 抛物线 ．
(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在
DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的
面所围成的几何体的体积为 ．
π6【例4】(04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )
B
A
B C
D 【例5】四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面PAB ，BC ⊥面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是(
)
A ．圆
B ．不完整的圆
C ．抛物线
D ．抛物线的一部分分析：∵AD ⊥面PAB ，BC ⊥平面PAB ∴AD ∥BC 且AD ⊥PA ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB
∴=AD PA CB
PB ∴PB =2PA
在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)
即(x +5)2+y 2=16(y ≠0)∴P 的轨迹是(B
)
1
A
A 3
A
立体几何中的轨迹问题（教师版）
1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）．
A ．线段
B ．一段椭圆弧
C ．双曲线的一部分
D ．抛物线的一部分 简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B 1C 1面AB 1，所以⊥PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D ．
2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）．
A ．线段
B ．一段椭圆弧
C ．双曲线的一部分
D ．抛物线的一部分
3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（C ）．
A ．线段
B ．一段椭圆弧
C ．双曲线的一部分
D ．抛物线的一部分
4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（A ）．
A ．圆或圆的一部分
B ．抛物线或其一部分
C ．双曲线或其一部分
D ．椭圆或其一部分 简析由条件易知：AC 是平面BB 1D 1D 的法向量，所以EP 与直线AC 成等角，得到EP 与平面BB 1D 1D 所成的角都相等，故点P 的轨迹有可能是圆或圆的一部分．
5．已知正方体的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD A B C D -1111ABCD 内的动点，且点P 到直线的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为A D 11（A ）．
A ．抛物线
B ．双曲线
C ．直线
D ．圆
简析
在正方体中，过P 作PF AD ，过F 作FE A 1D 1，垂足分别为F 、E ，
ABCD A B C D -1111⊥⊥连结PE ．则PE 2=a 2+PF 2，又PE 2-PM 2=a 2，所以PM 2=PF 2，从而PM ＝PF ，故点P 到直线AD 与到点M 的距离相等，故点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线．
6．在正方体中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP BD 1，则动点P 的轨迹ABCD A B C D -1111⊥为__________． 简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD 1面ACB 1，所以满足BD 1AP 的所有点P 都在一个平面ACB 1上．而已知条件中的点P 是在侧面BCC 1B 1及⊥⊥其边界上运动，因此，符合条件的点P 在平面ACB 1与平面BCC 1B 1交线上，故所求的轨迹为线段B 1C ．本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．7．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有PE AC ，则动点∆⊥P 的轨迹为_______________． 答案线段MN （M 、N 分别为SC 、CD 的中点）8．若A 、B 为平面的两个定点，点P 在外，PB ，动点C （不同于A 、B ）在内，且PC AC ，则αα⊥αα⊥动点C 在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆）
9．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成的图形可能是：（D ）
∆
A A A A
B C B C B C B C A B C D
简析动点P 在侧面ABC 内，若点P 到AB 的距离等于到棱BC 的距离，则点P 在的内角∠ABC 平分线上．现在P 到平面BCD 的距离等于到棱AB 的距离，而P 到棱BC 的距离大于P 到底面BCD 的距离，于是，P 到棱AB 的距离小于P 到棱BC 的距离，故动点P 只能在的内角平分线与AB 之间的区域∠ABC 内．只能选D ．
10．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（B ）． A ．圆B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线
解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．
11．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A 距离为的点的轨迹形ABCD A B C D -1111BCC B 1123
3
成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．
12．已知长方体中，，在线段BD 、上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点ABCD A B C D -1111AB BC ==63,A C 11M ，且，则M 点轨迹图形的面积是 ．
PM MQ =2
提示
轨迹的图形是一个平行四边形．
13．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN 的一个端点在上运动，另一个端点ABCD A B C D -1111DD 1N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．
14．已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P 的距离为5且到直//αβl α⊂l P ∈αββ线的距离为
的点的轨迹是（ ）l 2
9
A ．一个圆
B ．两条平行直线
C ．四个点
D ．两个点
简析：如图，设点P 在平面内的射影是O ，则OP 是、的公垂线，OP=4．在
βαβ
点的轨迹是四个点，故选C ．
16．在四棱锥中，面PAB ，面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，ABCD P -⊥AD ⊥BC ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）
CPB APD ∠=∠A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分
简析：因为面PAB ，面PAB ，所以AD//BC ，且．
⊥AD ⊥BC ︒=∠=∠90CBP DAP 又，
8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠
由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ．
17．如图，定点A 和B 都在平面内，定点P C 是内异于A 和B α,PB ,α⊥α∉α的动点．且，那么动点C 在平面内的轨迹是（ ）
AC PC ⊥αA ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点
简析：因为，且PC 在内的射影为BC ，所以，即．所以点C 的轨迹是PC AC ⊥αBC AC ⊥︒=∠90ACB 以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ．
18．如图，在正方体中，P 是侧面内一动点，若P 到直线1111D C B A ABCD -1BC BC 与直线的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
11D C A ．直线
B ．圆
C ．双曲线
D ．抛物线
简析：因为P 到的距离即为P 到的距离，所以在面内，P 到定点
11D C 1C 1BC 的距离与P 到定直线BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．
1C 19．已知正方体的棱长为1，点P 是平面
AC 内的动点，若点
P 到直线的距离等于点1111D C B A ABCD -11D A P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A ．抛物线
B ．双曲线
C ．椭圆
D ．直线
简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标
系．设P （x ，y ），作于E 、于F ，连结EF ，易知
AD PE ⊥11D A PF ⊥建议收藏下载本文，以便随时学习！
1
x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作于N ，则．依题意，CD PN ⊥|1y ||PN |-=|PN ||PF |=
故动点P 的轨迹为双曲线，选B ．
20．如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面内运动，使得△ABP a a 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线
分析：由于线段AB 是定长线段，而△ABP 的面积为定值，所以动点P 到线段AB 的距离也是定值．由此可知空间点P 在以AB 为轴的圆柱侧面上．又P 在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P 的轨迹就是圆柱侧面与平面的交线 ．
a 21．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正P 1111ABCD A B C D -1BD P 11BB D D 方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）
M N ，BP x =MN y =()
y f x
=
A
B
C
D M
N P A 1
B 1
C 1
D 1
分析：将线段MN 投影到平面ABCD 内，易得y 为x 一次函数．
22．已知异面直线a ，b 成角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且︒60线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．
图5
简析：如图5，易知线段AB 的中点P 在公垂线段MN 的中垂面上，直线、为平面内过MN 的中α'a 'b α点O 分别平行于a 、b 的直线，于，
于，则，且P 也为的中点．
'a 'AA ⊥'A 'b 'BB ⊥'B P 'B 'A AB =⋂'B 'A 由已知MN=2，AB=4，易知得．,2AP ,1'AA ==32'B 'A =
则问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点P 的轨迹．现以
32'B 'A 'A 'B 'a 'b 的角平分线为x 轴，O 为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．
'OB 'A ∠
图6
设，，)y ,x (P n |'OB |,m |'OA |==则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23(
'A -)
n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (4
1
)n m (43=++-消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为．1y 9
x 22
=+点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．
立体几何中的轨迹问题
1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为 （ ）
A ．线段
B ．一段椭圆弧
C ．双曲线的一部分
D ．抛物线的一部分
2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分
3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分
4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（ ） A ．圆或圆的一部分 B ．抛物线或其一部分 C ．双曲线或其一部分 D ．椭圆或其一部分5．已知正方体的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD A B C D -1111ABCD 内的动点，且点P 到直线的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（ A D 11）
A ．抛物线
B ．双曲线
C ．直线
D ．圆
6．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与
ABC 组成的图形可能是
（ ∆）
A A A
B C B C B C B C
A B C D
7．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所
在的曲线是（ ） A ．圆B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线
8．已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P 的距离为5且到直
//αβl α⊂l P ∈αββ
线的距离为的点的轨迹是（
l 2
9
）
A ．一个圆
B ．两条平行直线
C ．四个点
D ．两个点
9．在四棱锥中，面PAB ，面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，
ABCD P -⊥AD ⊥BC ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是
（ ）CPB APD ∠=∠A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分
10．如图，定点A 和B 都在平面内，定点P C 是内异于A 和B α,PB ,α⊥α∉α的动点．且，那么动点C 在平面内的轨迹是（ ）AC PC ⊥αA ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点
11．已知正方体的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线的距离等于点1111D C B A ABCD -11D A P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（
）
A ．抛物线
B ．双曲线
C ．椭圆
D ．直线
12．如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面内运动，使得△ABP a a 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．一条直线
D ．两条平行直线
13．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正P 1111ABCD A B C D -1BD P 11BB D D 方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是
（ ）
M N ，BP x =MN y =()y f x =
A
B
C
D M
N P A 1
B 1
C 1
D 114．在正方体中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP BD 1，则动点P 的轨迹ABCD A B C D -1111⊥为________．
15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有PE AC ，则动点∆⊥P 的轨迹为_______________．
16．若A 、B 为平面的两个定点，点P 在外，PB ，动点C （不同于A 、B ）在内，且PC AC ，则αα⊥αα⊥动点C 在平面内的轨迹是________．
17．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A 距离为的点的轨迹形ABCD A
B C D -1111BCC B 1123
3
成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．
18．已知长方体中，，在线段BD 、上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点
ABCD A B C D -1111AB BC ==63,A C 11
M ，且，则M 点轨迹图形的面积是
．
PM MQ =219．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN 的一个端点在上运动，另一个端点ABCD A B C D -1111DD 1N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是
．
20．已知异面直线a ，b 成角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且︒60线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．。