20套数学附加题答案

实战演练·高三数学附加分参考答案与解析

南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试(一)

21. A ．解：因为P 为AB 中点，所以OP ⊥AB ， 所以PB ＝r 2－OP 2＝

3

2

.(5分) 因为PC·PD ＝PA·PB ＝PB 2＝3

4，

由PC ＝98，得PD ＝2

3

.(10分)

B. 解：设曲线C 上一点(x′，y ′)对应于曲线C′上一点(x ，y)，

所以⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤22－2222

22

⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

x y ， 所以

22x ′－22y ′＝x ，22x ′＋2

2

y ′＝y.(5分) 所以x′＝x ＋y 2，y ′＝y －x 2，

所以x′y′＝

x ＋y 2·y －x

2

＝1， 所以曲线C′的方程为y 2－x 2＝2.(10分)

C. 解：直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a)2＋y 2＝a 2，(5分)

依题意，得|4a －2|

42＋（－3）2＝|a|，

解得a ＝－2或2

9

.(10分)

D. 证明：因为x 1、x 2、x 3为正实数，

所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 2

1x 3

＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 2

1＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2， 当且仅当x 1＝x 2＝x 3时取等号．

所以x 22x 1＋x 23x 2＋x 2

1

x 3

≥1.(10分)

22. 解：(1) 由点A(1，2)在抛物线上，得p ＝2， 所以抛物线方程为y 2＝4x.(3分) 设B ⎝⎛⎭⎫y 2

14，y 1、C ⎝⎛⎭

⎫y 2

2

4，y 2，所以 1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214

－1y 1－2－y 224－y 2

14y 2－y 1＋1－

y 2242－y 2

＝

y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 2

4

＝1.(7分) (2) 另设D ⎝⎛⎭

⎫y 2

3

4，y 3，则

1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34

＝0.(10分) 23. 解：(1) 因为对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k

＝－1，则(a 2k －1，a 2k )＝(2，－2)或(a 2k －1，

a 2k )＝(－2，2)，共有2种情况，所以(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )共有2m 种不同的选择，所以A ＝2m .(5分)

(2) 当存在一个k 时，那么这一组有2C 1m 种，其余的由(1)知有2m －1，所以共有2C 1m 2m －1

种；

当存在两个k 时，因为条件对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有| i ＝2k －1

2l

a i |≤4成立得这两组共有2C 2m

种，其余的由(1)知有2m －

2种，所有共有2C 2m 2

m －

2

种；…， 依次类推得B ＝2C 1m 2m －1＋2C 2m 2m －2＋…＋2C m m ＝2(3m －2m

)．(10分)

南通市2014届高三第一次调研测试(二)

21. A. 证明：如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACB 的平分线，所以AC BC ＝AM

BM

.①(3分

)

因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线， 所以BM·BA ＝BN·BC ，即BA BC ＝BN

BM .(6分)

又BN ＝2AM ，所以BA BC ＝2AM

BM .②(8分)

由①②，得AB ＝2AC.(10分)

B. 解：设B －

1＝⎣⎢⎡⎦⎥

⎤a b c d ， 因为(BA )－1＝A －1B －

1，(2分)

所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，

(6分)

解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，

b ＝1，

c ＝32，

d ＝－12

，

所以B －1

＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥

⎥⎤

－2 1 32－12.(10分) C. 解：设直线l 的方程为θ＝θ0(ρ∈R )， A(0，0)、B(ρ1，θ0)，(2分) 则AB ＝|ρ1－0|＝|2sin θ0|.(5分) 又AB ＝3，故sin θ0＝±3

2

.(7分)

解得θ0＝π3＋2k π或θ0＝－π

3＋2k π，k ∈Z .

所以直线l 的方程为

θ＝π3或θ＝2π

3(ρ∈R )．(10分)

D. 证明：因为x 、y 、z 均为正数，

所以x yz ＋y zx ≥1z ⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥2

z .(4分) 同理可得z xy ＋y zx ≥2x ，x yz ＋z xy ≥2

y

.(7分)

当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立．

将上述三个不等式左、右两边分别相加，并除以2，得 x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1

z

.(10分) 22. 解：(1) 从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C 36种不同选法，其中S ＝3

2

的为有一个角是30°的直角三角形(如△P 1P 4P 5)，共6×2＝12种，所以

P ⎝

⎛⎭⎫S ＝

32＝12C 36＝3

5

.(3分) (2) S 的所有可能取值为34，32，334

. S ＝

3

4

的为顶角是120°的等腰三角形(如△P 1P 2P 3)，共6种， 所以P ⎝

⎛⎭⎫S ＝

34＝6C 36＝3

10

.(5分) S ＝334的为等边三角形(如△P 1P 3P 5)，共2种，

所以P ⎝⎛⎭⎫S ＝334＝2

C 36＝110.(7分)

又由(1)知P ⎝

⎛⎭⎫S ＝

32＝12C 36＝3

5

，故S 的分布列为

所以E(S)＝

34×310＋32×35＋334×110＝9320

.(10分) 23. 解：(1) 当n ＝3时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，

1)，(3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得a i >a i ＋1的排列有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，

所以f(3)＝4.(3分)

(2) 在1，2，…，n 的所有排列(a 1，a 2，…，a n )中，

若a i ＝n(1≤i ≤n －1)，从n －1个数1，2，3，…，n －1中选i －1个数按从小到大的顺序排列为a 1，a 2，…，a i －1，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个

数为C i －

1n －1.(6分)

若a n ＝n ，则满足题意的排列个数为f(n －1)．(8分)

综上所述，f(n)＝f(n －1)＋i ＝1

n －1C i －

1n －1＝f(n －1)＋2

n －

1－1. 从而f(n)＝23（1－2n －

3）

1－2

－(n －3)＋f(3)＝2n －n －1.(10分)