(完整版)实变函数期末考试卷A及参考答卷

2011—2012学年第1学期

数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)

《实变函数》期末考试卷（A）

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实变函数期末考试卷(A )

2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日

一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集q

E ⊂

上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .

任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：

()()()(),0,0,0.f x x E f f

x x E f +

∈>⎧=⎨∈≤⎩

当时当时 和()()()()0,

0,,0.x E f f

x f x x E f -

∈>⎧=⎨-∈≤⎩

当时当时

分别称为f 的正部和负部。请你写出()()(),,f x f

x f x +

-和()

f x 之间的关系：

()f x =

，

()f x =

。

2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：

1

2

k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡

（非负常数）（1,2,

,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：

()E

x dx ϕ=

⎰，

这个积分值可能落在区间

中，但只有当

时才能说ϕ是

L 可积的。

3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：

()E

f x dx =

⎰，

这个积分值可能落在区间

中，但只有当

时才能说f 是

L 可积的。

4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -

， 即()E

f

x dx +

⎰和()E f x dx -⎰的值

；但只有当

时

才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：

()E

f x dx =

⎰。

5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：

；

如果再添上条件

和

就

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得到列维定理的结论：

。

6 设f 和()1,2,

n f n =都是()M E 中的可测函数，满足

()()lim n n f x f x a e →∞

= 于E 或n f f ⇒两个条件之一。

或 的结论： （1）；

（2）

。

7 富比尼定理的表述过程比较长，但它给出了定义在两个可测子集

,p

q

A B ⊂

⊂

上的笛卡尔积P q

A B +⨯⊂

上的可测函数()(),f P f x y =的积分可

化为累次积分 ()()(),,A B

A

B

B

A

f P dP dx f x y dy dy f x y dx ⨯==⎰

⎰⎰⎰⎰

的条件却非常简单。只要下列两个简单条件之一成立就行了：

（1） ；

（2）

。

两个累次积分都存在且相等是()f P 在A B ⨯上可积的条件，但不是

条件。

8 斯蒂尔切斯积分的定义是：

。

二 多项选择题 下列各题中正确的结论有些可能不止一个，请把正确结论的编号填在左边的方括号内。（每小题3分，满分15分） [ ] 1定义在p

E ⊂上的实函数()f x 的正部()f x +和负部()f x -的取值情况

有：

（A ）x E ∀∈，()f x +与()f x -不同时取正值，但可能同时为零；

（B ）x E ∀∈，()f x +与()f x -可能同时取正值，也可能同时为零；

（C ）E 上任意两个非负实函数都构成E 上第三个实函数的正部与负部； （D ）E 上任意两个不同时取正值的非负函数都构成E 上第三个实函数

的正部与负部。

[ ] 2 设1

2

k E E E E =是

q

中有限个互不相交的可测集的并集，函数

ϕ在i E 上的值恒等于常数i c （1,2,,i k =）

，则ϕ在E 上L 可积的充要条件有： （A ）mE <+∞； （B ）当i mE =+∞时0i c =； （C ）12,,,k E E E 均为测度有限集； （D ）每个i i c mE 均为有限数。

[ ] 3 ()M E 中的非负函数f 都是积分确定的，这是因为：

（A ）()E

f x dx <+∞⎰

；

（B ）()E

f x dx +⎰和()E

f x dx -⎰都是有限数； （C ）()()00E f

x f x dx -

-≡⇒=<+∞⎰；（D ）()0.E

f x dx --∞≤<⎰ [ ] 4 [],a b 上的有界变差函数()f x 的任一个变差()()11n

i i i f x f x -=-∑

()01n a x x x b =<<

<=都不会超过全变差()b

a

V f ，而且当[][]12,,a x a x ⊂时有

()()12x x a

a

V f V f ≤.由这两条结论可以推知： （A ）()f x 在[],a b 上的振幅()()[]{

}

()sup

,,b

a

f x f y x y a b V f -∈≤；

（B ）[],x a b ∀∈有()()()b a

f x f a V f ≤+；

（C ）有界变差函数一定可以表为两个增函数的差；

（D ）有界变差函数至多有可数个不连续点，不可导点构成零测度集。 [ ] 5 关于[],a b 上的绝对连续函数()F x 及其导数，下列结论正确的有：

（A ）用每个在[],a b 上L 可积的函数()f x 都可构造一个绝对连续函数 ()()x a

F x f t dt =⎰，满足()()F x f x a e '=于[],a b ；

（B ）每个绝对连续函数()F x 都在[],a b 上几乎处处有可积的导函数

()F x '，而且满足牛氏公式

()()()b

a

F x dx F b F a '=-⎰

；

（C ）每个在[],a b 上几乎处处有导数的函数()F x 都是绝对连续函数，同

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