第6章 线性粘弹性

(t)
(t)
0 (a) 应变史 (t)
t
0 (b) 线弹性体
t
0
t
(c) 线性粘性流体
(t)
0 (d)粘弹性固体
t
0
t
(e)粘弹性液体
图6-2 应力松驰实验
对线弹性体： (t)=0 t<0 (t)=0 t0 对于粘弹性固体或是粘弹性液体，应力和模 量(G)是时间的函数。 (t)=0 t<0 (t)=(0, t) t > 0 G(t)=(0, t)/0 式中： G(t)为剪切松弛模量。 对于拉伸应力松弛实验，有拉伸松弛模量： E(t)=(0, t)/ 0
0
由于 (-)=0, J(0)=J 0 , 则有:
(t ) J 0 (t )

0
dJ (T ) (t T ) dT dT
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(6)
dJ (t ) d 或： (t ) J 0 (t ) ( ) d (t )
t
(7)
式(6)或(7)都是Boltzmann 加和性原理 的数学表达式。 对于拉伸实验，有：
注意：蠕变实验用来定义柔量，松弛实验 用来定义模量。 J(t)=(t)/0 G(t)=0/ 0 J(t) 1/G(t) 2 线性粘弹性的定义 Boltzmann 加和原理 2.1 正比性 对于线弹性体，柔量J与应力大小和时 间无关。 对线性粘弹性体，应变与应力成正比 即：
(t)=0 J(t) (1) J(t)=(t)/0 J与应力的大小无关。 材料的性质符合式(1)叫做正比性。
0
t1 (e) 粘弹性液体
t
图6-1 蠕变实验
对线弹性体： (t)=0 t0 (t)=J0 t0 对线性粘性流体： (t)=0 t0 (t)=0t / t 0 对线弹性体，其弹性用弹性常数J或D表 示；对线性粘性流体，其粘性用粘度表示。 它们都是与时间无关的量。对于粘弹性体， 应变和弹性常数都与时间有关。 (t)=0 t0 (t)=E(0, t) t0 J(t)= (t)/ 0
4.2 回复曲线R(, T) 回复曲线定义为： R(,T)=[( ) - (+T)]/0 = J() - J(+T) +J(T)
(t)
0R(,T)
(-)
(-) - (+T) T (+T)
0

图6-11 回复曲线
t
4.3 粘弹性固体的蠕变回复
t
0
2
t
图 6-5 加和性
1(t)=0 1(t)=1J(t- 1) 2(t)=0 2(t)=2J(t- 2)
t < 1 t 1 t < 2 t 2
(2) (3)
如果材料是线性粘弹性的，那么应变史 是： (t)= 1(t) + 2(t) 由(2)和(3)式，则有： (t)=0 t < 1 (t)=1J(t- 1) 1 t 2 (t)=1J(t- 1) + 2J(t- 2) t 2 ( 4 )
d ( ) (t ) D(t ) d d ( ) t dD(t ) d 或： (t ) D0 (t ) ( ) d (t )
t
式中，D(t)称为拉伸蠕变柔量。 对于任意给定的连续的应变史() ，相 应的应力史为：
(t)
2 1
1(t)
1
2(t)
2
0 1 2
t
0 1
t
0
2
t
1(t)=0 1(t)=1 2(t)=0 2(t)=2
(t) 2(t) 1(t) 1(t) 0 1
t 1 t 1 t < 2 t 2
2(t)
1(t)
0 1 2 t
(t)=(1+ 2)J(t - 1) ③ 在给定的时刻t，应变(t)并不决定于在 该时刻的应力1(t)，而是决定于在时刻 t之前的全部应力史。 1(t)=(1+ 2)J(t) 2(t)=1J(t) + 2J(t- 1) 3(t)=1J(t- 1) + 2J(t- 2) 很显然： 1(t) 2(t) 3(t) (t)与应力史有关，给定t时，它是的 函数。
(t) 01 02 03 0 应力史 0 t (a) 线性弹性体 图6-3 正比性 0 t (b) 粘弹性体 t J(t) 0 1=J01 2=J02 3=J03 t (t) 1(t)=J(t)01 2(t)=J(t)02 3(t)=J(t)03 0 t J= 1(t)/01= 2(t)/ 02= 3(t)/03
第 6 章 线性粘弹性
描述高聚物在一定条件下表现出的性状。 四种模式： 线 弹 性：适应于在低于Tg的高聚物。 非线性弹性：适应于高于Tg的部分交联的高聚 物。 线性粘性和非线性粘性：适应于高聚物溶液和 高聚物熔体。
1. 线性粘弹性的基本概念 以剪切形变为例: 应变随时间的变化：(t)-应变史 应力随时间的变化：(t)-应力史 1.1 蠕变实验(Creep Experiment) 蠕 变：在一定温度下，对不同的材 料施加一个较小的恒定应力，材料的应变 随时间的变化。
如果应力史是一个任意的随时间而变的 函数()，如图6-7所示，在时刻t时的(t)应 是在t之前全部应力史的函数。
( )
(3) (2) (1) i
(i)
012 3
t

图 6-7 连续的应力史
(t)=(1)J(t- 1) + (2)J(t- 2) + (3)J(t- 3)+ • • • + (i)J(t- i) + • • • + (m)J(t- m) m (i )J (t i ) m t
t 时
J R (t ) J0 () Je0
Je0 称为稳定态的柔量。
4 蠕变和回复实验 4.1 应变史 蠕变和回复实验中的应力史如下式 所示： (t) = 0 t0 (t) = 0 0t (t) = 0 t 这是一种两步应力的情况：
(t) 0 0 t (a)应力史
如果(4)式成立 ，说明应变史是各个独 立的应力史产生的应变史的加和，说明材 料的应变具有加和性，这是线性粘弹性的 另一个条件。 从式(4)可以看出： ① 对于任意的应力史，在给定的现在时 刻t，应变史是所有应力史的函数。 ② 当1 = 2时，即1和2是同时在1施 加时，正比性才适应。
(t)=0 t < 0 (t)=0 t 0 式中：0中的下标表示时间为零下的应力。 各种材料不同的响应，如图6-1(a,b,c,d,e)。
(t) (t)
0
t1 t
0
t1 t
(a) 应力史
(b) 线弹性体
(t)
0 (t)
t1 (c) 粘弹性固体
t
0
t1 t (d) 线性粘弹性流体
i 1
如果把(i)分成无限小量，则有：
(t )
(t )
0
J (t )d ( )
或换元后得：
d ( ) (t ) J (t ) d d
t
(5)
式(5)就是Boltzmann加和性原理的数学表 达式，表明应变与全部应力成线性关系。 有时把式(5)中的积分变量变换为: T = t -θ
d ( ) (t ) G (t ) d d ( )
t
(t ) G0 (t )

0
dG (T ) (t T ) dT dT
3 聚合物的蠕变柔量 在蠕变实验中，应变是随时间增大的，即 dJ(t)/dt 0。
对粘弹性固体 其J(t)的一般形式如图6-8。

1(t)
1+ 2 1(t) 2(t) 3(t)
0
2(t) 2 1
t1 t
1+ 2
t1 t 0 1 2 t1 应变史 t
0 1 3(t)
1 0 1 2 t1 t
1+ 2 图6-6 不同应力史的两步应力实验
应力史
2.2.3 连续的应力史
T为某应力σ(θ)在时刻t时作用的时间, 把上式代入式(5),有: d (t T ) (t ) J (T) dT
0
d (t T )
根据分部积分公式:
uv vdu d (uv)
这里 dv d (t T ), u J (T ), 则: d (t T ) (t)= J (T) d (t T ) 0 d (t T ) J (T ) (t T ) 0 (t T )dJ (T )
J(t) Je
J0
t 图6-8 粘弹性固体的蠕变柔量 J0称为瞬时剪切模量。J0反映粘弹 性固体的线弹性变形，定义为：
0
t 0
lim J (t ) J 0
0+表示从正值趋于0。Je为当时间相当 长后J(t)的趋近值： lim J (t ) J e
t
或
J (t ) J e
J(t) = J0+ (t) 式中：J0为瞬时剪切柔量，(t)称为推迟 剪切柔量，它是时间t的单调增加函数。
当 t 时:
J () J e J 0 ()
() J e J0
(t)反映橡胶弹性，因而是可以恢复的。 对粘弹性液体 J(t)趋向与t成线性关系，即： J(t) = a+bt
J(t) (t) J(t)
J
J0
0 e
t/
图6-9 粘弹性液体的蠕 变柔量
J e0
式中：J(t)称为剪切蠕变柔量。 对拉伸蠕变实验，有： D(t)=E(0, t)/0 式中：D(t)称为拉伸蠕变柔量。
1.2 应力松弛 (Stress relaxation) 在一定温度下，使材料产生一个瞬时 应变，材料的应力随时间的变化。如图6-2 (a, b, c, d, e)所示。 (t)=0 t0 (t)=0 t0
(t)
0J0
(b)粘弹性固体
0J0
0 (t)
0J0
t
(c)粘弹性液体 0J0 0 /
0
t 图6-10 蠕变和回复实验
1(t) = 0 1(t) = 0
t0 t0
2(t) = 0 t 2(t) = - 0 t (t)= 1(t)+ 2(t) 对这两个独立的应力史，相应的应变史 为： 1(t) = 0J(t) 2(t) = -0J(t- ) 如果材料是线性粘弹性的，则根据加和 原理： (t) = 1(t) + 2(t) = 0J(t) - 0J(t- )
0 t
由于J(t)=(t)/0 ,
dJ (t ) / dt d (t ) / dt
因为：
0
0
b
所以： b / 0 1/ 粘弹性液体的蠕变柔量可表示为： J(t) = J0+ (t) +t/ 式中： t/表示粘性流动，J0+ (t)为可恢复 的弹性变形，可用JR(t)表示： JR(t) = J0+ (t) J(t) = JR(t) +t/
t
应力史
应变史 图6-4 应力史的影响
对线性弹性体： =J0
对粘弹性材料： 如应力史为零时刻时 ： 0(t)=J(t)0 如应力史为1和2时刻时： (t)=J(t- 1)0 (t)=J(t- 2)0 对于粘弹性材料，应变史不仅决定于 应力的大小，还决定于应力的历史。
2.2.2 两步应力史 考虑两步蠕变，设施加的应力史为： (t)=0 t < 1 (t)=1 1 t 2 (t)=1 + 2 2 t
J= 1/01= 2/ 02 J(t) = 3/03
2.2 加和性 2.2.1 应力史的影响 即在不同时刻施加应力，如应力在零时、 1和2时施加的。
线性弹性体
0=J(t1)0
1=J(t1- 1)0 2=J(t1- 2)0
0 0 1 2 t 0 1 2
t1