第6章 线性粘弹性
第六章 线性粘弹性
1 log log 1 log 2 4.0 2
1 2 10 4
T
t 2 t 1 2年104 100分
《3》 T 的数值——WLF方程
与试验温度
T 、参照温度 TS 有关 T = TS 时 T = 1 log = 0 T T > TS 时 T > 1 log > 0 右移 T T < TS 时 T <1 log T < 0 左移
WLF方程
C1 T TS log T C 2 T TS
= 25 OC
T2 = 80 OC
TS = 40 OC
8.86 T TS 1 log T log 2.50 S 101.6 T TS
8.86 T TS 2 log T log 1.5 S 101.6 T TS
17.44, C2 51.6 为参考温度时， C1 则WLF方程变为：
当选 Tg
log aT
17.44(T Tg ) 51.6 (T Tg )
2
Tg T Tg 100 ℃
而当 C 8.86, C 101.6 时，所有高聚物都 可找到一个参考温度，温度通常落在 T 50℃这时，WLF方程为：
0
0
(t ) 0 (cos sin t sin cost ) 0 cos sin t 0 sin cost 0 cos sin t 0 sin sin(t )
2
应力同相位 比应力落后 普弹性 粘性
应力与应变的关系
外力作用的频率
粘弹性食品的流变特性
对数松弛时间谱等于测定黏弹性体松弛曲线 EM t log t 的
关系而得到的曲线斜率的负数。
实际黏弹性体蠕变性质的模拟，用广义的开尔文模型比较方便。
Boltzmann叠加原理是线性黏弹性力学特性 研究的基本原理。
该原理认为：①某一特定负荷对高分子材料产生的效应与以前加到 该材料上的任何负荷所产生的效应无关。或者说每一负荷对材料产生的 效应是独立的。②观察时问相同时，各负荷使材料产生的变形与应力成 正比，各负荷产生的效应可以叠加。
此时，
d 0
dt
1 d 0 E dt
d E dt
设
1 K
,
E
则上式可变为： d
E dt Kdt
dt
t
积分上式得： t 0e
t 当
时， 0 e, 表明麦克斯韦模型松弛时间 的宏观物理意义，
基于上述观点，就须采用多元系列的麦克斯韦或 开尔文模型，即将其进行串联或并联，并将其产 生的效应再叠加。
t
n i 1
t
E eMi Mi
, Mi
Mi
EMi
流变学中把EM（t）或EM（t）-EM0 称为广义松弛模量
当用四要素(或五要素等)模型不能完全描述有些食品的松弛(蠕变)特点时， 为方便起见，一般不采用增加要素个数的方法，而采用求松弛时间谱(或推迟 时间谱)的方法。
应力、应变：
F
A
l
l
式中，σ为应力（Pa），F为外力（N），A为力作用的面积（m2），ε 为相对变形量（无单位量纲），l为初始长度（m）。
线性黏弹性
线性黏弹性
线性黏弹性指的是物体承受拉伸或压缩力时其应力和应变的响
应特性，按照它的本质特性可以分为黏弹性和线性弹性。
当被施加拉伸或压缩力时，弹性物体以一定的比例变形，而当力的大小停止变化时，物体也会停止变形。
但是黏弹性的变形则不会随着外力的变化而停止，而是会继续下去。
线性黏弹性又是一种混合状态，既具有弹性又具有黏弹性的特性，当施加拉伸或压缩力时，其变形会比纯弹性体稍微大一些，但是当外力达到某一个大小时变形也会停止。
线性黏弹性的本质可以用一种简单的公式来描述，也就是 Hook’s理：物体在拉伸或压缩力的作用下，其应力和应变之间的关系可以用下式表示：s=E*e,中 s 为应力，e 为应变，E 为变形模量，它可以用来衡量物体的线性黏弹性。
线性黏弹性在工程中有着广泛的应用，尤其是在橡胶、塑料、橡胶材料和汽车制造业等行业，其被广泛用于制作弹性悬挂结构、车轮、管状材料等，而用以制作橡胶在包装、汽车制造、家具制造等行业更是用的极其广泛。
此外，还有用于制作应力和位移传感器的技术，将使用线性黏弹性材料的传感器安装在机器的部件上，可以实现机器的自动控制。
而线性黏弹性的特性也使得它广泛应用于医学领域，比如线性黏弹性弹力带和矫形器可以用来治疗僵硬症，帮助病人改善下肢活动能力，预防膝关节受伤，减少膝关节疼痛等。
此外，线性黏弹性材料还可以用来制作运动器材，如护具、拐杖、滑板等，可以帮助人们减少
受伤的风险，降低撞击力而不影响运动效果。
综上所述，线性黏弹性是一种特殊的材料性质，它的本质研究和工程应用可以为我们提供更多的解决方案，有助于我们更有效地应用它们，让我们的生活更便利、更安全，也让我们的工程行业更加发达。
线性粘弹性测量操作方法
线性粘弹性测量操作方法线性粘弹性是一种将应力和应变之间关系描述为线性的材料特性。
线性粘弹性测量是通过施加外部力并观察材料响应来评估材料的粘弹性能。
以下是线性粘弹性测量的一般操作方法：1. 选择测量设备和样品：选择适当的设备来测量材料的粘弹性。
常用的设备包括动态力学分析仪(DMA)和拉伸试验机。
同时，选择合适的样品形状和尺寸，确保样品符合测量要求。
2. 准备样品：根据测量要求准备样品。
例如，对于DMA，将样品切割成合适的形状和尺寸，然后进行充分的清洗和干燥，确保没有杂质和水分。
3. 设定实验条件：根据材料特性和研究目的，设定合适的实验条件。
这包括应用的载荷大小、频率、温度等。
确保所选的条件能够准确地反映材料的线性粘弹性。
4. 进行动态力学分析：将样品固定在DMA的夹具上，并将夹具放置在测试仪器中。
然后，通过施加正弦波形的载荷，在一定范围内引起样品的形变。
同时，使用感应式位移传感器或扭转轴测量应变，以及使用负荷传感器测量应力。
5. 数据采集和分析：通过数据采集系统记录实时应力和应变。
在测试期间，对于每个应变振荡周期，记录多个数据点以获取准确的应力-应变关系曲线。
然后，使用适当的软件对数据进行处理和分析，例如校正数据、计算应力松弛和应变增量等。
6. 数据解释和结果分析：根据采集的数据和进行的分析，解释材料的粘弹性特性。
这可能包括应力-应变曲线的斜率表示材料的弹性模量，储存模量和损耗模量表示材料的能量储存和耗散能力等。
对于不同频率和温度下的实验结果进行对比和分析。
7. 结果报告和解释：根据分析结果编写实验报告。
包括实验条件、样品属性、测试结果等。
同时，解释所得的结果并进行讨论，与已有数据进行比较，批判性地评估实验的准确性和可靠性。
8. 重复实验和验证：为了提高实验结果的准确性和可重复性，进行多次实验并验证结果。
如果需要，修改实验条件和样品处理方法，确保实验结果的可靠性和稳定性。
总的来说，线性粘弹性测量操作是一个复杂的过程，包括选择适当设备和样品、准备样品、设定实验条件、进行动态力学分析、数据采集和分析、结果解释和报告等步骤。
聚合物的粘弹性
第五章聚合物的粘弹性第一部分主要内容§5.1 粘弹性的三种表现ε.E（结构.T.t）弹性——材料恢复形变的能力，与时间无关。
粘性——阻碍材料产生形变的特性与时间相关。
粘弹性——材料既有弹性，又有粘性。
一、蠕变当T一定，σ一定，观察试样的形变随时间延长而增大的现象。
二、应力松弛T.ε不变，观察关系σ(t)-tσ关系e-τ松弛时间σ(t)= σ0τ/t例：27℃是拉伸某硫化天然胶，拉长一倍是，拉应力7.25ⅹ105N/m2 γ=0.5 k=1.38ⅹ10-23J/k Mn=106g/mol ρ=0.925g/cm3（1） 1 cm3中的网链数及Mc（2）初始杨氏模量及校正后的E（3）拉伸时1cm3中放热解：（1）σ=N1KT(λ-λ-2) → N=)1(2λλσ-KTMc=N N ρ=(2)E=εσ=σσ=Mc RT ρ(1-)2Mn Mc(λ-λ-2)(3) dU=-dW+dQdQ=TdsQ= T Δs=TNK(λ2+λ2-3)三、动态力学性质1. 滞后现象σ(t)= σ0e iwtε(t)= ε0e i(wt-δ)E *=σ(t)/ ε(t)=00εσe i δ=00εσ(cos δ+isin δ)E ’=0εσ cos δ 实部模量,储能(弹性)E ’’=0εσsin δ 虚部模量,损耗(粘性)E *= E ’+i E ’’2. 力学损耗曲线1:拉伸2:回缩3:平衡曲线拉伸时:外力做功 W 1=储能功W+损耗功ΔW 1回缩时: 储能功 W=对外做功W 2+损耗功ΔW 2ΔW=⎰εσd =dt dt d w ⎰/20πεσ=πσ0ε0sin δ=πE ’’ ε02极大储能功 W=21σ0ε0cos δ=21E’ ε02在拉伸压缩过程中最大储能损耗能量= W W ∆=202'2/1"εεπE E =σπE ”/E ’=2πtg δtg δ=E ”/E ’=π21W W∆3.E ’,E ”,tg δ的影响因素a . 与W 的关系W 很小,E’小,E”小,tg δ小W 中:E ’ 小,E ”大,tg δ大W 很大 E ’ 大,E ”小,tg δ趋近于0b . 与聚合物结构的关系如:柔顺性好,W 一定时, E ’ 小,E ” 小,tg δ小刚性大, W 一定时,E ’ 大,E ” 小,tg δ小§5.2 线性粘弹性理论基础线性粘弹性:粘性和弹性线性组合叫线性粘弹性理想弹性E=σ/ε纯粘性η=σ/γ=σ/(d ε/dt)一、Maxwell 模型σ1=E ε1σ2=η(d ε2/dt)σ1=σ2=σε=ε1+ε2d ε/dt= (d ε1/dt)+ (d ε2/dt)=ησσ+dt d E 1即 d ε/dt=ησσ+dt d E 1 M 运动方程d ε/dt=0则dt d E σ1=ησσ(t)=σ0e-t/ττ=η/E二、Kelvin 模型σ1=E ε1σ2=η(d ε2/dt)σ=σ1+σ2ε=ε1=ε 2σ=E 1ε+η(d ε/dt) Kelvin 模型运动方程d ε/dt+(E/η)ε-σ0/η=0ε(t)=)1('/0τσt e E -- τ’=η/E 推迟时间u(t)= '/1τt e -- 蠕变函数三、四元件模型ε(t)= ε1+ ε2 +ε3=1E σ+t t E ησσ+ψ∝)()(t ψ=1-e -t/τ四、广义模型 :松弛时间谱§6.3 粘弹性两个基本原理一、时—温等效原理log a τ=log(τ/τs )=-c 1(T-Ts)/[c 2+(T-Ts)] (T<Tg+100℃)当Ts=Tg c 1 =17.44 c 2 =51.6Ts=Tg+50℃ c 1 =51.6 c 2 =17.44a τ=τ/τs 移动因子(1)T —t 之间的转换(E η tg δ)log τ- log τs=-C1(T-Ts)/[C2+(T-Ts)]Ts=T-50℃Log a T = log τ1-log τ2若:T=150℃ 对应τ=1s求 Ts=100℃ 对应τs=?已知 T 1=-50℃ T 2=-25℃ T 3= 0℃ T 4= 25℃T 5= 50℃ T 6=75℃ T 7=100℃ T 8=125 ℃求T=25℃主曲线二、Boltzmann 叠加原理)()()(2211u t D u t D t -+-=σσεητ1'/1211)1(11)(u t e E E u t D u t -+-+=---ητ2'/2212)1(11)(u t e E E u t D u t -+-+=---⎰∞--=ii i u d u t D t )()()(σε附表：普弹性、理想高弹性和粘弹性的比较三种描述线性高聚物粘弹性方法的比较第二部分教学要求本章的内容包括：（１）粘弹性的概念、特征、现象（２）线性粘弹性模型（３）玻尔兹曼迭加原理、时－温等效原理及应用难点：（１）动态粘弹性的理解（２）时－温等效原理的理解（３）松弛谱的概念掌握内容：（1）蠕变、应力松弛及动态力学性质的特征、分子运动机理及影响因素；（2）线性粘弹性的Maxwell模型、Keliv模型、三元件模型及四元件模型。
流体的黏弹性
10
4
ETFE-E
10
3
Experimental data Fitted line
10 0.01
2
0.1
ω/rad/s
1
10
100
ETFE复数黏度随频率的变化
| *( ) | 0 /(1 ( ) )
a
n 1
a
0 K1M w
试样 ηo(Pa· s) Mw(g/mol) MFR(g/10min)
(1) 分子量及分子量分布 分子量增加 黏度增加
, Mw Mc
流动性降低
临界重均 分子量，与分子 结构有关
Mw
1~1.6 3.4
Mw , Mw Mc
M w M c 时，不能发生缠结，黏度随分子量的增加主要 由分子间作用力增大引起 M w M c 时，发生缠结，流动阻力增加，黏度对分子量 的依赖性增大
ε1和ε2代表可回复的弹性形变，而ε3代表不可回复的黏性形变。 当受力时间很短时， ε2、 ε3可忽略，因此几乎是理想弹性 行为；而当受力时间很长时， ε3>ε1 + ε2，试样呈现黏性 行为。
蠕变回复： ε1瞬间恢复，ε2 逐渐恢复， ε3保留
去除外力后形变计算：Boltzmann叠加原理
7.2.2 应力松弛(弛豫)
loga (Pas) loga (Pas)
Cellulose PS
4 PE Chloride polyether PS Cellulose 3 PC 2 0
4
PC PMMA PE POM PVC
3
2 1 2 lg
(s1)
3
2.4
2.2
1/T 103 (K1)
第六章 线性粘性流体
v1 = v2 T1 = T2
n ⋅ c1 = n ⋅ c2 1 1 n ⋅ T1 − n ⋅ T2 = −γ ( + )n R1 R2
ρ vi Tij T，u ci
v( x, t 0 ) = v * ( x )
p ( x, t 0 ) = p * ( x )
ρ ( x, t 0 ) = ρ * ( x )
T ( x, t 0 ) = T * ( x )
边界条件： 边界条件： 边界处往往是两种连续介质的间断面， 边界处往往是两种连续介质的间断面，记这两种介质 为介质1 介质2 为介质1，介质2，在其间断面上满足
总之，轨迹是一个质点运动的路线，时间是变数， 总之，轨迹是一个质点运动的路线，时间是变数， 而流线则只能在某一时刻才有可能作出， 而流线则只能在某一时刻才有可能作出，并且它是由无 限多流体粒子组成的。 限多流体粒子组成的。
2
定常流和非定常流 定义： 定义： 如果在一个固定的位置处， 如果在一个固定的位置处，任何物理量都不随时 间而变化，这样的流动称作定常流 否则，就称为非 定常流。 间而变化，这样的流动称作定常流。否则，就称为非 定常流。 定常流。
1 1 1 trT = Θ = −p + trΓ 3 3 3
在这种情况下， 对静止的流体， 项消失， 对静止的流体，Γ 项消失，而p变为 p0 。在这种情况下，
p0等于平均法应力的负值。对于不可压缩流体，热力学压力不 等于平均法应力的负值。对于不可压缩流体，
与力学条件相分离，在这种流体中， 与力学条件相分离，在这种流体中，p被认为是独立的力学变 量。
Γ 称为粘性
对于无粘性流体，即所谓理想流体，即使在运动的时候， 对于无粘性流体，即所谓理想流体，即使在运动的时候， 理想流体 粘性应力张量也为零；对于粘性流体， 粘性应力张量也为零；对于粘性流体，粘性应力张量则是绝 不可忽略的。 不可忽略的。
聚合物的线性粘弹性PPT课件
模型特点:
e v
e v
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5
运动方程
e v
d de dv
dt dt dt
d 1 de v dt E dt h
e = Ee
v
=
h
dv
dt
e v
Maxwell模型 的运动方程
d = 1 d + dt E dt h
编辑版ppt
6
(1) 蠕变分析 Creep Analysis
d 1 d dt E dt h
编辑版ppt
16
松弛时间 ’ (推迟时间)
(t)()(1et/)
蠕变过程的松弛时间又称为
推迟时间
0.632
当t 时
11 e
0.632
0
t
推迟时间 ’的宏观意义就是指应变达到极大值的 0.632倍时
所需的时间。
编辑版ppt
17
蠕变回复分析
0
E h d 0
dt
d Edt dt h
(t)0et/
即Kelvin模型描述的
是理想弹性体的应力
松弛响应
t2
编辑版ppt
t
15
(2) 蠕变分析
Ehd const.
dt
hdd (t) Aet/
E Edt
dt
E
’ =h/E
边界条件：
t = 0, =0, =0
A 0 E
(t)0 (1et/)
E
令平衡形变 ( ) 0 (t)( )(1et/) E
const. d 0
dt
d dt h
Newton liquid
t1
t2
t
蠕变柔量 Dt D0 t
线性黏弹性
线性黏弹性
线性黏弹性是一种特殊的弹性材料，它具有特殊的机械性质，使其特别适合应用于高速及高温环境下的机械设备上，成为机械设备的有效缓冲材料。
性黏弹性的弹性性质是它的一个重要特性，当外力参数稳定时，它可以提供良好的稳定性能和耐久性。
它有较高的抗拉应力能力和良好的适应性，使其成为一种非常有效的解决方案。
线性黏弹性具有高弹性模量和弹性应力变形比，其弹性变形与负载能量有关，当负载能量越大，其弹性变形也越大。
而且，当应力偏移量较小时，其弹性应力变形比仍然可以均匀的增大。
此外，线性黏弹性的弹性模量仍然可以保持一定的稳定性，可以有效的承受反复的结构载荷，在变形过程中仍然具有很高的强度。
线性黏弹性具有高弹性，在单一的负载状态下，可以抵抗复杂的位移，抗压性能也较好。
当环境温度发生变化时，它也可以保持一定的弹性模量，并且没有降低结构定位精度。
这些特性使线性黏弹性成为机械设备的有效缓冲材料，可以防止结构及表面材料的损伤。
线性黏弹性可以提供良好的机械性能和阻尼效果，在弹性变形中，可以有效减少结构因复杂载荷而产生的应变。
同时，它还具有良好的耐磨性，可以抵抗氧化，有效的增加结构的使用寿命。
线性黏弹性的优点还有有良好的抗化学腐蚀性能，能抵抗强氧化剂和溶剂，可以有效的抗拒各种有害物质，可以抵御各种有害物质对结构的损伤。
总之，线性黏弹性是一种有效的缓冲材料，适用于高速及高温环
境下的机械设备，具备良好的机械性能和耐久性，能够抵抗化学腐蚀，抗拉应力，抗拒有害物质，有效的增加结构的使用寿命，是一种非常有用的解决方案。
高分子物理习题答案(名词解释4-9章)
第4章 聚合物的分子量与分子量分布1.统计平均分子量由于聚合物分子量具有两个特点，一是其分子量比分子大几个数量级，二是除了有限的几种蛋白质高分子外，分子量都不是均一的，都具有多分散性。
因此，聚合物的分子量只有统计意义，用实验方法测定的分子量只是具有统计意义的平均值。
2.微分分子量的分布函数0000()()()1()1n M dM n m M dM mx M dM w M dM ∞∞∞∞====⎰⎰⎰⎰以上是具有连续性的分子量分布曲线 3.分子量分布宽度实验中各个分子量与平均分子量之间差值的平方平均值 4.多分散系数α表征聚合物式样的多分散性。
w n M M α=或zwM M α= 5. Tung (董履和)分布函数表征聚合物的分子量分布，是一种理论分布函数，在处理聚合物分级数据时十分有用。
6.散射介质的Rayleigh 比表征小粒子所产生的散射光强与散射角之间的关系，公式为2(,)iI r R I θθγ= 7.散射因子()P θ表征散射光的不对称性参数，()P θ是粒子尺寸和散射角的函数。
具体公式如下：222216()1sin 3()2P S πθθλ-=-'注：nλλ'=，2S--均方旋转半径，λ'-入射光在溶液中的波长8.特性粘数[]η表示高分子溶液0c →时，单位浓度的增加对溶液比黏度或相对黏度对数的贡献，具体公式如下：0ln []limlimsprc c ccηηη→→==9.膨胀因子χχ维溶胀因子，在Flory 特性黏数理论中应用方式为;2220h hχ=10. SEC 校正曲线和普适校正曲线(1) SEC 校正曲线：选用一组已知分子量的单分散标准样品在相同的测试条件下做一系列的色谱图。
(2) 普适校正曲线：322()[]h Mφη=以lg[]M η对e V 作图，对不同的聚合物试样，所得的校正曲线是重合的。
第5章 聚合物的分子运动和转变1.玻璃-橡胶转变(玻璃化转变)非晶态聚合物的玻璃化转变即玻璃-橡胶转变，对于晶态聚合物是指其中的非晶部分的这种转变。
高分子物理思考题名词解释
是反映材料形变过程由于弹性形变而储存的能量。
损耗模量（E″）
是反映材料形变过程以热损耗的能量。
高斯链
将一个原来含有n个键长为l、键角θ固定、旋转不自由的键组成的链，视为一个含有Z个长度为b的链段组成的等效自由连接链，其分布符合高斯分布函数，故称作这种高分子链称为“高斯链”。
无扰链和无扰尺寸
只受近程作用、不受远程作用的分子链。
在θ条件下测得的高分子尺寸称为无扰尺寸。
极限特征比(C∞)
特征比Cn定义为无扰链与自由连接链均方末端距的比值，当n→∞时，对应的特征比Cn可定义为极限特征比(C∞)
蠕变
指在一定的温度和较小的恒定应力作用下，材料的应变随时间的增加而增大的现象。
蠕变函数[ψ（t）]
当应力作用时间足够长时，应变趋于平衡。
应力松弛
在恒定温度和形变保持不变的情况下，聚合物内部的应力随时间增加而逐渐衰减的现象。
滞后
聚合物在交变应力作用下应变落后于应力的现象称为滞后现象。
力学内耗（ψ）
黏性材料应变跟不上应力变化，因而在循环变化过程中要消耗能量，这种消耗称为力学内耗或内耗。
交联橡胶的状态方程
交联度
用交联密度或两个相邻交联点之间的数均分子量或每立方厘米交联点的摩尔数来表示。
交联点密度（μ/V0）
交联聚合物里面交联键的多少，一般用网链分子量的大小来表示。
交联点的功能度（ϕ）
ϕ=2N/μ
溶胀效应
溶剂分子进入橡胶交联网络，使其溶胀，体系网链密度降低，平均末端距增加，进而模量下降。
玻璃化转变温度（Tg）
模量下降速度最大出的温度，是非晶态高分子材料固有的性质，是高分子运动形式转变的宏观体现。
自由体积理论
聚合物的粘弹性 ppt课件
当聚合物受力时，以上三种形变同时发生聚合物的
总形变方程:
2+3 1
1 2 3
(t) 1 2 3
(1
-t
e
)
t
E1 E2
3
t
图4 线形非晶态聚合物的蠕变及回复曲线
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聚合物的粘弹性
蠕变Creep
•加力瞬间，键长、键角立即产生形变，形变直线上升 •通过链段运动，构象变化，使形变增大 •分子链之间发生质心位移
E2-高弹模量 特点:高弹形变是逐渐回复的.
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8
（t）
聚合物的粘弹性
无化学交联的线性高聚物,发生分 子间的相对滑移,称为粘性流动.
t （t）
t1 t2
t
图3 理想粘性流动蠕变
(t)=
0 (t<t1)
0 3
t (t1
t
t2 )
0 3
t2 (t
t2 )
3-----本体粘度
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9
聚合物的粘弹性
t
图5 蠕变与,T的关系
（3）受力时间： 受力时间延长，蠕变增大。
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聚合物的粘弹性
思考题:
1.交联聚合物的蠕变曲线?
3
2.雨衣在墙上为什么越来越长?(增塑PVC)
t
答:PVC的Tg=80℃,加入增塑剂后,玻璃化温度大大下降,成 为软PVC做雨衣,此时处于高弹态,很容易产生蠕变.
ppt课件
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聚合物的粘弹性
（二）应力松弛Stress Relaxation
1.定义: 在恒定的温度和形变不变的情况下,聚合物内部应力随着
时间的增长而逐渐衰减的现象.
粘弹性介绍选编
极慢，短时间也不易觉察。 只有在Tg附近，聚合物的应力松驰最为明显。 △应用中，要考虑应力松驰，剩余应力。
7.3 线性粘弹性模型
线性粘弹性：可由服从虎克定律的线性弹性行 为和服从牛顿定律的线性粘性行为的组合来描 述的粘弹性。
模型是唯象的处理
模型由代表理想弹性体的弹簧与代表理想粘性 体的粘壶以不同方式组合而成
E
σ＝E·ε
dε σ＝η·dt
弹簧 理想弹性体
粘壶 理想粘性体
7.3 线性粘弹性模型
7.3.1 Maxwell 模型 一个弹簧与一个粘壶串联组成
E η
F
t=0
t=∞
7.3.1 Maxwell 模型
7.3.1 Maxwell 模型
dt
d 1 ( ( ) ) dt
d 1 ( ( ) ) dt
d dt ( ( ))
两边积分： ( t ) ( )( 1 )
Kelvin模型的应力松弛方程
（3） 分子运动与温度的关系 The relationship with temperature
High molecules, =10-1～10-4s
T
T
Time dependence
在一定的温度和外力作用 下，高聚物分子从一种平 衡态过渡到另一种平衡态 需要一定的时间。
x x0e t /
stress removed (t)
0/
0
t
7.3.1 Maxwell 模型
dε 1 dσ σ dt = E ·dt +η
dε 应力松弛： ε＝常数，即 dt =0
线性黏弹模型
•分子链间质心位移是永久的，留了下来
交联聚合物的蠕变 存在形变的极限值
线形和交联聚合物的蠕变全过程
形变随时间增加而 增大，蠕变不能完 全回复
形变随时间增加而增 大，趋于某一值，蠕 变可以完全回复
线形和交联聚合物的蠕变回复
蠕变的本质：分子链的质心位移
线形聚合物 交联聚合物
高聚物在蠕变回复过程中，线形或 交联聚合物的应变都不能回复到零。
聚苯醚
材
聚砜
料
t(hrs)
蠕变与温度高低和外力大小关系
(t)
温外 度力 升增 高大
0
t
Creep recovery 蠕变回复
1
2
在一定外力作用下使材
料发生形变，再撤去外
0
t
3
力，而材料形变逐渐回 复的过程称为蠕变回复
t
•撤力一瞬间，键长、键角等次级运动立 即回复，形变直线下降
•通过构象变化，使熵变造成的形变回复
松弛行为 t
交联聚合物的应力不会松弛到零，而是趋近一个
有限值
由前一级过程：
d 1 dt
交联条件下方程应为：
d dt
1 (
)
t,
解之得：
G0
(t ) ( 0 )e t /
G (t) G (G 0 G )e t/
G (t) G (G 0 G )e t/
考虑模量 相等条件
20 = G200 故 10 = 20
e1 e10/ 2 0.237
2
2 = 4.46min
应力松弛时间越短，松弛进 理想弹性体 行得越快，越接近什么？ 理想粘性体
const.
对理想 弹性体
E
对理想 粘性体
chapter聚合物流变学- 聚合物的线性粘弹性
第5章聚合物的线性粘弹性前面我们讨论了四种模式来描述高聚物在一定条件下表现出的性状。
线弹性适用于在低于玻璃化温度下的高聚物，非线性弹性适用于高于Tg时的部分交联的高聚物。
在这两种模式的讨论中，线弹性的高聚物的形变是在应力作用时瞬时发生的不随时间而改变；对非线性弹性的橡胶，我们没有考虑其时间依赖性，而是考虑在平衡态时的应变，因而它也不随时间而变。
线性粘性及非线性粘性则适用于高聚物溶液及高聚物熔体。
这四种模式在一定的条件下可应用于高聚物性状的分析。
弹：外力→形变→应力→储存能量→外力撤除→能量释放→形变恢复粘：外力→形变→应力→应力松驰→能量耗散→外力撤除→形变不可恢复理想弹性：服从虎克定律σ＝E·ε应力与应变成正比，即应力只取决于应变。
受外力时平衡应变瞬时达到，除去外力应变立即恢复。
理想粘性：服从牛顿流体定律应力与应变速率成正比，即应力只取决于应变速率。
受外力时应变随时间线形发展，除去外力应变不能恢复。
实质上，在一般情况下，高聚物的性状并不能用以上四种简单模式来表示，首先高聚物在应力作用下，可能同时表现出弹性和粘性；其次高聚物在一般情况下，在恒定应力作用下，应变是随时间而变化的，即应变的时间依赖性(或在应变一定时，应力随时间而变化，即应力的时间依赖性)。
高分子固体的力学行为不服从虎克定律。
当受力时，形变会随时间逐渐发展，因此弹性模量有时间依赖性，而除去外力后，形变是逐渐回复，而且往往残留永久变形(γ∞)，说明在弹性变形中有粘流形变发生。
高分子液体，除了粘度特别大以外，其流动行为往往不服从牛顿定律，即η随γ而变化。
这是由于流动过程中伴随着构象的改变，η不再是常数；而当外力除去时，链分子重新卷曲(解取向)。
因此，高分子液体在流动过程中仍包含有熵弹性形变，即含有可回复的弹性形变。
高分子材料(包括高分子固体，熔体及浓溶液)的力学行为在通常情况下总是或多或少表现为弹性与粘性相结合的特性，而且弹性与粘性的贡献随外力作用的时间而异，这种特性称之为粘弹性。
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如果把(i)分成无限小量，则有：
(t )
(t )
0
J (t )d ( )
或换元后得：
d ( ) (t ) J (t ) d d
t
(5)
式(5)就是Boltzmann加和性原理的数学表 达式，表明应变与全部应力成线性关系。 有时把式(5)中的积分变量变换为: T = t -θ
t 时
J R (t ) J0 () Je0
Je0 称为稳定态的柔量。
4 蠕变和回复实验 4.1 应变史 蠕变和回复实验中的应力史如下式 所示： (t) = 0 t0 (t) = 0 0t (t) = 0 t 这是一种两步应力的情况：
(t) 0 0 t (a)应力史
式中：J(t)称为剪切蠕变柔量。 对拉伸蠕变实验，有： D(t)=E(0, t)/0 式中：D(t)称为拉伸蠕变柔量。
1.2 应力松弛 (Stress relaxation) 在一定温度下，使材料产生一个瞬时 应变，材料的应力随时间的变化。如图6-2 (a, b, c, d, e)所示。 (t)=0 t0 (t)=0 t0
1(t)
1+ 2 1(t) 2(t) 3(t)
0
2(t) 2 1
t1 t
1+ 2
t1 t 0 1 2 t1 应变史 t
0 1 3(t)
1 0 1 2 t1 t
1+ 2 图6-6 不同应力史的两步应力实验
应力史
2.2.3 连续的应力史
d ( ) (t ) D(t ) d d ( ) t dD(t ) d 或： (t ) D0 (t ) ( ) d (t )
t
式中，D(t)称为拉伸蠕变柔量。 对于任意给定的连续的应变史() ，相 应的应力史为：
注意：蠕变实验用来定义柔量，松弛实验 用来定义模量。 J(t)=(t)/0 G(t)=0/ 0 J(t) 1/G(t) 2 线性粘弹性的定义 Boltzmann 加和原理 2.1 正比性 对于线弹性体，柔量J与应力大小和时 间无关。 对线性粘弹性体，应变与应力成正比 即：
(t)=0 J(t) (1) J(t)=(t)/0 J与应力的大小无关。 材料的性质符合式(1)叫做正比性。
(t)
(t)
0 (a) 应变史 (t)
t
0 (b) 线弹性体
t
0
t
(c) 线性粘性流体
(t)
0 (d)粘弹性固体
t
0
t
(e)粘弹性液体
图6-2 应力松驰实验
对线弹性体： (t)=0 t<0 (t)=0 t0 对于粘弹性固体或是粘弹性液体，应力和模 量(G)是时间的函数。 (t)=0 t<0 (t)=(0, t) t > 0 G(t)=(0, t)/0 式中： G(t)为剪切松弛模量。 对于拉伸应力松弛实验，有拉伸松弛模量： E(t)=(0, t)/ 0
t
0
2
t
图 6-5 加和性
1(t)=0 1(t)=1J(t- 1) 2(t)=0 2(t)=2J(t- 2)
t < 1 t 1 t < 2 t 2
(2) (3)
如果材料是线性粘弹性的，那么应变史 是： (t)= 1(t) + 2(t) 由(2)和(3)式，则有： (t)=0 t < 1 (t)=1J(t- 1) 1 t 2 (t)=1J(t- 1) + 2J(t- 2) t 2 ( 4 )
0 t
由于J(t)=(t)/0 ,
dJ (t ) / dt d (t ) / dt
因为：
0
0
b
所以： b / 0 1/ 粘弹性液体的蠕变柔量可表示为： J(t) = J0+ (t) +t/ 式中： t/表示粘性流动，J0+ (t)为可恢复 的弹性变形，可用JR(t)表示： JR(t) = J0+ (t) J(t) = JR(t) +t/
d ( ) (t ) G (t ) d d ( )
t
(t ) G0 (t )
0
dG (T ) (t T ) dT dT
3 聚合物的蠕变柔量 在蠕变实验中，应变是随时间增大的，即 dJ(t)/dt 0。
对粘弹性固体 其J(t)的一般形式如图6-8。
第 6 章 线性粘弹性
描述高聚物在一定条件下表现出的性状。 四种模式： 线 弹 性：适应于在低于Tg的高聚物。 非线性弹性：适应于高于Tg的部分交联的高聚 物。 线性粘性和非线性粘性：适应于高聚物溶液和 高聚物熔体。
1. 线性粘弹性的基本概念 以剪切形变为例: 应变随时间的变化：(t)-应变史 应力随时间的变化：(t)-应力史 1.1 蠕变实验(Creep Experiment) 蠕 变：在一定温度下，对不同的材 料施加一个较小的恒定应力，材料的应变 随时间的变化。
0
由于 (-)=0, J(0)=J 0 , 则有:
(t ) J 0 (t )
0
dJ (T ) (t T ) dT dT
(6)
dJ (t ) d 或： (t ) J 0 (t ) ( ) d (t )
t
(7)
式(6)或(7)都是Boltzmann 加和性原理 的数学表达式。 对于拉伸实验，有：
如果(4)式成立 ，说明应变史是各个独 立的应力史产生的应变史的加和，说明材 料的应变具有加和性，这是线性粘弹性的 另一个条件。 从式(4)可以看出： ① 对于任意的应力史，在给定的现在时 刻t，应变史是所有应力史的函数。 ② 当1 = 2时，即1和2是同时在1施 加时，正比性才适应。
当 t 时:
J () J e J 0 ()
() J e J0
(t)反映橡胶弹性，因而是可以恢复的。 对粘弹性液体 J(t)趋向与t成线性关系，即： J(t) = a+bt
J(t) (t) J(t)
J
J0
0 e
t/
图6-9 粘弹性液体的蠕 变柔量
J e0
4.2 回复曲线R(, T) 回复曲线定义为： R(,T)=[( ) - (+T)]/0 = J() - J(+T) +J(T)
(t)
0R(,T)
(-)
(-) - (+T) T (+T)
0
图6-11 回复曲线
t
4.3 粘弹性固体的蠕变回复
(t)
2 1
1(t)
1
2(t)
2
0 1 2
t
0 1
t
0
2
t
1(t)=0 1(t)=1 2(t)=0 2(t)=2
(t) 2(t) 1(t) 1(t) 0 1
t 1 t 1 t < 2 t 2
2(t)
1(t)
0 1 2 t
(t)
0J0
(b)粘弹性固体
0J0
0 (t)
0J0
t
(c)粘弹性液体 0J0 0 /
0
t 图6-10 蠕变和回复实验
1(t) = 0 1(t) = 0
t= - 0 t (t)= 1(t)+ 2(t) 对这两个独立的应力史，相应的应变史 为： 1(t) = 0J(t) 2(t) = -0J(t- ) 如果材料是线性粘弹性的，则根据加和 原理： (t) = 1(t) + 2(t) = 0J(t) - 0J(t- )
J(t) Je
J0
t 图6-8 粘弹性固体的蠕变柔量 J0称为瞬时剪切模量。J0反映粘弹 性固体的线弹性变形，定义为：
0
t 0
lim J (t ) J 0
0+表示从正值趋于0。Je为当时间相当 长后J(t)的趋近值： lim J (t ) J e
t
或
J (t ) J e
J(t) = J0+ (t) 式中：J0为瞬时剪切柔量，(t)称为推迟 剪切柔量，它是时间t的单调增加函数。
T为某应力σ(θ)在时刻t时作用的时间, 把上式代入式(5),有: d (t T ) (t ) J (T) dT
0
d (t T )
根据分部积分公式:
uv vdu d (uv)
这里 dv d (t T ), u J (T ), 则: d (t T ) (t)= J (T) d (t T ) 0 d (t T ) J (T ) (t T ) 0 (t T )dJ (T )
t
应力史
应变史 图6-4 应力史的影响
对线性弹性体： =J0
对粘弹性材料： 如应力史为零时刻时 ： 0(t)=J(t)0 如应力史为1和2时刻时： (t)=J(t- 1)0 (t)=J(t- 2)0 对于粘弹性材料，应变史不仅决定于 应力的大小，还决定于应力的历史。
2.2.2 两步应力史 考虑两步蠕变，设施加的应力史为： (t)=0 t < 1 (t)=1 1 t 2 (t)=1 + 2 2 t
(t) 01 02 03 0 应力史 0 t (a) 线性弹性体 图6-3 正比性 0 t (b) 粘弹性体 t J(t) 0 1=J01 2=J02 3=J03 t (t) 1(t)=J(t)01 2(t)=J(t)02 3(t)=J(t)03 0 t J= 1(t)/01= 2(t)/ 02= 3(t)/03
(t)=(1+ 2)J(t - 1) ③ 在给定的时刻t，应变(t)并不决定于在 该时刻的应力1(t)，而是决定于在时刻 t之前的全部应力史。 1(t)=(1+ 2)J(t) 2(t)=1J(t) + 2J(t- 1) 3(t)=1J(t- 1) + 2J(t- 2) 很显然： 1(t) 2(t) 3(t) (t)与应力史有关，给定t时，它是的 函数。