2.3.2 公式法
2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离 导学案正文
2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离【学习目标】1.会运用多种方法推导点到直线的距离公式,明确使用公式的前提条件.2.能根据给定的点与直线熟练运用公式求点到直线的距离.3.能将平行线间的距离转化为点到直线的距离,并会用点到直线的距离公式导出两条平行直线间的距离公式.4.能说明应用公式的前提条件,并能用公式求给定两平行线间的距离.◆ 知识点一 点到直线的距离公式点P (x 0,y 0)到直线l :Ax+By+C=0的距离d= . 证明点到直线的距离公式的方法 1.定义法根据定义,点P 到直线l 的距离,就是点P 到直线l 的垂线段的长度.如图,过点P (x 0,y 0)作直线l :Ax+By+C=0(A ≠0,B ≠0)的垂线l',垂足为Q ,由l'⊥l 可知l'的斜率为 ,∴l'的方程为y-y 0=B A(x-x 0),与l 的方程联立,得交点为Q (B 2x 0-ABy 0-AC A 2+B 2,A 2y 0-ABx 0-BCA 2+B 2),∴|PQ|=00√A +B .可以验证,当A=0,或B=0时,上述公式仍然成立.2.向量法如图,已知P (x 0,y 0),设与直线l :Ax+By+C=0的一个方向向量P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直的向量为n=(A ,B ),M (x ,y )为直线l 上任意一点,则PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-x 0,y-y 0),从而点P 到直线l 的距离d= =00√A +B ,∵点M 在直线l 上,∴Ax+By+C=0,从而d=00√A +B =00√A +B .【诊断分析】 1.已知点P(-1,0),直线l:x+y-4=0.(1)直线l的一个方向向量为n=,与直线l垂直的一个向量为m=;⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量m求得点P到直线l的距离为.(2)Q(1,3)是直线l上一点,利用PQ2.点P(x0,y0)到直线y=a的距离为.◆知识点二两条平行直线间的距离1.定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的的长.2.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)连接两平行直线上任意两点,即得两平行直线间的距离.( )(2)若直线l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三点,则点A,B,C到直线l2:x+y+1=0的距离相等. ( )(3)已知直线l1:x=x1,l2:x=x2,则直线l1,l2间的距离为|x2-x1|.( ).( )(4)已知两平行直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则直线l1,l2间的距离为12√A1+B1◆探究点一点到直线的距离公式的应用例1 (1)点P0(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离是.(2)点P(0,2)到直线y=3的距离是.(3)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则实数m的值为. 变式 (1)若直线l经过点P(1,2),且点A(2,3),B(0,-5)到它的距离相等,则l的方程为 ( )A.4x-y-2=0B.4x+y-6=0C.4x-y-2=0或x=1D.4x+y-6=0或x=1(2)已知直线l:y=k(x-2)+2,当k变化时,点P(-1,2)到直线l的距离的取值范围是( )A.[0,+∞)B.[0,2]C.[0,3]D.[0,3)[素养小结]点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点P(x0,y0)到它们的距离d时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接根据d=|x0-a|或d=|y0-b|求解.(3)已知点到直线的距离求参数时,根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.拓展已知定点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则点P到直线l的距离的最大值为( )A.2√3B.√10C.√14D.2√15◆探究点二平行线间距离公式的应用例2 (1)已知直线l1:y=2x+1,直线l2:4x-2y+7=0,则l1与l2之间的距离为( )A.√52B.√54C.√102D.√104(2)若直线l1:2x+y+a=0与直线l2:ax-y-3=0平行,则直线l1与l2之间的距离为.(3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0之间的距离相等,则l的方程为. 变式 (1)已知点A(1,0),B(3,1),C为直线l:x-2y+4=0上的一个动点,则△ABC的面积为( )A.5B.√5C.√52D.52(2)若直线12x-5y+c=0与直线y=125x+1间的距离不小于3,则c的取值范围是.[素养小结]求两平行线间的距离一般有两种方法(1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关,所以选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.(2)公式法:直接利用公式d=12√A+B,但要注意两直线方程中x,y的系数对应相等.◆探究点三距离公式的综合应用例3已知直线l经过直线2x+y-5=0与直线x-2y=0的交点.(1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.变式若点P到直线5x-12y+13=0的距离与到直线3x-4y+5=0的距离相等,则点P所在直线的方程是( )A.32x-56y+65=0或7x+4y=0B.x-4y+4=0或4x-8y+9=0C.7x+4y=0D.x-4y+4=0拓展已知直线l1 :x=0,l2:3x-4y=0,点A的坐标为(1,1),且过点A的直线l与l1,l2分别交于点M,N(M,N的纵坐标均为正数),设O为坐标原点,求△MON面积的最小值.。
2.3.2双曲线的简单几何性质课件人教新课标2
②
将①式代入②，解得 m 210 .
3
所以直线l的方程为 y 2x 210 .
3
类型三 双曲线性质的综合应用
【典例3】
(1)已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a>0，b>0)的左、右焦点分别为
F1(-c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在一点P，使
sinPF1F2 a， sinPF2F1 c
【解题探究】1.题(1)条件 sinPF1F2 a 如何转化？
sinPF2F1 c
2.题(2)几何条件OP⊥OQ如何转化为代数条件？
【探究提示】1.利用正弦定理，可将 sinPF1F2 转化为边之间
sinPF2F1
的比值.
2.条件OP⊥OQ，一般转化为
即若设P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，则
【自主解答】(1)设l的方程为y=kx+b，
由
x2
y2
1，消去y得：(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.
2
y kx b
因为l与双曲线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故Δ=8b2+8-16k2>0 ①，1-2k2≠0，
由根与系数的关系知：x1+x2=
4kb ， 1 2k2
线的左支.
2.由直线l1与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解.
【自主解答】(1)由
x2 9
y2 16
1，所以a2=9，b2=16，所以c2=25，c=5，
由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6<10.
当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时，说明直线与双曲线的
洛南县高耀水文相关数据计算分析
洛南县高耀水文相关数据计算分析摘要：本文通过外业测量，对李塬、古城、灵口等站降雨及暴雨、洪水资料抄录选用，运用水文专业知识和相关资料分析计算得出洛南县高耀年最大24小时暴雨量均值、暴雨强度衰减指数、降雨历时为24小时的径流系数等数据，为高耀河段水利工程设计提供可靠依据。
关键词：高耀暴雨分析推算1．流域概况东沙河发源于洛南县高耀镇李塬文显山（海拔1709.5米）和龙骨岩山（海拔1577.9米），由西南向东北方向经灵口镇代川和木厂中间流入南洛河，最大高差330多米，岩石主要有花岗、石英、片岩等，山部以板岩、页岩等为主。
流域走向自西南向东北方向逐渐降低。
年平均降雨量689.6毫米，主要降水集中在7～9月。
流域植被良好，树木以松柏为多，覆盖率约为40～50%，山坡以草皮覆盖。
沙河位置在东经110°22′～110°36′，北纬33°50′～34°58′之间。
流域呈手掌状，左岸村庄，右岸有部分田地，四周均为高山峻岭。
高耀河段选定分析点流域面积0.536平方公里，河长1.60公里，河宽在28～45米之间，河流平均比降50.0‰。
2．年最大24小时暴雨量均值24及其变差系数Cv、偏差系数Cs，暴雨强度衰减指数n1、n22.1最大24小时雨量均值推求选用灵口、李塬、古城雨量站1960～2010年51年资料进行频率计算，其中李塬、古城雨量站是1973～1975年没有年鉴，用灵口站的资料运用相关法进行查补，最后得出24小时雨量24均值为63.4mm。
用商洛水文手册差得24均值为70mm,工程设计选用对工程不利的，请设计部门选用。
2.2变差系数Cv，偏差系数Cs运用李塬51年资料，运用频率计算程序，进行适线，经过计算Cv=0.39，Cs=3.5Cv；用商洛水文手册查得Cv=0.50，Cs=3.5Cv: 计算成果详见表3.2、图，表3.2李塬雨量站频率成果李塬24小时雨量频率曲线2.3暴雨强度衰减指数n1、n22.3.1图解法：参数n反映暴雨平均强度随暴雨历时增加而衰减的程度。
2.3.2 运用公式法(二)
一、）请你任意写出一个．．三项式，使它们的公因式是－）用简便方法计算，并写出运算过程：二、2+b2－2ab－1ma－mb+2a－2b3－aax2+ay2－2axy－ab2三、好好想一想n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是）一条水渠，其横断面为梯形，根据图时的面积.图2—3—1，在半径为r的圆形土地周围有一条宽为a的路，这条路的面积用作业导航了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握运用公式法分解因式的方法，会利用分解因式进行简便计算与化简.一、选择题1.－(2a－b)(2a+b)是下列哪一个多项式的分解结果( )A.4a2－b2B.4a2+b2C.－4a2－b2D.－4a2+b22.多项式(3a+2b)2－(a－b)2分解因式的结果是( )A.(4a+b)(2a+b)B.(4a+b)(2a+3b)C.(2a+3b)2D.(2a+b)23.下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( )A.x2+xy+y2B.x2－2x－1C.－x2－2x－1D.x2+4y24.多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( )A.10B.20C.－20D.±205.在一个边长为12.75 cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm的正方形，剩下部分的面积等于( )A.100 cm2B.105 cm2C.108 cm2D.110 cm2二、填空题6.多项式a2－2ab+b2，a2－b2，a2b－ab2的公因式是________.7.－x2+2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是________.8.若x2－4xy+4y2=0，则x∶y的值为________.9.若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，则a的值是________.10.已知a+b=1，ab=－12，则a2+b2的值为________.三、解答题11.分解因式(1)3x4－12x2(2)9(x－y)2－4(x+y)2(3)1－6mn+9m2n2(4)a2－14ab+49b2(5)9(a +b )2+12(a +b )+4 (6)(a －b )2+4ab12.(1)已知x －y =1，xy =2，求x 3y －2x 2y 2+xy 3的值. (2)已知a (a －1)－(a 2－b )=1，求21(a 2+b 2)－ab 的值. 13.利用简便方法计算: (1)2001×1999(2)8002－2×800×799+799214.如图1，在一块边长为a 厘米的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为b (b ＜2a)厘米的正方形，利用因式分解计算当a =13.2，b =3.4时剩余部分的面积.图115.对于任意整数，(n +11)2－n 2能被11整除吗？为什么？参考答案一、1.D 2.B 3.C 4.D 5.D二、6.a－b7.y－x8.2 9.1或－9 10.25三、11.(1)3x2(x+2)(x－2) (2)(5x－y)(x－5y) (3)(3mn－1)2(4)(a－7b)2(5)(3a+3b+2)2(6)(a+b)2112.(1)2 (2)213.(1)3999999 (2)114.128平方厘米15.略2.3 运用公式法同步练习1．填空：（1）多项式各项的公因式是___________；（2）多项式各项的公因式是_________；（3）如果是一个完全平方式，那么k的值是__________；（4）（）．2．把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．3．利用分解因式计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．4．先分解因式，再求值：（1），其中；（2），其中．5．对于任意自然数是否能被24整除？为什么？参考答案1．（1） ；（2）；（3）9；（4） ．2．（1） ；（2） ；（3） ；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．3．（1）27.6；（2）125；（3）10100；（4）0.0395；（5）9801；（6）7；（7）6.32；（8）5000．4．（1） ，当 时，原式＝9216；（2） ，当时，原式＝100．5．，能被24整除．2.3 运用公式法 同步练习一、选择题1，下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）A.-a 2+b 2B.-x 2-y 2C.49x 2y 2-z 2D.16m 4-25n 2 2.下列各式中能用完全平方公式分解的是（ ）①x 2-4x+4; ②6x 2+3x+1; ③ 4x 2-4x+1; ④ x 2+4xy+2y 2 ; ⑤9x 2-20xy+16y 2A.①②B.①③C.②③D.①⑤3.在多项式:①16x 5-x;②（x-1）2-4（x-1）+4; ③(x+1)4-4x(x+1)2+4x 2;④-4x 2-1+4x 中，分解因式的结果中含有相同因式的是（ ）A.①②B.③④C.①④D.②③ 4.分解因式3x 2-3x 4的结果是（ ）A.3(x+y 2)(x-y 2)B.3(x+y 2)(x+y)(x-y)C.3(x-y 2)2D.3(x-y )2(x+y) 25.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为（ ）A.2B.4C.2y 2D.4y 26.若x 2+2(m-3)x+16, 是一个完全平方式，那么m 应为（ ）A.-5B.3C.7D.7或-1 7.若n 为正整数，（n+11）2-n 2 的值总可以被k 整除，则k 等于（ ） A.11 B.22 C.11或22 D.11的倍数. 二、填空题8.（ ）2+20pq+25q 2= （ ）29.分解因式x 2-4y 2= ___________ ; 10.分解因式ma 2+2ma+m= _______ ;11.分解因式2x 3y+8x 2y 2+8xy 3 __________ .12.运用平方差公式可以可到：两个偶数的平方差一定能被 _____ 整除。
北师版数学九年级上册《2.3 用公式法求解一元二次方程》第1课时 用公式法求解一元二次方程 教学课件
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
解： 移项，得 ax2 bx c.
方程两边都除以 a，得 x2 b x c .
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
例5 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0.∵b2 - 4ac = 14×1×(-1) = 5＞0，∴该方程有两个不相等的实数 根，故选 B.
方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时， 要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).
•b2 - 4ac ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
•b2 - 4ac ＜ 0 时，方程无实数根.
0)；
视频：求根公式的趣味记忆
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二 公式法解方程
典例精析
x b b2 4ac 2a
例1 用公式法解方程 5x2 - 4x - 12 = 0. 解：∵a 5，b 4，c 12，
∴ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×5×(-12) = 256 ＞ 0.
∴ x b b2 4ac (4) 256 4 16 = 2 8 .
北师大版九年级数学上册：2.3.2公式法解方程(共21张ppt)
判别式的情况
>0 =0 <0 ≥0
根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根
训练：
自学指导1： 问题引入 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的 通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花 草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多 少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为__(3_0_-_2_x_)_(_2_0_-_x_)_=_6_×__7_8__.
A
D
B
C
2 利用一元二次方程解决面积问题
问题：在一块长16 m,宽12 m的矩形荒地上,要建造一个花园, 并使花园所占面积为荒地面积的一半.
16m
想一想，你会怎么设 计这片荒地？
看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？
12m
小明设计： 如图所示，其中花园四周小路的宽都相等.通过
解方程, 得到小路的宽为2 m或12 m.
化简，得 x2-13x+40=0
解得 x1=5 , x2=8 当x=5时，26-2x=16>12 (舍去） 当x=8时，26-2x=10<12 故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.
解：设小路的宽为 x m. 根据题意，得
16 x12 x 1612 .
2
16m
xm
12m
即 x2 - 28x + 96 = 0.
解得 x1 = 4 , x2 = 24,
xm
将x =24 代入方程中不符合题意，舍去.
答：小路的宽为4 m.
方法点拨
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性 质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些.
EPC设计管理指南 工程量清单计算与成本估算
EPC设计管理指南工程量清单计算与成本估算EPC 设计管理指南：工程量清单计算与成本估算在工程领域中，EPC（Engineering, Procurement, and Construction）是一种常见的项目管理模式，该模式综合了工程设计、采购和施工环节。
为了确保EPC项目的成功实施，准确计算工程量清单并进行成本估算是至关重要的一步。
本文将为您提供一份EPC设计管理指南，帮助您有效进行工程量清单计算及成本估算。
1.引言在EPC项目中，准确计算工程量和进行成本估算是确保项目成功交付的基础。
通过合理的工程量清单计算和成本估算，项目团队可以更好地控制项目进度、成本和质量。
2.工程量清单计算2.1 工程量清单的定义工程量清单是指针对特定工程项目，按照一定的规范和标准，对所需物资、设备、工程工艺等进行详细计量和清点的列表。
2.2 工程量清单的编制原则2.2.1 明确清单的范围和内容根据项目需求，明确工程量清单所涵盖的范围和内容，包括各项工程设备、材料以及相应的数量等。
2.2.2 规范标准的应用根据相关规范和标准，对工程量清单中的项目进行统一计量，确保计算结果的准确性和可比性。
2.2.3 分项清单的细化将工程量清单细化为不同的分项清单，以便更好地组织和管理项目。
2.3 工程量清单计算方法2.3.1 直接测量法直接测量法是通过现场实际测量和调查来确定工程量的方法。
根据所需项目范围和实际情况，对相关参数进行精确测量，得出具体的工程量数值。
2.3.2 计算公式法计算公式法是通过使用相关的计算公式和参数来计算工程量的方法。
根据项目特点和计算需求，选择适当的计算公式进行工程量计算。
3.成本估算3.1 成本估算的意义与目的成本估算是指在工程项目启动或设计阶段，根据工程量清单和其他相关信息预测项目所需的成本。
3.2 成本估算的步骤3.2.1 收集项目信息收集项目所需的工程量清单、设备价格、人工费用等相关信息。
3.2.2 制定成本估算方案根据项目特点和需求，制定合适的成本估算方案，明确采用的计算方法和参数。
2.3 公式法解一元二次方程---完美版
3x 7x 8 0
2
这里
a 3、 b= - 7、 c= 8
b 2 4ac （ 7 2 4 3 8 ） 49 96 - 47 0 方程没有实数解。
结论：当△<0时， 方程没有实数解
解题大师——规范正确!
解下列方程:
参考答案:
(1). x2-2x－8＝0；
9 17 2 2 9 17 4 .
3.计算: b2-4ac的值; 4.代入:把有关数值代入公式计 算;
x1
9 17 4
; x2
9 17 4
5.定根:写出原方程的根.
.
x
b b 2 4ac 2a
例 1 解方程：x 2 7 x 18 0 解： 由题可知 a 1 b 7
b 4ac
2
.
. b 2 4ac 0 . 7.定解:写出原方程的解.
公式法：
一般地,对于一元二次方程
当b 2 4ac 0时, 它的根是 :
x b b 2 4ac 2a . b 2 4ac 0 .
ax2+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 温馨提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
答 : 三角形的三条边长分别为6,8,10.
独立 作业
根据题意，列出方程： 1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸, 两相去适一丈.问户高,广各几何.” 大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈, 那么门的高和宽各是多少? 解：设门的高为 x 尺，根据题意得 2 10 x x 2 x 6.8 102.
用公式法求解一元二次方程ppt课件
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
北师大版数学九年级上册：2.3.1 公式法 同步练习(含答案)
2.3.1 公式法一、选择题1.用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是()A.a=3,b=2,c=3B.a=-3,b=2,c=3C.a=3,b=2,c=-3D.a=3,b=-2,c=32.用公式法解方程x2-4x=2,其中b2-4ac的值是()A.16B.24C.8D.43.一元二次方程2x2-x-1=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断4.[2020·黔西南州] 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是()A.m<2B.m≤2C.m<2且m≠1D.m≤2且m≠15.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是()A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根二、填空题6.已知一元二次方程x2-3x-a=0,当a=-6时,方程的根的情况为;若方程有两个相等的实数根,则a=.7.一元二次方程3x2=4-2x的解是.,且b2-4ac=0,则此方程的另一个根8.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是12是.9.(1)关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根,则m的最小整数值是;(2)若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0无实数根,则k的取值范围是.10.在实数范围内定义一种运算“*”,使a*b=(a+1)2-ab,则方程(x+2)*5=0的解为.三、解答题11.不解方程,判断下列方程的根的情况:=0; (2)16x2-24x+9=0;(1)2x2-3x-32(3)x2-4√2x+9=0; (4)3x2+10=2x2+8x.12.用公式法解下列方程:(1)x2-5x+4=0;(2)x2+3x=0;(3)2x2-3x+9=0;8(4)2x2-3√3x+3=0;(5)0.3y2+y=0.8;(6)6x2-11x+4=2x-2;(7)(3x+2)(x+3)=x+14.13.已知关于x的一元二次方程mx2-(m-2)x-2=0(m≠0).(1)求证:方程一定有实数根;(2)若此方程有两个不相等的整数根,求整数m的值.14.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC的三边长.(1)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(2)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.15.[分类讨论题] 已知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)试说明无论k取何值,这个方程一定有实数根;(2)已知等腰三角形ABC的一边a为1,若另两边b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长.详解详析1.D2.B [解析] 方程x 2-4x=2可化为x 2-4x-2=0.∵a=1,b=-4,c=-2,∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=16+8=24.故选B .3.A [解析] ∵b 2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9>0,∴该一元二次方程有两个不相等的实数根.故选A .4.D [解析] ∵关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+2x+1=0有实数根,∴{m -1≠0,Δ=22-4×1×(m -1)≥0,解得m ≤2且m ≠1.故选D .5.A [解析] ∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1,∴(-1)2-4+c=0,解得c=3,故原方程中c=5,则b 2-4ac=16-4×1×5=-4<0,所以原方程的根的情况是没有实数根.故选A .6.无实数根 -947.x 1=-1+√133,x 2=-1-√133[解析] 3x 2=4-2x ,3x 2+2x-4=0,则b 2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0,故x=-2±√526,则x 1=-1+√133,x 2=-1-√133.故答案为x 1=-1+√133,x 2=-1-√133. 8.12 [解析] ∵b 2-4ac=0,∴一元二次方程有两个相等的实数根,∴此方程的另一个根为12.9.(1)0 (2)k<-1[解析] (1)一元二次方程x 2-2x-m=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=4+4m>0,∴m>-1.故答案为0.(2)由题意可知Δ=4+4k<0,∴k<-1.故答案为k<-1.10.x 1=-1+√52,x 2=-1-√5211.解:(1)2x 2-3x-32=0,∵Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×2×-32=21>0,∴方程有两个不相等的实数根.(2)16x 2-24x+9=0,∵Δ=b 2-4ac=(-24)2-4×16×9=0,∴方程有两个相等的实数根.(3)x 2-4√2x+9=0,∵Δ=b 2-4ac=(-4√2)2-4×1×9=-4<0,∴方程没有实数根.(4)3x 2+10=2x 2+8x ,即x 2-8x+10=0,∵Δ=b 2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0,∴方程有两个不相等的实数根.12.解:(1)∵a=1,b=-5,c=4,∴Δ=b 2-4ac=(-5)2-4×1×4=9>0,∴x=5±√92=5±32,∴x 1=1,x 2=4. (2)∵a=1,b=3,c=0,∴Δ=b 2-4ac=32-4×1×0=9>0,∴x=-3±√92×1,∴x 1=0,x 2=-3.(3)∵a=2,b=-3,c=98,∴Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×2×98=9-9=0, ∴x=-(-3)±√02×2,∴x 1=x 2=34. (4)∵a=2,b=-3√3,c=3,∴Δ=b 2-4ac=(-3√3)2-4×2×3=3>0,∴x=3√3±√32×2=3√3±√34, ∴x 1=√3,x 2=√32.(5)移项,得0.3y 2+y-0.8=0.∵a=0.3,b=1,c=-0.8,∴Δ=b 2-4ac=12-4×0.3×(-0.8)=1.96>0,∴y=-1±√1.962×0.3=-1±1.40.6, ∴y 1=23,y 2=-4.(6)原方程可化为6x 2-13x+6=0.∵a=6,b=-13,c=6,∴Δ=b 2-4ac=(-13)2-4×6×6=25>0,∴x=13±√252×6=13±512, ∴x 1=32,x 2=23.(7)原方程可化为3x 2+10x-8=0,∵a=3,b=10,c=-8,∴Δ=b 2-4ac=102-4×3×(-8)=196>0,∴x=-10±√1966, 即x=-5±73,∴x 1=23,x 2=-4.13.解:(1)证明:∵m ≠0,Δ=[-(m-2)]2-4m ×(-2)=m 2-4m+4+8m=m 2+4m+4=(m+2)2≥0, ∴方程一定有实数根.(2)由(1)易得x=m -2±(m+2)2m ,∴x 1=1,x 2=-2m , 当整数m 取±1,±2时,x 2为整数.∵方程有两个不相等的整数根,∴-2m ≠1,∴m ≠-2,∴整数m 的值为-1,1,2.14.解:(1)△ABC 是直角三角形.理由:∵原方程有两个相等的实数根,∴(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,∴4b2-4a2+4c2=0,∴a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形.(2)∵△ABC是等边三角形,∴a=b=c.∵(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,∴2ax2+2ax=0,而a≠0,∴x2+x=0,解得x1=0,x2=-1.15.[解析] (1)整理根的判别式,得到它是非负数即可.(2)分b=c,b=a两种情况.解:(1)∵Δ=[-(k+2)]2-8k=(k-2)2≥0,∴无论k取何值,这个方程一定有实数根.(2)①若b=c,则Δ=0,即(k-2)2=0,∴k=2,∴方程可化为x2-4x+4=0,∴x1=x2=2,则b=c=2,∴△ABC的周长为5;②若b=a=1(或c=a=1),则1是方程x2-(k+2)x+2k=0的一个根.把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0,得1-(k+2)+2k=0,解得k=1,∴原方程可化为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,∴a=b=1,c=2(或a=c=1,b=2),此时不满足三角形的三边关系,舍去.综上所述,△ABC的周长为5.。
找最大公因数和最小公倍数的几种方法
找最大公因数和最小公倍数的几种方法最大公因数和最小公倍数是数学中常见的概念，它们分别用于求两个或多个数之间的共同约数和共同倍数。
下面我将为你介绍最大公因数和最小公倍数的几种计算方法。
一、最大公因数的计算方法：1.1质因数分解法：最大公因数可以通过将给定的两个或多个数分解质因数，找出它们的共同质因数，然后将这些质因数相乘得到最大公因数。
例如，求30和45的最大公因数：30=2×3×545=3×3×5它们的共同质因数是3和5，相乘得到最大公因数为151.2辗转相除法：辗转相除法又称为欧几里德算法，通过反复用两个数的较小数去除较大数，将余数作为新的两个数进行除法运算，直到余数为0，此时较小的那个数就是最大公因数。
例如，求56和72的最大公因数：72÷56=1余1656÷16=3余816÷8=2余0因此，最大公因数为81.3短除法：短除法是一种直观简便的方法，它通过反复用一个数去除另一个数，将余数作为新的两个数进行除法运算，直到余数为0，此时最后一次相除的除数就是最大公因数。
例如，求64和96的最大公因数：96÷64=1余3264÷32=2余0因此，最大公因数为32二、最小公倍数的计算方法：2.1质因数分解法：最小公倍数可以通过将给定的两个或多个数分解质因数，找出它们的所有质因数，并将每个质因数的最大次数相乘得到最小公倍数。
例如，求6和10的最小公倍数：6=2×310=2×5它们的所有质因数是2、3和5，它们的最大次数分别是1、1和1，因此最小公倍数为2×3×5=30。
2.2公式法：最小公倍数可以通过两个数的乘积除以它们的最大公因数来计算。
例如，求12和15的最小公倍数：最大公因数为3，乘积为12×15=180最小公倍数=乘积÷最大公因数=180÷3=602.3短除法：短除法也可以用于计算最小公倍数。
2.3 公式法(2) (1)
上课时间:
2014年9月
温故复习（2分钟）
1.一元二次方程的求根公式是什么？ 用公式法解一元二次方程的步骤是怎 样的？ 2.当b ²-4ac的符号怎样时，方程有两个 不相等的实数根？有两个相等的实数 根？没有实数根？
学习目标（1分钟）
2. 方程 x kx 1 0 的根的情况是（C） A.只有一个实数根 B.有两个实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
2
3.关于X的一元二次方程 x 2 x m 0 有两个实数根，则m的取值范围是 m 1
2
4. （P44随堂练习）帮小颖列出方程并求解。
解：依题意得，
解 : 设这两位数的个位数字为x, 根据题意, 得
x 10x 3 x. 2 整理得x 11x 30 0.
2
解得x1 5, x2 6.
x 3 5 3 2, 或x 3 6 3 3.
答 : 这个两位数为25, 或36.
2 .将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
有两个实数根. 1 k 变:当k______ 4 时,关于x的方程kx²+x-1=0有 实数根.
3.三角形两边长分别是6和8，第三边长是一元二次方
程x2-16x+60=0的一个根，则三角形面积是（ D ）
A 24
C 48
B 24或 8 5
D 8 5
选做：
1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位 数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
2.3用公式法求解一元二次方程(3)
第二章一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程课题§ 2.3 用公式法求解一元二次方程教学目标（一）教学知识点1 •一元二次方程的求根公式的推导.2 •会用求根公式解一元二次方程.（二）能力训练要求1 •通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力.2 •会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程.（三）情感与价值观要求通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯. 教学重点一元二次方程的求根公式教学难点求根公式的条件：b2-4ac > 0教学方法讲练相结合教具准备投影片五张第一张：复习练习（记作投影片§ 2 • 3A第二张：试一试（记作投影片§ 2. 3B）第三张：小亮的推导过程（记作投影片§ 2・3 C）第四张：求根公式（记作投影片§ 2 • 3 D）第五张：例题（记作投影片§ 2・3 E）教学过程1・巧设现实情景，引入课题［师］我们前面学习了一元二次方程的解法•下面来做一练习以巩固其解法. （出示投影片§ 2. 3 A）1 .用配方法解方程2X2-7X+3 = 0.［生甲］解：2x-7x+3 = 0,7 3两边都除以2,得X 2 -X+ 2 = 0・7 3移项，得；X2- 2 X=- 2 •7 7 3 7配方，得X- 2 x+(- 4 ) = - 2 +(- 4 )•两边分别开平方，得7 5X- 4 =± 47 5 7 5 即 x- 4 = 4 或 x- 4 =- 4 -1二 x i =3, X 2= 2 •［师］同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习. (出示投影片§ 2. 3 B)、_fx 、_fx .r 1 Z~1试一试，冃疋仃：1 .用配方法解下列关于 x 的方程：2 2(1) x +ax = 1; (2)x +2bx+4ac = 0. ［ 生乙］(1)解 x +ax = 1,a a配方得 x?+ax+( 2 )2= 1+( 2)2,, 2a c 4 a (x+2 )2= 4 •两边都开平方，得-a - /4 a 22=22［ 生丙］(2)解 x -2bx+4ac = 0, 移项，得 x 2+2bx = -4ac . 配方，得 x -2bx+b = -4ac+b , 2 2(x+b) =b -4ac . 两边同时开平方，得 x+b =± . b 2 - 4ac ,即 x+b = .b 2 -4ac , x+b = - b 2 -4ac ••• x 1=-b+、b 2 —4ac , x 2= -b- ，b 2 —4ac ［生丁］老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到 (x+b) 2= b 2-4ac .根据平方根的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在 b 2-4ac > 0时，才可以用开平方法解出来.所以，在这里应该加一个条件：b 2-4ac > 0.［ 师］噢，同学们来想一想，讨论讨论，戊同学说得有道理吗 ？［生齐声］戊同学说得正确.因为负数没有平方根，所以，解方程x 2+2bx+4ac = 0时，必须有条件：b 2-4ac >0,才有丁同学求出的解.否则，这个方程就没有实数解. ［师］同学们理解得很正确，那解方程x 2+ax = 1时用不用加条件呢？4 a 22a即 x+ 2 =.4 a22旦...4 a 2 x+ 2 =--22…X 1 =-a 4 a 22x+［生齐声］不用. ［师］那为什么呢？数，所以就不必加条件了.［师］好，从以上解题过程中， 我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同 的•因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程 ax 2+bx+c = 0（a 工0），得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多.这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式.n.讲授新课［师］刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程， 那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax 2+bx+c = 0（a 丰0）呢？大家可参照解方程 2X 2-7X +3 = 0的步骤进行. ［生甲］因为方程的二次项系数不为 1，所以首先应把方程的二次项系数变为1,即方程两边都除以二次项系数 a ,得2b c x + x =0.a a［ 生乙］因为这里的二次项系数不为 0，所以，方程 ax 2+bx+c = 0（a 工0）的两边都除以a时，需要说明a 工0.［师］对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为 0,所以无需特殊说明，而方程 ax 2+bx+c = 0（a 工0）的两边都除以a 时，必须说明a ^0.好，接下来该如何呢？ ［生丙］移项，得x 2+b x 二--a a2 b / b 、2 c / b 、2配万，得x + x （）（）,a 2a a 2a［师］这时，可以直接开平方求解吗 ？［ 生丁］不，还需要讨论.因为0,所以4a 2>0.当b 2-4ac >0时，就可以开平方. 2恒成立，所以只需 b-4ac 是非负数即可.大家来想一想，讨论讨论:2［师］当 b-4ac > 0 时,生齐声］因为把方程 a2 2x +ax = 1配方变形为(x+ ~2 )=，右边就是 个正（x+却b 2-4ac 4a 2［师］对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数,即要求b 2「4ac4a22>0.因为 4a >0因此, 方程(x+ —)2=2ab 2-4ac4a 2的两边同时开方，得2ab 2-4ac 4a 2b 2-4ac 4a 22、b -4ac2ab 2-4ac 2a所以 x+A=± b _4ac2a2a- b 二.b 2- 4ac2ax+A = ±22a ", 4a 2b 2-4ac 丄 b 2-4ac _______ = ± __________2|a|因为式子前面有双重符号“土”，所以无论 a>0还是a<0,都不影响最终的结果：土x 2+b xai2a 丿b 9 b 2-4ac—（x 丁 —） 2 2a 2a 4a如果- 、b 2 - 4ac - 0这样，我们就得到一元 2次方程 ax +bx+c = 0（a 丰0）的求根公式:x 「b b 2-4ac （b 2-4ac , 0）,2a即（出示投影片§ 2. 3 D ） 一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c = 0（a 丰0），当b 2-4ac > 0时，它的根是一 b ± lb 2 - 4ac x=—2a[ 师]用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.（Solving by formular ）由此我们可以看到：一元二次方程 ax 2+bx+c = 0（a 丰0）的根是由方程的系数 a 、b 、c 确 定的.因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在 b 2-4ac >0的前提条件下，把各项系数 a 、b 、c 的值代入，就可以求得方程的根. 2 2 注：（1）在运用求根公式求解时，应先计算 b -4ac 的值；当b-4ac > 0时，可以用公式求出两个不相等的实数 解；当b 2-4ac v 0时，方程没有实数解•就不必再代入公式计算了.a 、 x=-A ±*2-4眩2a2a好，我们来看小亮的推导过程.（出示投影片§ 2. 3 C ）两边都除以a >配方-- T(2) 把方程化为一般形式后，在确定 a 、b 、c 时，需注意符号.［来源:学科网］接下来，我们来看一例题.(出示投影片§ 2. 3 E) ［例题］解方程X 2-7X -18 = 0.分析：要求方程 X 2-7X -18 = 0的解，需先确定a 、b 、c 的值.注意a 、b 、c 带有符号 解：这里 a = 1, b = -7 , c = -18 .••• b 2-4ac=(-7) 2-4 x 1 x (-18)=121> 0,7 - . 121 7 _11 • X= 2 1— 52却 X 1 = 9, X 2 = -2 .［师］好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤. ［师生共析］其一般步骤是： (1) 把方程化为一般形式，进而确定a 、b ,c 的值.(注意符号)(2) 求出b 2-4ac 的值.(先判别方程是否有根)(3)在b 2-4ac > 0的前提下，把a 、b 、c 的直代入求根公式， 求出 ——b 一 4ac 的值,2a最后写出方程的根.［师］接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法. 川.课堂练习 (一) 课本P 43随堂练习1、2、3 (二)看课本P41〜P43，然后小结.W.课时小结这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法一一公式法. (1) 求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用.对于 a 工0, b 2-4ac> 0以及由a 丰0,知4a 2>0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理.(2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a 、b 、c 的数值以及计算b 2-4ac 的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程.V. 课后作业(一)课本P43习题2. 5 1、2 ( 二)预习内容：P44W. 活动与探究1 .阅读材料，解答问题： 阅读材料：为解方程(X 2-1) 2-5(X 2-1)+4 = 0，我们可以将(X 2-1)视为一个整体，然后设 X 2-1 = y ,则 (X 2-1) 2 = y 2，原方程化为 y 2-5y+4=0 .①解得 y 1=4, y 2= 1.2当 y 1 = 4 时，X -1 = 4, ••• X 2 = 5,二 X =± 一 5 .2当 y = 1 时，X -1 = 1, • X 2 = 2,「. X = ± 2 .x 3= 5 , X 4=- 5.解答问题： (1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 _________ 法达到了降次的目的，体现了 _________ 的 数学思想. (2)解方程 x 4-x 2-6 = 0.［ 过程］通过对本题的阅读，让学生在获取知识的同时，来提高学生的阅读理解和解 决问题的能力. ［结果］解：(1)换元转化 (2) 设 x 2 = y ,则 x 4=y 2, 原方程可以化为y2-y-6 = 0. 解得 y i =3, y 2= -2 .当 y i =3 时，x 2 = 3,. x =± . 3 . 当y 2= -2时，x 2=-2，此方程无实根. 原方程的解为x i = •、3 , X 2= - . 3 .板书设计§ 2 . 3公式法2、解：2x-7x+3 = 0, 两边都除以2，得27 3 x - x =0.2 2移项，得27 3 x - x .22配方，得.x i =3, X 2= 1 .X 2-］（三）22472（X-”25416两边分别开平方,2二、求根公式的推导三、课堂练习四、课时小结五、课后作业。
2.3.2用公式法求解一元二次方程应用上课课件
未必符合实际问题，因此，解完一元二次方程之后，要把不
符合实际问题的解舍去．
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
探究问题二
利用一元二次方程解决几何问题
例2 如图2－3－3，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边 AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m． 若矩形的面积为4 m2，请你计算AB的长度．(可利用的围墙 长度超过6 m)
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
复习回顾
一般地,对于一元二次方程
2
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
当b 4ac 0时, 它的根是 : b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 (solving by formular). 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值. 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
2
特别注意:当
b 4ac 0
2
时无解;
2
b b 4ac , 3、代入求根公式 : x 2a
x2 . 4、写出方程的解： x1、
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
例：在一块长16m，宽12m的矩 形荒地上，要建造一个花园，要 求花园面积是荒地面积的一半， 下面分别是小明与小颖的设计方 案
(1)你认为小明的结果对吗?请说 明理由。 (2)请你帮助小颖求出图中的x(精 确到0．1m)。 (3)你还有其他的设计方案吗?请 画出你所设计的草图，并加以说 明。
《一元二次方程的解法》公式法优秀获奖教案
按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。
2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。
从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。
本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
2.2 一元二次方程的解法2.2.2 公式法教学目标1、理解求根公式法与配方法的联系.2、会用求根公式法解一元二次方程.3、注意培养学生良好的运算习惯.重点难点重点：会运用求根公式法解一元二次方程.难点：由配方法导出一元二次方程的求根公式.教学过程（一）创设情境由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果．（二）探究新知按课本P．16的方式引导学生，用配方法导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-40c≥0时的求根公式为：a acbbx24 2-±-= (b2-4ac≥0).并让学生知道，运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫公式法.（三）讲解例题1、展示课本P．16~P．17例10(1)，(2)，按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒学生注意a，b，c的符号.2、引导学生完成P．17例10(3)的填空，并提醒学生在确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式.3、引导学生归纳用公式法解一元二次方程的基本步骤：首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解. （四）应用新知课本P．18练习，第(1)~(4)题.（五）课堂小结1、熟记一元二次方程的求根公式，并注意公式成立的条件：a≠0，b2-4a c≥0.2、熟悉用公式法解一元二次方程的基本步骤.3、公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一元二次方程.[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
2.3.1用公式法解一元二次方程 课件(共20张PPT)
典例精讲
【题型三】公式法的应用
例 4：已知等腰三角形的一腰长为x，周长为 20，则方程x²12x+31=0的根为 6+ 5
.
例 5：若x²+3xy-2y²=0，则
点拨：方程两边同时乘
=
,得
− ±
.
+ × − = ,
设 = ,则 ² + − = ,
(2)确定 a、b、c的值;
(3)计算b²-4ac的值;
(4)当b²-4ac≥0时，把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方
程的根;当b²-4ac <0时,方程没有实数根.
注意： 虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非
是最简单的，一定要注意方法的选择.
典例精讲
例 1：
【题型一】公式法解一元二次方程的逆用及根的判别式
典例精讲
【题型二】已知方程根的情况求参数的值或取值范围
例 2：若关于x的一元二次方程 − ² + + = 有两个相
等的实数根，则点P(m-3,-m+4)在第 二
象限.
例3：已知关于x的方程 − ²² + + + =
有实数根，则 k的取值
范围是 k≥ .
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法解一元二次方程
1.通过阅读课本学生可以利用公式法解数字系数的一元二次方程，
并会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，全面提高
学生解方程的能力.
2.通过阅读课本学生可以用配方法推导求根公式，培养学生推理
2.3用公式法求解一元二次方程(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的公式法求解。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，它在数学和物理学等多个领域有着广泛的应用。公式法求解是通过判别式来判断方程的根的情况，并利用特定公式来求解。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设有一个物体自由落下，不计空气阻力，我们如何根据下落时间和重力加速度来计算落地时的速度？通过公式v^2 = 2gh，我们可以将这个问题转化为一元二次方程的求解。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“一元二次方程在工程学中如何应用？”
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
2.3用公式法求解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节选自教材第二章第三节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a, b, c是常数且a ≠ 0）。
2.求解一元二次方程的公式：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a。
4.通过小组合作与交流，培养学生的团队协作能力和表达沟通能力，增强合作意识与集体荣誉感。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：一元二次方程的公式法求解过程及其应用。
-公式法求解一元二次方程的一般步骤，包括确定a、b、c的值，计算判别式b^2 - 4ac，根据判别式的值选择合适的求解方法。
-应用公式法解决实际问题，如物体自由落体运动、投资收益计算等。
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16
1.必做: 完成教材P43习题2.5 T2 2.补充: 请完成《点拨训练》P33对应习题
17
（来自《教材》）
6
知2－讲
(2)4x2＋1＝4x.
(2)将原方程化为一般形式，得4x2－4x＋1＝0.
这里a＝4，b＝－4，c＝1.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝0，
∴x＝
(4) 0 = 1 ， 2×4 2
即
x1＝x2＝
1. 2
（来自《教材》）
7
知2－讲
例2 用公式法解下列方程： （1）x2－4x－7＝0； （2） 2x2－ 2 2x＋1＝0； （3） 5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x.
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
第2课时 公式法
1
1 课堂讲解 一元二次方程的求根公式
用求根公式解方程
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
2
知识点 1 一元二次方程的求根公式
知1－讲
求根公式的定义：
当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根
可写为 x b b2 4ac 2a
Δ＝b2－4ac＝(2 2 )2－4×2×1＝0.
方程有两个相等的实数根
x1
x2
b 2a
2 2 22
2 .
2
知2－讲
9
知2－讲
（3）方程化为5x2－4x－1＝0.
a＝5，b＝－4，c＝－1.
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.
方程有两个不等的实数根
b b2 4ac (4) 36 4 6
公式求解，当b2－4ac＜0时，方程无实数解．
（来自《点拨》）
5
知2－讲
例1 解方程：
(1)x2－7x－18＝0； (2)4x2＋1＝4x.
解：(1)这里a＝1，b＝－7，c＝－18.
∵b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝121>0，
∴x＝ 7± 121 = 7±11，
2×1
2
即 x1＝9，x2＝－2.
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋ c＝0的求根公式．求根公式表达了用配方法解 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果.
3
知1－练
1 方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值
分别为1、－4
C．3、－4、－1
D．－1、3、－4
2 一元二次方程 2x2 4 3x 2 2 中，b2－4ac
x
.
2a
25
10
即
x1
1,
x2
1 5
.
10
（4）方程化为x2－8x＋17＝0. a＝1，b＝－8，c＝17. Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0. 方程无实数根．
知2－讲
11
归纳
知2－讲
用公式法解一元二次方程时，应首先将方程 化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系 数及常数项，在确定了a，b，c后，先计算b2－4ac 的值，当b2－4ac≥0时，再用求根公式解．
解：（1）a＝1，b＝－4，c＝－7.
确定a，b， c的值时， 要注意它 们的符号.
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0.
方程有两个不等的实数根
8
b b2 4ac x
2a (4) 44 2 11,
21 即
x1 2 11, x2 2 11.
（2）a＝2，b＝ 2 2 ，c＝1.
（来自《点拨》）
12
知2－练
1 一元二次方程 x2 2 2x 6 0 的根是( C ) A．x1 x2 2 B． x1 0, x2 2 2 C．x1 2, x2 3 2 D．x1 2, x2 3 2
（来自《典中点》）
13
知2－练
2 已知4个数据：－ 2 ，2 2 ，a，b，其中a，
的值应是( A )
A．64
B．－64
C．32
D．－32
（来自《典中点》）
4
知识点 2 用求根公式解方程
知2－讲
用求根公式解一元二次方程的一般步骤： (1)把一元二次方程化成一般形式； (2)确定公式中a，b，c的值； (3)求出b2－4ac的值； (4)若b2－4ac≥0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根
b是方程x2－2x－1＝0的两个根，则这4个数
据的中位数是( A )
A．1 C．2
B. 1 2
D. 1 2 2
（来自《典中点》）
14
知2－练
15
用公式法解一元二次方程的“四个步骤”：
(1) 把一元二次方程化为一般形式． (2) 确定a，b，c的值． (3) 计算b2－4ac的值． (4) 当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式，