第8节 函数的连续性与间断点
第八节 函数的连续性与间断点
f (x)
f ( x0 )
则称函数y = f ( x)在 x0点连续. x0称为f (x)的连续点.
若 f (x) 在点 x0 不连续，则称点 x0为f (x) 的间断点
【注】若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ), 则称函数 y = f (x)在x0
点左连续。
若
lim
x x0
f (x)
小结
1. 函数在一点连续
函数在一点左右连续
2. 区间上的连续函数;
3. 间断点的分类与判别;
间断点 第一类间断点: 可去型,跳跃型. 第二类间断点: 无穷型,振荡型.
作业 P64 习题1-8
2(1) 3(1)
第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性
内容提要
1 连续函数的和、差、积、商的连续性 2.反函数、复合函数的连续性 3.初等函数的连续性
二、函数的间断点
如果函数 f (x) 在点x0 处不连续，就称f (x) 在点 x0 处间断，x x0 点称为函数 f (x)的间断点或者 不连续点。 由函数连续性定义可知 , f(x) 在点 x0 连续必须
同时满足以下三个条件:
(1) 函数 f (x)在点 x0 有定义; (2) lim f ( x) 存在；
( g( x0 ) 0)
也在点 x0 处连续。
例如, sin x,cosx在(- ,+)内连续,
故 tanx,cot x,secx,cscx 在其定义域内连续.
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 如果函数的区间上单调增加（或单调减少） 且连续，那么他的反函数也在对应的区间上单调 增加（或单调减少）且连续。
教学要求
函数的连续性与间断点
第 一 章 函 数 与 极 限
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
( 3) 虽然在 x x0 有定义 , 且 lim f ( x ) 存在,
x x0
但 lim f ( x ) f ( x0 );
x x0
则 f ( x ) 在 x0 不连续, x0 称为 f ( x ) 的不连续点(间断点).
高 等 数 学
思考与练习
3. 确定函数 f ( x )
第 一 章 函 数 与 极 限
1 1 e
x 1 x
的间断点的类型 .
解
间断点为 x 0 , x 1.
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
因为 lim f ( x ) , 所以 x 0 为无穷间断点 ; x 0
高 等 数 学
一、 函数的连续性
例1
第 一 章 函 数 与 极 限
1 x sin , 试证函数 f ( x ) x 0,
x 0, x 0,
在 x 0处
连续.
证
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
1 因为 lim x sin 0, x 0 x
又 f (0) 0,
由定义2知
lim f ( x ) f (0),
x 0
函数 f ( x ) 在 x 0 处连续.
上一张
下一张
返 回
高 等 数 学
一、 函数的连续性
例2 证明函数 y sinx在 (,)内每一点连续 . 证
第 一 章 函 数 与 极 限
任取 x ( ,),
y sin( x x ) sin x 2 sin
函数的连续性与连续函数的运算
(1).若f (a b) 0，则方程x a sin x b有一个根a b. (2).若f (a b) 0， f (0) f (a b) 0
则函数f *( x)在x 1点处连续.
2
o 1
x2 1 y x 1
x
对于可去间断点，我们可以补充 或改变函数在 使 函数在 x0 点处连续. x0点处的定义， x 1 x 0 x 0 在x = 0处的连续性. 例3 讨论 f ( x ) 0 x 1 x 0 y lim f ( x ) lim ( x 1) 1
例如, y
x ( x 1) ,
2 3
D : x 0, 及x 1,
定义区间： [1, )
四、闭区间上连续函数的性质
定理1 (最值性质) 设函数 f ( x )在闭区间[a , b]上连续，
则f (x)必存在最大值M和最小值m.
从而f (x)在[a, b]上有界. M
m
f ( x1 )
定理 : 函数f ( x)在点x0连续 函数f ( x)在点x0 既左连续又右连续.
x 2, x 0, 例2. 讨论f ( x) 在 x 0处的连续性. x 2, x 0,
x 0
lim f ( x ) lim ( x 2) 2 f (0)
ax 1
f ( x2 ) b x 2
注意 对开区间内的连续函数或闭区间上有间断点的函数， 结论不一定成立.
1 例如， f ( x) ，x (1, 4) x
高等数学-函数的连续性
如果函数()在开区间(, )内连续，且在左端点 =
处右连续，在右端点 = 处左连续，则称函数()在
闭区间[, ]上连续.
10
01 函数连续性的定义
结论
1.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
2.基本初等函数都是其定义域内的连续函数.
3.有理分式函数在其定义域内的每一点处都是连续的.
→0
点0 称为函数()的间断点或不连续点.
14
02 函数的间断点及其分类
间断点分类
间断点
第一类间断点： 在0 处的左右极限都存在
− ) = ( +
(
可去间断点：
0
0
分为：
− ) ≠ ( +
(
0
跳跃间断点： 0
第二类间断点： 在0 处的左右极限至少有一
个不存在
注（1）可以为正值，可以为负值，也可以为零.
（2）记号是一个整体性记号，不是与的乘积.
3
01 函数连续性的定义
1.函数在一点处的连续性
定义1.25 设函数 = ()在点0 的某邻域内有定义，
当自变量有增量时，函数相应地有增量，若
= 0，则称函数 = ()在点0 处连续，0 为
→0
()的连续点.
定义1.26 设函数 = ()在点0 的某邻域内有定义，
若 () = (0 )，则称函数 = ()在点0 处连续.
→0
4
01 函数连续性的定义
结论
函数 = ()在点0 处连续必须满足3个条件：
(1)在点0 的某邻域内有定义；
− () = + () = (0 ).
→0
→0
8 连续函数的运算与初等函数的连续性
x = 0是它的可去间断点
数学分析（ 数学分析（上）
★ 对数函数 y = log a x
在( 0,+∞ )内单调且连续 ;
数学分析（ 数学分析（上）
★ y = x µ = a µ loga x
y = a , u = µ log a x .
u
在(0, + ∞ )内连续 ,
双曲函数及反双曲函数在其R内都是连续函数 双曲函数在其 内都是连续函数. ★ 双曲函数及反双曲函数在其 内都是连续函数. 定理4 定理 (1)基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数 基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数； (1)基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数； (2)一切初等函数在其定义区间内都是连续函数. 2)一切初等函数在其定义区间内都是连续函数. 2)一切初等函数在其定义区间内都是连续函数
的连续性. 究复合函数 f [ g ( x )]与 g[ f ( x )]的连续性
解
f [ g( x )] = sgn(1 + x ) = 1
2
f [ g( x )]在( −∞,+∞)上处处连续
2, x ≠ 0 g[ f ( x )] = 1 + (sgn x ) = 1, x = 0 g[ f ( x)]在(−∞,0) ∪ (0,+∞)上处处连续 −∞
数学分析（ 数学分析（上）
ln(1 + x ) 例如 lim = lim ln( 1 + x ) x →0 x→0 x
x→0
1 x
= ln lim (1 + x )
ln x − ln a (a > 0) 例1 求 lim x →a x−a
1 x
=1
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2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
函数的连续性与间断点(1)
当Q( x0 ) 0时,
都有
lim
x x0
F(x)
F( x0 ),
故有理分式函数在其定义域内每一点连续.
12
么么么么方面
• Sds绝对是假的
例5. 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
证: x (,),
y sin(x x) sin x 2cos(x x ) sin x
2
15
1. 可去间断点 (极限存在的间断点)
例6. 函数 y x2 1 在 x 1 处.
x1
y
在 x 1 处函数 y x2 1 无定义, x1
x 1 是函数的间断点.
o1 x
但 lim x2 1 lim( x 1) 2, x1 x 1 x1
故 x 1为可去间断点.
16
2. 跳跃间断点 (单侧极限存在但不相等的间断点)
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形
之一函数 f (x) 在点 不连续 :
(1) 函数 (2) 函数 (3) 函数
在 x0 无定义 ;
在 虽有定义 , 但 lim f ( x) 不存在; x x0
在 虽有定义 , 且
存在 , 但
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
这样的点 x0 称为间断点 .
x0
x0
要使 f (0 ) f (0 ) f (0) a 1,
故当且仅当a 1时,函数 f ( x)在 x 0处连续.
10
连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数, 或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间(a,b) 内连续, 并且在左端 点 x a 处右连续, 在右端点x b 处左连续,则称 函数 f ( x) 在闭区间[a,b] 上连续.
第8节 函数的连续性与间断点
第八节 函数的连续性与间断点教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。
教学重点：连续的定义，间断点的分类 教学难点：连续的定义，间断点的分类 教学过程：一、函数的连续性对()x f y =，当自变量从0x 变到x ，称0x x x -=∆叫自变量x 的增量，而()()00x f x x f y -+=∆叫函数y 的增量．定义 设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量0x x x -=∆趋于零时，对应的函数的增量()()00x f x x f y -+=∆也趋于零，那么就称函数()x f y =在点0x 连续．它的另一等价定义是：设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，如果函数()x f 当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00lim x f x f x x =→，那么就称函数()x f y =在点0x 连续．下面给出左连续及右连续的概念．如果()()0lim 000-=-→x f x f x x 存在且等于()0x f ，即()()000x f x f =-，就说函数()x f 在点0x 左连续．如果()()0lim 000+=+→x f x f x x 存在且等于()0x f ，即()()000x f x f =+，就说函数()x f 在点0x 右连续．在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续．如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线． 二、函数的间断点设函数()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数()x f 有下列三种情形之一：1．在0x x =没有定义；2．虽在0x x =有定义，但()x f x x 0lim →不存在；3．虽在0x x =有定义，且()x f x x 0lim →存在，但()()00lim x f x f x x ≠→；则函数()x f 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()x f 的不连续点或间断点．下面我们来观察下述几个函数的曲线在1=x 点的情况，给出间断点的分类：在1=x 连续． 在1=x 间断，1→x 极限为2．在1=x 间断，1→x 极限为2． 在1=x 间断，1→x 左极限为2，右极限为1．在0=x 间断，0→x 极限不存在．像②③④这样在0x 点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令()21=y ，则在1=x 函数就变成连续的了；④被① 1+=x y ②112-+=x x y ③ ⎩⎨⎧≥<+=1111x x x y ，，④ ⎩⎨⎧≥<+=111x x x x y ，，⑥ x y 1sin =称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥称作震荡间断．就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()x f 的间断点，但左极限()00-x f 及右极限()00+x f 都存在，那么0x 称为函数()x f 的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点．例1 确定a 、b 使⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,1sin 0,0,sin )(x b x x x a x xxx f 在0=x 处连续．解：)(x f 在0=x 处连续)(lim 0x f x +→⇔)(lim 0x f x -→=)0(f =因为b b x x x f x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++→→1sin lim )(lim 00；1sin lim )(lim 00==--→→x x x f x x ；a f =)0(所以1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续． 例2 求下列函数的间断点并进行分类1、11)(2+-=x x x f 分析：函数在1-=x 处没有定义，所以考察该点的极限．解：因为 2)1(lim 11lim 121-=-=+--→-→x x x x x ，但)(x f 在1-=x 处没有定义所以 1-=x 是第一类可去间断点．2、⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,1,0,1sin)(x x xx x f 分析：0=x 是分段函数的分段点，考察该点的极限．解：因为 01sin lim 0=→x x x ，而1)0(=f所以 0=x 是第一类可去间断点．总结：只要改变或重新定义)(x f 在0x 处的值，使它等于)(lim 0x f x x →，就可使函数在可去间断点0x 处连续．3、⎩⎨⎧<-≥+=.0,1,0,1)(x x x x x f分析：0=x 是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右极限．解：因为1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ；1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x所以 0=x 是第一类跳跃间断点．4、x x f 1arctan)(=分析：函数在0=x 处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限．解：因为21arctan lim )(lim 0π==++→→x x f x x ；21arctan lim )(lim 00π-==--→→x x f x x所以 0=x 是第一类跳跃间断点．5、xe xf 1)(=解：因为 +∞==++→→xx x e x f 10lim )(lim所以 0=x 是第二类无穷间断点6、x x f 1sin)(=解：x x f x x 1sinlim )(lim 0→→= 极限不存在所以 0=x 是第二类振荡间断点7、求x xx f sin )(=的间断点，并将其分类． 解：间断点：),2,1,0( ±±==k k x π当0=x 时，因1sin lim0=→x xx ，故0=x 是可去间断点．当),2,1( ±±==k k x π时，因∞=→x x k x sin lim π，故),2,1( ±±==k k x π是无穷间断点．小结与思考：本节介绍了函数的连续性，间断点的分类． 1、求nn x xx f 211lim)(++=∞→分析：通过极限运算，得到一个关于x 的函数，找出分段点，判断．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==><<-+=.1,01,11,011,1)(x x x x x x f解：因为00lim )(lim 11==++→→x x x f ；2)1(lim )(lim 11=+=--→→x x f x x所以1=x 是第一类跳跃间断点 因为0)1(lim )(lim 11=+=++-→-→x x f x x ；00lim )(lim 11==---→-→x x x f ；0)1(=-f所以1-=x 是连续点．作业：作业见作业卡。
2011-2012高等数学(5)函数连续
即
x x0
lim f ( x) f ( x0 ).
因此，函数f ( x)在点x0处连续，也可以定义为:
定义
设函数y f ( x)在点x0的某邻域内有定义，如果
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
则称函数f ( x)在点x0 处连续, 并称x0为f ( x)的连续点.
如果函数 f(x) 在开区间(a，b)内的每一点都连续，
第六节
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
三、闭区间上连续函数的性质
一、连续函数的概念 定义 设函数 y=f(x) 在点 x0 的某邻域内有定义，如果
当自变量的增量 x x x0 趋向于零时，相应的函数
增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) 也趋于零，即
f (0) 0
lim f ( x) 0 f (0) ，
x 0
所以 f (x) 在 x = 0 处连续.
sin 2 x , 例2 设函数 f ( x) x a , 求常数 a 的值。
x 0, x0
在 x 0 点处连续.
解
sin 2 x sin 2 x lim f ( x) lim lim 2 2 x 0 x 0 x 0 2x x
f (0) a
又 f ( x) 在 x 0 处连续.
lim f ( x) f (0)
x 0
a2
二、函数的间断点
定义 如果函数 f ( x) 在点 x0 处不连续，则称 f ( x) 在点
x0 处间断，点 x0 称为函数的间断点 .
f ( x)在x0点连续应同时满足下列三个条件 : (1) f ( x)在点x0处有定义;
高等数学 第八节 函数的连续性
设函数 f (x) 在 (x0– , x0 ] 内有定义. 若 xl ixm 0 f(x)f(x0)
则称 f (x) 在 x0 点处左连续.
其中, 为任意常数.
定理
xl ixm 0 f(x)f(x0)
xl ix 0m f(x)x l ix0 m f(x)f(x0)
x0为函数的.间断点
又 limf(x)lim sin1 不存在,
x0
x0 x
故 x = 0 为函数的第二类间断点.
看看该函数的图形.
y y sin 1
1
x
O
x
1
称x0为f(x)sin 1的振荡型. 间断 x
第 二 类 间 断 点
左右极限至少 有一个不存在
无穷型间断点
左右极限至少有一个为无穷
2、函数连续性的定义 (极限形式)
是整个邻域
定义
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若
xl ix0m f(x)f(x0)
则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.
函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义) (2)xl ixm 0 f(x)a存； 在 (x x0时 , f(x)有极 ) (3 )af(x0).(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)
1x
ysinxC( [ , ] )
yarcxs iC n([1,1])
单调 增加 2 2 单增 调加
3、复合函数的连续性
定理 (复合函数连续性定理)
连续函数的性质
f ( b ) b，证明 ( a, b ), 使得 f ( )
证： 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续，
而 F (a ) f (a ) a 0
F (b) f (b) b 0
由零点定理, ( a, b) 使
ymax 2
ymin 0
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上的连 续函数一定有最大值和最小值。
若 f ( x ) C[a, b], 则 1 , 2 [a, b], 使得 x [a, b], 有 f ( 1 ) f ( x ),
Байду номын сангаас
y
y f ( x)
f ( 2 ) f ( x )
(均在其定义域内连续 ) 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的。 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是
连续的。
定义区间是指包含在定义域内的区间。
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续。
例如,
y cos x 1,
D : x 0,2,4,
这些孤立点的邻域内没有定义。
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
(0,1), 使 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
方程x 3 4 x 2 1 0在( 0,1)内至少有一根
例7 设函数 f ( x )在区间[a, b]上连续 , 且f ( a ) a,
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) f ( ) n
分界点为 x 1
lim f ( x ) lim x 1
第八节函数的连续性与间断点65761
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C [a , b].
例如,
( 有理整函数 )
在
上连续 .
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
只要 Q( x0 )(0, ,都 有),xlixlmimx0x0RP((xx))RP((xx00))
对自变量的增量
有函数的增量
函数 在点 连续有下列等价命题:
任取 x0 ( , ) ,
证明过程
y a x a x0 a x0 (ax 1) , ( x x x0 )
lim ax 1 , lim y 0 ,
x 0
x 0
即 y a x 在 x0 点连续, y a x 在 ( , ) 连续.
例4
y
f
(
x)
x 1
2
, ,
x x0 sin x
可以逐个证明:
lim cos x xx0
lim sin x
x x0
cos x0 sin x0
cot x0 .
( x0 k
)
六种三角函数在其定义域上连续.
例3. 证明指数函数 y a x (a 0 , a 1) 在其定义域内连续.
证 . 我们能够证明 lima x 1 , * (用 定义证) x0
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
lim y 0
x0
lim
x0
f ( x0 x)
f ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
lim y 0 .
x 0
y x
lim y 0 .
y
x0
高等数学-第一章 第八节连续函数
(3) lim f ( x) f ( x0 ) x x0 5
连续函数
注
由上述定义可知, f(x)在x0点的连续性 是描述 f(x)在x0点邻域的性态的. 即它是对 某一邻域而言. 因此在孤立点处无连续可言.
一般讲,证明的命题用函数连续的定 义1方便; 判断函数在某点是否连续, 尤其 是判断分段函数在分界点处是否连续用 定义2方便.
处连续.
证
lim x0
x sin
1 x
0,
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
函数 f ( x)在 x 0处连续.
8
连续函数
3. 左、右连续
若 lim x x0
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 ) ,
则称f ( x)在点x0处左连续(continuity from the
4
连续函数
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论证.
连续性的三种定义形式不同, 但本质相同. 这三种定义中都含有 三个要素:
(1) f (x)在U ( x0 )内有定义;
f (u0 ).
意义 1. 变量代换 u g( x)的理论依据.
2. 在定理的条件下, lim 与f 可交换次序;
16
连续函数
定理3
若 lim x x0
g( x)
u0 , 函数
f
(u)在点u0连续,
则有 lim x x0
f [g( x)]
第八节函数的连续性与间断点
(可 去)
若等于
若不等于 x x0为间断点 x x0为间断点
(第 二 类)
(跳 跃)
x x0为连续点 x x0为间断点(可去)
四、作业
P64 习题1-8， 3,4,6 思考：P65, 5
(0 a 1) y
y ax
y 1
.. 0
y 1
x
ln(1 ) ln(1 )
back
ln a
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U( x0, )内有定义, x U( x0, ), x x x0, 称为自变量在点x0的增量.
y f ( x0 x) f ( x0 ), 称为函数 f ( x)相应于x的增量. y
y f (x)
y
x 0 x0 x0 x x
2.连续的定义
ln a
证 即证 : 0, 0, 使得当 x 0 时, 就有ax a0 .
(1) 设0 a 1
0 (设 1)
要使ax a0 即ax 1 即 1 ax 1
即 ln( 1 ) x ln a ln(1 )
即 ln( 1 ) x ln a ln(1 )
如果函数f ( x)在其定义域内每一点都连续, 则称函数f ( x)为连续函数.
直观上,连续函数的图形是一条连续而不 间断的曲线.
例4 证明函数 y sin x是连续函数.
证 定义域 D (,) 任取一点x0 (,), 任给自变量 x 一个增量 x
相应地, 函数 y sin x 在 x0 点有增量
定义 1 设函数 y f ( x) 在U( x0, ) 内有定义,任给 x
增量x ,相应地 y 有增量 y = f ( x0 x) f ( x0 ) .
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第八节 函数的连续性与间断点
教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连
续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。
教学重点：连续的定义，间断点的分类 教学难点：连续的定义，间断点的分类 教学过程：
一、函数的连续性
对()x f y =，当自变量从0x 变到x ，称0x x x -=∆叫自变量x 的增量，而
()()00x f x x f y -+=∆叫函数y 的增量．
定义 设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量0x x x -=∆趋于零时，对应的函数的增量()()00x f x x f y -+=∆也趋于零，那么就称函数()x f y =在点0x 连续．
它的另一等价定义是：设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，如果函数()x f 当
0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00
lim x f x f x x =→，那么就
称函数()x f y =在点0x 连续．
下面给出左连续及右连续的概念．
如果()()0lim 00
0-=-→x f x f x x 存在且等于()0x f ，即()()000x f x f =-，就说函数()
x f 在点0x 左连续．如果()()0lim 00
0+=+→x f x f x x 存在且等于()0x f ，即()()000x f x f =+，
就说函数()x f 在点0x 右连续．
在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续．如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线． 二、函数的间断点
设函数()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数()x f 有下列三种情形之一：
1．在0x x =没有定义；
2．虽在0x x =有定义，但()x f x x 0
lim →不存在；
3．虽在0x x =有定义，且()x f x x 0
lim →存在，但()()00
lim x f x f x x ≠→；
则函数()x f 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()x f 的不连续点或间断点．
下面我们来观察下述几个函数的曲线在1=x 点的情况，给出间断点的分类：
在1=x 连续． 在1=x 间断，1→x 极限为2．
在1=x 间断，1→x 极限为2． 在1=x 间断，
1→x 左极限为2，右极限为1．
在0=x 间断，0→x 极限不存在．
像②③④这样在0x 点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令()21
=y ，则在1=x 函数就变成连续的了；④被
① 1+=x y ②
11
2-
+=x x y ③ ⎩⎨⎧≥<+=1111x x x y ，，
④ ⎩⎨⎧≥
<+=1
11
x x x x y ，，⑥ x y 1sin =
称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥称作震荡间断．
就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()x f 的间断点，但左极限
()00-x f 及右极限()00+x f 都存在，那么0x 称为函数()x f 的第一类间断点．不是第一类
间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点．
例1 确定a 、b 使⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0
,1
sin 0
,0,sin )(x b x x x a x x
x
x f 在0=x 处连续．
解：)(x f 在0=x 处连续)(lim 0x f x +→⇔)(lim 0x f x -→=)0(f =
因为b b x x x f x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++→→1sin lim )(lim 00；1sin lim )(lim 00==--→→x x x f x x ；a f =)0(
所以1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续． 例2 求下列函数的间断点并进行分类
1、
11
)(2+-=
x x x f 分析：函数在1-=x 处没有定义，所以考察该点的极限．
解：因为 2)1(lim 11lim 1
21-=-=+--→-→x x x x x ，但)(x f 在1-=x 处没有定义
所以 1-=x 是第一类可去间断点．
2、
⎪⎩⎪⎨⎧
=≠=.0,1,0,1sin
)(x x x
x x f 分析：0=x 是分段函数的分段点，考察该点的极限．
解：因为 0
1
sin lim 0=→x x x ，而1)0(=f
所以 0=x 是第一类可去间断点．
总结：只要改变或重新定义)(x f 在0x 处的值，使它等于)(lim 0x f x x →，就可使函数在可去间
断点0x 处连续．
3、
⎩⎨
⎧<-≥+=.0,1,0,1)(x x x x x f
分析：0=x 是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右极限．
解：因为
1)1(lim )(lim 0
0=+=+
+
→→x x f x x ；1)1(lim )(lim 0
0-=-=-
-
→→x x f x x
所以 0=x 是第一类跳跃间断点．
4、
x x f 1
arctan
)(=
分析：函数在0=x 处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限．
解：因为
21arctan lim )(lim 0
π==+
+→→x x f x x ；21arctan lim )(lim 00π
-
==--→→x x f x x
所以 0=x 是第一类跳跃间断点．
5、x
e x
f 1
)(=
解：因为 +∞==+
+
→→x
x x e x f 1
0lim )(lim
所以 0=x 是第二类无穷间断点
6、
x x f 1sin
)(=
解：x x f x x 1
sin
lim )(lim 0
→→= 极限不存在
所以 0=x 是第二类振荡间断点
7、求
x x
x f sin )(=
的间断点，并将其分类． 解：间断点：),2,1,0( ±±==k k x π
当0=x 时，因1
sin lim
0=→x x
x ，故0=x 是可去间断点．
当),2,1( ±±==k k x π时，因∞=→x x k x sin lim π，故),2,1( ±±==k k x π是无穷
间断点．
小结与思考：
本节介绍了函数的连续性，间断点的分类． 1、求
n
n x x
x f 211lim
)(++=∞→
分析：通过极限运算，得到一个关于x 的函数，找出分段点，判断．
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-==><<-+=.1,
01,11,011,1)(x x x x x x f
解：因为00lim )(lim 1
1==+
+
→→x x x f ；2)1(lim )(lim 1
1=+=-
-
→→x x f x x
所以1=x 是第一类跳跃间断点 因为0
)1(lim )(lim 1
1=+=++
-→-→x x f x x ；0
0lim )(lim 1
1==--
-→-→x x x f ；0)1(=-f
所以1-=x 是连续点．
作业：作业见作业卡。