总体均值的区间估计

X
总体分布
上述结论是对正态总体而言的，不过实际上，
即使对于非正态总体而言，随着样本容量的 增加，的抽样分布也会近似地变成正态的。 事实上，只要样本足够大（通常要求样本容 量不小于45），即使是从非正态分布的总体 中抽样，根据统计学中的中心极限定理，样 本均值的抽样分布与从正态分布总体中的抽 样所得到的结果也近似相同。
1 2 3 4

2
2 ( x ) i i 1
N
1.25
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件 下，共有42=16个样本。所有样本的结果为
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个 观察值 1 2 第二个观察值
1
1,1 2,1
2
1,2 2,2
3
1,3 2,3
4
用来估计总体参数的统计量的名称，称为估
计量，用符号 表示 用来估计总体参数时计算出来的估计量的具 体数值，称为估计值
3、抽样分布
1）样本统计量的概率分布，是一种理论分布在重复
选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可 能取值形成的相对频数分布 2）样本统计量是样本的函数，依据不同的样本计算 出来的值是不同的所以统计量是随机变量 样本均值, 样本比例，样本方差等
3）结果来自容量相同的所有可能样本 4）提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推
二、抽样方法
根据抽取样本的原则不同，抽样方法有概率
抽样和非概率抽样。 概率抽样的常用方法有： 1、 简单随机抽样 2、 分层抽样 3、 整群抽样
1、简单随机抽样
①从总体 N 个单位中随机地抽取 n 个单位作为
样本，使得每一个容量为n的样本都有相同的 机会(概率)被抽中
②抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样 ③特点:简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中
总体中具有某种属性的单位数与总体全部单
位数之比称为总体比例，也称总体的成数， 记作 P。而样本中具有某种属性的单位数与 样本总数之比称为样本比例，或称样本成数， 记作 p 。
若从总体中随机抽取出容量为n的样本，发现
其中具有某种属性的单位数为m，则样本中 具有某种属性的单位的比例就为 p=m/n
样本比例是一个随机变量，当样本容量很大
时，近似地服从正态分布。其分布的数学期 望为总体的成数 P ，方差等于P1－P n，即：
p ~ N P,P1－P n
第二节 参数估计的基本方法
参数估计也就是用样本统计量去估计总体的
参数。比如，用样本均值估计总体均值估计 总体均值，用样本方差估计总体方差，用样 本比例估计总体比例等。
3、整群抽样
①将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时
直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全 部实施调查 ②特点
抽样时只需群的抽样框，可简化工作量 调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查 的实施 缺点是估计的精度较差
三种不同性质的分布
三者之间有什么关 系
？
1、总体分布
2、样本分布
3.0 3.5
2.5
0.1
3.0
0
3.5 4.0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
x
样本均值的抽样分布
样本均值的分布与总体分布的比较

小有关 .3 总体分布
.2 .1 0 1 2 3
x的分布形式与原有总体和样本容量n的大
.3
.2 .1 P(x)
抽样分布
4
0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
总结：样本均值的抽样分布
样本均值的数学期望仍为μ 样本均值的方差（方差的概率意义在于刻画 了随机变量取值的分散程度。方差越小，随 随机变量的取值越集中在期望值附近。）

重复抽样 不重复抽样
2 x
2
n

2 x
2 N n
n N 1
（2）样本比例的抽样分布
抽取样本 ④局限性 当 N 很大时，不易构造抽样框，抽出的单位很分 散，给实施调查增加了困难，没有利用其他辅助 信息以提高估计的效率
2、分层抽样
①将抽样单位按某种特征或某种规则划分为
不同的层，然后从不同的层中独立、随机地 抽取样本 ②优点
保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高 估计的精度 组织实施调查方便 既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标 量进行估计
第十章 抽样与抽样分布
第一节 抽样与抽样分布
第二节 参数Leabharlann Baidu计的基本方法 第三节 总体参数的区间估计
第一节 抽样与抽样分布
一、抽样判断
二、抽样方法 三、抽样分布
一、抽样判断
◆什么叫抽样判断 从所研究的总体全部元素（单位）中抽取一 部分元素（单位）进行调查，并根据样本数 据所提供的信息来推断总体的数量特征叫样 本推断。
= 2.5
σ2 =1.25
x 2.5
x2 0.625
2 n 当总体服从正态分布N(μ, ) 时，样本均值的抽
样分布仍然是服从正态分布的，其均值仍为 μ ， 2 n 方差为 ，即样本均值的方差比原总体的方差 要小，而且样本容量n越大，方差越小。
2 =1.25
= 2.5
1,4 2,4
3
4
3,1
4,1
3,2
4,2
3,3
4,3
3,4
4,4
计算出各样本的均值，如下表。并给 出样本均值的抽样分布
16个样本的均值（ x
第一个 观察值
x
n
）
0.3
P(x)
第二个观察值 1 2 3 4
0.2
1 2
3 4
1.0 1.5
2.0 2.5
1.5 2.0
2.5 3.0
2.0 2.5
断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据
(1)总体分布、样本均值的抽样分布
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总 体单位数N=4。4 个个体分别为 x1=1，x2=2 ，x3=3，x4=4 。总体分布、总体的均值、方 差及分布如下 N
总体分布
.3 .2
N

x
i 1
i
N
2.5
.1 0
3、抽样分布
1、总体分布
1）总体中各元素的观察值所形成的相对频数
（频率）分布 2）分布通常是未知的(因为几乎得不到总图 所有观察值) 3）可以（根据理论分析）假定它服从某种分 布 总体
2、样本分布
1）一个样本中各观察值的形成的相对频数
（频率）分布 2）也称经验分布 3）当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐 接近总体的分布