总体均值的区间估计
区间估计
常见形式
间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差” “总体均值”的区间估计
总体均值：μ 总体方差：σ 样本均值：x =(1/n）×Σ（Xi) 样本方差：s =(1/(n-1））×Σ（Xi-x)^2 符号假设置信水平：1-α 显著水平：α
已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n），如何估计总体的均值? 首先，引入记号： 区间估计σ'=σ/sqrt(n) s'=s/sqrt(n) 然后，分情况讨论： 情况1 小样本（n<30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况2 小样本（n<30），σ未知，此时区间位于 x ± t（α/2）×s' 区间估计情况3 大样本（n≥30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况4 大样本（n≥30），σ未知，此时区间位于 x ± z（α/2）×s' 其中， z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位数 t（α/2）表示：T分布的水平α的分位数
置信区间
区间估计有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏 性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率， 则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述 数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即 当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。
吴喜之-统计学基本概念和方法-总体参数的区间估计
x
s
n
15
2
53.87
样本标准差 误差边际
( x x)
n 1
s 6.82 x t 2 2.145* 3.78 n 15
651.73 6.82 14
95%的置信区间为
53.87 ±3.78
即（50.09，57.65）天。
确定样本容量
确定样本容量 误差边际 Z x 2 n
根据选择的在 x1 、x2 、x3
位置的样本均值建立的区间
x 的抽样分布
x 2
95%的所有x的值
3.92 3.92
x1
基于x2 3.92的 区间
基于x1 3.92的 区间
x3
x2
基于x3 3.92的区间(该区间不包含)
上图中，有95%的样本均值落在阴影部分，这个区域的样本 均值±3.92的区间能够包含总体均值。
因此，总体均值的区间的含义为，我们有95%的把握认为， 以样本均值为中心的±3.92的区间能够包含总体均值。 通常，称该区间为置信区间，其对应的置信水平为 1 置信区间的估计包含两个部分：点估计和描述估计精确度 的正负值。也将正负值称为误差边际或极限误差，反映样本估 计量与总体参数之间的最大误差范围。 总结： 已知时的大样本下的区间估计
•
•
q=1-p
n表示样本容量（试验重复次数）
总体比率的区间估计
• 以比率的抽样分布为理论依据，按一定的概
率要求估计总体比率的所在范围就叫做总体比率
的区间估计。
正态近似法
• 当样本容量n比较大，np和nq中较小的那个数
等于或大于5时，二项分布已经接近于正态分布，
此时可以按照正态分布来估计总体比率0.95和
第十九讲 正态总体均值及方差的区间估计
第十九讲 正态总体均值及方差的区间估计1. 单个正态总体方差的区间估计设总体),(~2σμN X ， ),,(21n X X X 为来自X 的一个样本，已给定置信度（水平）为α-1，求2σ的置信区间。
①当μ已知时，由于),(~2σμN X i ，因此，)1,0(~N X i σμ-（,2,1=i n , ）。
由2χ分布的定义知：∑=-ni i n X 1222)(~)(χσμ，据)(2n χ分布上α分位点的定义，有：αχσμχαα-=<-<∑=-1)}()()({21222122n X n P ni i从而αχμσχμαα-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-∑∑1)()()()(2112221222n X n X P ni i ni i 故2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==∑∑)()(,)()(211221222n X n X ni i n i i ααχμχμ ②当μ未知时，据抽样分布有：)1(~)1(222--n S n χσ类似以上过程，得到第七章 参数估计第5节 正态总体均值及方差的区间估计单个正态总体均值的区间估计 ①当2σ已知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±2ασz n X （5.1） ②当2σ未知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±)1(2n t n S X α.（5.4）注意：当分布不对称时，如2χ分布和F 分布，习惯上仍然取其对称的分位点，来确定置信区间，但所得区间不是最短的。
αχσχαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---1)1()1()1()1(21222222n S n n S n P 2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 例２ 有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(以克计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 求总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间.解：总体均值μ未知，σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 此时，,975.021,025.02,05.0=-==ααα16=n ，查表得,488.27)15(025.0=χ,262.6)15(975.0=χ由给出的数据算得.4667.382=s 因此，σ的一个置信度为0.95的置信区间为（4.58，9.60）.2. 两个正态总体均值差的区间估计设总体),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，),,(21m X X X 来自X 的一个样本，),,,(21n Y Y Y 为来自Y 的一个样本，且设2221,,,S S Y X 分别为总体X 与Y 的样本均值与样本方差，对给定置信水平α-1，求21μμ-的一个置信区间。
正态总体均值的区间估计
的下α/2分位数。
实例二
总结词
在未知总体标准差的情况下，可以使用样本标准差来估 计总体均值的区间。
详细描述
当总体标准差未知时，我们可以使用样本标准差来代替总 体标准差进行区间估计。具体来说，对于一个样本容量为n 的随机样本，其样本均值和样本标准差分别为和s。根据中 心极限定理，当样本容量n足够大时，样本均值近似服从正 态分布，其均值和标准差分别为μ和s/√n。因此，可以使 用μ±Zα/2s/√n来估计总体均值的置信区间。
实例三：小样本下的总体均值区间估计
总结词
在小样本情况下，可以使用t分布的性质来估计总体均 值的区间。
详细描述
当样本容量n较小时，样本均值的标准误差较大，使用 正态分布进行区间估计可能不准确。此时可以使用t分布 进行区间估计。具体来说，对于一个自由度为n-1的t分 布，其上侧分位数记为tα/2(n-1)，那么可以使用 μ±tα/2(n-1)s/√n来估计总体均值的置信区间。与正态 分布相比，t分布的尾部更厚，因此在小样本情况下更为 稳健。
THANKS
感谢观看
理论依据
许多统计方法和模型都以正态分布为基础。
实际应用
在自然科学、社会科学和工程领域中，许多 现象都可以用正态分布来描述和分析。
03
总体均值的区间估计方法
样本均值和样本标准差
样本均值
表示样本数据的平均水平，计算公式 为 $bar{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是样 本数量，$x_i$ 是每个样本值。
区间估计的应用
区间估计在统计学、经济学、社会学等领域有着广泛的应用。例如，在市场调查中，通过 抽样调查得到样本数据，然后利用区间估计方法估计总体市场占有率或平均价格等指标。
总体参数的区间估计
三、总体参数的区间估计
图5-10 “探索”对话框
图5-11 “探索:统计量”对话框
三、总体参数的区间估计
单击“统计量”按钮，弹出“探索：统计量”对话框，如图5-11所示。 该对话框中有如下四个复选框： （1）描述性：输出均值、中位数、众数、标准误、方差、标准差、极小值 、极大值、全距、四分位距、峰度系数和偏度系数的标准误差等。此处能够设 置置信区间，默认为90%(α=0.1),可根据需要进行调整。 （2）M 最大似然确定数。 （3）界外值：输出五个最大值和五个最小值。 （4）百分位数：输出第5%、10%、25%、50%、75%、90%、95%位数 。
三、总体参数的区间估计
【例5-17】 某餐馆随机抽查了50位顾客的消费额（单位：元）为 18 27 38 26 30 45 22 31 27 26 35 46 20 35 24 26 34 48 19 28 46 19 32 36 44 24 32 45 36 21 47 26 28 31 42 45 36 24 28 27 32 36 47 53 22 24 32 46 26 27 在90%的概率保证下，采用点估计和区间估计的方法推断餐馆顾客的平均消 费额。 解：执行“分析”→“描述统计”→“探索”命令，打开“探索”对话框。由于本例只 有消费额一个变量，且需要对消费额进行探索性分析，故选中左侧列表框中的“消 费额”选项，将其移入“因变量列表”框中，如图5-10所示。
解：已知n=31,α=0.01,=10.2;σ=2.4,z0.005=2.58，由于总 体方差已知，为大样本，可以利用式（5-23）来进行计算。
即（9.088，11.312 该学生每天的伙食费在显著性水平为99%时的置信区间为（ 9.088，11.312）。
区间估计法估测总体平均值
区间估计法估测总体平均值
区间估计是一种统计方法，可以用来估计总体参数的值，其中之一是总体平均值。
区间估计法估测总体平均值的过程如下：
首先，我们需要收集一个来自总体的简单随机样本，并计算样本平均值$\bar{x}$ 和样本标准差$s$。
然后，我们可以使用以下公式来计算总体平均值$\mu$ 的区间估计：
$$ \bar{x} \pm t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} $$
其中，$n$ 是样本容量，$t_{\alpha/2}$ 是自由度为$n-1$ 的$t$ 分布表中$\alpha/2$ 处的t 值。
$\alpha$ 是置信水平，通常取0.95 或0.99。
上述公式表示，我们可以通过样本平均值$\bar{x}$ 加减一个误差范围来估计总体平均值$\mu$。
误差范围的计算方法是：$t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$。
其中，$t_{\alpha/2}$ 表示在给定置信水平下，自由度为$n-1$ 的$t$ 分布表中的t 值，$s$ 是样本标准差，$\sqrt{n}$ 是样本容量的平方根。
最后，我们可以得到置信水平为$\alpha$ 的总体平均值的区间估计为：
$$ (\bar{x} - t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + t_{\alpha/2}
\frac{s}{\sqrt{n}}) $$
这个区间包含了总体平均值$\mu$ 的真实值的可能性为$1-\alpha$，其中$\alpha$ 是在计算过程中预先指定的置信水平。
7.5正态总体均值与方差的区间估计
1)
1,
即
P
X
S n t / 2 (n 1)
X
S n
t
/
2
(n
1)
1
,
于是得 的置信度为 1 的置信区间
X
S n
t
/
2
(n
1)
.
例1 有一大批糖果, 现从中随机地取16袋, 称得
重量(克)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
2
2
/
2
(n
1)
1,
即
(n 1)S 2
P
2
/
2
(
n
1)
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1 ,
于是得方差 2 的置信度为1 的置信区间
(n
2 /
1)S 2(n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
进一步可得:
标准差 的一个置信度为1 的置信区间
n 1S ,
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X
Y
z / 2
S12 n1
S22 n2
.
(3)
2 1
22
2,
但 2 为未知,
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.
其中
Sw2
2. 两个总体方差比 12 的置信区间 22
总体均值的区间估计公式
2.总体均值的区间估计
总体均值的区间估计公式: S X ± Z (1-α) √n 其中X为样本平均数,S为样本标准差, Z(1-α) 为置 信度是1－α所对应的 Z 值. n为样本规模.
计算练习:
调查某单位的工资情况,随机抽取900名工人作 为样本,调查得到他们的月平均工资为186元,标准 差为42元,求95%得置信度下,全单位职工的月平均 工资的置信区间是多少.
42 1.96× √900
Z 检验表
P≤ 0.10 0.05 0.02 0.01 │Z│≥ 一端 1.29 1.65 2.06 2.33 二端 1.65 1.96 2.33 2.58
3.总体百分数的区间估计
总体百分数的区间估计公式为: P（1—p） P±Z（1－α）
n
这里，P为样本的百分比 。 例题： 从某工厂随机抽取400名工人进行调查,结 果表明女工的比例为 20%现在要求在90%的置 信度下，估计全厂工人中女工比例的置信区间。
1.假设检验的依据
假设检验所依据的是概率论中的“小概率
原 理”即“小概率事件在一次观察中不可能出现的 原 理”,但是如果现实的情况恰恰是在一次观察中小 概率事件出现了,应该如何判断呢? 一种意见认为该事件的概率仍然很小 ,只不 过偶然被遇上了, 另一种则是怀疑和否定该事件的概率未必很 小,即认为该事件本身就不是一种小概率事件,而
3.假设检验的步骤:
①建立虚无假设和研究假设通常将原假 设作为虚无假设. ②根据需要选择适当的显著性水α(即 小概率的大小).通常α=0.05或α=0.01等. ③根据样本数据计算出统计值,并根据显 著性水平查出对应的临界值. ④将临界值与统计值进行比较,以判定是 接受虚无假设还是接受研究假设.
总体参数的区间估计公式
总体参数的区间估计公式在进行区间估计时，我们首先需要收集到一个样本，并根据样本对总体参数进行估计。
然后根据样本的统计量，结合分布的性质和抽样方法，建立置信区间。
设总体参数为θ，我们希望得到它的置信水平为1-α的置信区间。
置信水平表示我们对总体参数的估计的可信程度，一般常用的置信水平有90%、95%和99%等。
参数估计的方法有很多，具体的方法选择取决于总体参数的性质、样本的大小以及其他假设条件。
常见的参数估计方法有：1.总体均值的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体均值的区间估计公式为：[样本均值-Z值（α/2）*总体标准差/√(n),样本均值+Z值（α/2）*总体标准差/√(n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
2.总体比例的区间估计：假设总体为二项分布，样本大小为n，成功的次数为x，则总体比例的区间估计公式为：[样本比例-Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n),样本比例+Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
3.总体方差的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体方差的区间估计公式为：[(n-1)*样本方差/卡方分布（α/2）,(n-1)*样本方差/卡方分布（1-α/2])]其中卡方分布是用于描述自由度为n-1的卡方随机变量的概率分布，可以从卡方分布表中查得。
以上是常见的总体参数区间估计公式，这些公式是根据统计学理论推导而来的，适用于不同情况下的参数估计。
在实际应用中，我们根据具体问题和假设条件选择适当的参数估计方法，计算置信水平的区间估计，从而对总体参数进行估计和推断。
2.2正态总体均值的区间估计
一、复习
（一）点估计量的常用评价准则： 无偏性：
估计量的数学期望与总体待估参数的 真值相等： E(ˆ)
有效性:
在两个无偏估计量中方差较小的估计量 较为有效。
则称区间 [ˆ1,ˆ2 ]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间. ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
（二）、正态总体均值u的区间估计 p(z)
(1) 2 02已知
①选 的点估计为X
②取 Z X ~N(0, 1)
Z
1
n
2
Z
1
若我们能给出一个区间，在此区间 内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
数值.
湖中鱼数的真值
[ ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作1 ，这里 是一个
（三）置信区间的求法
1.寻找未知参数θ的一个良好估计T. 2.寻找一个与待估参数和估计量有关的随 机变量 Z，要求其分布为已知.
3. 若置信水平是 1 ,
求出使P(a Z b) 1成立的a，b；
4. 把P(a Z b) 1变形为P(1 2) 1
n
Z1 , X 2
n
Z1 ] 2
(2)u的置信度为1 - 的置信区间为[ X
总体均值的区间估计
统计推断：对总体参数的估计
1
上章复习-内容概要
抽样：总体、样本、个体、样本容量 统计量、参数
抽样方法
抽样分布: 样本均值：中心极限定理；样本均值的标准化 样本比例： np≥5和n(1-p)≥5，p~N(π, π(1-π) / n)
n
χ2分布：
i 1
xi2，χ2(n)~N(n,2n)
18
两个均值的区间估计
两个独立正态总体μ1-μ2的区间估计 假定样本量为m和n的独立样本x1，…，
xm和y1，…，yn分别来自两个独立正态 分布X~N(μ1,σ12)和Y~N(μ1,σ12) 点估计： 区间估计:
19
两个均值的区间估计
两个配对/相依正态总体μD=μ1-μ2的区间 估计
同一个人减肥前后的重量比较 治疗前后的症状比较 同样情况下对两种材料的某种性能的比较
当计算标准误时涉及的总体参数未知时，用样本统计量代 替计算的标准误，称为估计的标准误（standard error of estimation）。如样本均值的标准误：s/√n。
4
上章复习-计算机软件的应用
随机数的产生 抽取随机样本 随机生成正态分布样本 样本均值抽样分布作图 样本比例抽样分布随机模拟
一般假定总体服从正态分布。
15
总体均值的区间估计 -正态总体、方差未知、小样本
例：某地区成年人的睡眠时间服从正态分布。一 项随机调查得到16个成年人的平均睡眠时间为 7.3625小时，样本标准差为0.4924小时。请给出 该地区成年人平均睡眠时间的点估计和95%置信 区间。
？
16
样本量、置信度、区间宽
等 (X，Y)代表配对样本，Di=Xi-Yi，假定D
服从均值为μD=μ1-μ2的正态分布。
正态总体均值方差的区间估计
2
)
(2) σ12=σ22=σ2, σ2未知,μ1- μ2的1-α置信区间 ① 对于μ1- μ2，构造枢轴变量: ( X Y ) ( 1 2 ) T ~ t (n1 n2 2) S 1 / n1 1 / n2 ② 构造T的 一个1-α区间:
P(| T | t (n1 n2 2)) 1
X
③ μ的1-α置信区间:
( X t / 2 ( n 1 ) S n , X t / 2 ( n 1 ) S n )
1-α
例1 设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容 量为100的样本计算得到样本均值为5, 求总体均 值的置信度为0.95的置信区间.
解 已知σ2=1, α=0.05, μ的1-α置信区间：
③ 变形得到μ1- μ2的1-α置信区间:
2
( ( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
1 1 , n1 n2 1 1 ) n1 n2
( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
例 4 某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取随机样本: X 1 , X 2 , , X 12
未知
① 构造枢轴变量: (n 1)S 2 2 Q ~ ( n 1) 2 ② 构造Q的 一个1-α区间:
P{1 Q 2 } 1
f(x)
α/2 λ1 α/2 X 2 λ (n 1)2 (n 1)
2 1
③ 解不等式得到σ2的1-α置信区间:
若 1 2 的置信区间的上限小于零, 则可认为1 2 ;
(2)构造F的 一个1-α区间: P(λ1<F< λ2)=1-α
区间估计步骤
区间估计步骤区间估计就是从点估计中加减一个叫做边际误差的值。
一般来说，区间估计的应用有三种情况:1.总体均值的区间估计步骤 1 \sigma 已知2.总体均值的区间估计步骤 1 \sigma 未知3.样本容量的确定总体均值的区间估计步骤 1 \sigma 已知：为了对对总体均值进行区间估计，必须利用总体标准差\sigma 或者样本标准差s计算边际误差。
这里先讨论总体标准差已知的情况。
这里使用的总体标准差在实践中不一定是已知的。
只是意味着我们在抽样前得到了一个很好的总体标准差估计，所以不必用同一个样本同时估计样本均值和总体标准差。
置信区间公式： \bar{x}\pmz_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}式中， 1-\alpha 为置信系数； z_{\frac{\alpha}{2}} 表示标准正态分布概率分布上侧面积为 \alpha/{2} 时的z值，通过查表可得。
当我们说有95%概率总体均值落在上方表示的区间内时，0.95就是置信系数，由此可得到 \alpha 。
从公式中可以看出，如果要缩小区间，提高精度，可以通过增加样本量来达到这个目的，后面会讲到。
应用中的建议：如果总体服从正态分布，给出的置信区间是准确的，适用于任何样本量。
如果总体不服从正态分布，则给定的置信区间是近似的。
在这种情况下，近似程度取决于总体分布和样本量。
在绝大多数应用中，建立总体均值的区间估计时候，样本容量n>=30已经足够大了。
如果总体的分布不是正态分布但是大致对称，则在样本容量为15时便能得到置信区间一个好的近似。
总体均值的区间估计步骤 1 \sigma 未知：为了对对总体均值进行区间估计，必须利用总体标准差\sigma 或者样本标准差s计算边际误差。
但是大多数情况下总体标准差未知，所以用s来计算边际误差。
当利用s估计 \sigma 时候，边际误差和总体均值的区间估计都是以t分布的概率分布为依据进行的。
第五节 正态总体均值与方差的区间估计 7-5
\ 2 的置信度为 1 - a 的置信区间为 2 2 ( n - 1)S ( n - 1)S ( 2 ) ， 2 a / 2 ( n - 1) 1 - a / 2 ( n - 1)
而 的置信度为 1 - a 的置信区间为 (
n - 1S
2 / 2 ( n - 1) a
，
n - 1S
2 1 - a / 2 ( n - 1)
2 2 1 2 的置信区间包含1, 在实际中我们认为 1 , 由于 2
2 两者没有显著差别。 2
17
全章要求
1. 了解点估计的概念， 掌握矩估计法、极大 似然估计法； 2. 了解估计量的评选标准：
无偏性、有效性、一致性。
2 1 n1 + 2 n 2 2
~ N(0,1),
即 可 得 到 1 - 2的 一 个 置 信 度 为 a的 置 信 区 间 12 ( X - Y z a / 2 1 n1 + 2 n 2 ). 2
2. 当 和 均 未 知 时求 1 - 2的 置 信 区 间 ,
2 1 2 2
1
第七章 参 数 估 计
§5.正态总体均值与方差的区间估计
一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计: 二. 两个正态总体的区间估计:
2
一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计:
设总体 ~ N(, ), X1 , X2 , , Xn是一个样本 X .
2
1 .当 2 已知时，求 的置信区间。 X - 选取 Z = n
本题中的置信下限大于零，实际中可认为μ1比μ2大。
13
三. 两个总体方差比的置信区间:
仅讨论总体均值 1 , 2 未知的 情况，由于
2 ( n1 - 1) S1
概率论-7.4 正态总体均值和方差的区间估计
给定置信度为1 ，设样本 X1, X2,L , Xn 来自正态
总体
N
(
1
,
2 1
)
， 样 本 Y1,Y2,L
,Ym
来自正态总体
N
(
2
,
2 2
)
，两个样本相互独立，
X
,
S12
,
Y
,
S
2 2
分别表示两
个样本的样本均值和样本方差．
(1)若
2 1
，
2 2
均已知，因
X
，Y
分别为 1 ， 2
的无
偏估计，故 X Y 为 1 2 的无偏估计，由 X ，Y 的独
x
n
u / 2 , x
n
u
/
2
．
将 x 6.0, 0.6 ，n 9 ， z0.025 1.96 ，代入上式得 的
置信区间为 (5.602,6.392) ．
2020年4月26日星期日
3
目录
上页
下页
返回
【例 15】设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间(以 h 计) 分别为
6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0
设干燥时间总体服从正态分布 N(, 2) ．求 的置信度
为 0.95 的置信区间：
(1)若由以往经验知 0.6 (h)；(2)若 未知．( 0.05) 解 (2)由题可知，总体方差未知，采用统计量 T ， 的
置信区间为
x
s n
t
/
2
(n
1),
x
s n
t
/
2
(n
1)
．
将 x 6.0 ， s 0.57 ， n 9 ， t0.025 (8) 2.306 ，代入上式
点估计与区间估计公式整理
点估计与区间估计公式整理在统计学中，点估计和区间估计是常用的估计方法，用来估计总体的参数或者给出总体参数的置信区间。
点估计是通过样本数据得到总体参数的近似值，而区间估计则是给出一个范围，该范围内有一定的概率包含真实的总体参数值。
一、点估计点估计是通过样本数据得到总体参数的一种估计方法，其基本思想是使用样本统计量来估计总体参数。
下面是一些常见的点估计公式：1.总体均值的点估计总体均值（μ）的点估计常用样本均值（x）来估计，公式如下：x = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n其中，x₁, x₂, ..., xn 是样本观测值，n 是样本容量。
2.总体方差的点估计总体方差（σ²）的点估计常用样本方差（s²）来估计，公式如下：s² = ((x₁ - x)² + (x₂ - x)² + ... + (xn - x)²) / (n - 1)其中，x是样本均值，x₁, x₂, ..., xn 是样本观测值，n 是样本容量。
3.总体比例的点估计总体比例（p）的点估计常用样本比例（p）来估计，公式如下：p = x / n其中，x 是样本成功次数，n 是样本容量。
二、区间估计区间估计是给出一个范围，该范围内有一定的概率包含真实的总体参数值。
下面是一些常见的区间估计公式：1.总体均值的区间估计总体均值（μ）的区间估计常用样本均值（x）和标准误差（SE）来估计，公式如下：x ± Z * (SE)其中，x是样本均值，Z 是标准正态分布的分位数，SE 是标准误差，其计算公式如下：SE = s / √n其中，s 是样本标准差，n 是样本容量。
2.总体比例的区间估计总体比例（p）的区间估计常用样本比例（p）和标准误差（SE）来估计，公式如下：p ± Z * (SE)其中，p是样本比例，Z 是标准正态分布的分位数，SE 是标准误差，其计算公式如下：SE = √((p * (1-p)) / n)其中，n 是样本容量。
matlab单一总体均值的区间估计
题目：matlab单一总体均值的区间估计一、概述1.1 matlab的应用背景matlab是一种专门用于科学计算和工程应用的高级技术计算语言和交互式环境。
它是数学软件的一种，是计算机语言的一种，是一种线性代数系统和一种数学软件软件。
目前已成为计算工程领域最为重要的工具之一。
1.2 区间估计的概念和应用区间估计是一种统计推断方法，用于对未知参数的范围进行估计。
在实际应用中，经常需要根据样本数据估计总体参数，并给出估计的可靠性范围。
区间估计就是用来描述总体参数范围的一种方法。
二、matlab进行单一总体均值区间估计的方法2.1 常规方法matlab提供了很多统计工具箱函数，可以帮助用户实现单一总体均值的区间估计。
一般而言，可以使用t分布来进行总体均值的区间估计。
通常情况下，我们需要已知总体的标准差，然后根据样本数据计算出均值的区间估计。
具体操作如下：1) 假设总体为正态分布，已知总体的标准差为sigma。
首先,计算样本均值x_bar和样本标准差s；2) 然后,使用tinv函数计算出t分布的临界值；3) 最后,计算出总体均值的置信区间。
2.2 matlab实例演示以下为一个matlab代码实例，演示了如何使用tinv函数计算出t分布的临界值，并最终得到单一总体均值的置信区间：假设总体标准差为sigma, 样本均值为x_bar, 样本标准差为s, 样本量为nsigma = 1;x_bar = 5;s = 0.5;n = 10;alpha = 0.05;使用tinv函数计算t分布的临界值t_value = tinv(1-alpha/2, n-1);计算总体均值的置信区间CI = [x_bar - t_value*(s/sqrt(n)), x_bar + t_value*(s/sqrt(n))];三、结语3.1 对matlab的应用效果的总结matlab提供了丰富的统计工具箱函数，能够方便地实现单一总体均值的区间估计。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
2 ( x ) i i 1
N
1.25
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件 下，共有42=16个样本。所有样本的结果为
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个 观察值 1 2 第二个观察值
1
1,1 2,1
2
1,2 2,2
3
1,3 2,3
4
总体中具有某种属性的单位数与总体全部单
位数之比称为总体比例，也称总体的成数， 记作 P。而样本中具有某种属性的单位数与 样本总数之比称为样本比例，或称样本成数， 记作 p 。
若从总体中随机抽取出容量为n的样本，发现
其中具有某种属性的单位数为m，则样本中 具有某种属性的单位的比例就为 p=m/n
二、抽样方法
根据抽取样本的原则不同，抽样方法有概率
抽样和非概率抽样。 概率抽样的常用方法有： 1、 简单随机抽样 2、 分层抽样 3、 整群抽样
1、简单随机抽样
①从总体 N 个单位中随机地抽取 n 个单位作为
样本，使得每一个容量为n的样本都有相同的 机会(概率)被抽中
②抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样 ③特点:简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中
3、抽样分布
1）样本统计量的概率分布，是一种理论分布在重复
选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可 能取值形成的相对频数分布 2）样本统计量是样本的函数，依据不同的样本计算 出来的值是不同的所以统计量是随机变量 样本均值, 样本比例，样本方差等
3）结果来自容量相同的所有可能样本 4）提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推
1,4 2,4
3
4
3,1
4,1
3,2
4,2
3,3
4,3
3,4
4,4
计算出各样本的均值，如下表。并给 出样本均值的抽样分布
16个样本的均值（ x
第一个 观察值
x
n
）
0.3
P(x)
第二个观察值 1 2 3 4
0.2
1 2
3 4
1.0 1.5
2.0 2.5
1.5 2.0
2.5 3.0
2.0 2.5
断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据
(1)总体分布、样本均值的抽样分布
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总 体单位数N=4。4 个个体分别为 x1=1，x2=2 ，x3=3，x4=4 。总体分布、总体的均值、方 差及分布如下 N
总体分布
.3 .2
N
x
i 1
i
N
2.5
.1 0
3、抽样分布
1、总体分布
1）总体中各元素的观察值所形成的相对频数
（频率）分布 2）分布通常是未知的(因为几乎得不到总图 所有观察值) 3）可以（根据理论分析）假定它服从某种分 布 总体
2、样本分布
1）一个样本中各观察值的形成的相对频数
（频率）分布 2）也称经验分布 3）当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐 接近总体的分布
= 2.5
σ2 =1.25
x 2.5
x2 0.625
2 n 当总体服从正态分布N(μ, ) 时，样本均值的抽
样分布仍然是服从正态分布的，其均值仍为 μ ， 2 n 方差为 ，即样本均值的方差比原总体的方差 要小，而且样本容量n越大，方差越小。
2 =1.25
= 2.5
用来估计总体参数的统计量的名称，称为估
计量，用符号 表示 用来估计总体参数时计算出来的估计量的具 体数值，称为估计值
样本比例是一个随机变量，当样本容量很大
时，近似地服从正态分布。其分布的数学期 望为总体的成数 P ，方差等于P1－P n，即：
p ~ N P,P1－P n
第二节 参数估计的基本方法
参数估计也就是用样本统计量去估计总体的
参数。比如，用样本均值估计总体均值估计 总体均值，用样本方差估计总体方差，用样 本比例估计总体比例等。
总结：样本均值的抽样分布
样本均值的数学期望仍为μ 样本均值的方差（方差的概率意义在于刻画 了随机变量取值的分散程度。方差越小，随 随机变量的取值越集中在期望值附近。）
重复抽样 不重复抽样
2 x
2
n
2 x
2 N n
n N 1
（2）样本比例的抽样分布
X
总体分布
上述结论是对正态总体而言的，不过实际，即使对于非正态总体而言，随着样本容量的 增加，的抽样分布也会近似地变成正态的。 事实上，只要样本足够大（通常要求样本容 量不小于45），即使是从非正态分布的总体 中抽样，根据统计学中的中心极限定理，样 本均值的抽样分布与从正态分布总体中的抽 样所得到的结果也近似相同。
3、整群抽样
①将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时
直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全 部实施调查 ②特点
抽样时只需群的抽样框，可简化工作量 调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查 的实施 缺点是估计的精度较差
三种不同性质的分布
三者之间有什么关 系
？
1、总体分布
2、样本分布
3.0 3.5
2.5
0.1
3.0
0
3.5 4.0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
x
样本均值的抽样分布
样本均值的分布与总体分布的比较
小有关 .3 总体分布
.2 .1 0 1 2 3
x的分布形式与原有总体和样本容量n的大
.3
.2 .1 P(x)
抽样分布
4
0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
第十章 抽样与抽样分布
第一节 抽样与抽样分布
第二节 参数估计的基本方法 第三节 总体参数的区间估计
第一节 抽样与抽样分布
一、抽样判断
二、抽样方法 三、抽样分布
一、抽样判断
◆什么叫抽样判断 从所研究的总体全部元素（单位）中抽取一 部分元素（单位）进行调查，并根据样本数 据所提供的信息来推断总体的数量特征叫样 本推断。
抽取样本 ④局限性 当 N 很大时，不易构造抽样框，抽出的单位很分 散，给实施调查增加了困难，没有利用其他辅助 信息以提高估计的效率
2、分层抽样
①将抽样单位按某种特征或某种规则划分为
不同的层，然后从不同的层中独立、随机地 抽取样本 ②优点
保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高 估计的精度 组织实施调查方便 既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标 量进行估计