北师大高中数学必修四培优新方案同步课时跟踪检测五 单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质 单位圆的对称性

课时跟踪检测（五） 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本
性质 单位圆的对称性与诱导公式
一、基本能力达标 1．sin 480°的值为( )
A ．－1
2
B ．－32
C. 12
D.
32
解析：选D sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32
. 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝1
5
，那么cos α＝( ) A ．－2
5
B ．－15
C. 15
D. 25
解析：选C sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝15. 3．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π
4的最大值和最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，
2
2 C.
22，－2
2
D ．1，－
22
解析：选C 函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增加的，则最大值是sin π4＝2
2，最小值是sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－2
2.
4．sin(π－2)－cos ⎝⎛⎭⎫
π2－2化简的结果为( )
A ．0
B ．－1
C ．2sin 2
D ．－2sin 2
解析：选A 原式＝sin 2－sin 2＝0，所以选A. 5．若sin(9π＋α)＝－1
2
，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝( ) A ．－1
2
B.12
C.
32
D ．－
32
解析：选A ∵sin(9π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α＝－1
2，
∴sin α＝1
2
，
∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－12. 6．函数y ＝2＋1
3
cos x 的定义域为________．
解析：由条件知定义域为R. 答案：R
7．函数y ＝sin x ，x ∈⎣
⎡⎦⎤－π，π
3的增区间为________，减区间为________． 解析：借助单位圆可知，y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π3，在区间⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是减少的，在⎣⎡⎦⎤－π2，π3上是增加的．
答案： ⎣⎡⎦⎤－π2，π3 ⎣
⎡⎦⎤－π，－π
2 8．已知α为第二象限角，化简1＋2sin (5π－α)cos (α－π)
sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________.
解析：原式＝1＋2sin α(－cos α)cos α－⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝|sin α－cos α|
cos α－|sin α|.
∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos α
cos α－sin α＝－1.
答案：－1
9．设f (θ)＝2cos 3θ＋sin 2⎝⎛⎭
⎫θ＋π
2－2cos (－θ－π)2＋2cos 2(7π＋θ)＋cos (－θ)
，
求f ⎝⎛⎭⎫2 017π3的值．
解：因为f (θ)＝2cos 3θ＋sin 2⎝⎛⎭
⎫θ＋π
2－2cos (－θ－π)2＋2cos 2(7π＋θ)＋cos (－θ)
＝2cos 3θ＋cos 2θ＋2cos θ2＋2cos 2θ＋cos θ
＝cos θ(2cos 2θ＋cos θ＋2)2＋2cos 2
θ＋cos θ＝cos θ， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 017 π3＝cos 2 017 π
3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫336×2π＋π3＝cos π3＝1
2. 10．求下列函数的最小正周期及值域．
(1)y ＝－cos x ＋2；(2)y ＝a sin x ＋b (a ＜0)．
解：(1)当y ＝cos x 取得最大值时，y ＝－cos x ＋2取得最小值，而当y ＝cos x 取得最小值时，y ＝－cos x ＋2取得最大值，所以y ＝－cos x ＋2的值域是[1,3]，最小正周期是2π. (2)∵－1≤sin x ≤1，且a ＜0，∴当sin x ＝－1时，
y max ＝－a ＋b ；当sin x ＝1时，y min ＝a ＋b ，∴y ＝a sin x ＋b 的值域是[a ＋b ，－a ＋b ]，y ＝a sin x ＋b 的最小正周期是2π.
二、综合能力提升
1．如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是( )
A ．cos α＝cos β
B ．cos α＝－cos β
C ．sin α＝－sin β
D ．sin α＝cos β
解析：选B 由α＋β＝180°得α＝180°－β，两边同时取正弦函数得sin α＝sin(180°－β)＝sin β，两边同时取余弦函数得cos α＝cos(180°－β)＝－cos β. 2．化简sin (π＋α)cos (2π－α)
cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α所得的结果是( )
A ．sin α
B ．－sin α
C ．cos α
D ．－cos α
解析：选C 原式＝－sin αcos α
－sin α
＝cos α.
3．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，x ∈R ，且f (2 017)＝3，则f (2 018)的值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：选C ∵f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝3，∴a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝－1，∴f (2 018)＝a sin(2 017π＋α＋π)＋b cos(2 017π＋β＋π)＋4＝－a sin(2 017π＋α)－b cos(2 017π＋β)＋4＝1＋4＝5.
4．如果角α的终边经过点P (sin 780°，cos(－330°))，则sin α＝( ) A.3
2 B.12 C.22
D ．1
解析：选C sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝
3
2
，cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos 30°＝32.所以P 32，32，所以r ＝|OP |＝62.由三角函数的定义，得sin α＝y r ＝3
262＝2
2
.
5．y ＝3sin x ，x ∈⎣⎡⎦
⎤－π3，4π
3的值域为________． 解析：借助单位圆可知，函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，4π3在x ＝π2处取最大值1，在x ＝－π
3和x ＝4π3处同时取得最小值－32，即－32≤sin x ≤1，所以－33
2≤3sin x ≤3.
答案： ⎣⎡⎦
⎤－
332，3
6．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4＝________. 解析：∵π4－x ＋x ＋π4＝π
2
∴cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35. 答案：35
7．已知α是第四象限角，且
f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)
cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).
(1)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝1
5，求f (α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f (α)的值．
解：f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)
cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)
＝sin αcos α
－sin αsin (π＋α)cos α
＝
1sin α
. (1)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＋2π＝15， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝15
， ∴sin α＝－15，∴f (α)＝1
sin α＝－5.
(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860°＝1－sin (5×360°＋60°)
＝1－sin 60°＝－233.
8．已知函数f (x )＝
1
2－sin x
.
(1)判定函数f (x )是否为周期函数； (2)求函数f (x )的单调递增区间； (3)当x ∈⎝⎛⎦
⎤－π6，5π
6时，求f (x )的值域． 解：(1)由于－1≤sin x ≤1，所以f (x )的定义域是R. 又f (x ＋2π)＝12－sin (2π＋x )＝1
2－sin x ＝f (x )，
故f (x )是周期函数．
(2)由正弦函数的基本性质，可知在区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π
2(k ∈Z)上，函数y ＝sin x 是增函数，而此时函数h (x )＝2－sin x 是减函数，从而可知此时函数f (x )是增函数， 故可知函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z)．
(3)设t ＝sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎦⎤－π6，5π6，则t ∈⎝⎛⎦
⎤－12，1，
所以1≤2－t ＜52，则25＜1
2－t ≤1.
故f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤
25，1.。