全概率公式及其应用技巧

摘 要 对 全 概 率 公 式 的 内 涵 进 行 剖 析 、引 申与 扩 展 ，构 造 性 地 运 用 全 概 率 公 式 计 算 一 些 复 杂 事 件 的概 率 ，通
过 实 例 探 讨 其 应 用 技 巧 ．
关 键 词 全 概 率 公 式 ；内涵 剖 析 ；应 用 技 巧
ห้องสมุดไป่ตู้
中圈 分 类 号 ０２１１．１
文献 标 识 码 Ａ
文 章 编 号 １００８—１３９９（２０１１）０２—００５２—０４
全概 率公式 内涵 丰 富 、应 用广 泛 ，是 概率 论 中一 个 非常重 要 的公 式 ．本 文 将 对 全 概 率公 式 的 内涵进 行 深入剖 析 ，引领学 生窥其 “庐 山真 面 目”，然 后循序 渐 进地讲 解其应 用 ，从而 帮助 学生 系统 、深入 地掌握 全 概率公 式 的理论体 系．
２．１ 蕴涵的 数学思 想 方法 全概率 公 式蕴 含 了化整 为 零 ，化复 杂 为 简单 的
数学思 想 ．
Ｐ（Ｂ）一Ｐ（∑ＢＡ ）
ｆ＝ ｌ
表示将 一个复 杂事 件 Ｂ的概 率分 解成 若干 个 简单事
收稿 日期 ：２００９— ０４— ２６｝｝修 改 日期 ：２０１１一 Ｏ１— ２６． 基金 项 目 ：海 南省 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （８０８２５０）． 作者简 介：符方健 （１９６８－），男 ，海南琼 海人 ，副 教授 ，主要 从事 马尔
２．３ 目标 事件 与完 备事 件组 的关 系
样本 空 间 ｎ中的任 一 目标事 件 Ｂ总是 由ｎ中若 干个基 本事件 构 成 的 ，而 当 ｎ被 完备 事件组 Ａ ，Ａ。， … ，Ａ 划 分时 ，所有 基 本 事 件 无 一 例 外 地被 归 类 于 Ａ ，Ａｚ，… ，Ａ 中．所 以 ，Ｂ中的基 本事件 也必然属 于 完 备事 件组 Ａ ，Ａ ，… ，Ａ ．也可 以说 ，Ｂ中 的基本 事 件 被分 配到 Ａ ，Ａ ，… ，Ａ 中去 了．这样 ，当 Ａ ，Ａ ， … ，Ａ 划 分 ｎ 时 ，同时也 划分 了 Ｂ．
第 １４卷 第 ２期
符 方 健 ：全 概 率 公 式 及 其 应 用 技 巧
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２．５ 公 式的直 观作 用 由于公式 包含 了乘 法公 式 Ｐ（ＢＡ｛）一 Ｐ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ ｌ Ａｉ），
即先 有 Ａ 后 有 Ｂ，Ａ 对 Ｂ 的发 生 均有一 定 作用 ，只 有 Ａ 发生 了 ，才有 Ｂ发 生 的可能 性 ，Ａ 是 Ｂ发 生 的 全部 “原 因 ”．因此 ，我 们 可 视 为 公 式 的 直 观 作 用 是 “知 因求果 ”．
１ 全概 率 公 式
定 义 Ｉｔ 设 （０，Ｆ，Ｐ）为概 率空 间 ，若
Ａ ∈ Ｆ （ ＝ １，２，… ， ） 满 足
ＡｆＡ ＝ ｊ２『（ ≠ Ｊ，ｉ，Ｊ一 １，２，… ，，ｚ）
Ｕ Ａ — ， 则 称 Ａ。，Ａ。，… ，Ａ 为 ｎ 的一 个 完备 事件组 或称 为ｎ 的一 个划 分．
可 夫链 理论 研 究 ．Ｅｍａｉｌ：ｆｕ－ｆａｎｇ－ｊｉａｎ＠ １２６．ｃｏｒｎ．
件 ＢＡ 之和 的概 率．这 就是 全概率 公式 的基本思 路．
２．２ 公式 的本 质 全 概率 公 式 的 本 质 是 ：全 概 率 公 式 中的 Ｐ（Ｂ）
是 一种 平 均概 率 ，是 条 件 概率 Ｐ（Ｂ Ｊ Ａ ）的加 权 平 均 ，其 中加在 每个 条 件 概率 上 的权重 就 是 作 为条 件 的事件 Ａ 发 生 的概率 ．
２．４ “全 ”的含义 从定 理 １的描述 来 看 ，使 用全 概率 公 式计 算 目
标事 件 Ｂ 的概率 ，必 须是 找到样 本 空 间 ｎ 的一 个 完 备事 件组 Ａ ，Ａｚ，… ，Ａ ，而 这 一完 备 事 件组 恰 恰 可 以理 解为是 事件 Ｂ产 生 的 个 原 因．全 概 率公 式 相 当于将产 生 Ｂ的全 部原 因一 一 进行 考 察 ，将 每一个 可能 性都 考 虑 进来 ，这 就 是 “全 ”的含 义 所 在．概 括 来说 ，“全 ”指 的是 对 目标 事 件 Ｂ 有 贡 献 的 全 部 原 因．应 用 中要将 全部 原 因 找 出来 ，缺 一 不可 ，才 构 成 样本 空 间的完 备事 件组 ．
定 理 ｉｃ 设 （ｎ，Ｆ，Ｐ）为 概 率 空 间 ，Ａ ，Ａ ， … ，Ａ 为 ０ 的一个 划分 ，且
Ｐ（Ａ１）＞ ０（ ＝ １，２，… ，，１）， 则对 于任一 事件 Ｂ ∈ Ｆ，有
Ｐ（Ｂ）＝∑ Ｐ（Ａ ）Ｐ（Ｂ ｆ Ａ ）．
ｉ奄 １
上式称 为全 概率公 式 ．
２ 内涵 剖 析
需要 说 明的是 ，Ｂ的元 素 不一 定 参 与划 分者 Ａ 的全部元 素 ，所 以 Ｂ不能 用 它们 的和表示 ，而只能 用 积 ＢＡ 表示 ．另外 ，尽管 目标 事件 Ｂ有 时是 被完备 事 件组 中部 分事 件划 分 了 ，但 总 可 以广 义 地认 为是 被 全 部事件 划分 了 ，只是 没 参 与 划 分 的事 件是 没 分 着 Ｂ的任何 元素 ，也就是 说 与 Ｂ的积 为不可 能事件．这 样 ，Ｂ 就可 以表 示成 Ｂ 分 别 与完 备 事件 组 中各 个 事 件 的积之 和．［２］
２．６ 公 式蕴涵 的运 算 公式 中包 含 了两个 主要 的运算 过程 ： １） 概 率 的加法 公式
ｎ
Ｐ（Ｂ）一 Ｐ（＞：ＢＡｆ）．
霉 １
２） 概 率 的乘 法 公式 Ｐ（ＢＡ ）一 Ｐ（Ａ ）Ｐ（Ｂ Ｉ Ａ ）．
因此 ，全 概 率公 式 是 加 法 公式 与乘 法 公式 的综 合 运用 ．
第 １４卷 第 ２期 ２０１１年 ３月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩＣＳ
Ｖ ｏ１．１４，Ｎ ｏ．２ Ｍ ａｒ．，２０１１
全 概 率公 式及 其应 用技 巧
符 方健
（琼 台 师 范 高 等 专科 学校 数 理 系 ，海 南 海 口 ５７１１００）