高等数学齐次方程
高等数学11-5.1二阶常系数齐次线性微分方程(18)
三、小结
高等数学
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0
高等数学
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
因此 u( x) 0
2r1 p 0
可取满足上式的简单函数 u( x) x
高等数学
由此得到方程 (1)的另一个与 y1 线性无关的解
y2
xe
r
1
x
于是，方程(1)的通解为 :y C1er1x C2 xer1 x (C1 C2 x)er1 x
3 当 p2 4q 0时,
特征方程有一对共轭复根 :
便是( 1 )的通解, 其中C1 , C 2是任意常数。
如何找出齐次方程的两个线性无关的解呢?
高等数学
下面介绍求解的欧拉指数法 ---特征方程法
由于当r为常数时,指数函数y erx及其各阶导数,
都只相差一个常数因子r, 根据指数函数的这个特点, 我们用y erx来尝试, 看能否取到适当的常数 r, 使y erx 满足方程(1)。
第五节 二阶常系数线性 微分方程
一、二阶常系数齐次线性方程
二、二阶常系数非齐次线性方程
高等数学
一、二阶常系数齐次线性方程解法
设二阶线性常系数齐次方程为
y py qy 0 (1) 由上一节的讨论可以知道，求出齐次方程的通解的 关键是找出方程的两个线性无关的特解 y1 , y2
这样
y C1 y1 C2 y2
y1线性无关的解
y2 ,
为此,
高数微分方程公式大全
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。
三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
高等数学上7.4一阶线性微分方程
令 y u( x )e
;
令 y 1 n z;
作业:P282:1-(3) (7)(9), 2-(2)(4), 6, 7-(3)
18
例2 如图所示，平行于 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
2
13
dy 1 u, 则 1, dx dx du 1 1 , 代入原式 dx u 分离变量法得 u ln( u 1) x C ,
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C , 或 x C1e y 1 dx 另解 方程变形为 x y. dy
2
12
例4
用适当的变量代换解微分方程:
2 x2
1. 2 yy 2 xy xe
;
1 x 2 1 y xy xe y , 解 2 dz dy 1( 1) 2 令z y y , 则 2y , dx dx
2 xdx dz x 2 2 xdx x2 [ xe e dx C ] 2 xz xe , z e dx x2 所求通解为 y 2 e x ( C ). 2
y
14
注意:
y=y( x ) x=x( y ) , F( y’ , y , x )=0 G ( x’ , x , y ) =0,
cos y 例 求微分方程 y 的通解. cos y sin 2 y x sin y dx cos y sin 2 y x sin y 解 sin 2 y x tan y, dy cos y
• 一、线性微分方程 • 二、伯努利方程 • 三、小结
齐次方程简介
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXMiY
齐次方程
7高等数学
冬比.久*
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXXiY
定义形如
d = / ( X, y )=(p(-)
dx
x
/高等数学
的一阶微分方程称为齐次方程.
特征：宇式右边令'■ = u,贝^（―） =。（u）,
/高等数学
— 解令y = Y - 2, x1+=X X
1,代入原方程
dY X + Y
令X u,则Y = Xu,代入原方程得
— dX 3 X Y 3 — Y
X =“ du 1+u u + du 1
—
1
2u+ n
du=-dX
— — —— n [[一丄dX-一3 —]duu=djX X—dX,即--32- - inu|u 1 1| =2iun +|Xu| + CX•
令』=u,贝Uy = xu,代入原方
程得
xd=扩万习日譜=J由.
解得 arcsin u = In x + C,故通解为 arcsin』^ = In
x + C. x
小値乂瘁大$
例2求微分方程虫= + + 3的通解. dx 3 x 一 r~HEFEIinsiVERSITYOFTKHNOLOGY
Xy
y +1
(u — 1) u — 1 X u — 1
— — 通解为
2x + 2 in y — x +1
y— +1
x =ln x +1 + C •
第8章 常微分方程—8-2(齐次、一阶线性)
dv y 1 v 2 dy
x 令v , y
dx dv v y dy dy
积分得 故有
故反射镜面为旋转抛物面.
ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C 2 y 2y v y 2 2 1 ( v ) 1 v 2 C C C 得 y 2 2 C ( x C ) (抛物线) 2
2 2
dy 2 求方程 ( 4 x y 1 ) 的通解。 例８ dx 解 令u 4 x y 1, 则u 4 y, y u 4, du 2 原方程可化为 u 4 u , 即 4 u2 . dx 分离变量并积分得 du 1 u dx u2 4 2 arctan 2 x C1
当c c1 0时,
2.解法
令x X h, （其中h和k是待定的常数） y Y k， dx dX , dy dY
dY aX bY ah bk c f( ) dX a1 X b1Y a1h b1k c1
可化为齐次的方程
ah bk c 0, a1h b1k c1 0, a b (1) 0, 有唯一一组解. a1 b1
u 2 tan(2 x C ) , (C 2C1 )
而u 4 x y 1, 故原方程通解为
4 x y 1 2 tan(2 x C ) .
代回原方程, 得齐次方程的解 y u0 x.
例 1 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
例2 解微分方程
例 3 求解微分方程
dx dy 2 . 2 2 x xy y 2 y xy
例 ４ 求方程
高等数学同济五版123齐次方程
对于方程 $frac{dy}{dx} = frac{y}{x}$，通过引入参数 $lambda = frac{y}{x}$，我们 可以得到参数方程 $xlambda' = y'$，进一步求解得到 $x^2 = lambda y$。
幂级数法
总结词
通过将齐次方程转化为幂级数形式，求解齐次方程。
详细描述
幂级数法是将齐次方程转化为幂级数形式，然后通过求解幂级 数得到原方程的解。这种方法适用于某些难以直接求解的齐次
方程。
举例
对于方程 $frac{dy}{dx} = frac{y}{x}$，通过幂级数法，我 们可以得到 $y = x^n$，其中 $n$ 是待求的幂级数系数。
03
齐次方程的应用
在物理中的应用
投资组合优化
在投资组合优化问题中，投资者需要选择一组资产进行投资 ，以实现收益的最大化和风险的最小化。在这个问题中，可 以通过建立齐次方程来描述资产之间的相关性，从而帮助投 资者进行投资决策。
在工程中的应用
机械振动
在研究机械振动问题时，常常需要用到 齐次方程来描述振动的规律。例如，在 研究桥梁、建筑物的振动问题时，可以 通过建立齐次方程来描述振动的频率和 振幅。
齐次方程的特点
齐次方程的每一项都是$y$的整数次幂之和，且每一项的次数都相 同。
齐次方程的性质
齐次方程的解的性质
如果$(y_{1}, y_{2}, ldots, y_{m})$是齐次方程的一个解，那么$k(y_{1}, y_{2}, ldots, y_{m})$也是该方程的解，其 中$k$为任意非零常数。
齐次方程的分类
按照指数分类
根据指数的不同，可以将齐次方程分 为线性齐次方程、二次齐次方程、三 次齐次方程等。
齐次方程与非齐次方程
齐次方程与非齐次方程引言在高等数学中，线性方程是一个基本的概念，它在各个科学领域都有广泛的应用。
其中，齐次方程和非齐次方程是线性方程的两个重要类型。
本文将重点讨论齐次方程和非齐次方程的概念、特点以及解的性质。
齐次方程齐次方程是指形如Ax+By+C=0的线性方程，其中A,B,C均为常数，并且至少存在一个非零解。
在齐次方程中，等式右边恒为0。
齐次方程的特点： 1. 齐次方程的解集总是包含零向量，即$\\vec{0}$是齐次方程的一个解。
2. 若$\\vec{u}$和$\\vec{v}$是齐次方程的解，则$\\vec{u}+\\vec{v}$也是齐次方程的解。
3. 若$\\vec{u}$是齐次方程的解且c是任意常数，则$c\\vec{u}$也是齐次方程的解。
根据这些特点，我们可以得出齐次方程解的一个重要性质：齐次方程的解集是一个线性空间。
非齐次方程非齐次方程是指形如Ax+By+C=D的线性方程，其中A,B,C为常数，D可以是一个常数或一个函数。
非齐次方程的特点： 1. 非齐次方程的解集一般不包含零向量，即$\\vec{0}$不是非齐次方程的解。
2. 若$\\vec{u}$和$\\vec{v}$是非齐次方程的解，则$\\vec{u}+\\vec{v}$也是非齐次方程的解。
3. 若$\\vec{u}$是非齐次方程的解且c 是任意常数，则$c\\vec{u}$也是非齐次方程的解。
为了解决非齐次方程，我们需要找到该方程的一个特解。
如果已知特解$\\vec{p}$，则通解可以表示为非齐次方程解的形式加上特解$\\vec{p}$，即通解为原齐次方程的解集加上特解$\\vec{p}$。
齐次方程与非齐次方程的联系齐次方程和非齐次方程之间存在着紧密的联系。
对于非齐次方程Ax+By+C=D，我们可以构造一个与之对应的齐次方程Ax+By+C=0。
如果能找到非齐次方程的一个特解$\\vec{p}$，则齐次方程的解就是非齐次方程解减去特解$\\vec{p}$。
高等数学常系数齐次线性微分方程教案
u(x) x，
y2
xe r2 x
，
y2 y1
xer1x er1x
x
不是常数， y2
与
y1
线性无关，因此方
程的通解为： y C1er1x C2xer1x
(3)特征方程有一对共轭复根 r1, 2i 时 方程（１）有两个解 ye(i)x、
( i ) x
ee ye(i)x，，， ( i ) x
常数 ，所以 y1和y2 线性无关。方程（１）的通解为
其中 er1x 0 ，由于 r1 是特征根，故 r2prq0，又由于 r1 是重根，故 2r1 p 0 。
所以上式只剩下 u''(x) 0 ，积分两次便可求出 u(x) ， u'(x) C1，
u(x) C1x C2 ，我们只需求出一个特定的 u(x) ，现取 C1 1,C2 0 得
方程的线性无关解
因此方程的通解为 yex(C1cosxC2sinx )
求二阶常系数齐次线性微分方程 ypyqy0 的通解的步骤为
第一步 写出微分方程的特征方程 r2prq0；
2
第二步 求出特征方程的两个根 r1、r2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解
特征方程 r 2 pr q 0 的根
合，再找出两个实的线性无关的解。利用欧拉公式 得
y1e(i)xex(cosxisinx)
y2e(i)xex(cosxisinx)
y1y22excosx
ex
c
osx
1 2
(
y1
y2)
y1y22iexsinx
ex
sin
x
1 2i
(
y1
y2)
故知 excosx、y2exsinx 也是方程的解 可以验证 y1excosx、y2exsinx 是
高等数学 常系数 齐次线性微分方程
练习题
一、求下列微分方程的通解:
1、y 4 y 0；
2、4
d2 dt
x
2
20
dx dt
25
x
0；
3、 y 6 y 13 y 0； 4、 y(4) 5 y 36 y 0.
二、下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1、4 y 4 y y 0 , y x0 2 , yx0 0； 2、 y 4 y 13 y 0 , y x0 0 , yx0 3.
pr1
q)u
0,
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xer1x ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)e r1x ;
有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i ,
r2 i ,
y e i x , y e i x ,
重新组合 y
1 2
(
y
y
)
e x cos x,
（ 3 ）根据特征根的不同情况 , 得到相应的
通解 .
ห้องสมุดไป่ตู้
( 见下表 )
y py qy 0 r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
第七节 常系数齐次线性微分方程
n 阶常系数线性微分方程的标准形式
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
二阶常系数齐次线性方程的标准形
式y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准 形y式 py qy f ( x) ( f ( x) 0)
高数考研备战常微分方程的齐次与非齐次解法
高数考研备战常微分方程的齐次与非齐次解法常微分方程是高等数学中的重要内容，也是考研数学中必考的知识点之一。
在常微分方程中，齐次方程和非齐次方程的解法是备战考研的重点。
本文将为大家详细介绍常微分方程的齐次与非齐次解法，助力大家高效备考。
一、齐次方程的解法齐次方程是指形式为dy/dx = f(x,y)的方程，其中f(x,y)满足齐次性质f(tx,ty) = f(x,y)。
齐次方程的解法相对简单，可以通过变量分离法和换元法来求解。
1. 变量分离法变量分离法是求解齐次方程的常用方法。
具体步骤如下：（1）将方程变形为dy = g(x)dx，其中g(x)为x的函数。
（2）对方程两边同时积分，得到∫dy = ∫g(x)dx。
（3）对上式进行求积分，并加上任意常数C，得到y = ∫g(x)dx + C。
（4）得到的方程即为齐次方程的通解。
2. 换元法换元法是另一种常用的齐次方程求解方法。
具体步骤如下：（1）设u = y/x，即y = ux。
（2）将dy/dx = f(x,y)转化为关于u和x的方程，求出du/dx，并将y用u和x表示。
（3）对上式进行变量分离，得到du/u = g(x)dx。
（4）对上式进行求积分，并加上任意常数C，得到ln|u| = ∫g(x)dx + C。
（5）解出u，即得到u = e^(∫g(x)dx + C)。
（6）将u = y/x代入上式，得到y = xe^(∫g(x)dx + C)。
（7）得到的方程即为齐次方程的通解。
二、非齐次方程的解法非齐次方程是指形式为dy/dx = f(x,y) + g(x)的方程，其中g(x)为非零的函数。
求解非齐次方程的方法主要有常数变易法和特解叠加法。
1. 常数变易法常数变易法是求解非齐次方程的常用方法。
具体步骤如下：（1）先求齐次方程dy/dx = f(x,y)的通解y0。
（2）设非齐次方程的通解为y = y0 + u(x)，其中u(x)为待定函数。
（3）将y = y0 + u(x)代入非齐次方程，得到dy/dx = f(x,y0+u) + g(x)。
高等数学第19课齐次型微分方程、一阶线性微分方程、伯努利方程36
y
eP(x)dx
Q(
x)eP(
x)dx
dx
C
（5-18）
或
y CeP(x)dx e P(x)dx Q(x)eP(x)dxdx ． （5-19）
式（5-19）等号右端第一项恰好是齐次线性方程即式（5-15） 的通解，第二项是非齐次方程即式（5-14）的一个特解（式 （5-18）中令 C 0 ）．由此可知：
解 该方程不是未知函数 y 的线性方程，也不是我们前面介 绍过的任何一种．但如果把自变量和因变量互相转换，把 y 看 作自变量， x 看作是关于 y 的未知函数，则原方程可变型为
dx y x ， dy 即 dx x y ． dy 这是一个以 y 为自变量、 x 为未知函数的非齐次线性微分方 程，可设 P( y) 1， Q(y) y ，代入式（5-18）得
先求 dy y 0 的通解，当 y 0 时，分离变量得 dx x
6
19 齐次型微分方程、一阶线性微分方程、伯努利方程 第
课
两边积分得
dy dx ， yx ln | y | ln | x | ln | C | ，
其中 C 为非零任意常数，化简得
yC ． x
由于 y 0 也是该方程的解，可由上式 C 0 得到，所以齐次 方程的通解就是
y xeCx1 (C 为任意常数) 是原方程的通解．
例 6 求方程 x2 dy y2 xy dy 通解．
dx
dx
解 将方程整理后得
y2 dy y2 x2 ． dx xy x2 y 1
x
令 u y ，将 dy u x du 代入上式，得
x dx
dx
高等数学第7章(第8节)
y C 1 e x C 2 e x x e x
x e
k x
i x i x
第四步 分析 y 的特点
y y1 y1 k x
x e
因
~ Rm cos x Rm sin x
y1 y1
y
y1 y1
y1 y1
y*
~ 所以 y 本质上为实函数 , 因此 Rm , Rm 均为 m 次实
因此特解为 y* x ( 1 x 1) e 2 x . 2
所求通解为
1 ( 2
x 2 x ) e2 x .
y 3 y 2 y 1 例3. 求解初值问题 y (0) y (0) y (0) 0
解: 本题 0 , 特征方程为
y* e x [ Q ( x) Q ( x) ] y* e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ]
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根, 则取 x e为[ m 次待定系数多项式 ( x) (2 p q ) Q ( x) ] Q ( x) ( 2 p ) Q Q (x) 从而得到特解
x
i 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为
y* x e
k x
~ [ Rm ( x) cos x Rm ( x) sin x]
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y* x (a x b) cos x (cx d )sin x
y p y q y Pm ( x) e( i ) x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求解过程中丢失了.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x ( y x ) C y(C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
第四节 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程
*
第七章
二、伯努利方程
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、一阶线性微分方程
( x ) d x P y C e
机动 目录 上页 下页 返回 结束
故通解为
d y P (x )yQ (x ) 2. 解非齐次方程 d x
用常数变易法: 作变换 y ( x ) u ( x ) e
P ( x ) d x则
,
P (x) ue P ( x ) u e d u P (x )dx Q (x )e 即 d x ( x ) d x P y C e 对应齐次方程通解 P ( x ) d x 两端积分得 u Q ( x ) e d x C
2 y u ( x 1 ) 2 u ( x 1 )
代入非齐次方程得
1 (x u 1 )2
3 2 u ( x 1 ) 2 C 解得 3 3 2 2 ( x 1 ) ( x 1 )2 C 故原方程通解为 y 3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
判别下列方程类型: d y d y ( 1 ) x yx y d x d x d y ( 2 )x y (ln y ln x ) d x 提示: y 1 dx 可分离 dy 变量方程 y x dy y y 齐次方程 ln dx x x 2 d y 1 x 3 线性方程 y ( 3 ) ( y x ) d x 2 x d y 0 dx 2x 2 2 线性方程 d x 1 y 3 x ( 4 ) 2 y d x ( y x ) d y 0 dy 2y 2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 2 y 2 x y ) d x x d y 0 . 例2. 解微分方程 ( d y y y2 y 解: 方程变形为 , 2 令 u , 则有 d x x x x 2 u x u 2 u u
du dx 1 1 d x 分离变量 即 d u 2 x u u u 1u x x(u1) u 1 C ln x ln C , 即 积分得 ln u u
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y y tan . 例1. 解微分方程 y x x y 解: 令 u , 则 y u x u ,代入原方程得 x u x u u tan u cos u dx du 分离变量 sin u x cos u d x d u 两边积分 sin u x ln sin u ln x ln C ,即 得 sin u C x y 故原方程的通解为 sin C x ( C 为任意常数 ) x ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
P ( x ) d x
齐次方程通解ຫໍສະໝຸດ 非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束
5 d y 2 y ( x 1 ) 2. 例1. 解方程 d x x 1 d y 2d x dy 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 2 积分得 ln y 2 ln x 1 ln C , 即 y C ( x 1 ) 2 y u ( x ) ( x 1 ) ,则 用常数变易法求特解. 令
d y P (x )yQ (x ) 一阶线性微分方程标准形式: d x 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P(x)y 0 1. 解齐次方程 dx dy P(x)dx 分离变量 y 两边积分得
ln y P ( x ) d x ln C
ue
P(x)dx
( x ) d x P
P (x)dx
Q (x )
P ( x ) d x e Q ( x ) e d x C 故原方程的通解 y P ( x ) d x P ( x ) d x P (x )dx e Q ( x ) e d x y Ce 即
第三节 齐次方程
一、齐次方程 *二、可化为齐次方程
第七章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、齐次方程
dy y 形如 ( ) 的方程叫做齐次方程 . dx x y dy du u x , 解法: 令 u , 则 y u x , x dx dx du (u) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u) u x du dx 两边积分, 得 ( u ) u x y 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. x