高等数学上学期期末考试试卷及答案四份
大一上学期高等数学期末试题及解答
Q( x) sin x , x
y
e
1 x
dx
s
in x
x
e
1 x
dx
dx
C
eln x sin x eln x dx C
x
1 x
sin x x
x dx
C
1 cos x C .
x
把y( ) 1代入通解，得 C 1.
故特解为
y 1 ( cos x 1).
x
四、计算题（每小题9分，共36分）
则f (ln x)定义域是 [1, e] .
知识点：复合函数的定义域
分析 0 ln x 1, 1 x e
一、 填空题（每小题3分，共15分） 2. 已知y x x ,则y _______ .
知识点：对数求导法
解 ln y x ln x , y =lnx 1, y
y xx (ln x 1).
( A) p 1,q 2; (B) p 2,q 3;
(C) p 2,q 1; (D) p 3,q 2 .
解： 特征方程为：r2 pr q 0 , 把特征根 r1 1 , r2 2 1 p q 0 分别代入特征方程，得 4 2 p q 0
解得
p 3,q 2 .
4. 求曲线y e x ( x 0)与y 0, x 0围成的
右边无限伸展的图形绕轴旋转一周所得立体的体积.
知识点： 反常积分，定积分的应用，旋转体的体积，
解 V + πy2dx + πe2xdx
0
0
π e2x 2
|0+
π. 2
五、解答题（每小题10分，共20分）
1. 在抛物线y x2 (0 x 1)上找一点P，使经过P的
(完整word版)大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1012330()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰0123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案高等数学I（大一第一学期期末考试题及答案）1.当 $\alpha x$ 和 $\beta x$ 都是无穷小时，$\alpha(x)+\beta(x)$ 不一定是无穷小。
2.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin x+e^{2ax}-1}{x}$ 的值是 $2a$。
3.如果 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x},& x\neq 0\\ \quad\quad 1,& x=0\end{cases}$ 在 $x=a$ 处连续，则$a=e^{-1}$。
4.如果 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则$f'(a)=\dfrac{1}{3}(f(a+2h)-f(a-h))$。
5.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x}$ 的值是 $1/a$。
6.确定函数 $y(x)$，使得 $y(x)$ 的导函数为$y'(x)=\dfrac{y}{2\sin(2x)}+\dfrac{y e^{xy}}{x}-\dfrac{x}{y\ln x}$，则 $y(x)=\dfrac{1}{\ln x}$。
7.过点 $M(1,2,3)$ 且与平面 $x+2y-z=0$ 和 $2x-3y+5z=6$ 平行的直线 $l$ 的方程为 $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$。
8.函数 $y=2x-\ln(4x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$。
9.计算极限 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{-e^x}-e}{x}$，结果为 $-1/2$。
10.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)=\int_a^x(x-t)f(t)dt$ 的二阶导数为 $F''(x)=f(x)$。
大一（第一学期）高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnn n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：112330()2xf x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
高数(大一上)期末试题及答案
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。
0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e))，答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。
高等数学(上)期末试题及答案
导数的应用：曲线的切线方程和法线方程，函数的单调性、极大极小值的求解，曲线的凹凸区间的求解。
不定积分：要记住基本的积分公式，换元法求积分，同样将复合函数的中间变量写出来，得出微分之间的关系式，代进去求解，分部积分法按照反对幂三指的顺序来确定u和dv来求解。
定积分：牛顿莱布尼兹公式，定积分的换元法求解的时候，要注意积分上下限的变换。
定积分的应用，面积的求解公式，直角坐标系下和极坐标系下的公式，关键是极角的范围的确定，画不出草图，就根据极劲大于0来确定极角的范围，体积的求解，只要是记住旋转体的体积计算公式，绕两个坐标轴的计算公式。曲线的弧长，记住三个公式就可以了.
1、 ．
2、
3、 ．
4、 ．．7、求微源自方程 的通解．五、应用题（每小题7分，共14分）
六、证明题（4分）
这是别的学校的考试卷，而我们学校的一般只有填空题，没有选择题，应用题一般也只有第一题的形式，第二个应用题的形式很少出现，我们的重点是放在：
极限的求解：分子分母都是0或者是无穷大的洛用必达法则来求解，幂指函数就用取对数以后再用洛必达法则来求解，分母不为0的话，就直接代进去就可以了。
《高等数学（上）》
一、选择题（每小题2分，共12分）
3、微分方程 的一个特解应具有形式（）．
(A) (B) (C) (D)
二、填空题（每小题2分，共16分）
①．
②．
③．
④．
⑤．
⑥．
⑦．
8、若曲线 在点 的切线与纵坐标轴的交点为 ，且 的长都是2，则该曲线 应满足的微分方程为⑻．
高数期末考试题及答案大全
高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求其在 \(x=1\) 处的切线方程。
答案：首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
在 \(x=1\) 处，导数值为 \(f'(1) = -1\)，函数值为 \(f(1) = 0\)。
切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\)，即 \(y = -x + 1\)。
试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 \(x = \tan(\theta)\)，\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。
则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。
利用二倍角公式，\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。
积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。
高等数学上学期期末考试试卷及答案四份
高等数学试卷（B 卷）答案及评分标准2004-2005年度第一学期科目: 高等数学I 班级: 姓名: 学号: 成绩:一、填空题（5153'=⨯'）1、()3)2ln(--=x x x f 的定义域是_2、 2 )1sin 2sin (lim 0x =⋅+→xx x x 3、 e )31(lim 3=+∞→xx x e )31(lim 3=+∞→x x x4、如果函数x x a x f 3sin 31sin )(+=，在3π=x 处有极值，则2=a5、34d )1(sin cos 223=+⋅⎰-x x x ππ二、单项选择题（5153'=⨯'）1、当0→x 时，下列变量中与2x 等价的无穷小量是（ ）A . x cos 1-B .2x x + C . 1-x e D . x x sin )ln(1+2、)A ()(' ,)(的是则下列极限中等于处可导在设a f a x x f =。
A ．h h a f a f h )()(lim0--→ B ．hh a f h a f h )()(lim 0--+→C ．h a f h a f h )()2(lim 0-+→ D ． hh a f h a f h 3)()2(lim 0--+→3、设在[]b a ,上函数)(x f 满足条件()0)(,0<''>'x f x f 则曲线()x f y =在该区间上（ ） A. 上升且凹的 B. 上升且凸的 C. 下降且凹的 D. 下降且凸的4、设函数()x f 具有连续的导数，则以下等式中错误的是（ ）A.)(d )(d d x f x x f xb a =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ B. x x f t t f x a d )(d )(d =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ C. ()x x f x x f d )(d )(d=⎰ D. C t f t t f +='⎰)(d )(5、反常积分⎰∞+- 0d 2x xex （ ）A. 发散B. 收敛于1C. 收敛于21D. 收敛于21-三、算题（'488'6=⨯）1、求极限xxx x 30sin sin tan lim -→2、求22)2()ln(sin lim x x x -→ππ3、求曲线⎩⎨⎧==ty tx 2cos sin 在当4π=t 处的切线方程和法线方程4、已知函数0,sin >=x x y x ，计算xy d d5、求积分⎰x e x d6、求积分x x e ed ln 1⎰7、计算曲线π≤≤=x x y 0,sin 与x 轴围成的图形面积，并求该图形绕y 轴所产生的旋转体体积。
高一上学期期末数学试卷及答案共4套
高一上数学期末试卷一、选择题1.集合}{01032<-+=x x x A ，}{410<+<=x x B ，则)(B C A R ⋂＝（ ）Ａ.}{21<<-x x Ｂ.}{3215≤<-≤≤-x x x 或 Ｃ.}{15-≤<-x x Ｄ.}{15-≤≤-x x 2.若1,2(2,3),(3,2),()m A B C --三点共线 则m 的值为（ ）Ａ.21 Ｂ.21- Ｃ.2- Ｄ.2 3.如果一个水平放置的图形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底都为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） Ａ.222+ Ｂ.221+ Ｃ.22+ Ｄ.21+ 4.已知函数)1(+=x f y 定义域是[]3,2-，则y =f (2x -1)的定义域是（ ）Ａ.[]-14， Ｂ.[]052， Ｃ.[]-55， Ｄ.]73[，- 5．b a ,满足10<<<b a ，下列不等式中正确的是（ ） Ａ.b a a a < Ｂ.b a b b < Ｃ.aab a < Ｄ.bba b <6.已知))()(()(b a b x a x x f >--=其中，若)(x f 的图象 如图所示：则b a x g x +=)(的图象是（ ）7.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） Ａ.46+π Ｂ.412+π Ｃ.126+π Ｄ.1212+π8.在空间给出下面四个命题（其中n m ,为不同的两条直线，βα，为不同的两个平面）①n m n m ⊥⇒⊥αα∥,②αα∥∥，∥m n n m ⇒③βααβ⊥⇒⊥∥，，∥m n n m ④βαβαβα∥∥，∥，∥，∥，⇒=⋂n n m m A n m 其中正确的命题个数有( )xy o1-11oxy1oxy 1oxy1oxyA B C DＡ.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个9.函数)3(log )(22a ax x x f +-=在),2[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） Ａ.4≤a Ｂ.2≤a Ｃ.44≤<-a Ｄ.42≤≤-a 10.已知1,0≠>a a ，x a x x f -=2)(，当)1,1(-∈x 时，均有21)(<x f ，则实数a 的取值范围是（ ）Ａ.[)∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛，，2210 Ｂ.(]2,1121⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡， Ｃ.[)∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛，，4410 Ｄ.(]4,1141⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡，11.已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞，且满足)()()(y f x f xy f +=，1)21(=f ，如果对于y x <<0，都有)()(y f x f >，不等式2)3()(-≥-+-x f x f 的解集为（ ） Ａ.[)(]4,30,1⋃- Ｂ.[]4,1- Ｃ.(]4,3 Ｄ.[)0,1-12.设函数)(x f 的定义域为D ，若函数)(x f 满足条件：存在[]D b a ⊆,，使)(x f 在[]b a ,上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2b a ，则称)(x f 为“倍缩函数”，若函数)2(log )(2t x f x +=为“倍缩函数”，则t 的范围为（ ）Ａ.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 Ｂ.）（1,0 Ｃ.⎥⎦⎤⎝⎛210， Ｄ.),41(+∞ 二、填空题13.已知定点)31(，-A ,)24(，B ,以B A ,为直径的端点作圆，与x 轴有交点C ，则交点C 的坐标_________.14.函数)54lg(2+-=x x y 的值域为_____________.15.三棱锥ABC P -的各顶点都在一半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，且有PC PB PA ==，底面ABC ∆中︒=∠60ABC ，则球与三棱锥的体积之比是 ．16.对于实数b a ,，定义运算⎩⎨⎧>-≤-=⊗⊗11:""b a b b a a b a ，设函数)()2()(22x x x x f -⊗-=，若函数c x f y -=)(的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________. 三、解答题17.已知集合}{01032<--=x x x A ，}{121-≤≤+=m x m x B .（1）当3=m 时，求集合B A ⋂,B A C R ⋂）（； （2）若B B A =⋂，求实数m 的取值范围.18．某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路，该产品广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差，如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场的抽样调查：每付出100万元的广告费，所得的销售额是1000万元，问该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效应？是不是广告做的越大越好？ 19.如图，三棱柱111C B A ABC -中,,AC BC ⊥1,AB BB ⊥1AC BC BB ==，D 为AB 的中点，且1CD DA ⊥．（1）求证：1BC ∥平面1DCA ； （2）求1BC 与平面11ABB A 所成角的大小．20.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=.（1）求函数)(x f ，R x ∈的解析式；（2）若函数[]2,1,22)()(∈+-=x ax x f x g ，求函数)(x g 的最小值 21.已知函数）（Z ∈=++-m xx f m m 322)(为偶函数，且)5()3(f f <. （1）求m 的值，并确定)(x f 的解析式.（2）若)1,0]()([log ≠>-=a a ax x f y a 且在区间[]3,2上为增函数，求实数a 的取值范围.22.已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =，(1)1,(27)9f f -==，当01x <<时，0()1f x <<.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在()∞+，0上的单调性，并给出证明； （3）若0a ≥且(1)f a +≤，求a 的取值范围高一期末试卷（二）答案及解析一、选择题13.(1,0),(2,0) 14.[)∞+，0 15．16．三、解答题 17.答案：见解析解析：（1）}}{{5201032<<-=<--=x x x x x A 当3=m 时，}{54≤≤=x x B所以}{54<≤=⋂x x B A ,}{52≥-≤=x x x A C R 或所以}{5=⋂B A C R ）（ (2)因为B B A =⋂，所以A B ⊆①当φ=B 时，121->+m m ，即2<m ,此时A B ⊆②当φ≠B 时，⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m 即32<≤m ，此时A B ⊆综上所述，m 的取值范围是}{32<≤m m 点拨：（1）集合的基本运算. （2）集合间的基本关系. 18.答案：见解析解析：设广告费为x 万元，广告效应为y 万元，销售额为t 万元.由题意知x t y x k t -=⋅=,.25002500502500)50(100),0(,,100,100.100,10010001000t 100222有最大值时，，即当则令，时，当y x m m m m y m m x m x x x y x t k k x ==∴+--=-=∴≥==-=∴=∴=∴⋅=∴==所以该企业投入2500万元广告费时，能获得最大的广告效应，显然，并非广告做的越大越好.点拨：解决实际应用的步骤：（1）建数学模型. （2）写出解析式.（3）依据二次函数求最值. 19.答案：见解析解析：⑴证明:如图一，连结1AC 与1A C 交于点K ，连结DK . 在△1ABC 中，D 、K 为中点，∴DK ∥1BC .又DK ⊂平面1DCA ，1BC ⊄平面1DCA ，∴1BC ∥平面1DCA .图一 图二 图三 ⑵证明：(方法一)如图二，∵,AC BC D =为AB 的中点，∴CD AB ⊥. 又1CD DA ⊥，1ABDA D =，∴CD ⊥平面11ABB A .取11A B 的中点E ，又D 为AB 的中点，∴DE 、1BB 、1CC 平行且相等， ∴1DCC E 是平行四边形，∴1C E 、CD 平行且相等.又CD ⊥平面11ABB A ，∴1C E ⊥平面11ABB A ，∴∠1EBC 即所求角. 由前面证明知CD ⊥平面11ABB A ，∴1CD BB ⊥，又1AB BB ⊥，AB CD D =，∴1BB ⊥平面ABC ，∴此三棱柱为直棱柱. 设12,AC BC BB ===∴1BC =，1EC =1EBC ＝30︒. (方法二)如图三，∵,AC BC D =为AB 的中点，∴CD AB ⊥. 又1CD DA ⊥，1ABDA D =，∴CD ⊥平面11ABB A .取1DA 的中点F ，则KF ∥CD ，∴KF ⊥平面11ABB A . ∴∠KDF 即1BC 与平面11ABB A 所成的角. 由前面证明知CD ⊥平面11ABB A ，∴1CD BB ⊥，又1AB BB ⊥，AB CD D =，∴1BB ⊥平面ABC ，∴此三棱柱为直棱柱. 设12,AC BC BB ===∴KF =，DK =30KDF =︒. 点拨：（1）线面平行的判定定理. （2）线面交的求法. 20.答案：见解析解析：（1）当0>x 时，0<-x ，所以x x x x x f 2)(2)()(22-=-⨯+-=-， 函数是定义在上的偶函数，所以)()(x f x f =-，所以x x x f 2)(2-=，所以222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩.（2）①当11a +≤时，即0a ≤ min ()(1)12g x g a ==- ②当112a <+<时，即01a << 2min ()(1)21g x g a a a =+=--+ ③当12a +≥时，即1a ≥ min ()(2)22g x g a ==-综上：212,0()21,0124,1a a h a a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩.点拨：（1）依据奇偶性求解析式. （2）含参数的二次函数的最值求法. 21.答案：见解析解析：（1）∵)(x f 是偶函数，∴322++-=m m y 为偶函数。
高数上册期末考试题及答案
高数上册期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数是（）。
A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. x+2答案：A2. 若函数f(x)在x=a处可导，则下列说法正确的是（）。
A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不连续D. f(x)在x=a处不一定连续答案：A3. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B4. 函数y=ln(x)的不定积分是（）。
A. x+CB. e^x+CC. ln(x)+CD. 1/x+C答案：D5. 以下哪个级数是发散的（）。
A. 1+1/2+1/3+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1/2+1/4+1/6+...D. 1/2^2+1/3^2+1/4^2+...答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的二阶导数是________。
答案：6x-32. 函数f(x)=e^x的原函数是________。
答案：e^x+C3. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是________。
答案：04. 函数y=x^2的不定积分是________。
答案：1/3x^3+C5. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点是________。
答案：x=-1三、解答题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,3]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。
经检验，f(1)=-1为最小值，f(3)=1为最大值。
2. 求极限lim(x→2) [(x^2-4)/(x-2)]。
答案：lim(x→2) [(x^2-4)/(x-2)] = lim(x→2) [(x+2)(x-2)/(x-2)] = lim(x→2) (x+2) = 4。
(完整版)大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案
第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题(本大题共16小题，总计80分)1、(本小题5分)求极限 lim x x x x x x →-+-+-23321216291242、(本小题5分) .d )1(22x x x ⎰+求3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsinx x x →∞⋅14、(本小题5分)⎰-.d 1x x x 求5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ⎰+2021 6、(本小题5分)⎰⋅.d csc cot 46x x x 求7、(本小题5分) ．求⎰ππ2121cos 1dx x x8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e ty y x dy dx t t ==⎧⎨⎪⎩⎪=cos sin (),229、(本小题5分) ．求dx x x ⎰+301 10、(本小题5分)求函数 的单调区间y x x =+-42211、(本小题5分) ．求⎰π+202sin 8sin dx x x 12、(本小题5分)．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=-13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分)求函数的极值y e e x x =+-215、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222Λ16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ⎰+求二、解答下列各题(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分),,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿2、(本小题7分) .8232体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y ==三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230一学期期末高数考试(答案)一、解答下列各题(本大题共16小题，总计77分)1、(本小题3分)解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→lim x x x 261218 =22、(本小题3分) ⎰+x x x d )1(22 ⎰++=222)1()1d(21x x =-++12112x c .3、(本小题3分) 因为arctan x <π2而limarcsin x x →∞=10故limarctan arcsin x x x →∞⋅=10 4、(本小题3分) ⎰-x x x d 1 x x x d 111⎰----= ⎰⎰-+-=x x x 1d d =---+x x c ln .1 5、(本小题3分)原式=+214x x6、(本小题4分) ⎰⋅x x x d csc cot 46⎰+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x=--+171979cot cot .x x c7、(本小题4分) 原式=-⎰cos ()1112x d x ππ=-sin 112x ππ=-1 8、(本小题4分) 解： dy dx e t t e t t t t t =+-22222(sin cos )(cos sin ) =+-e t t t t t t (sin cos )(cos sin )2222 9、(本小题4分)令 1+=x u 原式=-⎰24122()u u du=-2535312()u u =11615 10、(本小题5分) ),(+∞-∞函数定义域 01)1(222='=-=-='y x x x y ，当 (][)+∞<'>∞->'<,1011,01函数的单调减区间为，当函数单调增区间为， 当y x y x 11、(本小题5分)原式=--⎰d x x cos cos 9202π=-+-163302ln cos cos x x π=162ln12、(本小题6分) dx x t dt ='()[]dt t k t k e kt ωωωωsin )34(cos )34(+--=- 13、(本小题6分) 2265yy y y x '+'='=+y yx y 315214、(本小题6分) 定义域，且连续(),-∞+∞ '=--y e e x x 2122()驻点：x =1212ln 由于''=+>-y e e x x 20 22)21ln 21(,,=y 故函数有极小值 15、(本小题8分) 原式=++++++++--→∞lim ()()()()()()x x x x x x x 1121311011011112222Λ =⨯⨯⨯⨯=101121610117216、(本小题10分) dx x x dx x x x ⎰⎰+=+2sin 2112cos cos sin 12cos :解⎰++=x x d 2sin 211)12sin 21(=++ln sin 1122x c 二、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分)1、(本小题5分)设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 x xL x x x ,,()51225120=+> '=-=L x x 2512162 唯一驻点 ''=>=L x x 10240163 即为极小值点 故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省165121632,,= 2、(本小题8分)解 :,,.x x x x x x 232311288204====V x x dx x x dx x =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎰⎰ππ()()()223204460428464=⋅-⋅π()1415164175704x x π=-π=35512)7151(44三、解答下列各题( 本 大 题10分 ) 证明在连续可导从而在连续可导:()(,),,[,];,.f x -∞+∞03又f f f f ()()()()01230====则分别在上对应用罗尔定理得至少存在[,],[,],[,](),011223f x ξξξξξξ1231230112230∈∈∈'='='=(,),(,),(,)()()()使f f f 即至少有三个实根'=f x (),0,,,0)(它至多有三个实根是三次方程又='x f由上述有且仅有三个实根'f x ()高等数学（上）试题及答案一、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 20=+→x x x 。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有 4 小题,每小题4分, 共16分)1..) f ( x ) 设0处在x(有cos x ( x sin x ),则 f ( x) .不可导（D）CAB f (0) 02 f (0) 1 f (0)）（（（））33 3时（(1，，则当x设1)xx）( x)2..x1(x)( x)与(x)与( x)B是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（A））（是等价无穷小；(x)( x)( x) 是比(x) 高阶的无穷小；（C）是比高阶的）（D.无穷小x dt)f(tx)3.) F ( x( 1,1) f ( x) 在区间上其中若，二阶可导且( 2t0f ( x )0 .），则（ F ( x)x 必在（A）函数取得极大值；处0 F ( x)x 必在）函数（B取得极小值；0处yF ( x)(0, F (0))在x为曲线处没有极值，但点（C）函数0 F ( x) 的拐点；y(0, F (0))F (x)（D）函数在x也不是曲线处没有极值，点 F ( x) 0的拐点。
1是连续函数，且设f ( x ))f ( x ) x2 f ( x ) (f ( t )dt , 则4.022xx2x 2 .（（A）B）（C）x 1（D）22分）16 小题，每小题 4 分，共4 二、填空题（本大题有2sin x lim ( 13 x )5..x 0cosxcosx d x则 f ( x)已知是f ( x) 的一个原函数,xx6..)coscos(coslimn22221n7.nnnn.arcsin x x 1122dx21x18.－.2分）分，共40 8 5 小题，每小题三、解答题（本大题有y x y y (0)y ( x ) y(x) 1 e设函数.9.以及确定，求由方程sin( xy)7 1x dx.求7 10. ) x(1 xx，xe x01．设f ( x )求f ( x )dx211.0，x 2 xx 131f ( x) f ( xt ) dt A g( x )limf (x)，A为常数. 求x 012. 连续，设函数x ，且0g(x) g( x) x0 处的连续性 .在并讨论1y(1)xy x ln x 求微分方程13.9 2 y满足的解.10 分）解答题（本大题四、0)(01,)14.，且曲线上任一点，过点已知上半平面内一曲线y y( x) ( x y, y)M ( x x x处切线斜率数值上等于此曲线与所围成轴、直线轴、x 00 0.倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程面积的2分）五、解答题（本大题10 ln xyln x y及x 的切线，该切线与曲线轴围15.过坐标原点作曲线成平面图形 D.(1)求 D 的面积A；(2) 求 D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.2 小题，每小题 4 分，共8 分）六、证明题（本大题有f ( x )0,1q的明对任意调递减，证上连续且单16. 在数设函[ 0,1] ，q1f ( x) d x q f ( x)dx.00f ( x ) d x0f ( x ) cos x dx 00,f ( x)17. 在设函数，上连续，且.0 00,,0.)f ( f ( )证明：在内至少存在两个不同的点（提，使21 2 1xF ( x)f ( x )dx示：设）0解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题 4 分,共16分)C、C41、D2、A 3、4 小题，每小题 4 分，共16 分）二、填空题（本大题有1 cosx )(c625.3..6. 2x.7.2. 8.e5 小题，每小题8 分，共40 分）三、解答题（本大题有9.解：方程两边求导x y ( 1 y ) ec oxys( xy) ( y) x ey cos(xy)y y ( x )x ex cos(xy)y0 y (0)，0, y1x6710. 解：ux7 x dxdu(1u)1121原式)dudu(7u(1u)7uu112ln | u1|)c(ln | u |72177 | C ln |1 x ln | x |77dx dx2x xxe f ( x)dx解：11. 033011x22x10dx1)e )xd(( x1cosxe0300xx2ed (令x1 sin )3232e14 f (0)解：由12. 0 g(0)0。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案【呕心沥血整理版】
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题， 每小题4分， 共16分） 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f 。
(A ）(0)2f '= （B)(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A)()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小; (B ）()()x x αβ与是等价无穷小；(C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则( ）.(A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；(C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点.4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x (B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +。
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则。
7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。
8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。
三、解答题(本大题有5小题，每小题8分,共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案(完整版).doc
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
高等数学上期末试卷(含答案)
一． 选择题：（每小题3分，共15分）1. 若当0x →时，arctan x x -与nax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B.13 C. 3- D. 13- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3()f x x =C. ()e e xxf x -=+ D. 1,10()0,01x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩3. 如果()e ,xf x -=则(ln )d f x x x'=⎰ ( )B A. 1C x -+ B. 1C x+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.曲线y x=渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()()]d aa f x g x x -''''+=⎰( ) DA. ()()f a g a ''+B. ()()f a g a ''-C. 2()f a 'D. 2()g a '二． 填空题：（每小题3分，共15分）1. 要使函数2232()4x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = .142. 曲线2e x y -=在区间 上是凸的.(,22-序号3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+4. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.定积分11(cos x x x -+=⎰ .π2三．解下列各题：（每小题10分，共40分）1．求下列极限（1）22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦. 解：原式=2240ln(1)lim x x x x→-+ …………..2分 2302211lim.42x xx x x →-+== ………….3分 （2）()22220e d lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰.解：原式= ()222202e d e limext x x x t x --→⋅⎰………….3分 22000e d e =2lim2lim 2.1x t xx x t x--→→==⎰ …………..2分2. 求曲线0πtan d (0)4x y t t x =≤≤⎰的弧长.解：s x x == …………..5分ππ440sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰解：1(),1e xf x -=+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e xx xf x x x x ---=-=++⎰⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分4. 已知2lim e d ,xc x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰求常数.c 解：2lim e ,xc x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭………….4分 221e d (24cxc c x x -∞=-⎰ …………. 4分 5.2c = …………. 2分四．解下列各题：（每小题10分，共30分）1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >且1()()d d ,()xba xF x f t t t f t =-⎰⎰求证： （1）[,],()2;x a b F x '∀∈≥（2）()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.证明：（1）1()()2,()F x f x f x '=+≥= ……3分 （2）()F x 在[,]a b 上连续 ……1分11()()d d d 0,()()a bb aaa F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰⎰ ……2分1()()d d ()d 0,()b bb aba Fb f t t t f t t f t =-=>⎰⎰⎰ ……2分由零点定理，()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分 又()F x 在[,]a b 上严格单调增，从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.……1分2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线1x =围成图形的面积为2.S（1）确定a 的值，使12S S S =+取得最小值，并求此最小值; （2）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解：22(0,0),(,)y ax a a y x=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1220()d ()d a aS ax x x x ax x =-+-⎰⎰31,323a a =-+21()0,22S a a a '=-=⇒=唯一驻点()20,S a a ''=>最小值2(.26S = ……..4分1222222π[()()]d π[()()]d 22x V x x x x x x =-+-1π.30+=……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)(1)0,f f ==证明：存在(0,1),ξ∈使得()()0.f f ξξξ'''+=证明：令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微， ……..3分(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微，由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'……..3分(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()()，F x f x xf x ''''=+(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。
(完整版),期末高等数学(上)试题及答案,推荐文档
1、(本小题 3 分)
解: 原式
lim
x2
3x 6x2
2 12 18x
12
6x lim x 2 12 x 18
2
2、(本小题 3 分)
(1
x x2)2
dx
1 d(1 x2 ) 2 (1 x 2) 2
11 2 1 x2 c.
3、(本小题 3 分)
因为 arctan x
而 lim arcsin 1 0
lim
x
x
x
x
1
1
(10 )(11 )
x
x
10 11 21
(10 1 ) 2 x
6 10 11 7
2
16、( 本小题 10 分 )
解:
cos2x dx
1 sin x cosx
d( 1 sin 2x 1) 2
1 1 sin 2x 2
1 ln 1 sin 2x c
2
二、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 13 分 ) 1、(本小题 5 分)
且
F ( 1) 1 0 ， F (1) 1 0 .
22
由零点定理知存在
x1
1 [
,1]
，使
F ( x1 )
0.
2
由 F ( 0) 0 ，在 [ 0, x1] 上应用罗尔定理知，至少存在一点
(0, x1) ( 0,1) ，使 F ( ) f ( ) 1 0 ，即 f ( ) 1 …
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9、(本小题 5 分)
3
求 x 1 x dx． 0
10、( 本小题 5 分 )
求函数 y 4 2 x
11、( 本小题 5 分 )
期末考试数学试卷答案上册
一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 0D. 1答案：C2. 下列各式中，正确的是（）A. (-3)^2 = -9B. (-2)^3 = -8C. (-5)^0 = 1D. (-4)^2 = 16答案：B3. 下列各式中，能化为同类二次根式的是（）A. √3 + √5B. √6 - √2C. √8 + √10D. √12 - √9答案：D4. 下列函数中，y随x增大而减小的函数是（）A. y = 2x - 3B. y = -x + 4C. y = 3x^2 - 2x + 1D. y = -x^2 + 4x - 3答案：B5. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，则方程的解为（）A. x1 = 2，x2 = 3B. x1 = 3，x2 = 2C. x1 = -2，x2 = -3D. x1 = -3，x2 = -2答案：A二、填空题（每题5分，共25分）6. （-2）^3 × （-3）^2 = _______答案：367. 若|a| = 5，则a的值为 _______ 或 _______答案：5 或 -58. 若二次方程ax^2 + bx + c = 0的解为x1和x2，则x1 + x2 = _______答案：-b/a9. 函数y = 2x + 3的图象与x轴的交点坐标为 _______答案：（-3/2，0）10. 若函数y = kx^2 + bx + c的图象开口向上，则k的取值范围为 _______答案：k > 0三、解答题（每题10分，共40分）11. （1）求下列各数的平方根：√9答案：±3（2）求下列各数的立方根：∛27答案：312. （1）解下列方程：x^2 - 5x + 6 = 0答案：x1 = 2，x2 = 3（2）解下列方程组：x + y = 52x - y = 1答案：x = 2，y = 313. （1）写出下列函数的对称轴和顶点坐标：y = 2(x - 1)^2 + 3答案：对称轴为x = 1，顶点坐标为（1，3）（2）求函数y = -x^2 + 4x - 3的图象与x轴的交点坐标。
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高等数学试卷（B 卷）答案及评分标准2004-2005年度第一学期科目: 高等数学I 班级: 姓名: 学号: 成绩:一、填空题（5153'=⨯'）1、()3)2ln(--=x x x f 的定义域是_2、 2 )1sin 2sin (lim 0x =⋅+→xx x x 3、 e )31(lim 3=+∞→xx x e )31(lim 3=+∞→xx x4、如果函数xx a x f 3sin 31sin )(+=，在3π=x 处有极值，则2=a5、34d )1(sin cos 223=+⋅⎰-x x x ππ二、单项选择题（5153'=⨯'）1、当0→x 时，下列变量中与2x 等价的无穷小量是（ ）A . x cos 1-B . 2x x + C . 1-xeD . x x sin )ln(1+2、)A ()(' ,)(的是则下列极限中等于处可导在设a f a x x f =。
A ．h h a f a f h )()(lim0--→ B ．hh a f h a f h )()(lim 0--+→C ．h a f h a f h )()2(lim 0-+→ D ． hh a f h a f h 3)()2(lim 0--+→3、设在[]b a ,上函数)(x f 满足条件()0)(,0<''>'x f x f 则曲线()x f y =在该区间上（ ）A. 上升且凹的B. 上升且凸的C. 下降且凹的D. 下降且凸的4、设函数()x f 具有连续的导数，则以下等式中错误的是（ ）A. )(d )(d d x f x x f x b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ B. x x f t t f x a d )(d )(d =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ C. ()x x f x x f d )(d )(d=⎰ D. C t f t t f +='⎰)(d )(5、反常积分⎰∞+- 0d 2x xex （ ）A. 发散B. 收敛于1C. 收敛于21D. 收敛于21-三、算题（'488'6=⨯）1、求极限x xx x 30sin sin tan lim -→2、求22)2()ln(sin lim x x x -→ππ3、求曲线⎩⎨⎧==ty tx 2cos sin 在当4π=t 处的切线方程和法线方程4、已知函数0,sin >=x x y x，计算xy d d 5、求积分⎰x e x d6、求积分x x e ed ln 1⎰7、计算曲线π≤≤=x x y 0,sin 与x 轴围成的图形面积，并求该图形绕y 轴所产生的旋转体体积。
8、计算星型线0,20,cos ,sin 33>≤≤==a t t a y t a x π的全长.四、求函数求10123+-=x x y 的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点（'7）五、设)(0 ]10[)(x f x f <且上连续，，在, 证明：方程1d )( 0=+⎰xt t f x 在[0,1]上有且仅有一根（'5）六、设f (x )连续, 计算t t x f t xx d )(d d 0 22⎰- （'5）七、⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=01062t tt t e t f t ，，）（设 , 计算：⎰∞-=xt t f x F d )(）（（'5）答案：一、填空题1、（2，3）∪（3，+∞）2、23、e )31(lim 3=+∞→x x x4、25、34d )1(sin cos 223=+⋅⎰-x x x ππ二、1、D2、A3、B4、A5、C三、计算题1、解：x xx x 30sin sin tan lim -→=x x x 20sin cos 1lim -→=21 2’ 4’2、解：22)2()ln(sin lim x x x -→ππ=)2(4cos sin 1lim 2x xx x --→ππ=)2(4cos lim 2x x x --→ππ=81 3、解: 当4π=t曲线过点)0,22(, 由于22d d 4-=πxy, 4’所以, 当4π=t 处的切线方程和法线方程分别为:)22(22--=x y 1’ )22(42-=x y 1’ 4、解:)sin ln (cos )sin ln (cos d )(d d d sin ln sin ln sin x xx x x x x x x e x e x y x x x x x +=+==解: 令u u x x u d 2d ,==, 则: 1’ 解: 令u u x x u d 2d ,==, 则: 1’5、令u u x x u d 2d ,==, ⎰x e x d=c e x c e u u e ue u ue xuu u u +-=+-=-=⎰⎰)1(2)1(2d 22d 26、解:x x eed ln 1⎰=ex x x x x x x x x x e e eeee 22d ]ln [d ]ln [d ln d ln 111111111-=-++-=+-⎰⎰⎰⎰7、解:面积⎰==π2d sin x x s 2’体积微分元x x x V d sin 2d π= 1’所求体积204d cos 2]cos 2[d sin 2πππππππ=+-==⎰⎰x x x x x x x V 3’8、解: 弧微分t t a s d 2sin 23d =2’ 弧长⎰⎰===20206d 2sin 6d 2sin 23ππa t t a t t a s 4’四、解:2,2,0',123'212=-==-=x x y x y 得驻点令 1’,0'',6''3===x y x y 得点令由上可知:函数的单调增区间为: (-∞,-2),(2,+∞); 函数的单调减区间为:(-2,2) 2’函数的极大值点:(-2,26),极小值点(2,-6) 1’ 凹区间为:(0,+∞),凸区间为:(-∞,0) 1’ 拐点为:(0,10)五、证: 构造函数=)(x ϕ1d )( 0 -+⎰xt t f x , 函数在[0,1]上连续,在区间内可导 1’0d )()1(,1)0(1>=-=⎰x x f ϕϕ,由连续函数的零点定理知,存在ξ在(0,1)内使0)(=ξϕ 2’ 又因为0)(1)('>+=x f x ϕ所以函数在(0,1)的零点唯一. 2’ 原命题得证.六、解: 令:22t x u -=, t t u d 2d -= 2’t t x f t x x d )(d d 0 22⎰-=)(]d )(21[d d 20 x 2x f x u u f x =-⎰ 七、解:当⎰∞===≤xx t e t e x F x d )(0时， 2’当⎰⎰⎰∞=∞-+=++==>x x tx t tt t e t t f x F x 36200arctan 311d 1d d )()(0时，《高等数学IV1》课程考试试卷（A 卷）学院 专业 班级学号 姓名…一、选择题（每小题3 分，共12分）1、设2()3,f x x x x =+使()(0)n f存在的最高阶数n 为（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 2、函数dt e t y x t ⎰-=2 0)1( 有极大值点（ ）（A ） 1=x （B ） 1-=x （C ） 1±=x （D ） 0=x 3、已知函数()f x 的一个原函数是x 2sin ，则'()xf x dx =⎰（ ）(A) 2cos2sin 2x x x C -+ (B) 2sin 2cos2x x x C -+(C) 2sin 2cos2x x x C ++ (D) sin 2cos2x x x C -+4、2x =是函数1()arctan 2f x x=-的 （ ）（A ）连续点 （B ）可去间断点 （C ）第一类不可去间断点 （D ）第二类间断点二、填空题（每小题3 分，共12分）1、函数x y xe -=的图形的拐点是。
2、曲线21x ey --=的渐进线是 。
3、设dt e x f xt ⎰-=02)(，则 0()()lim h f x h f x h h→+--= 。
4、=-→xx x 2)1(lim 。
三、求下列极限（每小题6分，共12分）。
1、2301cos(1)limtan sin x x e x x→--⋅。
2、()011lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭。
四、计算下列微分或导数（每小题6分，共18分）。
1、21x ln x arctan x y +-=，求dy 。
2、cos (sin ),x dy x dx=若y 求。
3、设cos sin x R ty R t =⎧⎨=⎩ ，求22d y dx 。
五、计算下列积分（每小题6分，共18分）。
1、dx )x (x ⎰+11。
2、求1(12ln )dx x x +⎰。
3、dx xx ⎰-10221。
六、若01x <<，证明不等式x e xx211-<+-（8分）。
七、,0423412所围成的平面图形与直线为曲线设=--=y x x y D 求： (1) D 的面积S ； (2) D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V 。
（10分）八、求微分方程522(1)1dy yx dx x -=++的通解（10分）。
《高等数学IV1》统考试题（A ）答案及评分标准一、 选择（每题3分，共12分）１、B ２、D ３、A ４、C 二、 填空（每题3分，共12分）１、)2 ,2(2-e ２、1=y ３、22x e- 4、21e三、计算下列极限（每小题6分，共12分）。
1、解：原式=4202)1(lim 2x e x x -→ （2分）4402lim x x x →= （4分）21=（6分） 2、 解：原式=20ln(1)ln(1)limlim ln(1)x x x x x x x x x →→-+-+=+ （3分）2121lim 2111lim 00=+=+-→→x x xx x x x （3分）四、求下列导数和微分（每小题6分，共18分）。
1、解：22tan 11x x dy arc x dx x x ⎡⎤=+-⎢⎥++⎣⎦（3分） arctan xdx = （6分） ２、解：cos lnsin ()x x y e ''= （2分）cos lnsin (sin ln sin cot cos )x x e x x x x =-+ （4分）=cos (sin )(sin ln sin cot cos )xx x x x x -+ （6分）３、解：解：t dxdycot -= （3分） 2'2311(cot)sin sin td y dx R t R t=-=-- （6分）五、计算下列积分（每小题6分，共18分）。