公共经济预测与决策 第四章 时间序列平滑预测法

• 所谓三次指数平滑法，就是将二次指数 平滑序列再进行一次指数平滑。其计算 公式为：
St(3)St(2)(1)St( 3 1 )
• 注意：三次指数平滑法有多期的预测能力。
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• 三次指数平滑的目的是为了消除滞后偏差， 计算二次曲线预测模型的参数。
• 设时间序列的二次曲线预测模型为：
为： St(1)yt(1)St( 11 )
• 将上式展开可得：
S t(1 )y t(1 )y t 1(1 )2y t 2 (1 )t 1y 1 (1 )tS 0 (1 )
t 1
(1 )iy t i (1 )tS 0 (1 )
i 0
• 注意：一次指数平滑法预测能力只有一期。
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• 进行预测。
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4.3 指数平滑法
• 指数平滑法是用过去时间数列值的加权 平均数作为预测值，它是加权移动平均 法的一种特殊情形。
• 指数平滑法是对时间序列由近及远采取 具有逐步衰减性质的加权处理。
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4.3.1 一次指数平滑法
1.计算公式
• 设时间序列为yt ，一次指数平滑计算公式
• 季节变动有固定规律可循，周期效应可 以预见。
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3.循环变动
• 循环变动是一种变化非常缓慢、需要经过数 年或数十年才能显现出来的循环现象。它虽 类似于周期变动，但规律性不明显，无固定 周期，周期效应难以预测。
• 任何时间间隔超过一年的环绕趋势线上、下 的波动都可归结为时间数列的循环成分。一 般地，时间序列的这种成分是由于经济中的 多年循环运动引起的。
第四章 时间序列平滑预测法
概述
• 时间序列平滑预测法主要通过研究事物自身 的发展规律，借以预测事物的未来发展趋势。
• 基本假定 • 经济变量过去的发展变化规律，在未发生质
变的情况下，可以被延伸到未来时期。当预 测期与观测期的经济环境基本相同时，这一 假定可以被接受。
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4.1 时间序列的构成
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4.水平趋势季节型
• 这时时间序列无上升或下降趋势，但受 季节影响，可表示为：
yt Tt St It
yt Tt St It
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5.线性趋势季节型
• 这时时间序列的长期趋势值是时间t的线 性函数，且受季节影响，可表示为： yt(ab)tStIt yt (ab)tStIt
y ˆt a ˆt b ˆtcˆt2
• 其中参数 aˆt ,bˆt ,cˆt 分别为：
aˆt 3St(1) 3St(2) St(3)
bˆt
2(1)2
(65)St(1)
2(54)St(2)
(43)St(3)
cˆt
2 2(1)2
S(1) t
2St(2)
St(3)
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• 所谓时间序列，是指各种社会、经济、自 然现象的数量指标按照时间顺序排列起来 的统计数据。
• 时间序列一般用 y1,y2, ,表yt示, ，为时间t ，
简记为 。 yt
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2.季节变动
• 季节变动是指时间序列受季节更替规律 或节假日的影响而呈现的周期性变动。
• 季节变动的周期比较稳定，一般是以一 年为一个周期反复波动。但季节成分也 可用来描述任何持续时间小于一年的、 有规则的、重复的运动。
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2.预测模型
• 如果时间序列的变化呈水平趋势，可用第t 期的一次指数平滑值作为第t+1期的预测 值，其预测模型为：
y ˆt 1 S t(1 )y t ( 1 )y ˆt (3 .1)5
• 上式说明，t+1期的预测值是t期观测值和t 期预测值的加权平均。
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• （3.15）式可改写为：
• 当时间序列的样本容量 n20时，初始值对 预测结果影响很小，可选取第一期观测值 作为初始值。
• 当时间序列的样本容量 n20时，初始值 对预测结果影响较大，应选取最初几期观 测值的均值作为初始值。
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4.3.2 二次指数平滑法
• 所谓二次指数平滑法，就是对一次指数平 滑序列再进行一次指数平滑。其计算公式
yt (ab)tIt
yt (ab)tIt
• 这里，a , b 都是常数，且 b0 。
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3.曲线趋势型
• 这时时间序列的长期趋势值是时间t的非 线性函数，无季节影响。
• 以二次曲线为例，可表示为：
yt (ab tc2t)It yt (ab tc2t)It
• 这里，a, b, c 均为常数，且 c 0。
Mt( 1)N N
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• 当时间序列具有线性发展趋势时，用一次 移动平均法和加权移动平均法进行预测就 会出现滞后偏差，表现为对于线性增加的 时间序列，预测值偏低，而对于线性减少 的时间序列，则预测值偏高。这种偏低、 偏高的误差统称为滞后偏差。
• 为了消除滞后偏差对预测的影响，可在一 次、二次移动平均值的基础上，利用滞后 偏差的规律来建立线性趋势模型，利用线 性趋势模型进行预测。
4.2 移动平均法
• 移动平均法是在算术平均的基础上发展起 来的一种预测方法。
• 当时间序列的数据由于受周期变动和随机 变动的影响起伏较大，不易显示出发展变 化趋势时，可用移动平均法消除这些因素 的影响，显露出时间序列的长期趋势。
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4.2.1 一次移动平均法
• 一次移动平均法就是取时间序列的N个 观测值予以平均，并依次滑动，直至将 数据处理完毕，得到一个平均值序列。
• 这里，a , b 都是常数，且 b0 。
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6.曲线趋势季节型
• 这时时间序列的长期趋势值是时间t的非 线性函数，且受季节影响。
• 以指数函数为例，可表示为：
yt atbSt It
yt abt St It
• 这里，a , b 都是正的常数，且 b 1。
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• 设时间序列为 y 1 ,y2, ,yt, ,yn；n为样 本容量。
• 一次移动平均计算公式为：
M t(1 ) y t y t 1 N y t N 1
(t N )
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• 移动平均的作用在于修匀数据，消除一些随 机干扰，使时间序列的长期趋势显露出来， 从而可用于趋势分析及预测。
• 一般情况下，如果时间序列没有明显的周期 变化和趋势变化，可用第t期的一次移动平 均值作为第t+1期的预测值，其预测模型为：
yˆt1 Mt(1)
• 注意：一次移动平均法的预测能力只有一期。
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例3.1 某商场2008年1~12月份儿童服装销售额的 数据如表3.1所示，试用一次移动平均法预测2009 年1月份的销售额。
使预测模型包含较长时间序列的信息。
• 当时间序列具有明显的变动趋势时，可取较
大的值（0.3~0.6），以便迅速跟上数据的
变化，提供预测模型的灵敏度。
• 实际应用中，可多取几个值进行试算，选取 使均方误差最小的作为加权系数。
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4.初始值的选取
• 初始值是由预测者估计或指定的，具体方 法是：
y ˆt1y ˆt(yty ˆt)
• 上式说明，新的预测值是在原预测值的基 础上，利用原预测误差进行修正得到的。
• 加权系数代表了预测模型对时间序列变
化的反应速度，决定了预测模型修匀误差 的能力。
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3.加权系数的选取
• 当时间序列波动不大、较为平稳时，可取较
小的值（0.05~0.2），以减小修正幅度，
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4.1.3 时间序列数据的类型
• 假定经济变量的时间序列无循环变动的 影响。
1.水平趋势型
• 这时时间序列表现为既无上升或下降趋 势，也无季节影响，只是沿着水平方向 发生变动，可表示为：
yt Tt It 或 yt Tt It
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2.线性趋势型
• 这时时间序列的长期趋势值是时间t的函 数，无季节影响，可表示为：
yˆt1 Mtw
• 注意：加权移动平均法的预测能力只有一期。
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4.2.3 二次移动平均法
• 所谓二次移动平均法，就是将一次移动平
均序列再进行一次移动平均。其计算公式
为：
M t(2)M t(1)M t( 11 )N M t( 1)N 1
• 它的递推公式为：
Mt(2)
Mt(21)Mt(1)
为：
St(2)St(1)(1)St( 2 1 )
• 当时间序列的变动具有线性趋势时，为消 除滞后偏差，利用滞后偏差的规律建立线
性趋势模型，用线性趋势模型进行预测。
• 注意：二次指数平滑法有多期的预测能力。
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预测步骤
• 确定加权系数 和初始值S0(1), 。 S0(2)
•
对时间序列yt 计算S
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• 加权移动平均法的计算公式为：
M tw w 1 y t w w 1 2 y w t 2 1 w w N N y t N 1
(t N )
• w i 体现了相应的y在加权移动平均值中的重 要程度。实际中常选 w 1w 2 w N。若 以第t期的加权移动平均值作为第t+1期的预 测值，则预测模型为：
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4.随机变动
• 随机变动是指时间序列由于突发事件或 各种偶然因素引起的无规律可循的变动。
• 这种随机变动有时对经济发展影响较大， 但却不能以趋势、季节或循环变动加以 解释，也难以预测。
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4.1.2 时间序列的构成模式
• 时间序列的变动可以看成是上述四种因 素的叠加，是它们综合作用的结果。其 作用形式一般有两种模式：
• 实际预测中，采用试算法，即选择几个N 值进行计算，比较它们的预测误差，从中 选择使预测误差较小的那个N。
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4.2.2 加权移动平均法
• 在加权移动平均法中，对每个数据值选择 不同的权数，然后计算最近N个时期数值 的加权平均数作为预测值。
• 一般情况下，近期数据比远期数据包含更 多的关于未来的信息。因此，在预测中应 更加重视近期数据，给近期数据以较大的 权数，给远期数据以较小的权数。
(1) t
和
S
(2) t
。
•
利用S
( t
1
)
和
S
( t
2
)估计线性趋势模型的截距
aˆ
t和斜
率 bˆt ：
aˆt
2St(1)
S (2) t
bˆt
1
(St(1)
S (2) t
)
• 建立线性趋势预测模型，并进行预测。
Baidu Nhomakorabeayˆt aˆt bˆt
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4.3.3 三次指数平滑法
• 如果时间序列的变化呈现二次曲线趋势 时，可用三次指数平滑法进行预测。
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预测步骤
•
对时间序列
yt
计算 M
和 ( 1 )
t
M
。 ( 2 )
t
•
利用M
和 M (1)
t
(2) t
估计线性趋势模型的截距
aˆ
t
和
斜率 bˆt ：
aˆt 2Mt(1) Mt(2)
bˆt
N21(Mt(1)
Mt(2)
)
• 建立线性趋势预测模型： yˆt aˆt bˆt
2008年 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
t
1
2 34 5
6
7
8
9 10 11 12
销售额 25.5 28.1 25.0 27.5 23.5 21.9 23.8 24.5 26.0 25.0 28.1 25.0
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步长N的选取
• 一般来说，当时间序列的变化趋势较为稳 定时，N宜取大些；当时间序列波动较大 时、变化明显时，N宜取小些。
• 加法模式：
yt TtStC tIt
• 乘法模式： yt TtStCtIt
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• 一般而言，若时间序列的季节变动、循 环变动和随机变动的幅度随着长期趋势 的增长而加剧，应采用乘法模式；若季 节变动、循环变动和随机变动的幅度不 随长期趋势的增衰而变化，应采用加法 模式。
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