第二章信号描述及其分析解读

一、傅里叶级数(FS—Fourier Series)与周期信号的频谱 1.傅里叶级数的三角函数展开式
x(t) a0 (an cos not bn sin not) n1
a0
1 T
T /2
x(t)dt
T /2
an
2 T
bn
2 T
T /2
T /2 x(t) cos n0tdt
T /2
三、连续信号和离散信号 根据确定性信号的数学表达式中独立变量（一般
是时间变量t )的取值分连续和离散信号两类。
连续信号:独立变量的取值是连续的。
离散信号:独立变量的取值是离散的。
采样信号
采样 信号
特别注意： ★ 连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。 ★ 模拟信号、采样信号、数字信号
若独立变量和幅值均取连续值，则称为模拟信号。 若离散信号的幅值是连续的，则称为采样信号。 若离散信号的幅值也是离散的，则称为数字信号。
确定性信号与非确定性信号
一、确定性信号（分为周期信号和非周期信号） 1.周期信号
例如:
余弦信号与正弦信号只是相位相差π/2，也可称为正 弦信号。
简单周期信号 复杂周期信号
2.非周期信号 不具有周期重复性的信号。 非周期信号中包含准周期信号和瞬变非周期信号。
准周期信号——由两种以上的周期信号合成，但各周期分
[
1 2
(a
n
jbn )e jn0t
1 2
(a
n
jbn )e jn0t ]
令
C0 a0
Cn
1 2 (an
jbn )
Cn
1 2
(an
jbn )
则
式中:
Cn
1 2
(an
jbn )
1 [ 2 2T
T2 T 2
x(t) cosn0tdt
j
2 T
T2
T 2 x(t) sin n0tdt]
1 T
-A
例2-2 求图示三角波的频谱，其一个周期的表达式为
x(t)
A 2
4
A
2
(cos
0t
1 9
cos 30t
1 25
cos 50t
)
A 2
4A
2
n1
1 n2
cos n0t
n 1,3,5,
周期信号的频谱具有以下特点： (1)离散性 频谱是离散的。 (2)谐波性 频谱中的谱线只出现在基频的整数倍频
案例：在齿轮箱故障诊断 通过齿轮箱振动信号频谱分析，确 定最大频率分量，然后根据机床转 速和传动链，找出故障齿轮。
案例：螺旋浆设计 可以通过频谱分析确定螺旋浆 的固有频率和临界转速，确定 螺旋浆转速工作范围。
时域和频域的对应关系
131Hz 147Hz 165Hz 175Hz
频域参数对 应于设备转 速、固有频 率等参数， 物理意义更 明确。
A
0
t
★信号分析——是研究信号的构成和特征。
★信号处理——对信号进行必要的变换以获得所需信息 的过程。 ★信号分析和处理的基本方法——是将信号抽象为变量 之间的函数关系,特别是时间函数或空间函数,从数学上 加以分析研究。
信号的频谱分析，是最重要的信号分析技术之一。
第一节 信号及分类
信号有各种形式，可以从不同的角度对其分类。 从不同角度观察信号，可分为：
量无公共周期。如：x(t) = sin2t+sin√3 t
瞬变非周期信号——在一定时间区间内存在，或随着时间 的增长而衰减至零。如 x(t)= e-αt . Asin2πf t
二、随机信号（非确定性信号） 不能准确预测未来瞬时值，也无法用数学关系
式描述的信号。
噪声信号(平稳)
噪声信号(非平稳)
统计特性变异
第二章 信号描述及其分析
本章学习要求：
1.了解信号分类方法 2.掌握傅里叶级数及周期信号的频谱 3.掌握傅里叶变换及非周期信号的频谱 4.了解数字信号的处理方法
★ 信号波形——被测信号幅度随时间的变化历程称为 信号的波形。 ★ 信号波形图——以被测物理量的强度为纵坐标，以 时间为横坐标，记录被测物理量随时间的变化情况。
幅值
信号频谱x(f)代表了信号在
不同频率分量成分的大小， 能够提供比时域信号波形更 直观，丰富的信息。
时域分析
频域分析
时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除 单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组 成和各频率分量大小。
图例：受噪声干扰的多频率成分信号
大型空气压缩机传动装置故障诊断
四、能量信号和功率信号
x 2 (t )dt
2.功率信号
t2
1 t1
x2
t2 t1
(t)dt x2(t)dt
一般持续时间 无限的信号都 属于功率信号:
图2-3 信号的分类
第二节 周期信号与离散频谱
★ 随时间变化的物理量可抽象为以时间为自变量表
达的函数，称为信号的时域描述。
T /2 x(t)sin n0tdt
n 1, 2, 3,
x(t) a0 (an cos not bn sin not)
n1
a0 An sin(n0t n)
n1
n 1, 2, 3,
An
an2 bn2
n arg tg an bn
周期信号的频谱:
例2-1 求周期方波x（t）的频谱
★ 描述信号的自变量若是频率，则称为信号的频域
描述。
★ 以频率作为自变量建立信号与频率的函数关系，
称为频域分析或频谱分析。
频谱分析主要方法之一是傅里叶变换。
x(t)= sin2πnf t
傅里叶 变换
0
t
0
f
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
时域分析与频域分析的关系
率处，即各次谐波频率都是基频的整数倍。 (3)收敛性 各次谐波分量随频率增加，其总的趋势是
衰减的。因此，在实际频谱分析时，可根 据精度需要决定所取谐波的次数。
信号的合成与分解——方波
x(t)
4A
(sin0t
1 sin 3
30t
来自百度文库
1 5
sin
50t
)
手机和弦铃声的合成
2、傅里叶级数的复指数函数展开式
复数:
向量表示法: z. x jy
x r cos y r sin
三角函数表示法: z r(cos j sin)
指数表示法: z re j
欧拉公式:
e j cos j sin
t
根据欧拉公式，可得:
scinost tj121((eejjt teejjtt))
2
x(t)
a0
n1
T2
T 2 x(t)(cosn0t j sin n0t)dt
因此:
式中:
Cn
1 2
(an
jbn )
1 [ 2 2T
T2 T 2
x(t) cosn0tdt
j
2 T
T2
T 2 x(t) sin n0tdt]