周期信号和离散频谱

信号的均方值E[x2(t)]，表达了信号的强度；其正平 方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号平均能量的一种 表达。

2 x
E[ x (t )] lim
2
1 T

T
0
x 2 (t ) dt
工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。
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6、方差
信号x(t)的方差定义为：

2 x
An 称信号频率成分的幅值， n 称初相角。
a)周期函数的奇偶特性

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x(t ) a0 (an cos n0t bn sin n0t )
n 1
若周期信号 x t 为奇函数，即
x t x t
x(t ) bn sin n0t
n 1

a0 0 an 0 4 T0 / 2 bn x(t )sin n0tdt T0 T0 / 2
若周期信号 x t 为偶函数，即 x t x t
x(t ) a0 an cos n0t
n 1

2 a0 T0 4 an T0 bn 0


T0 2 T 0 2
x( t )dt
x(t ) cos n0tdt x(t ) sin n0tdt
பைடு நூலகம்
T0 / 2
狄里赫利条件：信号 x t 在一 个周期内只有有限个间断点 （当 从左或右趋于这个间断 点时，函数有左极限或右极限 值） ２、信号在一个周期内只有有 限个极大值或极小值 ３、信号在一个周期内是绝对 可积的，即 T0 应有极 2 限值 T x(t )dt
第二节 周期信号与离散频谱
一、傅里叶级数的三角函数展开式
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在有限区间上，一个周期信号 x t 当满足狄里赫利条件时可展开成傅 里叶级数
式中
x(t ) a0 (an cos n0t bn sin n0t )
n 1

(1-7)
1 a0 T0
2 an T0 2 bn T0
Pp-p
t
2、周期T，频率f=1/T
3、峰值P，双峰值Pp-p
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4、均值
均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。
x E[ x(t )] lim
A 0
1 T

T
0
x(t ) dt
x
t
均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直 流分量。
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5、均方值
E[( x(t ) E[ x(t )]) ] lim
2
1 T

T
0
( x(t ) x ) 2 dt
大方差
小方差
方差：反映了信号绕均值的波动程度。
2.2 信号的时域波形分析
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7、波形分析的应用 信号类型识别 信号基本参数识别 Pp-p
T0 / 2 T0 / 2
T0 / 2


0
2
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信号 x t 的另一种形式的傅里叶级数表达式：
x(t ) a0 An sin(n0t n )
n 1

式中，
A a 2 b 2 n n n an tg n bn
n＝1,2, …

T0 2 T 0 2
T 2 ( A 0 t )dt 2 T0
2A t At T 2 0 0
2
2
A
A A 2 2
T0 2 T 0 2
x(t ) cos nw0tdt
4 T0

T0 2 0
4 A n 1， 3， 5， T0 4A 2 2 2 n ( A t ) cos nw0tdt 2 2 sin n n 2， 4， 6， 2 n 2 0
bn 0
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A 4A 1 1 x t 2 （cos w0t 2 cos 3w0t 2 cos 5w0t ) 2 3 5
An an 2 bn 2 4A n2 2
4A 2 2 an n n arctan arctan 0 bn 0
超门限报警
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案例：旅游索道钢缆检测
超门限报警
2.3 信号的幅值域分析
1 概率密度函数
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以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概 率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不 同幅值强度区域内的概率情况。
p( x )
x
lim
p ( x x ( t ) x x ) x
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3、概率分布函数
概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R的概率， 其定义为：
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例2
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求周期性三角波的傅立叶级数及其频谱
T0 2A A t t 0 T0 2 x(t ) A 2 A t 0 t T0 T0 2
T0
1 a0 T0
an 2 T0


T0 2 T 0 2
2 x(t )dt T0
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求如图所示周期性方波的频谱，其在一个周期内的表达式为
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周期性方波的分解与合成
2.2 信号的时域波形分析
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信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，用示 波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，读取特征参 数。 T 1、信号波形图 A P

T0 / 2
T0 / 2 T0 / 2
x(t )dt x(t ) cos n0tdt

T0 / 2
幅频谱和相频谱
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在信号分析中，将组成信号的各频率成分找出， 按序排列，得出信号的“频谱”。 若以频率为横坐标、分别以幅值或相位为纵坐 标，便分别得到信号的幅频谱和相频谱。
例1
p( x) lim
x 0
1 x
[ lim
T
Tx T
]
p(x)的计算方法
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2 直方图
以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的 频次为纵坐标进行统计分析的一种方法。
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
-1
-0.5
0.5
1
归一化
直方图
概率密度函数