线性代数习题及参考答案3快快快

线性代数习题及参考答案3

单项选择题

1.

答案：B

2. 设m ×n 矩阵A 的秩为m ，则___。 C 、对于任一m 维列向量b ，矩阵[A b]的秩都为m

3. 设α1,α2,α3是方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也可作为方程组Ax=0的基础解系的是___。 D 、α1+α2,α1-α2,α3

4. 设A 为3阶矩阵,P =100210001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭,则用P 左乘A ，相当于将A___。A 、第1行的2倍加到第2行

5. 齐次线性方程组123234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩的基础解系所含解向量的个数为___。

B 、2

6. 设4阶矩阵A 的秩为3，12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为___。 A 、12

12

c ηηη-+

7. 已知4阶方阵A 的行列式det(A)=0，则A 中___。 C 、必有一列向量是其余列向量的线性组合

8. n 元齐次线性方程组Ax=0存在非零解的充要条件是___。 C 、A 的列线性相关

9. n 阶方阵A 有n 个互不相同的特征值是A 与对角矩阵相似的___。

B 、充分非必要条件

判断题

1. 如果Rn 中两向量x,y 满足||x+y||2=||x||2+||y||2，则x 与y 是正交的。 答案：正确

2. 设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，又β1=α1+α2+α3,β2=α2-α3,β3=α2+α3，则β1,β2,β3也也是Ax=0的一个基础解系。 答案：正确

3. 若f(x1,x2)=x12+tx22-4x1x2正定，则实数t 的取值范围是t ＞4。 答案：正确

4. 向量组α1=(1,-1,2),α2=(7,6,4),α3=(0,0,0)线性无关。 答案：错误

5. 设β1=α1,β2=α1+α2,…,βm=α1+α2+…+αm ，则向量组α1,…,αm 与向量组β1,…,βm 等价。 答案：正确

6. 向量空间V 的任何两个基所含向量个数都相同。 答案：正确

7. 若A 为不可逆方阵（det(A)=0），则A 必有一个特征值为0. 答案：正确

8. 若可逆方阵A 有一个特征值为2，则方阵(A2/3)-1必有一个特征值为0.75. 答案：正确

填空题

1. 设A 为3阶矩阵，且|A|=6，若A 的一个特征值为2，则A*必有一个特征值为_________。 答案：3

2. 二次型f 123(,,)x x x =2221233x x x -+的正惯性指数为_________。 答案：2

计算题

已知α=(1 2 3),

11(1 )23=β, 设A =αT β, 求A 及An.。

答案： βαT =3(βαT 是个数),

An =(αT β)(αT β) ⋅⋅⋅ (αT β)=αT(βαT)(βαT) ⋅⋅⋅ (βαT)β =αT(βαT)n -1β

1T 1111

231112332(1 )2123333312n n --⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭αβ 解答题

判断矩阵

=A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭是否可对角化？若可对角化，求可逆矩阵使之对角化。 答案：

由 22

1||(2)112E A λλλλ--==---=0，

得A 的特征值11λ=，23λ=。

对11λ=，解方程组)E A X O -=（，得其一个基础解系111α⎛⎫= ⎪⎝⎭；

对23λ=，解方程组)E A X O -=（3，得其一个基础解系

211α-⎛⎫= ⎪⎝⎭； 因为矩阵A 有两个线性无关的特征向量，所以A 可相似对角化．

取 1211(,)11P αα-⎛⎫== ⎪⎝⎭， 则1P AP -=Λ=1003⎛⎫= ⎪⎝⎭。