2018年天津市河西区高考数学一模试卷(理科)

2018年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）

一、选择题

1．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（）

A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x＜1}D．?

2．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）

A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．1

3．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．若q＞0，命题甲：“a，b为实数，且|a﹣b|＜2q”；命题乙：“a，b为实数，满足|a﹣2|＜q，且|b﹣2|＜q”，则甲是乙的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5

．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，

=2cosC，则

c=（）

A

．2B．4 C．2D．3

6．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）

A

．B．﹣2 C．D．﹣

7．如图在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则

?的值是（）

A．18 B．20 C．22 D．24

8．已知函数f（x）=，若g（x）=ax﹣|f（x）|的图象

与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）

A．[，） B．（0，）C．（0，）D．[，）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1﹣i，则|z|=．

10．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是．

11．若（x+）n的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n的值为．

12．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是．

13．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，若

实数a满足f（log2）＜f（﹣），则a的取值范围是．

14．（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15

．已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数

g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．16．甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．

（Ⅰ）求恰好抽到两张A的概率．

（Ⅱ）记四张牌中含有黑桃的张数为x，求x的分布列与期望．

17．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．

（Ⅰ）若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；

（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．

（Ⅲ）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为

，若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．

18．已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a n+S n=2n+1．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）求证：．

19

．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，

0）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，

线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．

20．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x．

（I）求函数f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小

值；

（Ⅲ）若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0，证明x1+x2

≥．

2018年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题

1．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（）

A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x＜1}D．?

【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．

【分析】分别求出M、N的范围，在求交集．

【解答】解：∵集合M={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，

N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}={y|y＞0}，

∴M∩N={x|0＜x＜1}，

故选C．

2．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）

A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．1

【考点】简单线性规划．

【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3x﹣4y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=y=1时，z达到最大值﹣1．

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的△ABC及其内部，

其中A（﹣1，3），C（1，1），B（3，3）．

设z=F（x，y）=3x﹣4y，将直线l：z=3x﹣4y进行平移，

观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点C时，目标函数z达到最大值，

∴z

（1，1）=﹣1，

最大值=F

故选：C

3．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满

足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．

【解答】解：模拟执行程序框图，可得

k=0，a=3，q=

a=，k=1

不满足条件a＜，a=，k=2

不满足条件a＜，a=，k=3

不满足条件a＜，a=，k=4

满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．

故选：B．

4．若q＞0，命题甲：“a，b为实数，且|a﹣b|＜2q”；命题乙：“a，b为实数，满足|a﹣2|＜q，且|b﹣2|＜q”，则甲是乙的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可．

【解答】解：若a，b为实数，且|a﹣b|＜2q，

则﹣2q＜a﹣b＜2q，

故命题甲：﹣2q＜a﹣b＜2q；

若a，b为实数，满足|a﹣2|＜q，且|b﹣2|＜q，

则2﹣q＜a＜2+q①，2﹣q＜b＜2+q②，

由②得：﹣2﹣q＜﹣b＜﹣2+q③，

①+③得：﹣2q＜a﹣b＜2q，

故命题乙：﹣2q＜a﹣b＜2q，

故甲是乙的充分必要条件，

故选：C．

5

．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，

=2cosC，则

c=（）

A

．2B．4 C．2D．3

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．

【解答】解：=

==1，

即有2cosC=1，

可得C=60°，

=2，则absinC=2，

若S

△ABC

即为ab=8，

又a+b=6，

由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab

=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，

解得c=2．

故选C．

6．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）

A

．B．﹣2 C．D．﹣

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】利用双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x与圆x2+y2﹣4y+3=0相切?圆心（0，2）到渐近线的距离等于半径r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．

【解答】解：取双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x，即bx﹣ay=0．

由圆x2+y2﹣4y+3=0化为x2+（y﹣2）2=1．圆心（0，2），半径r=1．

∵渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，∴=1化为3a2=b2．

∴该双曲线的离心率e===2．

故选：D．

7．如图在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则

?的值是（）

A．18 B．20 C．22 D．24

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，

=3，?=2，构造方程，进而可得答案．

【解答】解：∵=3，

∴=+，=﹣，

又∵AB=8，AD=5，

∴?=（+）?（﹣）=||2﹣?﹣||2=25﹣?﹣12=2，

故?=22，

故答案为：22．

8．已知函数f（x）=，若g（x）=ax﹣|f（x）|的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）

A．[，） B．（0，）C．（0，）D．[，）

【考点】函数的图象；分段函数的应用．

【分析】将函数g（x）的零点问题转化为y=|f（x）|与y=ax的图象的交点问题，借助于函数图象来处理．

【解答】解：由于函数g（x）=ax﹣|f（x）|有3个零点，则方程|f（x）|﹣ax=0有三个根，

故函数y=|f（x）|与y=ax的图象有三个交点．

由于函数f（x）=，则其图象如图所示，

从图象可知，当直线y=ax位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，

因为点A能取到，则4个选项中区间的右端点能取到，排除BC，

∴只能从AD中选，故只要看看选项AD区间的右端点是选还是选，

设图中切点B的坐标为（t，s），则斜率k=a=（lnx）′|x=t=，

又（t，s）满足：，解得t=e，

∴斜率k=a==，

故选：A．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1﹣i，则|z|=1．

【考点】复数求模．

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

【解答】解：z（1+i）=（1﹣i），

∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i）（1﹣i），

∴2z=﹣2i，z=﹣i．

则复数z的模|z|=1．

故答案为：1．

10．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚

线互相垂直，则该几何体的体积是．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积．

【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，

如图所示：

∴该几何体的体积为23﹣×22×1=8﹣=．

故答案为：．

11．若（x+）n的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n的值为8．【考点】二项式系数的性质．

【分析】根据（x+）n的二项展开式的通项公式，写出它的前三项系数，利用等差数列求出n的值．

【解答】解：∵（x+）n的二项展开式的通项公式为

T r

=?x n﹣r?=??x n﹣2r，

+1

前三项的系数为1，，，

∴n=1+，

解得n=8或n=1（不合题意，舍去），

∴常数n的值为8．

故答案为：8．

12．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是﹣4＜m＜2．

【考点】函数恒成立问题．

【分析】先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．

【解答】解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8

∵x+2y＞m2+2m恒成立，

∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2

故答案为：﹣4＜m＜2．

13．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，若

实数a满足f（log2）＜f（﹣），则a的取值范围是（0，）∪（，+∞）．

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可．

【解答】解：∵偶函数f（x）是[0，+∞）上单调递减，满足不等式f（log2）

＜f（﹣），

∴不等式等价为f（|log2|）＜f（），

即|log2|＞，

即log2＞或log2＜﹣，

即0＜a＜或a＞，

故答案为：（0，）∪（，+∞）．

14．（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设

点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为．

【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．

【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，将点A的极坐标、直线及曲线的极坐标方程化成直角坐标或方程，再利用直角坐标方程的形式，由抛物线的定义可得丨PA丨+d=|PF|+|PA|≥|AF|，当A，P，F三点共线时，其和最小，再求出|AF|的值即可．

【解答】解：点A（1，）的直角坐标为A（0，1），

曲线曲线ρsin2θ=4cosθ的普通方程为y2=4x，是抛物线．

直线ρcosθ+1=0的直角坐标方程为x+1=0，是准线．

由抛物线定义，点P到抛物线准线的距离等于它到焦点A（0，1）的距离，

所以当A，P，F三点共线时，其和最小，

最小为|AF|=，

故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15

．已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数

g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．

【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间；

利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1=sin

（2x+）+sin2x﹣1=cos2x+sin2x﹣1=2sin（2x+）﹣1，

令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间

为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．

（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin（2x++）

﹣1=2cos（2x+）﹣1的图象，

在区间[0，]上，2x+∈[，]，故当2x+=π时，即x=时，函数取得最小值为﹣2﹣1=﹣3；

当 2x +=时，即x=0时，函数取得最大值为﹣1．

16．甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A ，方片A ，黑桃Q 与梅花K ，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A ，方片Q ，梅花Q 与黑桃K ，从两个口袋分别任取两张牌． （Ⅰ）求恰好抽到两张A 的概率．

（Ⅱ）记四张牌中含有黑桃的张数为x ，求x 的分布列与期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（Ⅰ）基本事件总数n==36，恰好抽到两张A 包含的基本事件个数

m=

=15，由此能求出恰好抽到两张A 的概率．

（Ⅱ）由题意X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．

【解答】解：（Ⅰ）甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌， 甲口袋内的四张牌分别为红桃A ，方片A ，黑桃Q 与梅花K ， 乙口袋内的四张牌分别为黑桃A ，方片Q ，梅花Q 与黑桃K ， 从两个口袋分别任取两张牌．

基本事件总数n=

=36，

恰好抽到两张A 包含的基本事件个数m==15，

∴恰好抽到两张A 的概率p=

=

．

（Ⅱ）由题意X 的可能取值为0，1，2，3，

P （X=0）=

=

=

，

P （X=1）===，

P （X=2）===，

P（X=3）===，

∴X的分布列为：

E（X）==．

17．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．

（Ⅰ）若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；

（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．

（Ⅲ）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为

，若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．

【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．

【分析】（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可证明；

（Ⅱ）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的大小；

（Ⅲ）设出Q的坐标，利用向量方法，即可求解．

【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，四边形ABCD 是矩形．

∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，

若O是CD 的中点，OP⊥CD．OP=．

建立如图所示的空间直角坐标系，AB=2BC=2．

则O（0，0，0），B（1，0，1），A（﹣1，0，1），

P （0，，0）．

∴=（1，0，1），=（﹣1，﹣，1）．

∴?═0，

∴⊥，∴BO⊥PA．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：=（2，0，0）．

设平面BPA的法向量为=（x，y，z），

由，取y=1，

平面BPA的一个法向量为=（0，1，）．

取=（0，0，1），设平面PAD的法向量为=（a，b，c），

则，取b=1，则=（﹣，1，0）．

∴cos＜，＞==，

由图可以看出：二面角B﹣PA﹣D 是一个钝角，故其余弦值为﹣，正弦值为

．

（Ⅲ）解：假设存在Q，直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，

直线AQ与平面ABP的法向量所成角的余弦值为．

设Q（m，（1﹣m），0），则=（m+1，（1﹣m），﹣1），

∴=，∴12m2﹣4m+5=0，方程无解，

∴在线段CP上不存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为．

18．已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a n+S n=2n+1．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）求证：．

【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．

【分析】（1）再写一式，两式相减得2a n﹣a n

﹣1

=2，整理，即

，数列{a n﹣2}是首项为，公比为的等比数列，即可求数列{a n}的通项公式；

（2）利用裂项法，即可证明结论．

【解答】（1）解：∵a n+S n=2n+1，令n=1，得2a1=3，．

∵a n+S n=2n+1，∴a n

﹣1+S n

﹣1

=2（n﹣1）+1，（n≥2，n∈N*）

两式相减，得2a n﹣a n

﹣1

=2，整理，（n≥2）

∴数列{a n﹣2}是首项为，公比为的等比数列

∴．

（2）证明：∵

∴

=

=

．

19

．已知椭圆C ： +

=1（a ＞b ＞0）经过点（1，

），一个焦点为（

，0）．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若直线y=k （x ﹣1）（k ≠0）与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于A ，B 两点，

线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求的取值范围．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）由椭圆过点（1，

），结合给出的焦点坐标积隐含条件a 2﹣b 2=c 2

求解a ，b 的值，则椭圆方程可求；

（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A ，B 横纵坐标的和与积，进一步求得AB 的垂直平分线方程，求得Q 的坐标，由两点间的距离公式求得

|PQ |，由弦长公式求得|AB |，作比后求得

的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a=2，b=1．

∴椭圆C 的方程是；

（Ⅱ）联立

，得（1+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣4=0．

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），

则有

，

，

．

∴线段AB的中点坐标为，

∴线段AB的垂直平分线方程为．

取y=0，得，

于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q，

又点P（1，0），

∴．

又=．

于是，．

∵k≠0，

∴．

∴的取值范围为．

20．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x．

（I）求函数f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；

（Ⅲ）若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0，证明x1+x2

≥．

【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．