2018年天津市河西区高考数学一模试卷(理科)
2018年天津市部分区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x∈R|y＝}，集合N＝{x∈R|x2﹣8x+15＜0}，则集合N∩∁U M＝（）A．（1，4）B．（3，4）C．（3，+∞）D．（4，+∞）2．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．4D．53．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知双曲线﹣＝1的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 5．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＞0”是“S2019＞S2018”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）在平面四边形ABCD中，∠B＝∠D＝，∠A＝，AB＝4，AD＝5，则AC＝（）A．B．C．2D．27．（5分）已知点G是△ABC内一点，满足++＝，若∠BAC＝，•＝1，则||的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是（）A．（2，4）B．（2，4]C．（2，）D．（2，]二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）若复数（i为虚数单位）对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为．10．（5分）二项式（2﹣）6的展开式中常数项是（用数字作答）．11．（5分）曲线y＝1﹣x2与y＝x﹣1所围成的封闭图形的面积为．12．（5分）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）+1＝0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最小距离为．13．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝DC＝4，AB ＝3，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为．14．（5分）函数f（x）在R内满足f（﹣x）＝﹣f（x），当x≥0时，f（x）＝﹣e x+1+m cos（π+x），记a＝﹣πf（﹣π），b＝），c＝ef（e），则a，b，c从小到大依次为．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知函数f（x）＝3sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）把函数y＝f（x）的图象向下平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在[﹣，]的值域．16．（13分）甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题．根据平时经验，甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响．（Ⅰ）求甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率；（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，PO⊥平面ABCD，E，F分别为P A，BC的中点，AB＝2，PO＝，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求证：直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C﹣P A﹣D的余弦值；（Ⅲ）已知点M在棱BC上，且直线ME与平面P AD所成角的正弦值为，求线段BM的长．18．（13分）已知数列{a n}满足2a n+1＝a n+a n+2（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，且a5＝9，S10＝100．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝n•（）n﹣1+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆：+＝1（a＞b＞0）与抛物线：y2＝x交于B、C两点，点B在第一象限，O为坐标原点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，|BC|＝1，•＝3．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N为椭圆上的点，以MN为直径的圆过椭圆的左顶点A，直线AM 的斜率为k1，直线MN的斜率为k2，且k2＝，λ∈（﹣5，﹣），求k1的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1，（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＝0时，h（x）＝．（i）求h（x）在[m，2m]（m＞0）上的最大值；（ii）求证：∀x＞0，（x2+x）•h′（x）＜1+e﹣2．2018年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x∈R|y＝}，集合N＝{x∈R|x2﹣8x+15＜0}，则集合N∩∁U M＝（）A．（1，4）B．（3，4）C．（3，+∞）D．（4，+∞）【解答】解：∵全集U＝R，集合M＝{x∈R|y＝}＝{x|x≥4}，集合N＝{x∈R|x2﹣8x+15＜0}＝{x|3＜x＜5}，∴∁U M＝{x|x＜4}，∴集合N∩∁U M＝（3，4）．故选：B．2．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．4D．5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×1+2＝4．即目标函数z＝2x+y的最大值为4．故选：C．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝sin+sin+sin的值，可得S＝sin+sin+sin＝++0﹣＝．故选：B．4．（5分）已知双曲线﹣＝1的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x【解答】解：双曲线﹣＝1的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点相同，可得3＝，解得m＝4，则双曲线的渐近线方程为：y＝±x．故选：C．5．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＞0”是“S2019＞S2018”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若S2019＞S2018，则a2019＞0，即a1q2018＞0，则a1＞0成立，即必要性成立，若a1＞0，则a1q2018＞00，即a2019＞0，则S2019＞S2018成立，即充分性成立，则“a1＞0”是“S2019＞S2018”的充要条件，故选：A．6．（5分）在平面四边形ABCD中，∠B＝∠D＝，∠A＝，AB＝4，AD＝5，则AC＝（）A．B．C．2D．2【解答】解：如图，过点C作CE∥AD交AB于点E，再作EF∥CD交AD于点F，设BC＝a，CD＝b，在Rt△BCE中，∵AD∥CE，∴∠CEB＝∠A＝60°，可得BE＝cot∠CEB×BC＝a，CE＝＝a，故AE＝4﹣a，∵四边形CDFE为矩形，∴DF＝CE＝a，∴AF＝5﹣a，在Rt△AEF中，∵cos∠A＝＝，即＝，∴a＝2，∴AC＝＝2．故选：D．7．（5分）已知点G是△ABC内一点，满足++＝，若∠BAC＝，•＝1，则||的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点G是△ABC内一点，满足++＝，∴G是△ABC的重心，∴＝（+），∴＝（2+2+2•）＝（|AB|2+|AC|2）+，∵•＝|AB|•|AC|＝1，∴|AB|•|AC|＝2，∴AB2+AC2≥2|AB|•|AC|＝4，∴2≥＝．∴||≥．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是（）A．（2，4）B．（2，4]C．（2，）D．（2，]【解答】解：令g（x）＝x3﹣3x+2，x≥0．g′（x）＝3（x+1）（x﹣1），可得函数g（x）在[0，1）内单调递减，在（1，+∞）上单调递增．画出函数f（x）的图象，f（0）＝2．由关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则△＝b2﹣4＞0，且f（x）＝，直线y＝，y＝分别与y＝f（x）的图象交点有四个．∴b2﹣4＞0，2≥＞＞0，解得：．b的取值范围是．故选：D．二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）若复数（i为虚数单位）对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：＝，且其对应的点在第四象限，∴，解得a＞2．∴实数a的取值范围为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．10．（5分）二项式（2﹣）6的展开式中常数项是﹣160（用数字作答）．【解答】解：因为＝20×8×（﹣1）＝﹣160．所以展开式中常数项是﹣160．故答案为：﹣160．11．（5分）曲线y＝1﹣x2与y＝x﹣1所围成的封闭图形的面积为．【解答】解：如图，联立，解得x1＝﹣2，x2＝1．∴曲线y＝1﹣x2与y＝x﹣1所围成的封闭图形的面积为：S＝＝＝＝．故答案为：．12．（5分）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）+1＝0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最小距离为．【解答】解：∵曲线C1的参数方程为（θ为参数），∴曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，是圆心为C1（1，0），半径r＝1的圆，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）+1＝0，即ρcosθ﹣ρsinθ+1＝0，∴曲线C2的直角坐标方程为x﹣y+1＝0，圆心为C1（1，0）到曲线C2的距离d＝＝，∴曲线C1上的点与曲线C2上的点的最小距离h min＝d﹣r＝．故答案为：．13．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝DC＝4，AB ＝3，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为41π．【解答】解：由题意，三棱锥A﹣BCD扩充为长方体，其对角线长为＝，∴三棱锥外接球的半径为：，∴三棱锥外接球的表面积为4π•＝41π．故答案为：41π．14．（5分）函数f（x）在R内满足f（﹣x）＝﹣f（x），当x≥0时，f（x）＝﹣e x+1+m cos（π+x），记a＝﹣πf（﹣π），b＝），c＝ef（e），则a，b，c从小到大依次为b、a、c．【解答】解：根据题意，函数f（x）为R内的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝﹣e x+1+m cos x，则有f（0）＝﹣1+1+m＝0，即m＝0，则f（x）＝﹣e x+1，（x≥0），令g（x）＝xf（x），有g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝xf（x）＝g（x），g（x）为偶函数，当x≥0时，g（x）＝xf（x）＝x（1﹣e x），g′（x）＝f（x）+xf′（x）＜0，函数g（x）为减函数，则f（x）为偶函数且在x≥0时为减函数，a＝﹣πf（﹣π）＝g（﹣π）＝g（π），b＝）＝g（﹣）＝g（），c＝ef（e）＝g（e），又由e＜π＜，则b＜a＜c；则a，b，c从小到大依次为b、a、c；故答案为：b、a、c．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知函数f（x）＝3sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）把函数y＝f（x）的图象向下平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在[﹣，]的值域．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝3sin x cos x+cos2x＝sin2x+•＝（sin2x+cos2x）+＝sin（2x+）+，故函数f（x）的最小正周期为＝π．（Ⅱ）把函数y＝f（x）的图象向下平移个单位长度，得到g（x）＝sin（2x+）的图象，x∈[﹣，]，2x+∈[﹣，]，故当2x+＝﹣时，函数g（x）取得最小值为•（﹣）＝﹣；当2x+＝时，函数g（x）取得最大值为，故函数y＝g（x）在[﹣，]的值域为[﹣，]．16．（13分）甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题．根据平时经验，甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响．（Ⅰ）求甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率；（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题．甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响．∴甲过关的概率P（A）＝＝，乙过关的概率P（B）＝＝，丙过关的概率P（C）＝＝，∴甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率：P（）＝＝．（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝P（）＝＝，P（X＝1）＝P（A++）＝+＝，P（X＝2）＝P（AB+A+BC）＝++＝，P（X＝3）＝P（ABC）＝＝，∴随机变量X的分布列为：数学期望E（X）＝＝．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，PO⊥平面ABCD，E，F分别为P A，BC的中点，AB＝2，PO＝，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求证：直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C﹣P A﹣D的余弦值；（Ⅲ）已知点M在棱BC上，且直线ME与平面P AD所成角的正弦值为，求线段BM的长．【解答】证明：（Ⅰ）取PD的中点G，连接FG、CG，∵FG是△P AD的中位线，∴FG∥AD且FG＝，在菱形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，又E为BC的中点，∴CE∥FG且CE＝FG∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG，又EF⊄面PCD，CG⊂面PCD，∴EF∥面PCD．解：（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，∵底面ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，PO⊥平面ABCD，E，F分别为P A，BC的中点，AB＝2，PO＝，∠BAD＝60°．∴C（﹣，0，0），A（，0，0），P（0，0，），D（0，﹣1，0），＝（），＝（0，﹣1，﹣），设平面P AD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，1），平面P AC的法向量＝（0，1，0），设二面角C﹣P A﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角C﹣P A﹣D的余弦值为．（Ⅲ）∵点M在棱BC上，设BM＝a，a∈[0，1]，∴M（﹣，1﹣，0），∵E（，0，），∴＝（﹣a﹣，1﹣，﹣），平面P AD的法向量＝（1，﹣，1），∵直线ME与平面P AD所成角的正弦值为，∴＝＝，解得a＝．∴线段BM的长为．18．（13分）已知数列{a n}满足2a n+1＝a n+a n+2（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，且a5＝9，S10＝100．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝n•（）n﹣1+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}满足2a n+1＝a n+a n+2（n∈N*），则：{a n}为等差数列．设数列的首项为a1，公差为d，由于：且a5＝9，S10＝100．则：，解得：a1＝1，d＝2．所以：a n＝2n﹣1．（Ⅱ）根据b n＝n•（）n﹣1+（﹣1）n a n，＝n•（）n﹣1+（﹣1）n（2n﹣1），则：+（﹣1+3﹣5+7+…+﹣2n+3+2n﹣1），设：①，②，①﹣②得：S n＝．所以：当n为偶数时，T n＝，当n为奇数时，T n＝．故：．19．（14分）已知椭圆：+＝1（a＞b＞0）与抛物线：y2＝x交于B、C 两点，点B在第一象限，O为坐标原点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，|BC|＝1，•＝3．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N为椭圆上的点，以MN为直径的圆过椭圆的左顶点A，直线AM 的斜率为k1，直线MN的斜率为k2，且k2＝，λ∈（﹣5，﹣），求k1的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆和抛物线的对称性，可得B，C关于x轴对称，|BC|＝1，可设B（m，），代入抛物线的方程可得＝m，解得m＝，将B（，）代入椭圆方程，可得+＝1，由•＝3，可得（，）•（c，0）＝c＝3，解得c＝，即a2﹣b2＝3，解得a＝2，b＝1，则椭圆方程为+y2＝1；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由直线MN：y＝k2x+t，代入+y2＝1，得（1+4k22）x2+8tk2x+4（t2﹣1）＝0，△＝64t2k22﹣16（1+4k22）（t2﹣1）＞0，即为1+4k22﹣t2＞0．x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1y2＝（k2x1+t）（k2x2+t）＝k22x1x2+tk（x1+x2）+t2＝k22•+tk（﹣）+t2＝，∵以MN为直径的圆过椭圆的左顶点A（﹣2，0），因此•＝0，即（x1+2）（x2+2）+y1y2＝0，展开得x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2＝0，﹣2•+4+＝＝0，解得t＝2k2或t＝k2，且满足1+4k2﹣t2＞0，当t＝2k2时，MN：y＝k2（x+2），直线过定点（﹣2，0），与已知矛盾；当t＝k2，MN：y＝k2（x+），直线MN过定点（﹣，0）．由直线AM：y＝k1（x+2）代入+y2＝1，得（1+4k12）x2+16k12x+16k12﹣4＝0，可得﹣2x1＝，解得x1＝，y1＝k1（x1+2）＝，则k2＝＝＝，即有λ＝∈（﹣5，﹣），化为（4﹣3k12）（4﹣2k12）＞0，解得k1∈（，）∪（﹣，﹣）．20．（14分）已知函数f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1，（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＝0时，h（x）＝．（i）求h（x）在[m，2m]（m＞0）上的最大值；（ii）求证：∀x＞0，（x2+x）•h′（x）＜1+e﹣2．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1，得f′（x）＝，当a＝0时，f′（x）＝＞0（x＞0），∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a≠0，f′（x）＝＝，若＜0，即a＞0或a＜﹣1，那么，当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＝﹣1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；若﹣1＜a＜0，则f′（x）＞0⇔x2＜，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，综上，当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当﹣1＜a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）若a＝0时，h（x）＝＝．（i）解：h′（x）＝＝，令g（x）＝，则g′（x）＝＜0，∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，又∵g（1）＝0，∴x＝1是g（x）＝0的唯一解，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，h′（x）＜0．∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当0＜2m≤1，即0时，h（x）在[m，2m]上单调递增，h（x）的最大值为h（2m）＝；当m≥1时，h（x）在[m，2m]上单调递减，h（x）的最大值为h（m）＝；当＜m＜1时，h（x）在[m，1]上单调递增，在[1，2m]上单调递减，h（x）的最大值为h（1）＝．∴；（ii）证明：∀x＞0，（x2+x）•h′（x）＜1+e﹣2⇔＜1+e﹣2．设p（x）＝e x﹣x﹣1，∴x＞0时，p′（x）＝e x﹣1＞0，则p（x）在（0，+∞）上为增函数，∴p（x）＞p（0）＝0，即e x＞x+1，∴当x＞0时，0＜＜1；设u（x）＝1﹣x﹣xlnx，u′（x）＝﹣2﹣lnx，x∈（0，e﹣2）时，u′（x）＞0，当x∈（e﹣2，+∞）时，u（x）≤u（e﹣2）＝1+e ﹣2．∴＜1+e﹣2．即∀x＞0，（x2+x）•h′（x）＜1+e﹣2．。
2018年天津市河西区高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年天津市河西区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集U＝{2，3，4，5，6，7}，集合A＝{4，5，7}，B＝{4，6}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1，2}B．{2}C．{2，5}D．{5，7} 2．（5分）一个口袋内装有大小相同的5个球，其中2个白球，2个红球，1个黑球，从中一次摸出两个球，则摸出的两个球中没有红球的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为（）A．3B．﹣3C．2D．﹣24．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（﹣π），f（），f（π2）的大小关系是（）A．f（）＜f（π2）＜f（﹣π）B．f（）＜f（﹣π）＜f（π2）C．f（π2）＜f（）＜f（﹣π）D．f（﹣π）＜f（）＜f（π2）6．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|﹣|PF2|＝2，且双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1＝0垂直，则双曲线的方程为（）A．＝1B．x2﹣4y2＝1C．x2﹣D．4x2﹣y2＝1 7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的命题中正确的是（）A．g（x）在[]上是增函数B．g（x）的图象关于直线x＝﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]8．（5分）已知函数f（x）+2＝，当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，若在区间（﹣1，1]内，g（x）＝f（x）﹣t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）已知a，b∈R，i为虚数单位，若3+4i＝，则a+b＝．10．（5分）已知圆C经过点A（2，﹣1）且和直线x+y＝1相切，圆心在直线y ＝﹣2x上，则圆C的方程为．11．（5分）已知正实数x，y满足x，则的最小值为．12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，面A1B1C1D1在一个半球的底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球的球面上，则此半球的体积为．13．（5分）已知函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是．14．（5分）在△ABC中，∠A＝60°，||＝2，点D在边AB上，点E在边BC上，＝，＝，若＝，则||＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，b2﹣a2＝．（Ⅰ）求tan C的值；（Ⅱ）求tan（2C﹣）的值．16．（13分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如表：分别用x，y表示每周生产空调器、彩电的台数．（Ⅰ）用x、y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问每周应生产空调器器、彩电、冰箱各多少台时才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）17．（13分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACD＝90°，AB＝1，AD＝2，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，P为DF的中点，AN⊥CF，垂足为N．（Ⅰ）求证：AN⊥平面CDF；（Ⅱ）求异面直线BF与PC所成角的正切值；（Ⅲ）求三棱锥B﹣CEF的体积．18．（13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，当n≥2时，满足）2＝S n S n﹣1，且a1＝1．（a n﹣S n﹣1（Ⅰ）求证：数列{S n}是等比数列；（Ⅱ）设b n＝（log4S n）•S n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆C1的方程为（a＞b＞0），离心率e＝，其一个焦点在抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的准线上，且抛物线C2与直线l：x﹣y+＝0相切．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）若点M，N为椭圆C1上的两个不同的点，T为平面内任意一点，满足：＝，直线OM与ON的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点F1，F2，使得|TF1|+|TF2|为定值？若存在，求点F1，F2的坐标；若不存在，则说明理由．20．（14分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．2018年天津市河西区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集U＝{2，3，4，5，6，7}，集合A＝{4，5，7}，B＝{4，6}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1，2}B．{2}C．{2，5}D．{5，7}【解答】解：∵全集U＝{2，3，4，5，6，7}，集合A＝{4，5，7}，B＝{4，6}，∴∁U B＝{2，3，5，7}，∴A∩（∁U B）＝{5，7}．故选：D．2．（5分）一个口袋内装有大小相同的5个球，其中2个白球，2个红球，1个黑球，从中一次摸出两个球，则摸出的两个球中没有红球的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：一个口袋内装有大小相同的5个球，其中2个白球，2个红球，1个黑球，从中一次摸出两个球，基本事件总数n＝＝10，摸出的两个球中没有红球包含的基本事件个数m＝＝3，则摸出的两个球中没有红球的概率是p＝＝．故选：C．3．（5分）如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为（）A．3B．﹣3C．2D．﹣2【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，i＝1不满足条件i＞6，不满足条件i是偶数，S＝1，i＝2不满足条件i＞6，满足条件i是偶数，S＝﹣1，i＝3不满足条件i＞6，不满足条件i是偶数，S＝2，i＝4不满足条件i＞6，满足条件i是偶数，S＝﹣2，i＝5不满足条件i＞6，不满足条件i是偶数，S＝3，i＝6不满足条件i＞6，满足条件i是偶数，S＝﹣3，i＝7满足条件i＞6，退出循环，输出S的值为﹣3．故选：B．4．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3由x2﹣x﹣6＜0得﹣2＜x＜3，即“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（﹣π），f（），f（π2）的大小关系是（）A．f（）＜f（π2）＜f（﹣π）B．f（）＜f（﹣π）＜f（π2）C．f（π2）＜f（）＜f（﹣π）D．f（﹣π）＜f（）＜f（π2）【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣π）＝f（π），f（π2）＝f（﹣log 3π2）＝f（log3π2），∵＜2＜log3π2＜3＜π，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（）＜f（log3π2）＜f（π），即f（）＜f（π2）＜f（﹣π），故选：A．6．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|﹣|PF2|＝2，且双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1＝0垂直，则双曲线的方程为（）A．＝1B．x2﹣4y2＝1C．x2﹣D．4x2﹣y2＝1【解答】解：∵双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1＝0垂直，∴＝2，又|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，∴a＝1，∴b＝2，∴双曲线方程为：x2﹣＝1．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的命题中正确的是（）A．g（x）在[]上是增函数B．g（x）的图象关于直线x＝﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]【解答】解：∵f（x）＝sinωx+cosωx＝＝，由题意知，则T＝π，∴ω＝，∴，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）＝f（x+）＝2＝2cos2x．其图象如图：由图可知，函数在[，]上是减函数，A错误；其图象的对称中心为（），B错误；函数为偶函数，C错误；，，∴当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]，D正确．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）+2＝，当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，若在区间（﹣1，1]内，g（x）＝f（x）﹣t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题可知函数在x∈（﹣1，1]上的解析式为，由g（x）＝f（x）﹣t（x+1）＝0得f（x）＝t（x+1），可将函数f（x）在x∈（﹣1，1）上的大致图象呈现如图：根据y＝t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y＝t（x+1）表示直线的临界位置，因此直线的斜率t的取值范围是．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）已知a，b∈R，i为虚数单位，若3+4i＝，则a+b＝﹣9．【解答】解：由3+4i＝，得（3+4i）（a+i）＝2﹣bi，即3a﹣4+（3+4a）i＝2﹣bi，∴，解得，∴a+b＝﹣9．故答案为：﹣9．10．（5分）已知圆C经过点A（2，﹣1）且和直线x+y＝1相切，圆心在直线y ＝﹣2x上，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2．【解答】解：设所求圆心坐标为（a，﹣2a），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分由条件得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分化简得a2﹣2a+1＝0，∴a＝1，∴圆心为（1，﹣2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分半径，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分∴所求圆方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分11．（5分）已知正实数x，y满足x，则的最小值为2．【解答】解：∵正实数x，y满足x，∴1＝x+≥＝，∴＝（）（x+）﹣2＝1++﹣2≥2+2﹣2＝2，当且仅当，即y＝2，x＝时，取等号，∴的最小值为2．故答案为：2．12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，面A1B1C1D1在一个半球的底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球的球面上，则此半球的体积为4π．【解答】解：设球心为O，球半径为R，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，可得正方体的边长为2，即有OA1＝，AA1＝2，可得R＝＝＝，则此半球的体积为V＝×πR3＝π×6＝4π．故答案为：4π．13．（5分）已知函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是（2，3]．【解答】解：①若f（x）在R上单调递增，则有，解得2＜a≤3；②若f（x）在R上单调递减，则有，a无解，综上所述，得实数a的取值范围是（2，3]．故答案为：（2，3]14．（5分）在△ABC中，∠A＝60°，||＝2，点D在边AB上，点E在边BC上，＝，＝，若＝，则||＝5．【解答】解：如图，∠A＝60°，||＝2，＝，＝，由＝，得（）•（）＝，即（）•（）＝，∴，∴，解得：．故答案为：5．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，b2﹣a2＝．（Ⅰ）求tan C的值；（Ⅱ）求tan（2C﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵A＝，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos，∴b2﹣a2＝bc﹣c2，又b2﹣a2＝c2．∴bc﹣c2＝c2．∴b＝c．可得b＝c，∴a2＝b2﹣c2＝c2，即a＝c．∴cos C＝＝．∵C∈（0，π），∴sin C＝＝．∴tan C＝＝2．（Ⅱ）tan2C＝＝＝﹣，∴tan（2C﹣）＝＝＝7．16．（13分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如表：分别用x，y表示每周生产空调器、彩电的台数．（Ⅰ）用x、y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问每周应生产空调器器、彩电、冰箱各多少台时才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）【解答】解：（Ⅰ）由题意得：生产海尔120﹣x﹣y台…（1分），x、y、z满足，即（x∈N、y∈N、z∈N*）相应的平面区域如图所示∵（Ⅱ）产值z＝4x+3y+2（120﹣x﹣y）＝2x+y+240（9分）由可行域知解得点M（10，90）…（11分）所以生产联想10台，方正90台，海尔20台时，产值最高最高产值为z＝2×10+90+240＝350（12分）．17．（13分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACD＝90°，AB＝1，AD＝2，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，P为DF 的中点，AN⊥CF，垂足为N．（Ⅰ）求证：AN⊥平面CDF；（Ⅱ）求异面直线BF与PC所成角的正切值；（Ⅲ）求三棱锥B﹣CEF的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABEF为正方形，∴AB⊥AF，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ACD＝90°，∴CD⊥AC，AB∥CD，∴CD⊥AF，∵AF∩AC＝A，∴CD⊥平面ACF，∵AN⊂平面AFC，∴CD⊥AN，∵AN⊥CF，CF∩CD＝C，∴AN⊥平面CDF．解：（Ⅱ）∵四边形ABCD为平行四边形，∠ACD＝90°，AB＝1，AD＝2，∴AC＝＝＝，∴AO＝CO＝，∵四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，P为DF的中点，∠ACD ＝90°，∴AP＝CP＝＝＝＝，∵P为DF的中点，O是BD中点，∴BF∥PO，∴∠CPO是异面直线BF与PC所成角，sin∠CPO＝＝＝，∴cos∠CPO＝，tan∠CPO＝，∴异面直线BF与PC所成角的正切值为．（Ⅲ）∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，AF⊥AB，AF⊂平面ABEF，∴AF⊥平面ABCD，CA＝＝，∴三棱锥B﹣CEF的体积：V B﹣CEF＝V C﹣BEF＝＝＝．18．（13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，当n≥2时，满足（a n﹣S n﹣1）2＝S n S n﹣1，且a1＝1．（Ⅰ）求证：数列{S n}是等比数列；（Ⅱ）设b n＝（log4S n）•S n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】（I）证明：∵a n＝S n﹣S n﹣1，（a n﹣S n﹣1）2＝S n S n﹣1，∴（S n﹣2S n﹣1）2＝S n S n﹣1，即S n2﹣5S n S n﹣1+4S n﹣12＝0，即（S n﹣S n﹣1）（S n﹣4S n﹣1）＝0，a n（S n﹣4S n﹣1）＝0，∵a n＞0，∴S n＝4S n，﹣1∴数列{S n}是以1为首项，以4为公比的等比数列．（II）解：又（I）可知S n＝4n﹣1，＝3×4n﹣2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1∴b n＝（log4）•S n＝（n﹣1）•4n﹣1．∴T n＝0×40+1×4+2×42+…+（n﹣1）×4n﹣1，4T n＝0×4+1×42+2×43+…+（n﹣1）×4n，∴﹣3T n＝4+42+…+4n﹣1﹣（n﹣1）×4n＝﹣+（）•4n，∴T n＝+（）•4n．19．（14分）已知椭圆C1的方程为（a＞b＞0），离心率e＝，其一个焦点在抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的准线上，且抛物线C2与直线l：x﹣y+＝0相切．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）若点M，N为椭圆C1上的两个不同的点，T为平面内任意一点，满足：＝，直线OM与ON的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点F1，F2，使得|TF1|+|TF2|为定值？若存在，求点F1，F2的坐标；若不存在，则说明理由．【解答】解：（I）联立方程组，得y2﹣2py+2p＝0，∵抛物线C2与直线l：x﹣y+＝0相切，∴△＝4p2﹣8p＝0，解得p＝2．∴抛物线C2的方程为y2＝4x，准线方程为x＝﹣．∵椭圆C1的一个焦点在抛物线C2的准线上，∴c＝，又e＝＝，a2＝b2+c2，∴a2＝12，b2＝6．∴椭圆C1方程为+＝1．（II）设T（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则＝﹣，即x1x2+2y1y2＝0，∵点M，N在椭圆+＝1上，∴x12+2y12＝12，x22+2y22＝12，∵＝＝2，∴，∴x2+2y2＝4x22+4x1x2+x12+2（4y22+4y1y2+y12）＝（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）＝60，∴点T（x，y）在椭圆＝1上．根据椭圆的定义可知：当F1，F2为椭圆＝1的焦点时，|TF1|+|TF2|为定值．其中F1（﹣，0），F2（，0）．20．（14分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：因为f（x）＝x3+ax2+bx+1，所以g（x）＝f′（x）＝3x2+2ax+b，g′（x）＝6x+2a，令g′（x）＝0，解得x＝﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）＝f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）＝f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x＝﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）＝0，即﹣+﹣+1＝0，所以b＝+（a＞0）．因为f（x）＝x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）＝3x2+2ax+b＝0有实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b＝+（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）＝b2﹣3a＝﹣+＝（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）＝b﹣，设x1，x2是y＝f（x）的两个极值点，则x1+x2＝，x1x2＝，所以f（x1）+f（x2）＝++a（+）+b（x1+x2）+2＝（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2＝﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2＝﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．。
天津市耀华中学2018届高考数学一模试卷理科含解析
2018年天津市耀华中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i2．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是（）A．4 B．C．1 D．23．已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．154．设a=log412，b=log515，c=log618，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a5．已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知关于x的不等式（ab＞1）的解集为空集，则的最小值为（）A．B．2 C． D．48．如图，已知：|AB|=|BC|=4，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上AM的最大值是（）一动点，则DCA．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．若函数f（x）=，则f（x）与x轴围成封闭图形的面积为．10．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．11．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．求直线l与圆C相交所得弦长为．12．（1+x）6（1﹣x）6展开式中x6的系数为．13．如图：PA为⊙O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，PA=10，PB=5，则AC长为．14．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量，设函数．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．16．一汽车4S店新进A，B，C三类轿车，每类轿车的数量如下表：类别 A B C数量 4 3 2同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展．（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．17．如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PED；（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q 两点，问：△PF2Q的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，并且a2=2，S5=15，数列{b n}满足：b1=，b n+1=b n（n∈N+），记数列{b n}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）求数列{b n}的通项公式b n及前n项和公式T n；（3）记集合M={n|≥λ，n∈N+}，若M的子集个数为16，求实数λ的取值范围．20．设函数f（x）=﹣aln（1+x），g（x）=ln（1+x）﹣bx．（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：不等式﹣1＜﹣lnn≤（n=1，2．…）．2018年天津市耀华中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：D．2．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是（）A．4 B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（1，1）将C（1，1）的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=2﹣1=1．即z=2x﹣y的最大值为1．故选：C．。
天津市河西区2018学年度高三下学期质调(一)文科数学试题(含答案)
河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数 学 试 卷（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=Y·如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=·柱体的体积公式Sh V =·锥体的体积公式Sh V31=其中S 表示柱（锥）体的底面面积h 表示柱（锥）体的高 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则()R C S T =U（A ）(2,1]- （B ）]4,(--∞ （C ）]1,(-∞ （D ）),1[+∞（2）若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值是（A ）5-2（B ）0（C ）53（D ）52（3）某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的值是（A ）59 （B ）116 （C ）137（D ）158（4）设x ∈R ，则“||2x <”是“4x <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）设3log a e =, 1.5b e =，131log 4c =，则 （A ）c a b << （B ）b a c << （C ）a b c <<（D ）b c a <<（6）以下关于()x x x f 2cos 2sin -=的命题，正确的是（A ）函数()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛32,0π上单调递增 （B ）直线8π=x 是函数()x f y =图象的一条对称轴（C ）点⎪⎭⎫⎝⎛0,4π是函数()x f y =图象的的一个对称中心 （D ）将函数()x f y =图象向左平移8π个单位，可得到x y 2sin 2=的图象 （7）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（A ）19（B ）125（C ）15（D ）13（8）如图梯形ABCD ，CD AB //且5AB =,24AD DC ==， 0AC BD ⋅=uuu r uu u r，开始 S =1，k =1k >4 S =S +1k (k +1)k =k+1输出S结束 是否（第3题图）则AD BC ⋅uuu r uu u r的值为（A ）1315 （B ）10 （C ）15 （D ）1315-河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数 学 试 卷（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017年天津市河西区高考数学一模试卷(理科) 有答案
2017年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x＜1}D．∅2．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．13．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．若q＞0，命题甲：“a，b为实数，且|a﹣b|＜2q”；命题乙：“a，b为实数，满足|a﹣2|＜q，且|b ﹣2|＜q”，则甲是乙的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2B．4 C．2D．36．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．﹣2 C．D．﹣7．如图在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是（）A．18 B．20 C．22 D．248．已知函数f（x）=，若g（x）=ax﹣|f（x）|的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．[，） B．（0，）C．（0，）D．[，）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1﹣i，则|z|=．10．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是．11．若（x+）n的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n的值为．12．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是．13．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，若实数a满足f（log2）＜f（﹣），则a的取值范围是．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．16．甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．（Ⅰ）求恰好抽到两张A的概率．（Ⅱ）记四张牌中含有黑桃的张数为x，求x的分布列与期望．17．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．（Ⅰ）若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．（Ⅲ）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．18．已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a n+S n=2n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求的取值范围．20．已知函数f （x ）=lnx ﹣x 2+x ．（I ）求函数f （x ）的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤（﹣1）x 2+ax ﹣1恒成立，求整数a 的最小值；（Ⅲ）若正实数x 1，x 2满足f （x 1）+f （x 2）+2（x+x ）+x 1x 2=0，证明x 1+x 2≥．2017年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x＜1}D．∅【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【分析】分别求出M、N的范围，在求交集．【解答】解：∵集合M={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}={y|y＞0}，∴M∩N={x|0＜x＜1}，故选C．2．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3x﹣4y 对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=y=1时，z达到最大值﹣1．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，3），C（1，1），B（3，3）．设z=F（x，y）=3x﹣4y，将直线l：z=3x﹣4y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点C时，目标函数z达到最大值，（1，1）=﹣1，∴z最大值=F故选：C3．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不满足条件a＜，a=，k=2不满足条件a＜，a=，k=3不满足条件a＜，a=，k=4满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．故选：B．4．若q＞0，命题甲：“a，b为实数，且|a﹣b|＜2q”；命题乙：“a，b为实数，满足|a﹣2|＜q，且|b ﹣2|＜q”，则甲是乙的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可．【解答】解：若a，b为实数，且|a﹣b|＜2q，则﹣2q＜a﹣b＜2q，故命题甲：﹣2q＜a﹣b＜2q；若a，b为实数，满足|a﹣2|＜q，且|b﹣2|＜q，则2﹣q＜a＜2+q①，2﹣q＜b＜2+q②，由②得：﹣2﹣q＜﹣b＜﹣2+q③，①+③得：﹣2q＜a﹣b＜2q，故命题乙：﹣2q＜a﹣b＜2q，故甲是乙的充分必要条件，故选：C．5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2B．4 C．2D．3【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解：===1，即有2cosC=1，可得C=60°，若S △ABC =2，则absinC=2， 即为ab=8，又a +b=6，由c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=（a +b ）2﹣2ab ﹣ab=（a +b ）2﹣3ab=62﹣3×8=12，解得c=2．故选C ．6．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与圆x 2+y 2﹣4y +3=0相切，则此双曲线的离心率等于（ ）A． B ．﹣2 C ． D ．﹣ 【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线y=x 与圆x 2+y 2﹣4y +3=0相切⇔圆心（0，2）到渐近线的距离等于半径r ，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：取双曲线（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线y=x ，即bx ﹣ay=0．由圆x 2+y 2﹣4y +3=0化为x 2+（y ﹣2）2=1．圆心（0，2），半径r=1．∵渐近线与圆x 2+y 2﹣4y +3=0相切，∴=1化为3a 2=b 2．∴该双曲线的离心率e===2．故选：D ．7．如图在平行四边形ABCD 中，已知AB=8，AD=5， =3， •=2，则•的值是（ ）A ．18B ．20C ．22D ．24【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．8．已知函数f（x）=，若g（x）=ax﹣|f（x）|的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．[，） B．（0，）C．（0，）D．[，）【考点】函数的图象；分段函数的应用．【分析】将函数g（x）的零点问题转化为y=|f（x）|与y=ax的图象的交点问题，借助于函数图象来处理．【解答】解：由于函数g（x）=ax﹣|f（x）|有3个零点，则方程|f（x）|﹣ax=0有三个根，故函数y=|f（x）|与y=ax的图象有三个交点．由于函数f（x）=，则其图象如图所示，从图象可知，当直线y=ax位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，因为点A能取到，则4个选项中区间的右端点能取到，排除BC，∴只能从AD中选，故只要看看选项AD区间的右端点是选还是选，设图中切点B的坐标为（t，s），则斜率k=a=（lnx）′|x=t=，又（t，s）满足：，解得t=e，∴斜率k=a==，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1﹣i，则|z|=1．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=（1﹣i），∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，z=﹣i．则复数z的模|z|=1．故答案为：1．10．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积．【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：∴该几何体的体积为23﹣×22×1=8﹣=．故答案为：．11．若（x +）n 的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n 的值为 8 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（x +）n 的二项展开式的通项公式，写出它的前三项系数，利用等差数列求出n 的值．【解答】解：∵（x +）n 的二项展开式的通项公式为T r +1=•x n ﹣r •=••x n ﹣2r ，前三项的系数为1，，，∴n=1+，解得n=8或n=1（不合题意，舍去）， ∴常数n 的值为8． 故答案为：8．12．已知x ＞0，y ＞0，且，若x +2y ＞m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ﹣4＜m ＜2 ．【考点】函数恒成立问题．【分析】先把x +2y 转化为（x +2y ）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x +2y ＞m 2+2m 求得m 2+2m ＜8，进而求得m 的范围．【解答】解：∵，∴x +2y=（x +2y ）=4++≥4+2=8∵x +2y ＞m 2+2m 恒成立， ∴m 2+2m ＜8，求得﹣4＜m ＜2故答案为：﹣4＜m＜2．13．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，若实数a满足f（log2）＜f（﹣），则a的取值范围是（0，）∪（，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可．【解答】解：∵偶函数f（x）是[0，+∞）上单调递减，满足不等式f（log2）＜f（﹣），∴不等式等价为f（|log2|）＜f（），即|log2|＞，即log2＞或log2＜﹣，即0＜a＜或a＞，故答案为：（0，）∪（，+∞）．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，将点A的极坐标、直线及曲线的极坐标方程化成直角坐标或方程，再利用直角坐标方程的形式，由抛物线的定义可得丨PA丨+d=|PF|+|PA|≥|AF|，当A，P，F三点共线时，其和最小，再求出|AF|的值即可．【解答】解：点A（1，）的直角坐标为A（0，1），曲线曲线ρsin2θ=4cosθ的普通方程为y2=4x，是抛物线．直线ρcosθ+1=0的直角坐标方程为x+1=0，是准线．由抛物线定义，点P到抛物线准线的距离等于它到焦点A（0，1）的距离，所以当A，P，F三点共线时，其和最小，最小为|AF|=，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间；利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1=sin（2x+）+sin2x﹣1=cos2x +sin2x﹣1=2sin（2x+）﹣1，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin（2x++）﹣1=2cos（2x+）﹣1的图象，在区间[0，]上，2x+∈[，]，故当2x+=π时，即x=时，函数取得最小值为﹣2﹣1=﹣3；当2x+=时，即x=0时，函数取得最大值为﹣1．16．甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．（Ⅰ）求恰好抽到两张A的概率．（Ⅱ）记四张牌中含有黑桃的张数为x，求x的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）基本事件总数n==36，恰好抽到两张A包含的基本事件个数m==15，由此能求出恰好抽到两张A的概率．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．基本事件总数n==36，恰好抽到两张A包含的基本事件个数m==15，∴恰好抽到两张A的概率p==．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）===，P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===，∴X的分布列为：E（X）==．17．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．（Ⅰ）若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．（Ⅲ）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可证明；（Ⅱ）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的大小；（Ⅲ）设出Q的坐标，利用向量方法，即可求解．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，四边形ABCD 是矩形．∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，若O是CD 的中点，OP⊥CD．OP=．建立如图所示的空间直角坐标系，AB=2BC=2．则O（0，0，0），B（1，0，1），A（﹣1，0，1），P（0，，0）．∴=（1，0，1），=（﹣1，﹣，1）．∴•═0，∴⊥，∴BO⊥PA．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：=（2，0，0）．设平面BPA的法向量为=（x，y，z），由，取y=1，平面BPA的一个法向量为=（0，1，）．取=（0，0，1），设平面PAD的法向量为=（a，b，c），则，取b=1，则=（﹣，1，0）．∴cos＜，＞==，由图可以看出：二面角B﹣PA﹣D 是一个钝角，故其余弦值为﹣，正弦值为．（Ⅲ）解：假设存在Q，直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，直线AQ与平面ABP的法向量所成角的余弦值为．设Q（m，（1﹣m），0），则=（m+1，（1﹣m），﹣1），∴=，∴12m2﹣4m+5=0，方程无解，∴在线段CP上不存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为．18．已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a n+S n=2n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）再写一式，两式相减得2a n﹣a n﹣1=2，整理，即，数列{a n﹣2}是首项为，公比为的等比数列，即可求数列{a n}的通项公式；（2）利用裂项法，即可证明结论．【解答】（1）解：∵a n+S n=2n+1，令n=1，得2a1=3，．∵a n+S n=2n+1，∴a n﹣1+S n﹣1=2（n﹣1）+1，（n≥2，n∈N*）两式相减，得2a n﹣a n﹣1=2，整理，（n≥2）∴数列{a n﹣2}是首项为，公比为的等比数列∴．（2）证明：∵∴==．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由椭圆过点（1，），结合给出的焦点坐标积隐含条件a2﹣b2=c2求解a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，B横纵坐标的和与积，进一步求得AB的垂直平分线方程，求得Q的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ|，由弦长公式求得|AB|，作比后求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程是；（Ⅱ）联立，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，．∴线段AB的中点坐标为，∴线段AB的垂直平分线方程为．取y=0，得，于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q，又点P（1，0），∴．又=．于是，．∵k≠0，∴．∴的取值范围为．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（Ⅲ）若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0，证明x1+x2≥．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求f′（x），而使f′（x）≤0的x所在区间便为f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）构造函数，求g′（x）=，容易判断当a≤0时不合题意；而a＞0时，能够求出f（x）的最大值为，可设h（a）=，该函数在（0，+∞）上为减函数，并且h（1）＞0，h（2）＜0，从而得到整数a最小为2；（Ⅲ）由f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0便得到，这样令t=x1x2，t＞0，容易求得函数t﹣lnt的最小值为1，从而得到，解这个关于x1+x2的一元二次不等式即可得出要证的结论．【解答】解：（Ⅰ）（x＞0）；∴x≥1时，f′（x）≤0；∴f（x）的单调减区间为[1，+∞）；（Ⅱ）令；所以=；（1）当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0；∴此时g（x）在（0，+∞）上是递增函数；又g（1）=；∴g（x）≤0不能恒成立，即关于x的不等式f（x）≤不能恒成立；∴这种情况不存在；（2）当a＞0时，；∴当x时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0；∴函数g（x）的最大值为=；令；∵h（1）=，h（2）=，又h（a）在a∈（0，+∞）上是减函数；∴当a≥2时，h（a）＜0；所以整数a的最小值为2；（Ⅲ）证明：由f（x1）+f（x2）；即；从而；令t=x1x2，则由h（t）=t﹣lnt得，h′（t）=；可知，h（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；∴h（t）≥h（1）=1；∴，又x1+x2＞0；因此成立．。
天津市河西区2018学年度高三下学期质调(一)文科数学试题(含答案)
（ C） 15
（第 8 题图 )
（ D） 15 13
河西区 2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）
数 学 试 卷（文史类）
注意事项：
第Ⅱ卷
1 ．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共 12 小题，共 110 分。
二 . 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
（ 17）（本小题满分 13 分）
如 图 ， 已 知 三 棱 锥 A BCD 中 ， 平 面 ABD BD 3 , AD 1 , AC BC , M 为线段 AB 的中点 .
（Ⅰ）求证 : BC 平面 ACD ； （Ⅱ）求异面直线 MD 与 BC 所成角的余弦值； （Ⅲ） 求直线 MD 与平面 ACD 所成角的余弦值 .
（ A） 1 9
（ B） 1 25
AM 平行，则实数 a 的值是8）如图梯形 ABCD ， AB // CD 且
uuru uuur AB 5 , AD 2DC 4 ， AC BD 0 ，
uuur uuur 则 AD BC 的值为
（ A） 15 13
（ B） 10
（ B） 11 6
（ C） 13 7
（ D） 15 8
（ 4）设 x R ，则“ | x | 2 ”是“ x 4 ”的
（ A）充分而不必要条件
（ B）必要而不充分条件
（ C）充分必要条件
（ D）既不充分也不必要条件
（ 5）设 a
log 3 e , b
e1.5 ， c
1 log 1 ，则
34
（ A） b a c
x 2 2, x 2 x2, x
0,1 ，且 f x 2
1, 0
2018年天津市河西区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年天津市河西区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集U＝{2，3，4，5，6，7}，集合A＝{4，5，7}，B＝{4，6}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1，2}B．{2}C．{2，5}D．{5，7} 2．（5分）若实数x，y满足，则z＝3x+y的最大值为（）A．12B．24C．28D．203．（5分）如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为（）A．3B．﹣3C．2D．﹣24．（5分）设x∈R，则“|x|+|x﹣2|＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对于定义域内任意的x均满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2e x（e为自然对数的底数），则f（ln）＝（）A．﹣8B．8C．﹣4D．46．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|﹣|PF2|＝2，且双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1＝0垂直，则双曲线的方程为（）A．＝1B．x2﹣4y2＝1C．x2﹣D．4x2﹣y2＝1 7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），现有如下命题：①在[]上是增函数；②其图象关于点（）对称；③函数g（x）是奇函数；④当x∈[]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]．其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．（5分）已知函数f（x）+2＝，当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，若在区间（﹣1，1]内，g（x）＝f（x）﹣t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）已知a，b∈R，i为虚数单位，若3+4i＝，则a+b＝．10．（5分）已知正实数x，y满足x，则的最小值为．11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，面A1B1C1D1在一个半球的底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球的球面上，则此半球的体积为．12．（5分）设抛物线C：，（t为参数）的焦点为F，曲线（s为参数，k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝．13．（5分）在△ABC中，∠A＝60°，||＝2，点D在边AB上，点E在边BC上，＝，＝，若＝，则||＝．14．（5分）已知函数f（x）＝为R上的单调函数，且∃x0∈R，使得﹣ax0＜0，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，b2﹣a2＝．（Ⅰ）求tan C的值；（Ⅱ）求tan（2C﹣）的值．16．（13分）在对某渔业产品的质量调查中，从甲、乙两地出产的产品中随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）．如表是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量大于等于15毫克时为优质品．（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）．（Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，记抽到的3件产品中优质品数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，AB＝AD＝AE＝2BC＝2，CB∥DA，EA⊥AB，M是EC上的点（不与端点重合），F为AD上的点，N为BE的中点．（Ⅰ）若M为CE的中点，AF＝3FD．（i）求证：FN∥平面MBD；（ii）求点F到平面MBD的距离．（Ⅱ）若平面MBD与平面ABD所成角（锐角）的余弦值为，试确定点M在EC上的位置．18．（13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，当n≥2时，满足）2＝S n S n﹣1，且a1＝1．（a n﹣S n﹣1（Ⅰ）求证：数列{S n}是等比数列；（Ⅱ）设b n＝（log4）•S n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆C1的方程为（a＞b＞0），离心率e＝，其一个焦点在抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的准线上，且抛物线C2与直线l：x﹣y+＝0相切．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）若点M，N为椭圆C1上的两个不同的点，T为平面内任意一点，满足：＝，直线OM与ON的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点F1，F2，使得|TF1|+|TF2|为定值？若存在，求点F1，F2的坐标；若不存在，则说明理由．20．（14分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．2018年天津市河西区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集U＝{2，3，4，5，6，7}，集合A＝{4，5，7}，B＝{4，6}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1，2}B．{2}C．{2，5}D．{5，7}【解答】解：∵全集U＝{2，3，4，5，6，7}，集合A＝{4，5，7}，B＝{4，6}，∴∁U B＝{2，3，5，7}，∴A∩（∁U B）＝{5，7}．故选：D．2．（5分）若实数x，y满足，则z＝3x+y的最大值为（）A．12B．24C．28D．20【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得即A（5，13），此时z max＝3×5+13＝28，故选：C．3．（5分）如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为（）A．3B．﹣3C．2D．﹣2【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，i＝1不满足条件i＞6，不满足条件i是偶数，S＝1，i＝2不满足条件i＞6，满足条件i是偶数，S＝﹣1，i＝3不满足条件i＞6，不满足条件i是偶数，S＝2，i＝4不满足条件i＞6，满足条件i是偶数，S＝﹣2，i＝5不满足条件i＞6，不满足条件i是偶数，S＝3，i＝6不满足条件i＞6，满足条件i是偶数，S＝﹣3，i＝7满足条件i＞6，退出循环，输出S的值为﹣3．故选：B．4．（5分）设x∈R，则“|x|+|x﹣2|＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x≥2时，由|x|+|x﹣2|＜4得2x﹣2＜4，得x＜3，此时2≤x＜3，若0＜x＜2，由|x|+|x﹣2|＜4得x﹣x﹣2＜4，得﹣2＜4，此时0＜x＜2，若x≤0，由|x|+|x﹣2|＜4得﹣x﹣x﹣2＜4，得x＞﹣1，此时﹣1＜x≤0，综上﹣1＜x＜3，由x2﹣x﹣6＜0得﹣2＜x＜3，即“|x|+|x﹣2|＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对于定义域内任意的x均满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2e x（e为自然对数的底数），则f（ln）＝（）A．﹣8B．8C．﹣4D．4【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）＝f（x），∴4是f（x）的周期；又x∈（0，2）时，f（x）＝2e x，∴f（ln）＝f（lne4﹣ln4）＝f（4﹣ln4）＝f（﹣ln4）＝﹣f（ln4）＝﹣2e ln4＝﹣2×4＝﹣8．故选：A．6．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|﹣|PF2|＝2，且双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1＝0垂直，则双曲线的方程为（）A．＝1B．x2﹣4y2＝1C．x2﹣D．4x2﹣y2＝1【解答】解：∵双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1＝0垂直，∴＝2，又|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，∴a＝1，∴b＝2，∴双曲线方程为：x2﹣＝1．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），现有如下命题：①在[]上是增函数；②其图象关于点（）对称；③函数g（x）是奇函数；④当x∈[]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]．其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：由题意可知，＝，∴T＝π，则ω＝2．f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+）＝2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得f（x+）＝2sin[2（x+）+]＝2sin（2x+）＝2cos2x．即g（x）＝2cos2x．①在[]上是增函数；应该是减函数，所以①不正确；②其图象关于点（）对称；正确；③函数g（x）是奇函数；不正确；④当x∈[，]时，2x∈[，]，∴2cos2x∈[﹣2，1]．④正确；故选：C．8．（5分）已知函数f（x）+2＝，当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，若在区间（﹣1，1]内，g（x）＝f（x）﹣t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题可知函数在x∈（﹣1，1]上的解析式为，由g（x）＝f（x）﹣t（x+1）＝0得f（x）＝t（x+1），可将函数f（x）在x∈（﹣1，1）上的大致图象呈现如图：根据y＝t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y＝t（x+1）表示直线的临界位置，因此直线的斜率t的取值范围是．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）已知a，b∈R，i为虚数单位，若3+4i＝，则a+b＝﹣9．【解答】解：由3+4i＝，得（3+4i）（a+i）＝2﹣bi，即3a﹣4+（3+4a）i＝2﹣bi，∴，解得，∴a+b＝﹣9．故答案为：﹣9．10．（5分）已知正实数x，y满足x，则的最小值为2．【解答】解：∵正实数x，y满足x，∴1＝x+≥＝，∴＝（）（x+）﹣2＝1++﹣2≥2+2﹣2＝2，当且仅当，即y＝2，x＝时，取等号，∴的最小值为2．故答案为：2．11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，面A1B1C1D1在一个半球的底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球的球面上，则此半球的体积为4π．【解答】解：设球心为O，球半径为R，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，可得正方体的边长为2，即有OA1＝，AA1＝2，可得R＝＝＝，则此半球的体积为V＝×πR3＝π×6＝4π．故答案为：4π．12．（5分）设抛物线C：，（t为参数）的焦点为F，曲线（s为参数，k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝2．【解答】解：抛物线C：，（t为参数）的焦点为F，即y2＝4x，它的焦点为F（1，0），曲线（s为参数，k＞0），即y＝，它与C交于点P（，）．∵PF⊥x轴，则＝1，∴k＝2，故答案为：2．13．（5分）在△ABC中，∠A＝60°，||＝2，点D在边AB上，点E在边BC上，＝，＝，若＝，则||＝5．【解答】解：如图，∠A＝60°，||＝2，＝，＝，由＝，得（）•（）＝，即（）•（）＝，∴，∴，解得：．故答案为：5．14．（5分）已知函数f（x）＝为R上的单调函数，且∃x0∈R，使得﹣ax0＜0，则实数a的取值范围是（e，3]．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝为R上的单调函数，若函数为增函数，则有，解可得2＜a≤3，若函数为减函数，则有，无解，则若函数为单调函数，则有2＜a≤3，设g（x）＝e x﹣ax，若∃x0∈R，使得﹣ax0＜0，则不等式g（x）＝e x﹣ax＜0有解，即函数g（x）的最小值小于0，g（x）＝e x﹣ax，则g′（x）＝e x﹣a，又由2＜a≤3，令g′（x）＝0，可得x ＝lna，分析可得当x＜lna时，g′（x）＜0，函数f（x）为减函数，当x＞lna时，g′（x）＞0，函数f（x）为增函数，函数g（x）min＝g（lna）＝a﹣alna＝a（1﹣lna），若g（x）min＜0，即a（1﹣lna）＜0，必有a＞e；综合可得：e＜a≤3，则e的范围是（e，3]；故答案为：（e，3]．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，b2﹣a2＝．（Ⅰ）求tan C的值；（Ⅱ）求tan（2C﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵A＝，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos，∴b2﹣a2＝bc﹣c2，又b2﹣a2＝c2．∴bc﹣c2＝c2．∴b＝c．可得b＝c，∴a2＝b2﹣c2＝c2，即a＝c．∴cos C＝＝．∵C∈（0，π），∴sin C＝＝．∴tan C＝＝2．（Ⅱ）tan2C＝＝＝﹣，∴tan（2C﹣）＝＝＝7．16．（13分）在对某渔业产品的质量调查中，从甲、乙两地出产的产品中随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）．如表是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量大于等于15毫克时为优质品．（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）．（Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，记抽到的3件产品中优质品数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）甲厂抽取的样本中优等品有7件，优等品率为．乙厂抽取的样本中优等品有8件，优等品率为．…（4分）（II）ξ的取值为1，2，3．…（5分）…（7分），…（9分）…（11分）∴ξ的分布列为…（12分）∴ξ的数学期望为Eξ＝1×+2×+3×＝．…（13分）17．（13分）如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，AB＝AD＝AE＝2BC ＝2，CB∥DA，EA⊥AB，M是EC上的点（不与端点重合），F为AD上的点，N为BE的中点．（Ⅰ）若M为CE的中点，AF＝3FD．（i）求证：FN∥平面MBD；（ii）求点F到平面MBD的距离．（Ⅱ）若平面MBD与平面ABD所成角（锐角）的余弦值为，试确定点M在EC上的位置．【解答】证明：（Ⅰ）（i）如图，以A为原点，分别以AE、AB、AD为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），D（0，0，2），E（2，0，0），F（0，0，），N（1，1，0），M（1，1，），设平面MBD的一个法向量＝（x，y，z），＝（﹣1，﹣1，），＝（﹣1，1，﹣），则，取x＝1，得＝（1，2，2），＝（1，1，﹣），∵＝1+2+2×＝0，∴⊥，∵FN⊄平面MBD，∴FN∥平面MBD；解：（ii）平面MBD的法向量＝（1，2，2），＝（0，0，），则点F到平面MBD的距离：d＝＝．（Ⅱ）设M（a，b，c），，0＜λ＜1，则（a，b﹣2，c﹣1）＝λ（2，﹣2，﹣1），∴，∴，∴M（2λ，2﹣2λ，1﹣λ），设平面MBD的一个法向量＝（x，y，z），＝（﹣2λ，2λ﹣2，λ+1），＝（﹣2λ，2λ，λ﹣1），则，取y＝1，得＝（，1，1），平面ABD的法向量＝（1，0，0），∵平面MBD与平面ABD所成角（锐角）的余弦值为，∴＝＝，解得或，∴点M是EC的中点或EC上靠近点C的四等分点．18．（13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，当n≥2时，满足（a n﹣S n﹣1）2＝S n S n﹣1，且a1＝1．（Ⅰ）求证：数列{S n}是等比数列；（Ⅱ）设b n＝（log4）•S n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】（I）证明：∵a n＝S n﹣S n﹣1，（a n﹣S n﹣1）2＝S n S n﹣1，∴（S n﹣2S n﹣1）2＝S n S n﹣1，即S n2﹣5S n S n﹣1+4S n﹣12＝0，即（S n﹣S n﹣1）（S n﹣4S n﹣1）＝0，a n（S n﹣4S n﹣1）＝0，∵a n＞0，∴S n＝4S n﹣1，∴数列{S n}是以1为首项，以4为公比的等比数列．（II）解：又（I）可知S n＝4n﹣1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝3×4n﹣2．∴b n＝（log4）•S n＝（n﹣1）•4n﹣1．∴T n＝0×40+1×4+2×42+…+（n﹣1）×4n﹣1，4T n＝0×4+1×42+2×43+…+（n﹣1）×4n，∴﹣3T n＝4+42+…+4n﹣1﹣（n﹣1）×4n＝﹣+（）•4n，∴T n＝+（）•4n．19．（14分）已知椭圆C1的方程为（a＞b＞0），离心率e＝，其一个焦点在抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的准线上，且抛物线C2与直线l：x﹣y+＝0相切．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）若点M，N为椭圆C1上的两个不同的点，T为平面内任意一点，满足：＝，直线OM与ON的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点F1，F2，使得|TF1|+|TF2|为定值？若存在，求点F1，F2的坐标；若不存在，则说明理由．【解答】解：（I）联立方程组，得y2﹣2py+2p＝0，∵抛物线C2与直线l：x﹣y+＝0相切，∴△＝4p2﹣8p＝0，解得p＝2．∴抛物线C2的方程为y2＝4x，准线方程为x＝﹣．∵椭圆C1的一个焦点在抛物线C2的准线上，∴c＝，又e＝＝，a2＝b2+c2，∴a2＝12，b2＝6．∴椭圆C1方程为+＝1．（II）设T（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则＝﹣，即x1x2+2y1y2＝0，∵点M，N在椭圆+＝1上，∴x12+2y12＝12，x22+2y22＝12，∵＝＝2，∴，∴x2+2y2＝4x22+4x1x2+x12+2（4y22+4y1y2+y12）＝（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）＝60，∴点T（x，y）在椭圆＝1上．根据椭圆的定义可知：当F1，F2为椭圆＝1的焦点时，|TF1|+|TF2|为定值．其中F1（﹣，0），F2（，0）．20．（14分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：因为f（x）＝x3+ax2+bx+1，所以g（x）＝f′（x）＝3x2+2ax+b，g′（x）＝6x+2a，令g′（x）＝0，解得x＝﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）＝f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）＝f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x＝﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）＝0，即﹣+﹣+1＝0，所以b＝+（a＞0）．因为f（x）＝x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）＝3x2+2ax+b＝0有实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b＝+（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）＝b2﹣3a＝﹣+＝（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）＝b﹣，设x1，x2是y＝f（x）的两个极值点，则x1+x2＝，x1x2＝，所以f（x1）+f（x2）＝++a（+）+b（x1+x2）+2＝（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2＝﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2＝﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．第21页（共21页）。
2018年天津市河西区高考数学一模试卷
2018年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 设a 是实数，且211ai i+++是实数，则a =（ ） A.21 B. 1 C.23D. -1 2．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x ﹣y 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．23．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．104．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若B=，b=6，sinA ﹣2sinC=0，则a=（ ） A ．3B ．2C ．4D ．125．已知p ：x 2﹣4x +3≤0，q ：f （x ）=存在最大值和最小值，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=17．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x﹣a 有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣3）D．（0，﹣3）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设i为虚数单位，则复数=．10．在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为．11．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac，则cosB=．12．已知曲C的极坐标方程ρ=2sinθ，设直线L的参数方程，（t为参数）设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．13．已知下列命题：①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3；②若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；③若f（x）=x+，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；④等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=3，则S7=21；⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题是．（只填写序号）14．定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．16．甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．（Ⅰ）求恰好抽到两张A的概率．（Ⅱ）记四张牌中含有黑桃的张数为x，求x的分布列与期望．17．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．（Ⅰ）若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．（Ⅲ）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．18．已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a n+S n=2n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（Ⅲ）若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0，证明x1+x2≥．2018年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1B2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，3），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z．由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为0．故选：B．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】程序框图．【分析】利用循环结构可知道需要循环4次，根据条件求出i的值即可．【解答】解：第一次循环，s=﹣2＜5，s=﹣1，i=2，第二次循环，s=﹣1＜7，s=1，i=4，第三次循环，s=1＜9，s=5，i=6，第四次循环，s=5＜11，s=13，i=8，第五次循环，s=13≥13，此时输出i=8，故选：C．4．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA﹣2sinC=0，则a=（）A．3 B．2 C．4 D．12【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得：c=，进而利用余弦定理即可求得a的值．【解答】解：∵sinA﹣2sinC=0，∴由正弦定理可得：c=，∵B=，b=6，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：62=a2+（a）2﹣2a，整理可得：a=4，或﹣4（舍去）．故选：C．5．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：f（x）=存在最大值和最小值，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式，求出关于p的x的范围，根据函数的性质求出关于q的x的范围，根据集合的包含关系判断充分必要条件即可．【解答】解：由x2﹣4x+3≤0，解得：1≤x≤3，故命题p：1≤x≤3；f（x）==x+，x＞0时，f（x）有最小值2，x＜0时，f（x）有最大值﹣2，故命题q：x≠0，故命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A．6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=1【考点】圆锥曲线的综合．【分析】确定抛物线y2=20x的焦点坐标、双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程，利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，求出b，a，即可求出双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线﹣=1（a＞0，b ＞0）的一条渐近线的方程为bx+ay=0，∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴=4，即b=4，∵c=5，∴a=3，∴双曲线方程为：=1．故选：D．7．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故选：D．8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣3）D．（0，﹣3）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，判断x≤0，与x＞0交点的情况，列出关于a的不等式，解之可得答案．【解答】解：g（x）=f（x）+2x﹣a=，函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣a﹣1，最多两个零点，如上图，要满足题意，函数y=2x+2x是增函数，x≤0一定与x相交，过（0，1），g（x）=2x+2x﹣a，与x轴相交，1﹣a≥0，可得a≤1．还需保证x＞0时，抛物线与x轴由两个交点，可得：﹣a﹣1＞0，△=4（a+1）2﹣4（1﹣a）＞0，解得a＜﹣3，综合可得a＜﹣3，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设i为虚数单位，则复数=﹣4﹣3i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【解答】解：=，故答案为：﹣4﹣3i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．10．在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为﹣．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求出x的系数是什么．【解答】解：∵二项式（2x﹣）5展开式的通项公式是=•（2x2）5﹣r•=（﹣1）r••25﹣r••x10﹣3r，T r+1令10﹣3r=1，解得r=3；=（﹣1）3••22••x；∴T3+1∴x的系数是﹣•22•=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础性题目．11．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac，则cosB=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由正弦定理与sinA=2sinC，可解得a=2c，将这些代入由余弦定理得出的关于cosB的方程即可求出．【解答】解：在△ABC中，∵sinA=2sinC，∴由正弦定理得a=2c，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，将b2=ac及a=2c代入上式解得：cosB===．故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于运用定理建立所求量的方程通过解方程来求值的题目，训练目标是灵活运用公式求值，属于基础题．12．已知曲C的极坐标方程ρ=2sinθ，设直线L的参数方程，（t为参数）设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．【分析】首先将曲线C化成普通方程，得出它是以P（0，1）为圆心半径为1的圆，然后将直线L化成普通方程，得出它与x轴的交点M的坐标，最后用两个点之间的距离公式得出PM的距离，从而得出曲C上一动点N到M的最大距离．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程ρ=2sinθ，化成普通方程：x2+y2﹣2y=0，即x2+（y﹣1）2=1∴曲线C表示以点P（0，1）为圆心，半径为1的圆∵直L的参数方程是：∴直L的普通方程是：4x+3y﹣8=0∴可得L与x轴的交点M坐标为（2，0）∴由此可得曲C上一动点N到M的最大距离等于故答案为：【点评】本题考查了简单的曲线的极坐标方程和参数方程化为普通方程、以及圆上动点到圆外一个定点的距离最值的知识点，属于中档题．13．已知下列命题：①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3；②若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；③若f（x）=x+，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；④等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=3，则S7=21；⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题是①②④⑤．（只填写序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，根据含有量词的命题的否定形式判定；②，若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），；③，对于函数f（x）=x+，当且仅当x=1时，f（x）=1；④，，；⑤，若A＞B，则a＞b，⇒2RsinA＞2RsinB⇒sinA＞sinB，．【解答】解：对于①，命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3，正确；对于②，若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），正确；对于③，对于函数f（x）=x+，当且仅当x=0时，f（x）=1，故错；对于④，等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=3，，故正确；对于⑤，在△ABC中，若A＞B，则a＞b⇒2RsinA＞2RsinB⇒sinA＞sinB，故正确．故答案为：①②④⑤【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了函数、数列等基础知识，属于中档题．14．定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为{x丨0＜x＜4} ．【考点】利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法．【分析】构造辅助函数，求导，由题意可知F（x）=f（x）﹣x在R单调递减，原不等式转化成F（log2x）＞F（2），（x＞0），根据函数的单调性即可求得不等式的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣x，求导F′（x）=f′（x）﹣＜0，则F（x）在R单调递减，由f（log2x）＞，即f（log2x）﹣•log2x＞，由f（2）﹣×2=，∴F（log2x）＞F（2），（x＞0），则log2x＜2，解得：0＜x＜4，∴不等式的解集为：{x丨0＜x＜4}，故答案为：：{x丨0＜x＜4}．故答案为：{x丨0＜x＜4}．【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间；利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1=sin（2x+）+sin2x﹣1=cos2x+sin2x﹣1=2sin（2x+）﹣1，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin（2x++）﹣1=2cos（2x+）﹣1的图象，在区间[0，]上，2x+∈[，]，故当2x+=π时，即x=时，函数取得最小值为﹣2﹣1=﹣3；当2x+=时，即x=0时，函数取得最大值为﹣1．16．甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．（Ⅰ）求恰好抽到两张A的概率．（Ⅱ）记四张牌中含有黑桃的张数为x，求x的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）基本事件总数n==36，恰好抽到两张A包含的基本事件个数m==15，由此能求出恰好抽到两张A的概率．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．基本事件总数n==36，恰好抽到两张A包含的基本事件个数m==15，∴恰好抽到两张A的概率p==．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）===，P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===，∴X的分布列为：X0 1 23PE（X）==．17．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．（Ⅰ）若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．（Ⅲ）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可证明；（Ⅱ）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的大小；（Ⅲ）设出Q的坐标，利用向量方法，即可求解．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，四边形ABCD 是矩形．∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，若O是CD 的中点，OP⊥CD．OP=．建立如图所示的空间直角坐标系，AB=2BC=2．则O（0，0，0），B（1，0，1），A（﹣1，0，1），P（0，，0）．∴=（1，0，1），=（﹣1，﹣，1）．∴•═0，∴⊥，∴BO⊥PA．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：=（2，0，0）．设平面BPA的法向量为=（x，y，z），由，取y=1，平面BPA的一个法向量为=（0，1，）．取=（0，0，1），设平面PAD的法向量为=（a，b，c），则，取b=1，则=（﹣，1，0）．∴cos＜，＞==，由图可以看出：二面角B﹣PA﹣D 是一个钝角，故其余弦值为﹣，正弦值为．（Ⅲ）解：假设存在Q，直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，直线AQ与平面ABP的法向量所成角的余弦值为．设Q（m，（1﹣m），0），则=（m+1，（1﹣m），﹣1），∴=，∴12m2﹣4m+5=0，方程无解，∴在线段CP上不存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为．18．已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a n+S n=2n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．=2，整理，即【分析】（1）再写一式，两式相减得2a n﹣a n﹣1，数列{a n﹣2}是首项为，公比为的等比数列，即可求数列{a n}的通项公式；（2）利用裂项法，即可证明结论．【解答】（1）解：∵a n+S n=2n+1，令n=1，得2a1=3，．∵a n+S n=2n+1，∴a n﹣1+S n﹣1=2（n﹣1）+1，（n≥2，n∈N*）=2，整理，（n≥2）两式相减，得2a n﹣a n﹣1∴数列{a n﹣2}是首项为，公比为的等比数列∴．（2）证明：∵∴==．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由椭圆过点（1，），结合给出的焦点坐标积隐含条件a2﹣b2=c2求解a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，B横纵坐标的和与积，进一步求得AB的垂直平分线方程，求得Q的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ|，由弦长公式求得|AB|，作比后求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程是；（Ⅱ）联立，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，．∴线段AB的中点坐标为，∴线段AB的垂直平分线方程为．取y=0，得，于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q，又点P（1，0），∴．又=．于是，．∵k≠0，∴．∴的取值范围为．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（Ⅲ）若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0，证明x1+x2≥．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求f′（x），而使f′（x）≤0的x所在区间便为f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）构造函数，求g′（x）=，容易判断当a≤0时不合题意；而a＞0时，能够求出f（x）的最大值为，可设h（a）=，该函数在（0，+∞）上为减函数，并且h（1）＞0，h（2）＜0，从而得到整数a最小为2；（Ⅲ）由f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0便得到，这样令t=x1x2，t＞0，容易求得函数t ﹣lnt的最小值为1，从而得到，解这个关于x1+x2的一元二次不等式即可得出要证的结论．【解答】解：（Ⅰ）（x＞0）；∴x≥1时，f′（x）≤0；∴f（x）的单调减区间为[1，+∞）；（Ⅱ）令；所以=；（1）当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0；∴此时g（x）在（0，+∞）上是递增函数；又g（1）=；∴g（x）≤0不能恒成立，即关于x的不等式f（x）≤不能恒成立；∴这种情况不存在；（2）当a＞0时，；∴当x时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0；∴函数g（x）的最大值为=；令；∵h（1）=，h（2）=，又h（a）在a∈（0，+∞）上是减函数；∴当a≥2时，h（a）＜0；所以整数a的最小值为2；（Ⅲ）证明：由f（x1）+f（x2）；即；从而；令t=x1x2，则由h（t）=t﹣lnt得，h′（t）=；可知，h（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；∴h（t）≥h（1）=1；∴，又x1+x2＞0；因此成立．。
天津市河西区2018学年度高三下学期质调(一)文科数学试题(含答案)
河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数 学 试 卷（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=·如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=·柱体的体积公式Sh V =·锥体的体积公式Sh V31=其中S 表示柱（锥）体的底面面积h 表示柱（锥）体的高 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则()R C S T =U（A ）(2,1]- （B ）]4,(--∞ （C ）]1,(-∞ （D ）),1[+∞（2）若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值是（A ）5-2（B ）0 （C ）53（D ）52（3）某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的值是（A ）59 （B ）116 （C ）137（D ）158（4）设x ∈R ，则“||2x <4<”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）设3log a e =, 1.5b e =，131log 4c =，则 （A ）c a b << （B ）b a c << （C ）a b c <<（D ）b c a <<（6）以下关于()x x x f 2cos 2sin -=的命题，正确的是（A ）函数()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛32,0π上单调递增 （B ）直线8π=x 是函数()x f y =图象的一条对称轴（C ）点⎪⎭⎫⎝⎛0,4π是函数()x f y =图象的的一个对称中心 （D ）将函数()x f y =图象向左平移8π个单位，可得到x y 2sin 2=的图象 （7）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是 （A ）19（B ）125（C ）15（D ）13（8）如图梯形ABCD ，CD AB //且5AB =,24AD DC ==， 0AC BD ⋅=uuu r uu u r，（第3题图）则AD BC ⋅uuu r uu u r的值为（A ）1315 （B ）10 （C ）15 （D ）1315-河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数 学 试 卷（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
数学_2012年天津市河西区高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2012年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设复数Z 满足Z ⋅(1+2i)=4+3i ，则Z 等于（ ） A 1+2i B 1−2i C 2+i D 2−i2. (2x 3−√x)7的展开式中常数项为a ，则a 的值为（ ）A −14B 14C −84D 843. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S的值为254，则判断框①中应填入的条件是（ ） A n ≤5 B n ≤6 C n ≤7 D n ≤84. 已知直线l:2x +a 2y −2a =0(a <0)，则直线l 在x ，y 轴上的截距之和（ ） A 有最大值−2√2 B 有最小值2√2 C 有最大值2√2 D 有最小值−2√25. 若数列{a n } 满足a n+12a n2=p(p 为正常数，n ∈N ∗)，则称{a n } 为等方比数列．甲：数列{a n } 是等方比数列；乙：数列{a n } 是等比数列．则甲是乙的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 即非充分又非必要条件 6. 函数f(x)=Asinωx 的图象如图所示，若f(θ)=32，θ∈(π4,π2)，则cosθ−sinθ的值为（ ）A −12 B 12 C −√32 D √327. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为e 2，抛物线y 2=2px 的离心率为e 3，a =5log3e 1，b =(15)log 12e 2，c =5log12e 3，则a ，b ，c 之间的大小关系是( )A a >c >bB a >b >cC c >b >aD b >c >a8. 设定义域为r 的函数f(x)={|lgx|x >0−x 2−2xx ≤0，若关于x 的函数y =2f 2(x)+2bf(x)+1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是（ ）A −32<b <√2 B −32<b <−√2 C −2<b <−√2 D −32<b <−√2或b >√2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9. 某企业甲、乙、丙三个生产车间的职工人数分别为120人，150人，180人，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中甲车间有4人，那么此样本的容量n =________．10. 如图，OA 和OB 是⊙O 的半径，且OA ⊥OB ，P 是OA 上任意一点，BP的延长线交⊙O 于Q ，过作⊙O 的切线交OA 延长线于R ，RP =2，则RQ =________． 11. 如图是某几何体的三视图，则它的体积为________．12. 极坐标系下，曲线ρcos(θ−π4)=√2与曲线ρ=2交于A 、B 两点，则线段AB 的长度等于________．13.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若|AC →|=1，则AD →⋅AC →=________．14. 若关于x 的不等式2−x 2≥|x −a|至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面内点A(cos x2，sin x2)，点B(1, 1)，OA →+OB →=OC →，f(x)=|OC →|2（1）求f(x)的最小正周期；（2）若x ∈[−π, π]，求f(x)的最大和最小值，并求当f(x)取最值时x 的值．16. 某大学对在校的学生进行素质拓展测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为815．（1）求该小组中女生的人数；（2）若从中随机选3人参加测试，求所选的三人恰为两名男生一名女生的概率； （3）假设此项测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为34，每个男生通过的概率均为23；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．17. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，AC =4，∠BAC =90∘，D 是AB 的中点． （1）求证：AC 1 // 平面B 1DC ；（2）求二面角B 1−DC −B 的余弦值；（3）试问线段A 1C 1上是否存在点E ，使得CE 与DB 1成60∘角？若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．18. 已知椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，离心率e =√22，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过椭圆的左焦点F 1且垂直于长轴的直线交椭圆于M 、N 两点，且|MN|=√2．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ．试探究点O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 19. 设函数f(x)=(1+x)2−ln(1+x)2． （1）求f(x)的单调区间；（2）若当x ∈[1e −1, e −1]时，不等式f(x)<m 恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程f(x)=x 2+x +a 在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }满足a 1=12，a n+1=(n+1)(2a n −n)a n +4n(n ∈N +)（1）求a 2，a 3，a 4；（2）是否存在实数t ，使得数列{a n +tna n+n 是公差为−1的等差数列，若存在求出t 的值，否则，请说明理由； （3）记bn =13n+22⋅a n+2(n ∈N +)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n >−2√3+112．2012年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）答案1. D2. B3. C4. A5. B6. A7. D8. B9. 15 10. 2 11. 203或163 12. 2√2 13. √32 14. (−2,94]15. 解：（1）由题意知，OA →=(cos x2,sin x2)，OB →=(1, 1)则OC →=OA →+OB →=(1+cos x 2, 1+sin x2)∴ f(x)=|OC →|2=(1+cos x 2)2+(1+sin x2)2 =3+2sin x 2+2cos x 2=3+2√2sin(x 2+π4)∴ f(x)的最小正周期T =2π12=4π（2）∵ −π≤x ≤π ∴ −π4≤x2+π4≤3π4∴ −√22≤sin(x 2+π4)≤1∴ 当x =−π时，函数f(x)有最小值1 当x =π2时，函数有最大值3+2√2 16. 解：（1）设该小组中有n 个女生， 由题意，得C n 1C 10−n 1C 102=815，…解得n =6或n =4（舍）， 所以该小组有6名女生．…（2）恰为两名男生一名女生的概率P =C 42C 61C 103=310…（3）由题意知ξ的取值为0，1，2，3， P(ξ=0)=13×13×14=136，P(ξ=1)=C 12 ×23×13×14+(13)2×34=736，P(ξ=2)=×23×13×34+(13)2×14=1636， P(ξ=3)=(23)2×34=1236．… 所以ξ的分布列为：所以Eξ=0×136+1×736+2×1636+3×1236=2512．…17. （1）证明：如图建立空间直角坐标系A −xyz ，则A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(0, 4, 0)，A 1(0, 0, 2)， B 1(2, 0, 2)，C 1(0, 4, 2)，D(1, 0, 10)，… 则DB 1→=(1, 0, 2)，CD →=(1, −4, 0)设平面B 1DC 的法向量为n 1→=(x, y, z)，则{n 1→⋅CD →=0˙，即{x +2z =0x −4y =0取y =1，得n 1→=(4, 1, −2)，… ∵ AC 1→=(0, 4, 2)，∴ n 1→⋅AC 1→=0，∴ n 1→⊥AC 1→，∴ AC 1 // 平面B 1DC ；．…（2）解：设平面BDC 的法向量n 2→=(0, 0, 1)，二面角B 1−DC −B 的大小为θ， 则cosθ=|cos <n 1→，n 2→>=||n 1→||n 2→|˙|=2√21×1=2√2121，所以二面角B 1−DC −B 的余弦值为2√2121．… （3）解：假设线段A 1C 1上存在点E(0, y, 2)，(0<y <4)，则CE →=(0, y −4, 2)，… ∵ |cos <CE →，DB 1→>|=||CE →||DB 1→|˙|，… ∴ cos60∘=√(y−4)2+4×√5，整理得5y 2−40y +36=0，∴ y =4±2√555∵ 0<y <4，∴ y =4−2√555，… ∴ CE →=(0, −2√555, 2)， ∴ |CE →|=2√555)=8√55．… 18. 解：（1）因为e =√22，所以c a=√22① 因为过椭圆的左焦点F 1且垂直于长轴的直线交椭圆于M 、N 两点，且|MN|=√2， 经计算得2b 2a=√2 ②由a 2=b 2+c 2，解①②得 a =√2，b =1，c =1， 所以椭圆的方程为x 22+y 2=1；（2）1∘当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +m ，点P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 由{x 22+y 2=1y =kx +m，联立得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−2=0 所以△=8(2k 2+1−m 2)>0 x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−22k 2+1，于是y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−2k 22k 2+1因为OP ⊥OQ ，所以x 1x 2+y 1y 2=0即3m 2−2k 2−22k 2+1=0 所以m 2=2k 2+23此时△=8(4k 2+1)3>0满足条件，设原点O 到直线l 的距离为d ，则d =√k 2+1=√2k 2+23k 2+1=√63． 2∘当直线l 的斜率不存在时，因为OP ⊥OQ ，根据椭圆的对称性，不妨设直线OP 、OQ 的方程分别为y =x ，y =−x ， 可得P(√63，√63)，Q(√63，−√63)或P(−√63，−√63)，Q(−√63，√63)， 此时原点O 到直线l 的距离仍为√63， 综上可得，原点O 到直线l 的距离为√63．19. 解：（1）函数定义域为(−∞, −1)∪(−1, +∞)， 因为f′(x)=2[(x +1)−1x+1]=2x(x+2)x+1，由f′(x)>0得−2<x <−1或x >0，由f′(x)<0得x <−2或−1<x <0． ∴ 函数的递增区间是(−2, −1)，(0, +∞)，递减区间是(−∞, −2)，(−1, 0)． （2）由f′(x)=2x(x+2)x+1=0得x =0或x =−2．由（1）知，f(x)在[1e −1, 0]上递减，在[0, e −1]上递增． 又f(1e −1)=1e 2+2，f(e −1)=e 2−2，∴ e 2−2−1e 2−2=(e 2−2)2−5e 2>0∴ e 2−2>1e 2+2．所以x ∈[1e −1, e −1]时，[f(x)]max =e 2−2．故m >e 2−2时，不等式f(x)<m 恒成立．（3）方程f(x)=x 2+x +a ，即x −a +1−ln(1+x)2=0，记g(x)=x −a +1−ln(1+x)2．所以g′(x)=1−21+x=x−1x+1．由g′(x)>0，得x <−1或x >1，由g′(x)<0，得−1<x <1． 所以g(x)在[0, 1]上递减，在[1, 2]上递增，为使f(x)=x 2+x +a 在[0, 2]上恰好有两个相异的实根，只须g(x)=0在[0, 1]和(1, 2]上各有一个实根，于是有{g(0)≥0g(1)<0g(2)≥0，∴ {−a +1≥01−a +1−2ln2<02−a +1−2ln3≥0， ∴ 2−2ln2<a ≤3−2ln3． 20. 解：（1）∵ a 1=12，a n+1=(n+1)(2a n −n)a n +4n，∴ a 2=0，a 3=−34，a 4=−85． （2）a n+1+t(n+1)a n+1+n+1−a n +tn a n +n=(n+1)(2a n −n)a n +4n+t(n+1)(n+1)(2a n −n)a n +4n+n+1−a n +tn a n +n=(t+2)a n +(4t−1)n3a n +3n−a n +tn a n +n=t−13，∴ 数列{a n +tn a n +n}是公差为t−13的等差数列．由题意，知t−13=−1，得t =−2．（3）由（2）知a n −2na n+n =a 1−2a 1+1+(n −1)×(−1)=−n ， 所以a n =−n 2+2n n+1，此时bn =13n+22⋅−(n+2)2+2(n+2)n+3=(√3)n+2(n+2)n=12[(√3)n+2(n+2)(√3)n n]，∴ Sn =12[(√3)3×3√3(√3)4×4(√3)2×2(√3)5×5(√3)3×3(√3)n+2×(n+2)(√3)n ×n]=12√3−16(√3)n+1×(n+1)(√3)n+2×(n+2)]>12×√3−16)=−2√3+112． 故S n >−2√3+112．。
2018-2019学年下学期天津市河西区高考一模数学(理工类)试卷及答案解析
，且
f x 2
f x ，gx
2x 5 ， x2
.
3
2018-2019 学年下学期天津市河西区高考一模数学（理工类）试卷及答案解析 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分 13 分）
在 ABC 中， A, B, C 对应的边为 a, b, c .已知 a cos C 1 c b . 2
AB 5 , AD 2DC 4 ， E 在线段
2
2018-2019 学年下学期天津市河西区高考一模数学（理工类）试卷及答案解析
uuur uuur
uuur uuur
BC 上， AC BD 0 ，则 AE DE 的
最小值为
（第 8 题图)
（A） 15 13
（B） 95 13
（C）15
·柱体的体积公式V Sh ·锥体的体积公式V 1 Sh
3
·如果事件 A ， B 相互独立，那 么 P( AB) P( A) P(B)
其中 S 表示柱（锥）体的底面面 积
h 表示柱（锥）体的高
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合 S {x | x 2},T {x | x2 3x 4 0},则 (CRS) U T
2018-2019 学年下学期天津市河西区高考一模数学（理工类）试卷及答案解析
河西区 2018—2019 学年下学期高考一模 数学（理工类）试卷
试卷 150 分，考试用时 120 分钟。
第Ⅰ卷
本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
参考公式：
·如果事件 A ， B 互斥，那么 P(A U B) P(A) P(B)
河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习(一模文科)含参考答案
河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数 学 试 卷（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=·如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=·柱体的体积公式Sh V = ·锥体的体积公式Sh V31=其中S 表示柱（锥）体的底面面积h 表示柱（锥）体的高一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则()R C S T =U（A ）(2,1]-（B ）]4,(--∞（C ）]1,(-∞（D ）),1[+∞（2）若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值是（A ）5-2（B ）0 （C ）53（D ）52（3）某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的值是（A ）59 （B ）116 （C ）137（D ）158（4）设x ∈R ，则“||2x <4”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）设3log a e =, 1.5b e =，131log 4c =，则 （A ）c a b << （B ）b a c << （C ）a b c <<（D ）b c a <<（6）以下关于()x x x f 2cos 2sin -=的命题，正确的是（A ）函数()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛32,0π上单调递增 （B ）直线8π=x 是函数()x f y =图象的一条对称轴（C ）点⎪⎭⎫⎝⎛0,4π是函数()x f y =图象的的一个对称中心 （D ）将函数()x f y =图象向左平移8π个单位，可得到x y 2sin 2=的图象 （7）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（第3题图）（A ）19（B ）125（C ）15（D ）13（8）如图梯形ABCD ，CD AB //且5AB =,24AD DC ==， 0AC BD ⋅=uu u r uu u r， 则AD BC ⋅uuu r uu u r的值为（A ）1315 （B ）10 （C ）15 （D ）1315-（第8题图)河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数 学 试 卷（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
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2018年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x＜1}D．∅2．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．13．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．若q＞0，命题甲：“a，b为实数，且|a﹣b|＜2q”；命题乙：“a，b为实数，满足|a﹣2|＜q，且|b﹣2|＜q”，则甲是乙的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2B．4 C．2D．36．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．﹣2 C．D．﹣7．如图在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是（）A．18 B．20 C．22 D．248．已知函数f（x）=，若g（x）=ax﹣|f（x）|的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．[，） B．（0，）C．（0，）D．[，）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1﹣i，则|z|=．10．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是．11．若（x+）n的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n的值为．12．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是．13．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，若实数a满足f（log2）＜f（﹣），则a的取值范围是．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．16．甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．（Ⅰ）求恰好抽到两张A的概率．（Ⅱ）记四张牌中含有黑桃的张数为x，求x的分布列与期望．17．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．（Ⅰ）若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．（Ⅲ）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．18．已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a n+S n=2n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（Ⅲ）若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0，证明x1+x2≥．2018年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x＜1}D．∅【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【分析】分别求出M、N的范围，在求交集．【解答】解：∵集合M={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}={y|y＞0}，∴M∩N={x|0＜x＜1}，故选C．2．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3x﹣4y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=y=1时，z达到最大值﹣1．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，3），C（1，1），B（3，3）．设z=F（x，y）=3x﹣4y，将直线l：z=3x﹣4y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点C时，目标函数z达到最大值，∴z（1，1）=﹣1，最大值=F故选：C3．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不满足条件a＜，a=，k=2不满足条件a＜，a=，k=3不满足条件a＜，a=，k=4满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．故选：B．4．若q＞0，命题甲：“a，b为实数，且|a﹣b|＜2q”；命题乙：“a，b为实数，满足|a﹣2|＜q，且|b﹣2|＜q”，则甲是乙的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可．【解答】解：若a，b为实数，且|a﹣b|＜2q，则﹣2q＜a﹣b＜2q，故命题甲：﹣2q＜a﹣b＜2q；若a，b为实数，满足|a﹣2|＜q，且|b﹣2|＜q，则2﹣q＜a＜2+q①，2﹣q＜b＜2+q②，由②得：﹣2﹣q＜﹣b＜﹣2+q③，①+③得：﹣2q＜a﹣b＜2q，故命题乙：﹣2q＜a﹣b＜2q，故甲是乙的充分必要条件，故选：C．5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2B．4 C．2D．3【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解：===1，即有2cosC=1，可得C=60°，=2，则absinC=2，若S△ABC即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，解得c=2．故选C．6．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．﹣2 C．D．﹣【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x与圆x2+y2﹣4y+3=0相切⇔圆心（0，2）到渐近线的距离等于半径r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：取双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x，即bx﹣ay=0．由圆x2+y2﹣4y+3=0化为x2+（y﹣2）2=1．圆心（0，2），半径r=1．∵渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，∴=1化为3a2=b2．∴该双曲线的离心率e===2．故选：D．7．如图在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是（）A．18 B．20 C．22 D．24【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．8．已知函数f（x）=，若g（x）=ax﹣|f（x）|的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．[，） B．（0，）C．（0，）D．[，）【考点】函数的图象；分段函数的应用．【分析】将函数g（x）的零点问题转化为y=|f（x）|与y=ax的图象的交点问题，借助于函数图象来处理．【解答】解：由于函数g（x）=ax﹣|f（x）|有3个零点，则方程|f（x）|﹣ax=0有三个根，故函数y=|f（x）|与y=ax的图象有三个交点．由于函数f（x）=，则其图象如图所示，从图象可知，当直线y=ax位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，因为点A能取到，则4个选项中区间的右端点能取到，排除BC，∴只能从AD中选，故只要看看选项AD区间的右端点是选还是选，设图中切点B的坐标为（t，s），则斜率k=a=（lnx）′|x=t=，又（t，s）满足：，解得t=e，∴斜率k=a==，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1﹣i，则|z|=1．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=（1﹣i），∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，z=﹣i．则复数z的模|z|=1．故答案为：1．10．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积．【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：∴该几何体的体积为23﹣×22×1=8﹣=．故答案为：．11．若（x+）n的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n的值为8．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（x+）n的二项展开式的通项公式，写出它的前三项系数，利用等差数列求出n的值．【解答】解：∵（x+）n的二项展开式的通项公式为T r=•x n﹣r•=••x n﹣2r，+1前三项的系数为1，，，∴n=1+，解得n=8或n=1（不合题意，舍去），∴常数n的值为8．故答案为：8．12．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是﹣4＜m＜2．【考点】函数恒成立问题．【分析】先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．【解答】解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．13．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，若实数a满足f（log2）＜f（﹣），则a的取值范围是（0，）∪（，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可．【解答】解：∵偶函数f（x）是[0，+∞）上单调递减，满足不等式f（log2）＜f（﹣），∴不等式等价为f（|log2|）＜f（），即|log2|＞，即log2＞或log2＜﹣，即0＜a＜或a＞，故答案为：（0，）∪（，+∞）．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，将点A的极坐标、直线及曲线的极坐标方程化成直角坐标或方程，再利用直角坐标方程的形式，由抛物线的定义可得丨PA丨+d=|PF|+|PA|≥|AF|，当A，P，F三点共线时，其和最小，再求出|AF|的值即可．【解答】解：点A（1，）的直角坐标为A（0，1），曲线曲线ρsin2θ=4cosθ的普通方程为y2=4x，是抛物线．直线ρcosθ+1=0的直角坐标方程为x+1=0，是准线．由抛物线定义，点P到抛物线准线的距离等于它到焦点A（0，1）的距离，所以当A，P，F三点共线时，其和最小，最小为|AF|=，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间；利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1=sin（2x+）+sin2x﹣1=cos2x+sin2x﹣1=2sin（2x+）﹣1，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin（2x++）﹣1=2cos（2x+）﹣1的图象，在区间[0，]上，2x+∈[，]，故当2x+=π时，即x=时，函数取得最小值为﹣2﹣1=﹣3；当 2x +=时，即x=0时，函数取得最大值为﹣1．16．甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A ，方片A ，黑桃Q 与梅花K ，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A ，方片Q ，梅花Q 与黑桃K ，从两个口袋分别任取两张牌． （Ⅰ）求恰好抽到两张A 的概率．（Ⅱ）记四张牌中含有黑桃的张数为x ，求x 的分布列与期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）基本事件总数n==36，恰好抽到两张A 包含的基本事件个数m==15，由此能求出恰好抽到两张A 的概率．（Ⅱ）由题意X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．【解答】解：（Ⅰ）甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌， 甲口袋内的四张牌分别为红桃A ，方片A ，黑桃Q 与梅花K ， 乙口袋内的四张牌分别为黑桃A ，方片Q ，梅花Q 与黑桃K ， 从两个口袋分别任取两张牌．基本事件总数n==36，恰好抽到两张A 包含的基本事件个数m==15，∴恰好抽到两张A 的概率p==．（Ⅱ）由题意X 的可能取值为0，1，2，3，P （X=0）===，P （X=1）===，P （X=2）===，P（X=3）===，∴X的分布列为：E（X）==．17．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．（Ⅰ）若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．（Ⅲ）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可证明；（Ⅱ）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的大小；（Ⅲ）设出Q的坐标，利用向量方法，即可求解．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，四边形ABCD 是矩形．∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，若O是CD 的中点，OP⊥CD．OP=．建立如图所示的空间直角坐标系，AB=2BC=2．则O（0，0，0），B（1，0，1），A（﹣1，0，1），P （0，，0）．∴=（1，0，1），=（﹣1，﹣，1）．∴•═0，∴⊥，∴BO⊥PA．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：=（2，0，0）．设平面BPA的法向量为=（x，y，z），由，取y=1，平面BPA的一个法向量为=（0，1，）．取=（0，0，1），设平面PAD的法向量为=（a，b，c），则，取b=1，则=（﹣，1，0）．∴cos＜，＞==，由图可以看出：二面角B﹣PA﹣D 是一个钝角，故其余弦值为﹣，正弦值为．（Ⅲ）解：假设存在Q，直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，直线AQ与平面ABP的法向量所成角的余弦值为．设Q（m，（1﹣m），0），则=（m+1，（1﹣m），﹣1），∴=，∴12m2﹣4m+5=0，方程无解，∴在线段CP上不存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为．18．已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a n+S n=2n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）再写一式，两式相减得2a n﹣a n﹣1=2，整理，即，数列{a n﹣2}是首项为，公比为的等比数列，即可求数列{a n}的通项公式；（2）利用裂项法，即可证明结论．【解答】（1）解：∵a n+S n=2n+1，令n=1，得2a1=3，．∵a n+S n=2n+1，∴a n﹣1+S n﹣1=2（n﹣1）+1，（n≥2，n∈N*）两式相减，得2a n﹣a n﹣1=2，整理，（n≥2）∴数列{a n﹣2}是首项为，公比为的等比数列∴．（2）证明：∵∴==．19．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线y=k （x ﹣1）（k ≠0）与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）由椭圆过点（1，），结合给出的焦点坐标积隐含条件a 2﹣b 2=c 2求解a ，b 的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A ，B 横纵坐标的和与积，进一步求得AB 的垂直平分线方程，求得Q 的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ |，由弦长公式求得|AB |，作比后求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a=2，b=1．∴椭圆C 的方程是；（Ⅱ）联立，得（1+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣4=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有，，．∴线段AB的中点坐标为，∴线段AB的垂直平分线方程为．取y=0，得，于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q，又点P（1，0），∴．又=．于是，．∵k≠0，∴．∴的取值范围为．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（Ⅲ）若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0，证明x1+x2≥．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求f′（x），而使f′（x）≤0的x所在区间便为f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）构造函数，求g′（x）=，容易判断当a≤0时不合题意；而a＞0时，能够求出f（x）的最大值为，可设h（a）=，该函数在（0，+∞）上为减函数，并且h（1）＞0，h（2）＜0，从而得到整数a最小为2；（Ⅲ）由f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0便得到，这样令t=x1x2，t＞0，容易求得函数t﹣lnt的最小值为1，从而得到，解这个关于x1+x2的一元二次不等式即可得出要证的结论．【解答】解：（Ⅰ）（x＞0）；∴x≥1时，f′（x）≤0；∴f（x）的单调减区间为[1，+∞）；（Ⅱ）令；所以=；（1）当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0；∴此时g（x）在（0，+∞）上是递增函数；又g（1）=；∴g（x）≤0不能恒成立，即关于x的不等式f（x）≤不能恒成立；∴这种情况不存在；（2）当a＞0时，；∴当x时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0；∴函数g（x）的最大值为=；令；∵h（1）=，h（2）=，又h（a）在a∈（0，+∞）上是减函数；∴当a≥2时，h（a）＜0；所以整数a的最小值为2；（Ⅲ）证明：由f（x1）+f（x2）；即；从而；令t=x1x2，则由h（t）=t﹣lnt得，h′（t）=；可知，h（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；∴h（t）≥h（1）=1；∴，又x1+x2＞0；因此成立．2018年4月11日。