2018年武汉中考数学专题复习几何综合题

几何综合题

类型一图形背景变换问题

1. 已知四边形ABCD是矩形，E为CD的中点，F是BE上的一点，连接CF并延长交AB于点M，过点M作MN⊥CM，交AD于点N.

(1)如图①，当点F为BE的中点时，求证：AM＝CE；

(2)如图②，若AB

BC＝

EF

BF＝2，求

AN

DN的值；

(3)如图③，连接AN，若AB

BC＝

EF

BF＝4，求tan∠AMN的值．

第1题图

(1)证明：∵F为BE的中点，

∴BF＝EF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCE＝∠ABC＝90°，AB＝CD，∴CF＝BF，

∴∠FBC＝∠FCB，

∵BC＝CB，

∴△MBC≌△ECB(ASA)，

∴BM＝CE，

∵CE＝DE，

∴DE＝BM，

∵AB＝CD，

∴AB－BM＝CD－DE，即AM＝CE；

(2)解：∵AB∥CD，

∴△ECF∽△BMF，

∴EF

BF＝

EC

BM＝2，设BM＝a，则EC＝DE＝2a，

∴AB＝CD＝4a，AM＝3a，

∵AB

BC＝2，

∴BC＝AD＝2a，

∵NM⊥CM，

∴∠AMN＋∠CMB＝90°，∵∠AMN＋∠MNA＝90°，

∴∠CMB ＝∠MNA ， 又∵∠A ＝∠CBM ＝90°， ∴△AMN ∽△BCM ， ∴

AM BC ＝AN BM

， ·∴3a 2a ＝AN a

，

∴AN ＝32a ，ND ＝2a －32a ＝1

2a ，

∴AN ND ＝32

a 1

2a ＝3； (3)解：∵AB ∥CD ， ∴△ECF ∽△BMF ， ∴

EC BM ＝EF

BF ＝4，设BM ＝b ，则EC ＝DE ＝4b ， ∴AB ＝CD ＝8b ，AM ＝7b ， ∵

AB

BC

＝4， ∴BC ＝AD ＝2b ，

如解图，过点N 作NH ⊥AB 于点H ，则HN ＝BC ＝2b ，

第1题解图

易证△HMN ∽△BCM ， ∴

HN BM ＝HM BC ，即2b b ＝HM 2b

， ∴HM ＝4b ，

∴在Rt △HMN 中，tan ∠AMN ＝HN HM ＝2b 4b

.

2. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，sin ∠ABD ＝5

5，点P 是射线BC 上一点，连接AP 交菱形对角线BD 于点E ，连接EC .

(1)求证：△ABE ≌△CBE ；

(2)如图①，当点P 在线段BC 上时，且BP ＝2，求△PEC 的面积；

(3)如图②，当点P 在线段BC 的延长线上时，若CE ⊥EP ，求线段BP 的长．

第2题图

(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，

∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE .

在△ABE 和△CBE 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ， ∴△ABE ≌△CBE (SAS)；

(2) 解：如解图①，连接AC 交BD 于点0，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，

第2题解图①

∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD .

∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝

55

， ∴AO ＝OC ＝5，∴BO ＝OD ＝25， ∴AC ＝25，BD ＝45，

∵12AC ·BD ＝BC ·AH ，即12×25×45＝5AH ， ∴AH ＝4， ∵AD ∥BC ，

∴△AED ∽△PEB ， ∴AE PE ＝AD BP

， ∴

AE ＋PE PE ＝AD ＋BP BP ，即AP PE ＝5＋22＝7

2

， ∴AP ＝7

2PE ，

又∵EF ∥AH ，

∴△EFP ∽△AHP ， ∴

EF AH ＝PE AP

， ∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72

PE ×4＝8

7

，

∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝12

7；

(3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，

第2题解图②

∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ，

∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°，

∴AO ＝OE ＝5，

∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5. ∵AD ∥BP ，

∴△ADE ∽△PBE ， ∴AD BP ＝DE BE

， ∴

5BP ＝535， ∴BP ＝15.

3. 如图，已知四边形ABCD 是正方形，连接BD ，点E 在直线BC 上，直线AE 交BD 于

点M ，交直线DC 于点F ，G 是EF 的中点，连接CM 、CG .

(1)如图①，当点E 在BC 边上时，求证：AM ＝CM ；

(2)如图②，当点E 在BC 的延长线上时，求证：∠MCG ＝90°；

(3)如图②，当点E 在BC 的延长线上时，若AB ＝1，且CM ＝CE ，求CE 的长．

第3题图

(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠CBM ，

在△ABM 和△CBM 中，AB ＝CB ，∠ABM ＝∠CBM ，BM ＝BM ， ∴△ABM ≌△CBM (SAS)， ∴AM ＝CM ；

(2)证明：∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠CBM ，∠BCD ＝90°， 由(1)同理可证△ABM ≌△CBM (SAS)， ∴∠BAM ＝∠BCM ， ∵∠ECF ＝90°，点G 是EF 的中点， ∴GC ＝GF ，

∴∠GCF ＝∠GFC ， 又∵AB ∥DF ，

∴∠BAM ＝∠DFM ＝∠GFC ， ∴∠BCM ＝∠GCF ，

∴∠GCF ＋∠MCF ＝∠BCM ＋∠MCF ＝90°， 即∠MCG ＝90°；

(3)解：由(2)知∠BAM ＝∠BCM ， ∵CM ＝CE ，

∴∠CME ＝∠CEM ， ∴∠BCM ＝2∠CEM ， ∴∠BAE ＝2∠CEM ， ∵AB ⊥BE ，

∴∠BAE ＋∠CEM ＝90°，即2∠CEM ＋∠CEM ＝90°， ∴∠CEM ＝30°， ∴在Rt △ABE 中，BE ＝AB tan30°＝13

3＝3，

∴CE ＝BE －BC ＝3－1.

4. 已知四边形ABCD 是正方形，AB ＝6，将一个含30°的直角三角板BEF 放在正方形上，其中∠FBE ＝30°，∠BEF ＝90°，且BE ＝BC ，绕点B 转动△BEF .

(1)如图①，当点F 落在AD 边上时，求∠EDC 的度数；