数学教育的基本理论——波利亚
波利亚的解题理论_2022年学习资料
解题过程：-·第1弄清问题-·条件（已知）：-■1c-10:-2CosA/cosB-b/a=4/3-·③点 为△ABC内切圆上的动点、-口问题（未知）：-·求点P到项点A、B、C的距离的平方和的-最小值和最大值。6
第2拟订计划-回忆原来有没有见过同类问题（没有），但见-过相关的问题：-o-1已知三角形的某些边角关系，判 三角形-的形状、解三角形等（知三求一，已知的三个-边角元素中至少有一个是边，题目基本符-合-·②如果三角形 以确定，那么此题就是求这-个三角形的某个特征曲线上的动点到三个顶-点的距离的平方和的最值问题。-17
如何解题-1.积累认识的资源-2.掌握转化的方法-3。及时调控的能力-4.良好信念系统的支持
波利亚的怎样解题表-解题过程分为以下四个阶段：-1.弄清问题-2.拟订计划-3.实现计划-4.回顾
波利亚的怎样解题表-1弄清问题-1未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？-满足条件是否可能？要确定未知 ，条件是否充分？或-者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？-2画张图，并引入适当的符号.-3把条件的 部分分开，并把它们写下来。
波利亚《怎样解题表》简介-波利亚的数学教育思想概述-波利亚George Polya数学教育思想的核心问题数 学教育的目的是什么？-1波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一般素-养：首先和主要的目标应当是教会青年 考、-2教什么样的思考？数学是什么？数学有什么特点？对数-学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用。
我国数学解题研究的代表人物和代表作-罗增儒-戴再平-单蹲-朱华伟-·中学数学解题的-理论与实践M.-数学习 理论-南宁：广西教育-[M上海：上-出版社，2008-解题研究M.-海教育出版社，-年9：前言-南京：南京 -•数学解题策略-范大学出版社，-1991.3:-·数学解题学引论-2002.6-1996.10.-[M西 .陕西-•北京：科学出-师范大学出版社，-版社，2009.8.-1997.6-4
波利亚的解题理论
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第三步
实现计划
解析：设原来的进价为 x ，售价为 y ，则由题 意可知现在的进价为 x1 10% ，由等量关系 列出方程
y x(1 10%) y x (1 25%) x(1 10%) x
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1. 弄清问题
“弄清问题”阶段，重述问题，教会学生形成 正确的审题方法 ① 首先，了解已知是什么?未知是什么?条件 是什么?要确定未知数,条件是否充分? 是否 不充分?
② 其次，形成正确的审题方法。
③ 最后，注意引导学生挖掘已知条件与所求之 间的关系，特别是挖掘题中的隐含条件。
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例如：计算 C
y ( x 0) 2 (0 2) 2 [ x (1)] 2 (0 3) 2
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3. 实现计划
“实现计划”阶段，加强基础教学，善用 一题多变加深和提高解题能力 ① 实现你的求解计划,检验每一步骤. ② 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你 能否证明这一步骤是正确的?
波利亚的数学教育理论
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回顾一下，我们学过的教育理论有哪些？ 弗赖登塔尔数学教育理论 建构主义理论 数学教学理论
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一、波利亚简介
二、波利亚数学教育理论 三、波利亚《怎样解题》
四《怎样解题》在中学数学中的应用
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一、波利亚简介
波 利 亚 （ 1887-1985 ） ， 美 籍匈牙利数学家。生于布达佩 斯，卒于美国。青年时期曾在布 达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读 数学、物理和哲学，获博士学 位。1914年在瑞士苏黎世工业大 学任教 ， 1938 年任数理学院院 长。1940年移居美国，历任布朗 大学、斯坦福大学教授。1963年 获美国数学会功勋奖。
波利亚的数学教育思想及其对中学数学教育的指导意义
波利亚的数学教育思想及其对中学数学教育的指导意义
波利亚(Pythagoras)，古希腊的伟大的数学家和哲学家，他的数学思想对后来的数学有着深远的影响，尤其是他的数学教育思想在中学数学教育中也起到了重要的作用。
本文将通过对波利亚的教育思想的分析，来了解其对中学数学教育的指导意义。
一、波利亚的教育思想
波利亚的教育思想主要是以精神和物质两方面作为处理教育问
题的基础。
1、精神：波利亚认为，学习在精神上是最重要的，即主动性、
独立性和智慧。
他要求学生具有良好的思维能力，能够运用自己的思维来解决问题。
2、物质：波利亚认为，学习也是物质方面的，要求学生通过实
践来掌握学习的内容。
如需要学习物理学的基础知识，可以通过实验来学习、理解物理现象；要求学习数学方面的知识，可以通过实际的计算、研究、分析掌握。
次、波利亚的教育思想对中学数学教育的指导意义
1、鼓励学生表达能力：波利亚认为，学生应该有自主性和独立性，这种独立性体现在对问题自主解决的能力上。
但在数学教育中，经常只要求学生掌握知识，而忽视了学生思维能力和表达能力的培养，教师应该多给学生提供有创造性的数学实验、活动，发展学生的思维能力和表达能力，这是波利亚的教育思想对中学数学教育的一项指导意义。
2、加强实践教学：波利亚认为，学习也是物质方面的，要求学生通过实践来掌握学习的内容。
因此，在数学教育中，要注重实践教学，培养学生实际操作能力，激发学生创新能力。
综上所述，波利亚的教育思想，对中学数学教育有着重要的指导意义，应该借鉴其良好的教育思想，创新教学方式，更好的促进学生的全面发展。
波利亚解题理论
四部曲
改善学生数学解题中的元认知的教学策略
问题与思考
• 设计一个解决某类问题的解题表． • 根据你的解题经历，选一个典型例子，详细介绍
解题的具体过程． • 实践解题表，求解下题：如果3个有相同半径的
圆过一点，则通过它们的另外3个交点的圆具有 相同的半径． • 对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少 于1000字的小论文． • 基于波利亚的解题理论谈数学解题教学
程看得见，摸得着。
弄
拟
执
检
清
定
行
验
题
计
计
回
意ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
划
划
顾
变换,推广,类 比,作出新的 数学发现.
概括方法论 因素,建立数 学模型.
波利亚的教育思想
数学教学的目的应当是提高学生的一般素养：首 先和主要的目标应当是教会青年思考。
教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点? 对数学及其意义的认识决定性的作用。
波利亚及其解题理论
回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，
波利亚致力于解题的研究，专门研究了解题的思维过程，并把
研究所得写成《怎样解题》一书。
核心是《怎样解题》表，他把寻找并发现解法的思维过程分解
为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发
现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过
波利亚的解题理论
(6) 如果你不能解决所提出的问题，可先解决 一个与此有关的问题．你能不能想出一个更 容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一 个更特殊的问题?一个类比的问题?
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(7) 你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持 条件的一部分而舍去其余部分，这样对于 未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?
波利亚(George Polya)数学教育思想的核心问题: 数学教育的目的是什么？
1.波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一 般素养:首先和主要的目标应当是教会青年思考.
2.教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点? 对数学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用.
3. 波利亚强调应该教有目的的思考,教正规的演绎 推理，也教非正规的似真的合情推理.
考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.
能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助 元素?
能否用不同的方法重新叙述它?
回到定义去.
如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的 问题.
是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否 考虑了包含在问题中的所有必要的概念?
解题中的观念，主要是指解题者的数学观，即怎样看 待数学，怎样看待解数学题.
解题中的情感主要是指从事解题活动的愿望和决心.
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小结解题的要素：
（1）积累认识的资源； （2）掌握转化的方法； （3）培养调控的能力； （4）信念系统的支持
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波利亚的怎样解题表
解题过程分为以下四个阶段:
1. 弄清问题 2. 拟订计划 3. 实现计划 4. 回顾
数学解题教学
没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得 我们探究的地方。
第三章 数学教育的基本理论汇总
数学化的两种形式： 一是实际问题转化为数学问题，即发现实际
问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理； 二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴
之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理
数学学习的“再创造”
学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做 数学”(doing mathematics)的过程。其核心是数学 过程再现。 (经验，理解，反思，主体，主动)
《怎样解题》表包括“弄清问题”、“拟定计 划”、“实现计划”和“回顾”四个阶段。
“弄清问题”是认识并对问题进行表征的过程， 应成为成功解决问题的一个必要前提；
“拟定计划”是关键环节和核心内容；
分析详细，他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系， 你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”
第三章 数学教育的基本理论
本章学习提要
一、弗赖登塔尔的数学教育理论——《作为教育 任务的数学》
二、波利亚的解题理论——《怎样解题》 三、建构主义的数学教育理论 四、我国“双基”数学教学
一、弗赖登塔尔的数学教育理论 ——《作为教育任务的数学》
(一) 弗赖登塔尔的生平
Hans Freudenthal（1905-1990年）,荷兰数 学家和数学教育家,生于德国。 1930年获柏林大学数学博士学位； 1946年起任荷兰Utrecht 大学教授； 1951年起为荷兰皇家科学院院士； 1971-1976年任数学教育研究所所长； 1987年12月应邀来上海华东师范大学讲学。
《怎样解题》
《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就 销售了100万册以上。
不是简单地“由学生本人把学的东西自己去发现或创 造出来。”也不是简单地“教师指导下的学生活动。” 而是通过教师精心设计，创造问题情景，通过学生自 己动手实验研究、合作商讨，探索问题的结果并进行 组织的学习方式。
波利亚解题理论在高职数学教学中运用
波利亚的解题理论在高职数学教学中的运用探究摘要：波利亚在他的《怎样解题》一书中,将解题的模式与方法设计在一张解题表中,并通过一系列的问题或建议表达出来,使之更有启发意义。
波利亚解题思想是一种具有数学教育特征的解题理论，对此思想进行研究，使其能熟练地运用在解题教学实践中，培养学生的创造能力。
关键词：波利亚解题表；数学教学；探究解题训练一直被数学教育所重视，数学教师也比较重视对解题的研究。
解题意味着发现一条摆脱疑难、绕过障碍的途径，以达到我们想要的目的。
解题是一种操作性技能，需要通过反复的实践训练来掌握此技能。
目前来说，没有一把万能的钥匙去打开所有的门，帮助我们解决所有的问题。
我们可以在教学中尝试波利亚的解题理论或许是一种理想的方法。
一、波利亚的解题理论概述乔治·波利亚（george polya，1887～1985）是美籍匈牙利数学家、数学教育家。
在解题方面，是数学启发法（指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法）现代研究的先驱。
作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》等著作上，波利亚在风靡世界的《怎样解题》一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”。
波利亚提供的“怎样解题表”在这张包括“弄清问题”“拟定计划”“实现计划”和“回顾”四大步骤解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。
他指出寻找解法实际上就是“找出已知数和未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题，最终得出一个求解计划。
”波利亚认为，“对你自己提出问题是解决问题的开始”“当你有目的地向自己提出问题时，它就变作你的问题”。
而“假使你能适应地应用这些问句和提示来问你自己，它们可以帮助你解决你的问题”。
“怎样解题表”就“怎样解题”“教师应该教学生做什么”等问题，把“解题中典型有用的智力活动”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段——弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统，既体现常识性，又体现由常识上升为理论的自觉努力。
波利亚数学教育思想
波利亚数学教育思想简介波利亚(George Polya)1881年12月13日出生于布达佩斯,后移居美国,1985年9月7日去逝.上世纪杰出的数学家和伟大的数学教育家.波利亚一生著有数学教育论文和专著约300篇(部),其中最为著名的是《怎样解题》、《数学与合情推理》、《数学的发现》等,这些著作是他数学研究、数学史研究及教育研究与实践的结晶,影响之深远,为20世纪所罕见.为此,他被誉为上世纪最伟大的数学教育思想家.一、波利亚的解题教学思想波利亚认为“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力,而不仅仅是传授知识”.在数学学科中,能力指的是什么?波利亚说“:这就是解决问题的才智———我们这里所指的问题,不仅仅是寻常的,它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神.”他发现,在日常解题和攻克难题而获得数学上的重大发现之间,并没有不可逾越的鸿沟.要想有重大的发现,就必须重视平时的解题.因此,他说“,中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练”,通过研究解题方法看到“处于发现过程中的数学”.他把解题作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段与途径.这种思想得到了国际数学教育界的广泛赞同.波利亚的解题训练不同于“题海战术”,他反对让学生做大量的题,因为大量的“例行运算”会“扼杀学生的兴趣,妨碍他们的智力发展”.因此,他主张与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目,还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面,使学生通过这道题目,就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地.比如,“证明根号2是无理数”和“证明素数有无限多个”就是这样的好题目,前者通向实数的精确概念,后者是通向数论的门户,打开数学发现大门的金钥匙往往就在这类好题目之中.波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》一书中,该书的中心思想是解题过程中怎样诱发灵感.书的一开始就是一张“怎样解题表”,在表中收集了一些典型的问题与建议,其实质是试图诱发灵感的“智力活动表”.正如波利亚在书中所写的“我们的表实际上是一个在解题中典型有用的智力活动表”“,表中的问题和建议并不直接提到好念头,但实际上所有的问题和建议都与它有关”.“怎样解题表”包含四部分内容,即:弄清问题;拟订计划;实现计划;回顾“.弄清问题是为好念头的出现作准备;拟订计划是试图引发它;在引发之后,我们实现它;回顾此过程和求解的结果,是试图更好地利用它.”波利亚所讲的好念头,就是指灵感.《怎样解题》一书中有一部分内容叫“探索法小词典”,从篇幅上看,它占全书的4/5.“探索法小词典”的主要内容就是配合“怎样解题表”,对解题过程中典型有用的智力活动作进一步解释.全书的字里行间,处处给人一种强烈的感觉:波利亚强调解题训练的目的是引导学生开展智力活动,提高湖数学才能.从教育心理学角度看“,怎样解题表”的确是十分可取的.利用这张表,教师可行之有效地指导学生自学,发展学生独立思考和进行创造性活动的能力.在波利亚看来,解题过程就是不断变更问题的过程.事实上,“怎样解题表”中许多问题和建议都是“直接以变化问题为目的的”,如:你知道与它有关的问题吗?是否见过形式稍微不同的题目?你能改述这道题目吗?你能不能用不同的方法重新叙述它?你能不能想出一个更容易的有关问题?一个更普遍的题?一个更特殊的题?一个类似的题?你能否解决这道题的一部分?你能不能由已知数据导出某些有用的东西?能不能想出适于确定未知数的其他数据?你能改变未知数,或已知数,必要时改变两者,使新未知数和新的已知数更加互相接近吗?波利亚说“:如果不‘变化问题’,我们几乎不能有什么进展“.”变更问题”是《怎样解题》一书的主旋律.“题海”是客观存在的,我们应研究对付“题海”的战术.波利亚的“表”切实可行,给出了探索解题途径的可操作机制,被人们公认为“指导学生在题海游泳”的“行动纲领”.著名的现代数学家瓦尔登早就说过“,每个大学生,每个学者,特别是每个教师都应读《怎样解题》这本引人入胜的书”.二、波利亚的合情推理理论通常,人们在数学课本中看到的数学是“一门严格的演绎科学”.其实,这仅是数学的一个侧面,是已完成的数学.波利亚大力宣扬数学的另一个侧面,那就是创造过程中的数学,它像“一门实验性的归纳科学”.波利亚说,数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个定理之前,先得猜想、发现出这个定理的内容,在完全作出详细证明之前,还得不断检验、完善、修改所提出的猜想,还得推测证明的思路.在这一系列的工作中,需要充分运用的不是论证推理,而是合情推理.论证推理以形式逻辑为依据,每一步推理都是可靠的,因而可以用来肯定数学知识,建立严格的数学体系.合情推理则只是一种合乎情理的、好像为真的推理.例如,律师的案情推理,经济学家的统计推理,物理学家的实验归纳推理等,它的结论带有或然性.合情推理是冒风险的,它是创造性工作所赖以进行的那种推理.合情推理与论证推理两者互相补充,缺一不可.波利亚的《数学与合情推理》一书通过历史上一些有名的数学发现的例子分析说明了合情推理的特征和运用,首次建立了合情推理模式,开创性地用概率演算讨论了合情推理模式的合理性,试图使合情推理有定量化的描述,还结合中学教学实际呼吁“:要教学生猜想,要教合情推理”,并提出了教学建议.这样就在笛卡尔、欧拉、马赫、波尔察诺、庞加莱、阿达玛等数学大师的基础上前进了一步,他无愧于当代合情推理的领头人.数学中的合情推理是多种多样的,而归纳和类比是两种用途最广的特殊合情推理.拉普拉斯曾说过“:甚至在数学里,发现真理的工具也是归纳与类比.”因而波利亚对这两种合情推理给予了特别重视,并注意到更广泛的合情推理.他不仅讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式,还指出了其中的教学意义和教学方法.波利亚反复呼吁:只要我们能承认数学创造过程中需要合情推理、需要猜想的话,数学教学中就必须有教猜想的地位,必须为发明作准备,或至少给一点发明的尝试.对于一个想以数学作为终身职业的学生来说,为了在数学上取得真正的成就,就得掌握合情推理;对于一般学生来说,他也必须学习和体验合情推理,这是他未来生活的需要.他亲自讲课的教学片“让我们教猜想”荣获1968年美国教育电影图书协会十周年电影节的最高奖———蓝色勋带.1972年,他到英国参加第二届国际数学教育会议时,又为BBC开放大学录制了第二部电影教学片“猜想与证明”,并于1976年与1979年发表了“猜想与证明”和“更多的猜想与证明”两篇论文.怎样教猜想?怎样教合情推理?没有十拿九稳的教学方法.波利亚说,教学中最重要的就是选取一些典型教学结论的创造过程,分析其发现动机和合情推理,然后再让学生模仿范例去独立实践,在实践中发展合情推理能力.教师要选择典型的问题,创设情境,让学生饶有兴趣地自觉去试验、观察,得到猜想.“学生自己提出了猜想,也就会有追求证明的渴望,因而此时的数学教学最富有吸引力,切莫错过时机.”波利亚指出,要充分发挥班级教学的优势,鼓励学生之间互相讨论和启发,教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示,不能硬把他们赶上事先预备好的道路,这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣,才能真正掌握合情推理.三、波利亚论教学原则及教学艺术有效的教学手段应遵循一些基本的原则,而这些原则应当建立在数学学习原则的基础上,为此,波利亚提出了下面三条教学原则.1.主动学习原则.学习应该是积极主动的,不能只是被动或被授式的,不经过自己的脑子活动就很难学到什么新东西,就是说学东西的最好途径是亲自去发现它.这样,会使自己体验到思考的紧张和发现的喜悦,有利于养成正确的思维习惯.因此,教师必须让学生主动学习,让思想在学生的头脑里产生,教师只起助产的作用.教学应采用苏格拉底回答法:向学生提出问题而不是讲授全部现成结论,对学生的错误不是直接纠正,而是用另外的补充问题来帮助暴露矛盾.2.最佳动机原则.如果学生没有行动的动机,就不会去行动.而学习数学的最佳动机是对数学知识的内在兴趣,最佳奖赏应该是聚精会神的脑力活动所带来的快乐.作为教师,你的职责是激发学生的最佳动机,使学生信服数学是有趣的,相信所讨论的问题值得花一番功夫.为了使学生产生最佳动机,解题教学要格外重视引入问题时,尽量诙谐有趣.在做题之前,可以让学生猜猜该题的结果,或者部分结果,旨在激发兴趣,培养探索习惯.3.循序阶段原则“.一切人类知识以直观开始,由直观进至概念,而终于理念”,波利亚将学习过程区分为三个阶段:①探索阶段———行动和感知;②阐明阶段———引用词语,提高到概念水平;③吸收阶段———消化新知识,吸取到自己的知识系统中.教学要尊重学习规律,要遵循循序阶段性,要把探索阶段置于数学语言表达(如概念形成)之前,而又要使新学知识最终融汇于学生的整体智慧之中.新知识的出现不能从天而降,应密切联系学生的现有知识、日常经验、好奇心等,给学生“探索阶段”;学了新知识之后,还要把新知识用于解决新问题或更简单地解决老问题,建立新旧知识的联系,通过新学知识的吸收,对原有知识的结构看得更清晰,进一步开阔眼界.波利亚说,遗憾的是,现在的中学教学里严重存在忽略探索阶段和吸收阶段而单纯断取概念水平阶段的现象.以上三个原则实际上也是课程设置的原则,比如:教材内容的选取和引入,课题分析和顺序安排,语言叙述和习题配备等问题也都要以学和教的原则为依据.有效的教学,除了要遵循学与教的原则外,还必须讲究教学艺术.波利亚明确表示,教学是一门艺术.教学与舞台艺术有许多共同之处,有时,一些学生从你的教态上学到的东西可能比你要讲的东西还多一些,为此,你应该略作表演.教学与音乐创作也有共同点,数学教学不妨吸取音乐创作中预示、展开、重复、轮奏、变奏等手法.教学有时可能接近诗歌.波利亚说,如果你在课堂上情绪高涨,感到自己诗兴欲发,那么不必约束自己;偶尔想说几句似乎难登大雅的话,也不必顾虑重重“.为了表达真理,我们不能蔑视任何手段”,追求教学艺术亦应如此.四、波利亚论数学教师的思和行波利亚把数学教师的素质和工作要点归结为以下十条.1.教师首要的金科玉律是:自己要对数学有浓厚的兴趣.如果教师厌烦数学,那学生也肯定会厌烦数学.因此,如果你对数学不感兴趣,你就不要去教它,因为你的课不可能受学生欢迎.2.熟悉自己的科目———数学科学.如果教师对所教的数学内容一知半解,那么即使有兴趣,有教学方法及其他手段,也难以把课教好,你不可能一清二楚地把数学教给学生.3.应该从自身学习的体验中以及对学生学习过程的观察中熟知学习过程,懂得学习原则,明确认识到:学习任何东西的最佳途径是亲自独立地去发现其中的奥秘.4.努力观察学生们的面部表情,觉察他们的期望和困难,设身处地把自己当作学生.教学要想在学生的学习过程中收到理想的效果,就必须建立在学生的知识背景、思想观点以及兴趣爱好等基础之上.波利亚说,以上四条是搞好数学教学的精髓.5.不仅要传授知识,还要教技能技巧,培养思维方式以及得法的工作习惯.6.让学生学会猜想问题.7.让学生学会证明问题.严谨的证明是数学的标志,也是数学对一般文化修养的贡献中最精华的部分.倘若中学毕业生从未有过数学证明的印象,那他便少了一种基本的思维经验.但要注意,强调论证推理教学,也要强调直觉、猜想的教学,这是获得数学真理的手段,而论证则是为了消除怀疑.于是,教证明题要根据学生的年龄特征来处理,一开始给中学生教数学证明时,应该多着重于直觉洞察,少强调演绎推理.8.从手头中的题目中寻找出一些可能用于解今题目的特征———揭示出存在于当前具体情况下的一般模式.9.不要把你的全部秘诀一古脑儿地倒给学生,要让他们先猜测一番,然后你再讲给他们听,让他们独立地找出尽可能多的东西.要记住“,使人厌烦的艺术是把一切细节讲得详而又尽”(伏尔泰).10.启发问题,不要填鸭式地硬塞给学生.参考文献刘云章,赵雄辉.波利亚著作选讲[M].长沙:湖南教育出版社,1998.。
波利亚的解题理论
波利亚的解题理论一、波利亚的生平及主要著作对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。
这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。
综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。
波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。
波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。
1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。
1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。
他一生发表200多篇论文和许多专著。
他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。
由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。
《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。
这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。
著名数学家范。
德。
瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。
这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。
二、波利亚对数学教育的基本看法波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。
他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。
波利亚数学教育理论的现代启示
波利亚数学教育理论的现代启示随着社会的发展和科技的进步，教育改革在全球范围内持续进行，尤其在数学教育领域。
美国作为全球的教育大国，其数学教育改革的发展和成果具有深远的国际影响力。
本文将探讨美国现代数学教育改革的历史背景、具体措施及其对全球教育的启示。
在过去的几十年里，美国的教育体系经历了多次改革。
这些改革的目标都是提高学生的学术表现，特别是在数学领域。
由于历史和文化的因素，美国的数学教育在全球范围内一直处于领先地位。
然而，随着其他国家教育水平的提高和科技的飞速发展，美国的教育体系逐渐暴露出一些问题。
因此，自20世纪80年代以来，美国开始了一场大规模的教育改革运动。
强调基础知识和技能：美国的教育改革强调学生在数学方面应掌握的基础知识和技能。
这一目标是通过增加学生在数学方面的学习和实践时间来实现的。
还通过加强教师的教学方法和策略，以帮助学生更好地理解和掌握数学概念和技能。
创新教学方法：美国的教育改革鼓励教师采用创新的教学方法，如项目式学习、翻转课堂等。
这些方法旨在提高学生的参与度和自主学习能力，同时提高他们的创新思维和实践能力。
培养学生的思维能力和问题解决能力：美国的教育改革强调培养学生的思维能力和问题解决能力。
通过引入更多的实际问题解决课程和项目，学生可以在实践中学习和应用数学知识，从而提高他们的思维能力和问题解决能力。
提高教师的专业素养：美国的教育改革强调提高教师的专业素养。
通过提供更多的培训和发展机会，帮助教师提高他们的教学技能和专业知识，从而更好地指导学生。
美国的现代数学教育改革对全球教育产生了深远的影响。
它强调了基础知识和技能的重要性。
无论在哪个国家，学生都需要掌握基本的数学概念和技能，这是进一步学习和发展的基础。
创新的教学方法对于提高学生的参与度和自主学习能力至关重要。
全球范围内的教育者应该借鉴这些方法，并根据当地的文化和教育环境进行调整。
培养学生的思维能力和问题解决能力是教育的长期目标。
数学教育的基本理论
数学教育的基本理论数学教育作为一门学科，始自20世纪初，目前还不满100年。
1908年成立国际数学教育委员会，数学教育成为国际性的事务。
但是在第二次世界大战之前，数学教育的研究只限于各国的“数学教学大纲”、“数学教学计划”等文件的交流，尚无数学教育的理论著作问世。
第二次世界大战结束后，数学教育进入一个迅猛发展的时期，各种数学教育的著作大量出现。
但是，真正形成数学教育理论形态的研究并不多，似乎只有弗来登塔尔和波利亚两位的工作得到比较广泛的承认。
心理学家皮亚杰倡导的建构主义学说，对数学教育有很大影响。
中国的“双基”数学教育，积累了丰富的经验。
弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。
数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。
因此，在教学过程中，教师应该充分利用学生的认知规律，已有的生活经验和数学的实际，灵活处理教材，根据实际需要对原材料进行优化组合。
把例题生活化，让学生易懂易学。
通过设计与生活现实密切相关的问题，帮助学生认识到数学与生活有的密切联系，从而体会到学好数学对于我们的生活有很大的帮助，无形当中产生了学习数学的动力。
这也就是弗赖登塔尔常常说的数学教育即是现实的数学教育。
波利亚对数学教育的基本看法，波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。
他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。
在他看来，中学数学教育的根本目的就是“教会年轻人思考。
”这种思考既是有目的思考，产生式的思考，也包括形式的和非形式的思维。
教师要努力做的就是“教学学生证明问题，甚至也教他们猜想问题”，启发学生自己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力。
当然，他也强调数学教育中培养学生的兴趣、好奇心、毅力、意志、情感体验等非智力品质的重要性。
第六章 数学教育的基本理论
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• 1、建构主义概述 • 2、构主义理论关于数学教育的一些基本
认识 • 数学知识是什么 • 学生如何学习数学 • 教师如何开展课堂教学
四、我国“双基”数学教学的成功与不 足
“双基”——“数学基础知识”和“数学基本 技能”
• 一个统一 • 两个基础 • 三大能力 • 四个结合 • 五个环节
学法 • “大容量、快节奏、高密度”的复习课
“双基”数学教学理论的独特认识
• 运算速度 • 知识的记忆 • 适度形式化的逻辑要求 • 重复训练
“双基”数学教学理论的形成
• “双基数学教学”是中国传统文化的一种传 承
• 中国千余年“考试文化”下的教育评价体 系， 是形成“双基”数学教学理论的重要 动因
“双基”数学教学过程
• “启发式”教学 • “精讲多练” • “变式练习” • “小步走，小转弯， 小坡度”的三小教
数学教育的基本理论
一、弗赖登塔尔的数学教育理论 二、波利亚的解题理论 三、建构主义的数学教育理论 四、我国“双基”数学教学的成功与不足
一、弗赖登塔尔的数学教育理论
• “数学现实”原则 • “数学化”原则 • “再创造”原则
二、波利亚的解题理论
• 波利亚对数学教育的基本看法 • 波利亚关于解题的研究
波利亚“解题理论”及启示
波利亚“解题理论”及启⽰2019-10-23摘要：波利亚的“解题理论”体现了他对解题⽅法及解题思维过程的深刻研究，它对于培养学⽣良好的解题习惯，培养学⽣创造性思维，推动数学素质教育都有着重要的启⽰作⽤。
关键词：波利亚解题思想学习习惯创新意识解题是数学的核⼼，是创造性思维⽅法学研究中不可缺的课题，中外许多学者在解题理论和解题训练，特别是创造性解题训练⽅⾯都作出许多贡献，其中最为突出的代表就要数波利亚了。
乔治·波利亚（1887―1985）美籍匈⽛利⼈，20世纪杰出的数学家，年轻时期于布达佩斯、维也纳、格廷根、巴黎等地攻读数学、物理、哲学。
1912年于布达佩斯⼤学获哲学博⼠学位，1914年在苏黎世著名的瑞⼠联邦理⼯学院任教，1940年移居美国，⾃1942年起⼀直担任美国斯坦福⼤学教授。
波利亚⼗分热⼼教育，重视从⼩培养学⽣的理解能⼒和解题能⼒。
他致⼒于解题研究，为了回答“⼀个好的解法是如何想出来的”这⼀令⼈困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究结果写成《怎样解题》⼀书。
1.波利亚“解题表”的主要思想《怎样解题》的中⼼思想即谈解题过程中怎样诱发灵感，具体核⼼部分就是他分解解题的思维过程得到的“怎样解题表”，这张表给出了⼀个完整的解题过程⼀般包含的四⼤步骤［１］。
1.1弄清问题。
弄清问题即审题，是解题的基础。
因为只有正确理解了题意，才能正确地树⽴解题的思维⽅法，找出解题途径。
在这⼀步，解题者必须了解问题的⽂字叙述，弄清题⽬的已知条件是什么，未知条件是什么，题⽬要求的是什么。
然后通过观察、分析、画图等把⽂字、图形、符号等发出的信息正确的接收下来，把条件的各个部分分开，充分挖掘题设的内涵，判清题型，审清问题。
1.2拟订计划。
拟订计划即探索解题的途径，这是解题的关键环节。
当我们审清了问题之后，熟悉的问题有⼀定的解题套路，不需要太多的思考，⽽对于不熟悉的题⽬，千万不要急于动笔演算，⽽是要在头脑中从整体上设计好⼀个解题思路，稍进⼀步的问题，需要有⼀点变化。
波利亚的数学教育思想及其对中学数学教育的指导意义
波利亚的数学教育思想及其对中学数学教育的指导意义波利亚（Euclid），古希腊智者，被认为是古代数学之父，他在三百年前创立了“几何原本”，其有关基本数学概念和定理及它们之间的联系，为数学发展历史做出了重大贡献。
同时，他的数学思想也影响了许多人的数学教育思想。
因此，了解波利亚的数学教育思想及其对中学数学教育的指导意义是十分重要的。
波利亚以经典的“几何原本”为基础，在其中建立了各种基本数学概念和定理，他坚持从实践出发，将一系列实践活动以实证的方法通过实验和实践来建立数学概念和定理，他坚持把握数学科学概念，并以数学形式来进行描述，他坚持以抽象理论为基础，将各种抽象理论相互结合。
他的这种数学教育思想，深深影响了后来的数学教育，也为中学数学教育提供了思路和指导。
首先，波利亚的数学教育思想强调从实践出发，以实证为主体，强调实验和实践，更注重学生实践能力和发现能力的培养。
因此，中学数学教育应该注重学生的实践、实践能力和发现能力的培养，以实践为主体，注重结合实际，合理地组织实验活动，发掘学生的发现能力。
其次，波利亚的数学教育思想坚持把握数学科学概念和数学形式，注重理解和记忆的积累，努力培养学生对各种数学思想和知识的正确认识和运用。
因此，中学数学教育要强调概念认识，加强把握数学科学概念和数学形式的能力，坚持正确理解和运用，努力加深学生对数学思想和知识的理解。
最后，波利亚的数学教育思想强调以抽象理论为基础，建立起抽象理论之间的联系，以拓展学生的数学思维。
因此，中学数学教育要坚持抽象思维，以抽象理论为基础，加强数学思维能力，努力拓展学生的数学能力。
总之，波利亚的数学教育思想主张从实践出发、把握数学科学概念和数学形式，以及以抽象理论为基础，它对中学数学教育提供了重要的指导意义，即：要注重学生的实践能力和发现能力的培养；要强调概念认识，加强把握数学科学概念和数学形式的能力；要努力加深学生对数学思想和知识的理解；要坚持抽象思维，以抽象理论为基础，加强数学思维能力，拓展学生的数学能力。
(完整版)波利亚的解题理论
波利亚的解题理论一、波利亚的生平及主要著作对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。
这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。
综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。
波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。
波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。
1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。
1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。
他一生发表200多篇论文和许多专著。
他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。
由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。
《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。
这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。
著名数学家范。
德。
瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。
这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。
二、波利亚对数学教育的基本看法波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。
他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。
《波利亚解题理论》
• 这就要求教师要做到：
五 对波利亚“怎样解题”表的评 价
• 波利亚“怎样解题”表具有巨大的理论价 值。解题表中不仅蕴含着重要的思想方 法——化归、变换的思想方法，而且是各 种数学思想方法的源泉，在教学中利用解 题表，学生的自学能力有较快的提高，独 立思考校和进行创造性活动的能力也逐步 增强。 。
六 波利亚《怎样解题》启示
——你可以改述这个问题吗?回到定义！ ——你若能解决这个问题，试先解决 一个有关的问题。你能想出一个更 容易着手的有关问题吗？一个更一 般的问题？一个更特殊的问题？一 个类似的问题？你能解决问题的一 部分吗？ ——你用了全部的计划 ——实行你的解决计划，校核每一步骤。
（一）必须了解问题 ——未知数是什么？已知数是什么？ 条件是什么？ ——可能满足什么条件 ——画一个图，引入适当的符号。
拟订计划
（二）找出已知数和未知数之间的 关系。假使你不能找出关系，就得 考虑辅助问题，最后应该想出一个 计划。
——你以前见过它吗？ ——你知道什么有关的问题吗？ ——注视未知数!试想出一个有相同 或相似的未知数的熟悉问题。
讲解 第三步：实现计划: • 证明: 过直线a任作一个平面γ, 和平面α相交于直 线b 直线a∥平面α a∥b 直线a ⊥平面β b⊥平面β
γ β
a b
α
而平面α过直线b，则 平面α⊥平面β. • 检查：直线和平面平行的性质定理， 直线和直线 平行的性质定理，平面和平面垂直的判定定理， 三个定理清晰保证每步成立。
波利亚数学教育思想
波利亚数学教育思想简介波利亚(George Polya)1881年12月13日出生于布达佩斯,后移居美国,1985年9月7日去逝.上世纪杰出的数学家和伟大的数学教育家.波利亚一生著有数学教育论文和专著约300篇(部),其中最为著名的是《怎样解题》、《数学与合情推理》、《数学的发现》等,这些著作是他数学研究、数学史研究及教育研究与实践的结晶,影响之深远,为20世纪所罕见.为此,他被誉为上世纪最伟大的数学教育思想家.一、波利亚的解题教学思想波利亚认为“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力,而不仅仅是传授知识”.在数学学科中,能力指的是什么?波利亚说“:这就是解决问题的才智———我们这里所指的问题,不仅仅是寻常的,它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神.”他发现,在日常解题和攻克难题而获得数学上的重大发现之间,并没有不可逾越的鸿沟.要想有重大的发现,就必须重视平时的解题.因此,他说“,中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练”,通过研究解题方法看到“处于发现过程中的数学”.他把解题作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段与途径.这种思想得到了国际数学教育界的广泛赞同.波利亚的解题训练不同于“题海战术”,他反对让学生做大量的题,因为大量的“例行运算”会“扼杀学生的兴趣,妨碍他们的智力发展”.因此,他主张与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目,还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面,使学生通过这道题目,就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地.比如,“证明根号2是无理数”和“证明素数有无限多个”就是这样的好题目,前者通向实数的精确概念,后者是通向数论的门户,打开数学发现大门的金钥匙往往就在这类好题目之中.波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》一书中,该书的中心思想是解题过程中怎样诱发灵感.书的一开始就是一张“怎样解题表”,在表中收集了一些典型的问题与建议,其实质是试图诱发灵感的“智力活动表”.正如波利亚在书中所写的“我们的表实际上是一个在解题中典型有用的智力活动表”“,表中的问题和建议并不直接提到好念头,但实际上所有的问题和建议都与它有关”.“怎样解题表”包含四部分内容,即:弄清问题;拟订计划;实现计划;回顾“.弄清问题是为好念头的出现作准备;拟订计划是试图引发它;在引发之后,我们实现它;回顾此过程和求解的结果,是试图更好地利用它.”波利亚所讲的好念头,就是指灵感.《怎样解题》一书中有一部分内容叫“探索法小词典”,从篇幅上看,它占全书的4/5.“探索法小词典”的主要内容就是配合“怎样解题表”,对解题过程中典型有用的智力活动作进一步解释.全书的字里行间,处处给人一种强烈的感觉:波利亚强调解题训练的目的是引导学生开展智力活动,提高湖数学才能.从教育心理学角度看“,怎样解题表”的确是十分可取的.利用这张表,教师可行之有效地指导学生自学,发展学生独立思考和进行创造性活动的能力.在波利亚看来,解题过程就是不断变更问题的过程.事实上,“怎样解题表”中许多问题和建议都是“直接以变化问题为目的的”,如:你知道与它有关的问题吗?是否见过形式稍微不同的题目?你能改述这道题目吗?你能不能用不同的方法重新叙述它?你能不能想出一个更容易的有关问题?一个更普遍的题?一个更特殊的题?一个类似的题?你能否解决这道题的一部分?你能不能由已知数据导出某些有用的东西?能不能想出适于确定未知数的其他数据?你能改变未知数,或已知数,必要时改变两者,使新未知数和新的已知数更加互相接近吗?波利亚说“:如果不…变化问题‟,我们几乎不能有什么进展“.”变更问题”是《怎样解题》一书的主旋律.“题海”是客观存在的,我们应研究对付“题海”的战术.波利亚的“表”切实可行,给出了探索解题途径的可操作机制,被人们公认为“指导学生在题海游泳”的“行动纲领”.著名的现代数学家瓦尔登早就说过“,每个大学生,每个学者,特别是每个教师都应读《怎样解题》这本引人入胜的书”.二、波利亚的合情推理理论通常,人们在数学课本中看到的数学是“一门严格的演绎科学”.其实,这仅是数学的一个侧面,是已完成的数学.波利亚大力宣扬数学的另一个侧面,那就是创造过程中的数学,它像“一门实验性的归纳科学”.波利亚说,数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个定理之前,先得猜想、发现出这个定理的内容,在完全作出详细证明之前,还得不断检验、完善、修改所提出的猜想,还得推测证明的思路.在这一系列的工作中,需要充分运用的不是论证推理,而是合情推理.论证推理以形式逻辑为依据,每一步推理都是可靠的,因而可以用来肯定数学知识,建立严格的数学体系.合情推理则只是一种合乎情理的、好像为真的推理.例如,律师的案情推理,经济学家的统计推理,物理学家的实验归纳推理等,它的结论带有或然性.合情推理是冒风险的,它是创造性工作所赖以进行的那种推理.合情推理与论证推理两者互相补充,缺一不可.波利亚的《数学与合情推理》一书通过历史上一些有名的数学发现的例子分析说明了合情推理的特征和运用,首次建立了合情推理模式,开创性地用概率演算讨论了合情推理模式的合理性,试图使合情推理有定量化的描述,还结合中学教学实际呼吁“:要教学生猜想,要教合情推理”,并提出了教学建议.这样就在笛卡尔、欧拉、马赫、波尔察诺、庞加莱、阿达玛等数学大师的基础上前进了一步,他无愧于当代合情推理的领头人.数学中的合情推理是多种多样的,而归纳和类比是两种用途最广的特殊合情推理.拉普拉斯曾说过“:甚至在数学里,发现真理的工具也是归纳与类比.”因而波利亚对这两种合情推理给予了特别重视,并注意到更广泛的合情推理.他不仅讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式,还指出了其中的教学意义和教学方法.波利亚反复呼吁:只要我们能承认数学创造过程中需要合情推理、需要猜想的话,数学教学中就必须有教猜想的地位,必须为发明作准备,或至少给一点发明的尝试.对于一个想以数学作为终身职业的学生来说,为了在数学上取得真正的成就,就得掌握合情推理;对于一般学生来说,他也必须学习和体验合情推理,这是他未来生活的需要.他亲自讲课的教学片“让我们教猜想”荣获1968年美国教育电影图书协会十周年电影节的最高奖———蓝色勋带.1972年,他到英国参加第二届国际数学教育会议时,又为BBC开放大学录制了第二部电影教学片“猜想与证明”,并于1976年与1979年发表了“猜想与证明”和“更多的猜想与证明”两篇论文.怎样教猜想?怎样教合情推理?没有十拿九稳的教学方法.波利亚说,教学中最重要的就是选取一些典型教学结论的创造过程,分析其发现动机和合情推理,然后再让学生模仿范例去独立实践,在实践中发展合情推理能力.教师要选择典型的问题,创设情境,让学生饶有兴趣地自觉去试验、观察,得到猜想.“学生自己提出了猜想,也就会有追求证明的渴望,因而此时的数学教学最富有吸引力,切莫错过时机.”波利亚指出,要充分发挥班级教学的优势,鼓励学生之间互相讨论和启发,教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示,不能硬把他们赶上事先预备好的道路,这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣,才能真正掌握合情推理.三、波利亚论教学原则及教学艺术有效的教学手段应遵循一些基本的原则,而这些原则应当建立在数学学习原则的基础上,为此,波利亚提出了下面三条教学原则.1.主动学习原则.学习应该是积极主动的,不能只是被动或被授式的,不经过自己的脑子活动就很难学到什么新东西,就是说学东西的最好途径是亲自去发现它.这样,会使自己体验到思考的紧张和发现的喜悦,有利于养成正确的思维习惯.因此,教师必须让学生主动学习,让思想在学生的头脑里产生,教师只起助产的作用.教学应采用苏格拉底回答法:向学生提出问题而不是讲授全部现成结论,对学生的错误不是直接纠正,而是用另外的补充问题来帮助暴露矛盾.2.最佳动机原则.如果学生没有行动的动机,就不会去行动.而学习数学的最佳动机是对数学知识的内在兴趣,最佳奖赏应该是聚精会神的脑力活动所带来的快乐.作为教师,你的职责是激发学生的最佳动机,使学生信服数学是有趣的,相信所讨论的问题值得花一番功夫.为了使学生产生最佳动机,解题教学要格外重视引入问题时,尽量诙谐有趣.在做题之前,可以让学生猜猜该题的结果,或者部分结果,旨在激发兴趣,培养探索习惯.3.循序阶段原则“.一切人类知识以直观开始,由直观进至概念,而终于理念”,波利亚将学习过程区分为三个阶段:①探索阶段———行动和感知;②阐明阶段———引用词语,提高到概念水平;③吸收阶段———消化新知识,吸取到自己的知识系统中.教学要尊重学习规律,要遵循循序阶段性,要把探索阶段置于数学语言表达(如概念形成)之前,而又要使新学知识最终融汇于学生的整体智慧之中.新知识的出现不能从天而降,应密切联系学生的现有知识、日常经验、好奇心等,给学生“探索阶段”;学了新知识之后,还要把新知识用于解决新问题或更简单地解决老问题,建立新旧知识的联系,通过新学知识的吸收,对原有知识的结构看得更清晰,进一步开阔眼界.波利亚说,遗憾的是,现在的中学教学里严重存在忽略探索阶段和吸收阶段而单纯断取概念水平阶段的现象.以上三个原则实际上也是课程设置的原则,比如:教材内容的选取和引入,课题分析和顺序安排,语言叙述和习题配备等问题也都要以学和教的原则为依据.有效的教学,除了要遵循学与教的原则外,还必须讲究教学艺术.波利亚明确表示,教学是一门艺术.教学与舞台艺术有许多共同之处,有时,一些学生从你的教态上学到的东西可能比你要讲的东西还多一些,为此,你应该略作表演.教学与音乐创作也有共同点,数学教学不妨吸取音乐创作中预示、展开、重复、轮奏、变奏等手法.教学有时可能接近诗歌.波利亚说,如果你在课堂上情绪高涨,感到自己诗兴欲发,那么不必约束自己;偶尔想说几句似乎难登大雅的话,也不必顾虑重重“.为了表达真理,我们不能蔑视任何手段”,追求教学艺术亦应如此.四、波利亚论数学教师的思和行波利亚把数学教师的素质和工作要点归结为以下十条.1.教师首要的金科玉律是:自己要对数学有浓厚的兴趣.如果教师厌烦数学,那学生也肯定会厌烦数学.因此,如果你对数学不感兴趣,你就不要去教它,因为你的课不可能受学生欢迎.2.熟悉自己的科目———数学科学.如果教师对所教的数学内容一知半解,那么即使有兴趣,有教学方法及其他手段,也难以把课教好,你不可能一清二楚地把数学教给学生.3.应该从自身学习的体验中以及对学生学习过程的观察中熟知学习过程,懂得学习原则,明确认识到:学习任何东西的最佳途径是亲自独立地去发现其中的奥秘.4.努力观察学生们的面部表情,觉察他们的期望和困难,设身处地把自己当作学生.教学要想在学生的学习过程中收到理想的效果,就必须建立在学生的知识背景、思想观点以及兴趣爱好等基础之上.波利亚说,以上四条是搞好数学教学的精髓.5.不仅要传授知识,还要教技能技巧,培养思维方式以及得法的工作习惯.6.让学生学会猜想问题.7.让学生学会证明问题.严谨的证明是数学的标志,也是数学对一般文化修养的贡献中最精华的部分.倘若中学毕业生从未有过数学证明的印象,那他便少了一种基本的思维经验.但要注意,强调论证推理教学,也要强调直觉、猜想的教学,这是获得数学真理的手段,而论证则是为了消除怀疑.于是,教证明题要根据学生的年龄特征来处理,一开始给中学生教数学证明时,应该多着重于直觉洞察,少强调演绎推理.8.从手头中的题目中寻找出一些可能用于解今题目的特征———揭示出存在于当前具体情况下的一般模式.9.不要把你的全部秘诀一古脑儿地倒给学生,要让他们先猜测一番,然后你再讲给他们听,让他们独立地找出尽可能多的东西.要记住“,使人厌烦的艺术是把一切细节讲得详而又尽”(伏尔泰).10.启发问题,不要填鸭式地硬塞给学生.参考文献刘云章,赵雄辉.波利亚著作选讲[M].长沙:湖南教育出版社,1998.。
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1963年获美国数学会功勋奖。他是法国科 学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的 院士。 曾著有《怎样解题》、《数学的发
现》、《数学与猜想》等，它们被译成多 种文字，广为流传 。
找出一个既有趣又好下手的新 问题并不那么容易，这需要经 验、鉴别能力和好运气，但是， 当我们成功的解决了一个好问 题之后，我们应当去寻找更多 的好问题。好问题通某些蘑菇 有些相像，他们总是成堆地生 长，找到一个以后，你应当在 周围找找，很可能在附近就有 好几个。
（1）主动学习
“学东西的最好方式是发现它”，“亲自 发现能够在你脑海里留下一条小路；今后 一旦需要，你便可以再次利用它”。因而， 教师应该“尽量让学生在现有条件下亲自 发现尽可能多的东西”。思想应在学生头 脑中产生，教师则只起助产士的作用。
（2）最佳动机
为了使学习富有成效，学生应该对学习倍 感兴趣，并且在学习活动中寻求欢乐。最 佳的刺激应该是对所学的知识的兴趣。另 外，还可以在做题之前，让学生猜测学习 的结果，因为在科学家的工作中，猜测几 乎是证明的先导。
学习动机是多元的
内在的动机才能产生持久的学习动力，外 部的动机，只会见效一时，却不能恒久维 持。
动机，有时又可以称之为理由 过度理由效应
（3）循序渐进
学习过程是从行动和感知开始的，进而发
展到词语和概念，以养成合理的思维习惯
而结束。
思维习惯
词语和概念
行动和感知
学习的第一个阶段是探索，它联系着行动 和感知，并且是在自觉和启发的水平上发 展的。
山重水复疑无路，柳暗花明又一村。众里寻他千，蓦然回首，那人却在灯火阑珊 处。
波利亚的生平
波利亚（George Polya，1887-1985） 美籍匈牙利数学家。生于布达
佩斯，卒于美国。青年时期曾 在布达佩斯、维也纳、巴黎等 地攻读数学、物理和哲学，获 博士学位。1914年在瑞士苏黎 世工业大学任教，1938年任数 理学院院长。1940年移居美国， 历任布朗大学、斯坦福大学教授。
（7）能否用别的方法导出这个结果？在信 念上，我们应该永远而坚定地作出肯定回 答，操作上未实现只是能力问题或暂时现 象。
“怎样解题表”就“怎样解题”“教师应该教学生 做什么”等问题，把“解题中典型有用的智力活 动”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分 成四个阶段——弄清问题、拟订计划、实现计划、 回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也 组成了一个完整的解题教学系统。既体现常识性，
（5）在心理机制上，这个案例呈现出“激活—— 扩散”的基本过程。激活记忆网络中的棱台的体 积结构和棱锥的体积公式，然后想外扩散，依次 激活截面公式，相似三角形、解方程知识等，直 到条件与结论之间的网络沟通。这种“激活—— 扩散”的观点，正是数学思维中心理过程的一种 解释。
（6）在立体几何学科方法上，这是“组合与分解” 的一次成功运用，它再一次向我们展示了“能割 善补”是解决立体几何问题的一个诀窍，二平面 化思维是联系立体几何与平面几何的重要桥梁这 些方法可以用于解其他的立体几何问题，并且作 为一般化的思想（降维）还可以用于其他学科。
头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。
波利亚提供的“怎样解题” 表
了解问题
第一步 必须 了解问题
Δ未知数是什么？已知数据是什么？条 件是什么？ Δ可能满足什么条件？ Δ画一个图，引入适当记号。
拟定计划
第二步 找出已
知数和未知数间 Δ你以前曾见过它吗？
的关系。假使你 Δ你知道什么有关的问题吗？
6、让学生学会猜想问题 7、让学生学会证明问题；
8、从手头上的题目中寻找出一些可能今后用于解 题的特征，揭示出存在于具体情况下的一般模式；
9、不要立即吐露你的全部秘密-，让学生在你说 出来之前先动脑去想，去猜，不要强迫别人去接 受；
10、启发问题，而不要填鸭式地塞给学生。
二、波利亚关于解题的研究
础是“过去的经验和以有的知识”（也是一种解题力量）。
作业： （1）根据你的解题经历，选一个典型的例子，
详细介绍解题的具体过程。 （2）设计一个解决某一类问题的解题表。
二选一
Hale Waihona Puke 、波利亚的数学教育观1. 波利亚的数学教育目的： 波利亚认为：中学数学教育的根本目的是
“教会学生思考”。“教会学生思考”意 味着数学教师不仅仅是传授知识，还应努 力发展学生运用所学知识的能力，他强调 技能、技巧、有益的思考方式和理想的思 维习惯。
现在新课标强调的“三会”
2. 数学教学与学习的心理三原则： （1）主动学习原则 （2）最佳动机原则 （3）循序渐进原则
问题4：怎样才能求得A与B？ 棱锥的体积公式： 关键是什么？
将问题转化，把求A，B转化为求？
x
问题5：怎样才能求得
第三步，实现计划
第四步，回顾 （1）正面检验每一步，推理是有效的，演
算是准确的，然后再做特殊性检验，特殊 性检验既反映了新知识与旧知识的相容性， 又显示出棱台体积公式的一般性；这既沟 通了三类几何体极限状态间的知识联系， 又可增进三个体积公式的记忆。
第三讲 数学教育的 基本理论 ——波利亚
青岛大学师范学院 数学系 杨慧娟
2020年5月22日星期五
数学游戏问题：
有两个没有刻度的桶，大桶的容量是9升，小 桶的容量是4升，怎样利用这两个桶从河中 恰好打上6升的水呢？
9升
4升
学习数学离不开解题，大多解题者都有过 这样的经历：
衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。
第二个阶段是阐明，包括引进术语、定义、 证明等，提高到概念的水平上。
第三个阶段是吸收，即把所学的知识都在 头脑里消化了，然后吸收到自己的知识系 统中来，扩大智力的范围。
3. 波利亚的教师发展观
波利亚建议，要成为一名好的数学教师， 必须具备两方面的知识，一是数学内容的 知识。一般中学数学教师最大的缺陷在于， 他没有主动完成数学工作的经验。二是数 学教学法的知识。
把已知的三个量添加到图形中和思维图示 中，，他们与F之间有一条鸿沟，象征问题 还没有得到解决，我们的任务就是将未知 量与已知量联系起来。
b
a
h
b
第二步，拟定计划
问题3：怎样才能求得F
已经有了棱锥的体积公式，棱台的几何结 构（定义）告诉我们，棱台是“用一个平 行于底面的平面去截棱锥”，即从一个大 棱锥中截去一个小棱锥所生成的，如果知 道了相应的两棱锥的体积B和A，我们就能 求出棱台的体积：F=B-A
键环节和核心内容。
“拟订计划”的过程是探索解题思路的发现过程，波利亚 的建议是分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直 接的联系（模式识别等）；第二，如果找不出直接的联系， 就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问 题。为此波利亚又进一步建议：看着未知数回到定义去， 重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化、 一般化、类比等，积极诱发念头，努力变化问题。这实际 上是阐述和应用解题策略，并进行资源的提取和分配，基
为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑 的问题，波利亚专门研究了解题的思维过程，并把研究所 得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分析解题的 思维过程得到的一张“怎样解题”表，并以例题表明这张 表的实际应用。书中各部分基本上是配合这张表的，也可 以说是对该表的进一步阐述和注释。在这张包括“弄清问 题”、“拟定计划”、“实际计划”和“回顾”四大步骤 的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分 析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出 已知数和未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可 能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划
波利亚给数学教师的“十条建议”
1、对自己的科目要有兴趣 2、熟知自己的科目 3、懂得学习的途径，学习任何东西的最佳途径是
亲自独立地发现其中的奥秘；
4、努力观察学生的面部表情，察觉他们的期望和 困难，把自己置身于他们之中；
5、不仅要教给他们知识，并且要教给他们技能技 巧、才智、思维方式及科学的工作习惯。
波利亚认为，“对你自己提出问题是解决问题的开始”， “当你有目的的向自己提出的问题时，它就变作你的问 题”。而“假使你能适应地应用这些问句和提示来问你自 己，它们可以帮助你解决你的问题”。他还把寻找并发现 解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题， 它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜
回顾
第四步 校核所得
的解答
Δ你能校核结果吗？你能校核论证吗？
Δ你能用不同的方法得出结果吗？
Δ你能应用这结果或方法到别的问题上
去吗？
波利亚的“怎样解题”表的精髓是启发你去联想。联想什 么？怎样联想？这可以通过一连串建议性或启发性问题来 加以回答。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而 形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道 一个可能用的上的定理？看看未知数！试指出一个具有相 同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现 在的问题有联系且早已解决的问题。你能不能利用它？你 能利用他的结果吗？你能利用他的方法吗？为了能利用它， 你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问 题？你能不能用不同的方式重新叙述它？”
又体现由常识上升为理论（普遍性）的自觉努力。
这四个阶段中“实现计划”虽为主体工作，但较 为容易，是思路打通之后具体实施信息资源的逻 辑配置，“我们所需要的只是耐心”；其次， “弄清问题”是认识、并对问题进行表征的过程， 应成为成功解决问题的一个必要前提；与前两者 相比，“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚 对其作为解题的必要环节而固定下来，是一个有 远见的做法，在整个解题表中“拟订计划”是关
（2）回顾解题过程，可以看到，首先弄清 题意，从中捕捉到有用信息，及时提取记 忆中的有关信息，将信息做合乎逻辑的组 合
（3）在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功运用， 从结论出发，由后往前找成立的充分条件，如，为了求得 F，只需要知道A，B，为了求得A，B，只需要求得x，为 了得到x，建立一个方程即可，这样就形成了一个未知与 已知之间的网络，书写时只不过是遵循相反次序将网络图 做一叙述，这个过程显示了分析与综合的关系。