2008年高考数学试卷(陕西.文)含详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
文科数学（必修+选修Ⅰ）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．sin330︒等于（ B ） A
．
B ．12
-
C ．
12
D
解：1sin 330sin 302
︒=-=-
2．已知全集{12345}U =，，，，，集合{1,3}A =，{3,4,5}B =，则集合()U
A B =（ D ）
A ．{3}
B ．{4,5}
C ．{3,4,5}
D ．{1245}，，，
解：{1,3}A =，{3,4,5}B ={3}A B ⇒=所以
()U
A B ={1245}，，，
3．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ C ） A ．30 B ．25 C ．20 D ．15 解：设样本中松树苗的数量为x ，则
15020300004000
x
x =⇒=
4．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ） A ．64
B ．100
C ．110
D ．120
解：设公差为d ，则由已知得11
2421328a d a d +=⎧⎨
+=⎩1101109
101210022a S d =⎧⨯⇒⇒=⨯+
⨯=⎨=⎩ 50y m -+=与圆22
220x y x +--=相切，则实数
m 等于（ C ）
A
或 B
．
或
C
．-
D
．-解：圆的方程2
2
(1)3x y -+=，圆心(1,0)到直线的距离等于
半
径
m
⇒
==
m ⇒=m ⇒=-6．“1a =”是“对任意的正数x ，21a
x x
+≥”的（ A ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：1a
=1221a x x x x ⇒+
=+≥=>，显然2a =也能推出，所以“1a =”
是“对任意的正数x ，21a
x x
+≥”的充分不必要条件。

7．已知函数3
()2
x f x +=，1
()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则
11()()f m f n --+的值为（ D ）
A ．10
B ．4
C ．1
D ．2-
解：3
1
2()2()log 3x f x f
x x +-=⇒=-于是
11222()()log 3log 3log 6f m f n m n mn --+=-+-=-2log 166462=-=-=-
8．长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为1的球面上,其中
1::2:1:3AB AD AA =,则两,A B 点的球面距离为 ( C )
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．23
π
解：设,AD a =则12,3AB a AA a ==
22224322R a a a a ⇒=++=球的直径
即2R a =
，在AOB 中，2,OA OB R a ===2,AB a =222OA OB AB ⇒+=
90AOB ⇒∠=从而,A B 点的球面距离为1242
π
π⋅=
9．双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30
的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ） A ．6
B ．3
C ．2
D ．
33
解：如图在12Rt MF F 中，121230,2MF F F F c ∠==
1243cos303c MF c ==∴，22
2tan 3033
MF c c =⋅=
124222333333a MF MF c c c =-=-=∴3c e a
⇒== 10．如图，l A B A B αβα
βαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与
αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ D ）
A ．m n θϕ>>，
B ．m n θϕ><，
α
O B 1
A 1
1C
D
B
A
C 1
C ．m n θϕ<<，
D ．m n θϕ<>，
解：由勾股定理2
2
2
2
2
a n
b m AB +=+=，又a b >，m n >∴ sin b AB θ=，sin a
AB
φ=,而a b >，所以sin sin θφ<，得θφ<
11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(2)f -等于（ A ） A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
解：令0(0)0x y f ==⇒=，令1(2)2(1)26x y f f ==⇒=+=；
令2,2x y ==-得0(22)(2)(2)8(2)8(2)862f f f f f =-=+--⇒-=-=-= 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输
信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，
例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信
息出错，则下列接收信息一定有误的是（ C ） A ．11010 B ．01100 C ．10111 D ．00011 解：C 选项传输信息110，0011h =⊕=，102110h h a =⊕=⊕=应该接收信息10110。

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．
13．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B =
==，则
a
解： 由正弦定理
21
sin sin120sin 2
C C =⇒=，于是3030C A a c =⇒=⇒==14．7
2
(1)x
-的展开式中2
1
x 的系数为 84 ．(用数字作答) 解：77177721()
(2)r
r
r r
r r
T C C x
x
--+-=-=-，令725r r -=⇒=， 因此展开式中
21x
的系数为755
7(2)84C --= 15．关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：
①若a b =a c ，则=b c ．②若(1
)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．
其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号） 解：①()0a b a c a b c ⋅=⋅⇒⋅-=，向量a 与b c -垂直
②∥a b b a λ⇒=126
k
⇒
=-3k ⇒=- ③||||||==-a b a b ,,a b a b ⇒-构成等边三角形，a 与+a b 的夹角应为30 所以真命题只有②。

16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 96 种．（用数字作答）．
解：分两类：第一棒是丙有11412448C C A ⋅⋅=,第一棒是甲、乙中一人有114
21448C C A ⋅⋅=
因此共有方案484896+=种
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）
已知函数()2sin
cos 442
x x x
f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 解：（Ⅰ）
()f
x sin 22x x =π2sin 23x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
．
()f x ∴的最小正周期2π
4π12
T =
=． 当πsin 123x ⎛⎫+=-
⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．
()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫
-=-== ⎪⎝⎭．
∴函数()g x 是偶函数．
18．（本小题满分12分）
一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.
（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率； （Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．
解：（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有2
9A 种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有2
2
34A A
种结果，则所求概率 22
34112
91341
()6986
A A P P A ===⨯=或． （Ⅱ）第一次摸出红球的概率为1
2
19A A ，第二次摸出红球的概率为11722
9A A A ，第三次摸出红球的
概率为217239A A A ，则摸球次数不超过3次的概率为 11211
72722
2123
999712
A A A A A P A A A =++=．
19．（本小题满分12分）
三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥平面ABC
，1A A
AB =，2AC =，111AC =，
1
2
BD DC =． （Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小．
解：解法一：（Ⅰ）
1A A ⊥平面ABC BC ⊂，平面ABC ，
∴1A A BC ⊥．在Rt ABC △
中，2AB AC BC ==∴=，
， :1:2BD DC =
，3BD ∴=
，又3BD AB
AB BC
==，
DBA ABC ∴△∽△，90ADB BAC ∴∠=∠=，即AD BC ⊥．
又1A A
AD A =，BC ∴⊥平面1A AD ，
BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．
（Ⅱ）如图，作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ， 由已知得AB ⊥平面11ACC A ．
A 1 A
C 1
B 1
B
D
C
A 1 A
C 1
B 1
B
D C
F
E
（第19题，解法一）
AE ∴是BE 在面11ACC A 内的射影．
由三垂线定理知1BE CC ⊥，
AEB ∴∠为二面角1A CC B --的平面角．
过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点，
则1CF AC AF =-=
，11C F A A =，
160C CF ∴∠=． 在Rt AEC △
中，sin 6022
AE AC ==⨯
= 在Rt BAE △
中，tan 3AB AEB AE =
==
．arctan AEB ∴∠= 即二面角1A CC B --
为arctan
3
解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，
则11(000)0)(020)(00A B C A C ，，，，，，，，，
:1:2BD DC =，1
3
BD BC ∴=．
D ∴点坐标为203⎫
⎪⎪⎝⎭
，，． ∴2203AD ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝
⎭，，，1(220)(00BC AA =-=，，，．
10BC AA =，0BC AD =，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A A
AD A =，
BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．
（Ⅱ）
BA ⊥平面11ACC A ，取(20)AB ==，
，m 为平面11ACC A 的法向量， 设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则100BC CC ==，n n ．
200m m ⎧+=⎪∴⎨-+=⎪⎩，
，
3l n m ∴==，，如图，可取1m =，则3=⎭，，n ，
（第19题，解法二）
22
010
cos
5
(2)1
⨯+
<>==
+
，
m n，
即二面角
1
A CC B
--为
15
arccos
5
．
20．（本小题满分12分）
已知数列{}
n
a的首项
1
2
3
a=，
1
2
1
n
n
n
a
a
a
+
=
+
，1,2,3,
n=…．
（Ⅰ）证明：数列
1
{1}
n
a
-是等比数列；
（Ⅱ）数列{}
n
n
a
的前n项和
n
S．
解：（Ⅰ）
1
2
1
n
n
n
a
a
a
+
=
+
，∴
1
1
1111
222
n
n n n
a
a a a
+
+
==+⋅，
∴
1
111
1(1)
2
n n
a a
+
-=-，又
1
2
3
a=，∴
1
11
1
2
a
-=，
∴数列
1
{1}
n
a
-是以为
1
2
首项，
1
2
为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
1
1
1111
1
222
n n
n
a-
+
-=⋅=，即
11
1
2n
n
a
=+，∴
2n
n
n n
n
a
=+．
设
23
123
222
n
T=+++…
2n
n
+，①
则
23
112
222
n
T=++…
1
1
22
n n
n n
+
-
++，②
由①-②得
2111
11
(1)
11111
221
1
22222222
1
2
n
n n n n n n
n n n T
+++
-
=+++-=-=--
-
，
∴
1
1
2
22
n n n
n
T
-
=--．又123
+++…
(1)
2
n n
n
+
+=．
∴数列{}
n
n
a
的前n项和
2
2(1)42
2
2222
n n n
n n n n n n
S
+++++
=-+==．
21．（本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．
（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；
（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．
解：解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，
，222(2)B x x ，， 把2y kx =+代入2
2y x =得2
220x kx --=， 由韦达定理得122
k
x x +=
，121x x =-， ∴1224N M x x k
x x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．
设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭， 将2
2y x =代入上式得22
2048
mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，
22
22282()04
8mk k m m mk k m k ⎛⎫
∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．
即l AB ∥．
（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又
M 是AB 的中点，
1
||||2
MN AB ∴=
． 由（Ⅰ）知121212111
()(22)[()4]222
M y y y kx kx k x x =+=+++=++
2
2142224
k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216
||||2488
M N k k k MN y y +∴=-=+-=
．
又2
212121||||1()4AB x x k
x x x x =-=++-
2
2
2214(1)116
22k k k ⎛⎫
=-⨯-=++ ⎪
⎝⎭
．
22161
168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．
解法二：（Ⅰ）如图，设2
2
1122(2)(2)A x x B x x ，
，，，把2y kx =+代入2
2y x =得 2220x kx --=．由韦达定理得121212
k
x x x x +==-，．
∴1224N M x x k
x x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．
22y x =，4y x '∴=，
∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44
k
k ⨯
=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =．
由（Ⅰ）知2222
1122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则
22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪
⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ ()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤
⎡⎤
=-++++++⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫
⎡⎤
=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪
⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
22313164k k ⎛⎫⎛⎫
=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭0=，
21016k --<，23
304
k ∴-+=，解得2k =±．
即存在2k =±，使0NA NB =．
22．本小题满分14分）
设函数3
2
2
2
()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．
（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；
（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）
2
2
()323()()3
a
f x x ax a x x a '=+-=-+，又0a >，
∴ 当3a x a x <->
或时，()0f x '>；当3
a
a x -<<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,)a -∞-和(,)3a +∞内是增函数，在(,)3
a
a -内是减函数．
（Ⅱ）由题意知 3222
121x ax a x ax x +-+=-+，
即2
2
[(2)]0x x a --=恰有一根（含重根）．∴ 2
2a -≤0
，即≤a
，
又0a ≠，∴
[(0,2]a ∈．
当0a >时，()g x
才存在最小值，∴a ∈．
2
1
1()()g x a x a a
a
=-+-
， ∴
1
(),h a a a a
=-∈． ∴()h
a 的值域为(,12-∞-． （Ⅲ）当0a >时，()f x 在(,)a -∞-和(,)3a
+∞内是增函数，()g x 在1(,)a
+∞内是增函数．
由题意得031a a a a a ⎧
⎪>⎪
⎪
≥⎨⎪
⎪≥⎪⎩
，解得a ≥1；
当0a <时，()f x 在(,)3a
-∞和(,)a -+∞内是增函数，()g x 在1(,)a
-∞内是增函数．
梦想不会辜负一个努力的人 all`试题 11 由题意得0
231
2a a
a a a
⎧⎪<⎪⎪+≤⎨⎪⎪+≤⎪⎩，解得a ≤3-；
综上可知，实数a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞．。