沈阳二中高3数学.文

沈阳二中10—11学年高三(11届)第四次模拟考试数学试题(文)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，A ＝{x ∈N ︱1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R ︱x2＋ x －6＝0}，则下图中阴影表示的集合为( ) A ．{2} B ．{3} C ．{－3，2} D ．{－2，3} 2．右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )A ．12 B ．23 C ．34D ．453．复数Z 在映射f 下的象为(1)Z i +，则12i -+的原象为( )A ．132i+-B ．132i+ C ．132i --D ．132i -4．已知命题p ：21,0,4x x x ∀∈-+<R 命题q：,sin cos x x x ∃∈+R 则下列判断正确的是( ) A ．p 是真命题 B ．q 是假命题 C ．p ⌝是假命题D ．⌝q 是假命题5．代数式20cos 20sin 10cos 2-的值为( )A ．2BC ．1D ．126．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则( ) A ．72B ．68C ．54D ．907．如果数据x 1、x 2、…、x n 的平均值为x ，方差为S 2，则3x 1＋5、3x 2＋5、…、3x n ＋5的平均值和方差分别为( ) A ．x 和S 2B ．3x ＋5和9S 2C ．3x ＋5和S 2D ．3x ＋5和9S 2＋30S ＋258．若方程21x k x -=+有且只有一个解，则k 的取值范围是( ) A ．)1,1[- B ．2±=k C ．]1,1[- D ．)1,1[2-∈=k k 或9．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可．．能是．．该锥体的俯视图的是( )10．双曲线221(1)x y n n-=>的两个焦点为12,F F ，P 在双曲线上，且满足12PF PF +=12PF F 的面积为( )A ．12B ．1C ．2D ．411．设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得12()()2f x f x C +=成立(其中C 为常数)，则称函数()y f x =在D 上的均值为C ，现在给出下列4个函数：①3y x = ②4sin y x = ③lg y x = ④2xy =，则在其定义域上的均值为2的所有函数是下面的( ) A ．①② B ．③④ C ．①③④D ．①③12．在一个正方体1111ABCD A BC D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．方程()0f x =的根称为函数()f x 的零点，定义R +在上的函数()f x ，其导函数'()f x 的图像如图所示，且12()()0f x f x <，则函数()f x 的零点个数是____________.14．设,x y 满足条件310x y y x y +≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩，则22(1)x y w e ++=的最小值_________；15．我们可以利用数列{}n a 的递推公式2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数时，为偶数时(n ∈*N )求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数.研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_____项.16．在∆ABC 中，22AB AC ==，1AB AC ⋅=-，若12AO x AB x AC =+(O 是∆ABC的外心)，则21x x +的值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，已知向量.//),2cos 1,2sin 2(),2cos3,1(A AA 且-== (1)若mbc b c a -=-222，求实数m 的值．(2)若3=a ，求△ABC 面积的最大值．18．(本题满分12分)如图，已知长方体1111D C B A ABCD -底面ABCD为正方形，E 为线段1AD 的中点，F 为线段1BD 的中点. (Ⅰ)求证：EF ∥平面ABCD ； (Ⅱ)设1M C C 为线段的中点，当1D DAD的比值为多少时，1,DF D MB ⊥平面并说明理由.19．(本题满分12分)设AB ＝6，现将线段AB 截分成三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．20．(本题满分12分)已知椭圆方程为2212y x +=，斜率为(0)k k ≠的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点(0,)M m ． (Ⅰ)求的取值范围；(Ⅱ)求△MPQ 面积的最大值．21．(本题满分12分)已知二次函数()2f x ax bx c =++和“伪二次函数”()2g x ax =+ln bx c x +(a 、b 、,c R ∈0abc ≠)，(Ⅰ)证明：只要0a <，无论b 取何值，函数()g x 在定义域内不可能总为增函数； (Ⅱ)在二次函数()2f x ax bx c =++图象上任意取不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 中点的横坐标为0x ，记直线AB 的斜率为k ， (ⅰ)求证：0()k f x '=；(ⅱ)对于“伪二次函数”()2ln g x ax bx c x =++，是否有(ⅰ)同样的性质?证明你的结论.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．选修4－1：几何证明选讲如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60︒到OD ．(1)求线段PD 的长；(2)?若有，指出该线段；若没有，说明理由．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点(1,2)M ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．(1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)线段MA ，MB 长度分别记为|MA |，|MB |，求||||MA MB ⋅的值．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数()|1||2|f x x x =-+- (1)求不等式()3f x ≤的解集；(2)若不等式||||||||()a b a b a f x +--≤(0a ≠，a ∈R ，b ∈R )恒成立，求实数x 的范围．沈阳二中10—11学年高三(11届)第四次模拟考试数学试题答案(文)一、ACBDB ABDCB DC二、13．3； 14．4e ； 15．640； 16．136三、 17．解：(Ⅰ)由p ∥q 得1cos2A A -=，所以22sin A A又A 为锐角∴sin A =，1cos 2A = ……………3分而222a cb mbc -=-可以变形为22222b c a mbc +-= 即1cos 22m A ==，所以1m = …………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知1cos 2A =，sin A = 又222122b c a bc +-= 所以22222bc b c a bc a =+-≥-即2bc a ≤ ……………9分故211sin 22ABC S bc A a ∆=≤=当且仅当b c ==ABC ∆……………12分 18．(Ⅰ)E 为线段1AD 的中点，F 为线段1BD 的中点，∴EF ∥AB ， ……2分,,EF ABCD AB ABCD ⊄⊂平面平面∴EF ∥面ABCD . ……………………5分(Ⅱ)当1D DAD=1.DF D MB ⊥平面1..ABCD AC BD D D ABCD ∴⊥⊥是正方形，平面 1.D D AC ∴⊥ 11AC BB D D ∴⊥平面 .AC DF ∴⊥ ……………………8分11,,F M BD CC 分别是中点，∴FM ∥.AC ∴.DF FM ⊥∵1,D D =∴1.D D BD =∴矩形11D DBB 为正方形，∵F 为1BD 的中点，∴1.DF BD ⊥ ……………………………10分1,FMBD F =∴1.DF BD M ⊥平面 ………………12分19．解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1,1,4；1,2,3，2,2,2共3种情况，其中只有三条线段为2,2,2时能构成三角形，则构成三角形的概率13P =．…………………………4分 (2)设其中两条线段长度分别为,x y ，则第三条线段长度为6x y --，则全部结果所构成的区域为：06x <<，06y <<，066x y <--<，即为06x <<，06y <<，06x y <+<， 所表示的平面区域为三角形OAB ；……6分若三条线段,,6x y x y --能构成三角形，则还要满足666x y x y x x y y y x y x +>--⎧⎪+-->⎨⎪+-->⎩，即为333x y y x +>⎧⎪<⎨⎪<⎩，所表示的平面区域为三角形DEF ，………………………9分由几何概型知，所求的概率为14DEF AOBS P S==．……………………12分20．解：(Ⅰ)设直线l 的方程为1y kx =+，由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(2)210k x kx ++-=．设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12222k x x k -+=+，12212x x k =-+． 可得121224()22y y k x x k +=++=+．……………………………………3分 设线段PQ 中点为N ，则点N 的坐标为222(,)22k k k -++， 由题意有1-=⋅k k MN ，可得222212m k k k k -+⋅=-+．可得212m k =+， 又0k ≠，所以102m <<．………………………………6分(Ⅱ)设椭圆上焦点为F ，则1212MPQ S FM x x ∆=⋅⋅-=9分所以△MPQ 的面积为3)1(2m m -(210<<m )．设3)1()(m m m f -=，则)41()1()('2m m m f --=．可知)(m f 在区间)41,0(单调递增，在区间)21,41(单调递减．所以，当41=m 时，)(m f 有最大值127()4256f =．所以，当41=m 时，△MPQ的面积有最大值16．………………12分 21．解：(Ⅰ)如果0,()x g x >为增函数，则22()20c ax bx cg x ax b x x++'=++=>(1)恒成立， 当0x >时恒成立， 220ax bx c ++>(2)0,a <由二次函数的性质，(2)不可能恒成立.则函数()g x 不可能总为增函数. …………3分 (Ⅱ)(ⅰ)()()()222121212121()f x f x a x x b x x k x x x x --+-==-- ＝02ax b +.由()2,f x ax b '=+00()2f x ax b '∴=+， 则0()k f x '=…………5分 (ⅱ)不妨设21x x >，对于“伪二次函数”：()()()22221212112121()lnx a x x b x x c g x g x x k x x x x -+-+-==--＝21021ln2x c x ax b x x ++-， (3) …………7分由(ⅰ)中(1)()0002cg x ax b x '=++，如果有(ⅰ)的性质，则()0g x k '=，(4)比较(3)(4)两式得21210lnx c x cx x x =-，0,c ≠ 即：212112ln2x x x x x x =-+，(4)…………10分 不妨令21, 1, x t t x =>ln 211t t t =-+， (5) 设22()ln 1t s t t t -=-+，则22212(1)2(1)(1)()0(1)(1)t t t s t t t t t +---'=-=>++， ∴()s t 在(1,)+∞上递增， ∴()(1)0s t s >=. ∴(5)式不可能成立，(4)式不可能成立，()0g x k '≠.11∴“伪二次函数”()2ln g x ax bx c x =++不具有(ⅰ)的性质. ……12分 22．(1)∵PA 切圆O 于点A ，且B 为PO 中点，∴AB ＝OB ＝OA ．∴60,120AOB POD ∠=︒∴∠=︒2222cos 7POD PO DO POD PD ∆=+-⋅∠=∴=在中,PD PO OD …………5分(2)∵PA 是切线，PB ＝BO ＝OC2133PA PB PC PA ∴=⋅=⨯=∴=………………………………10分23．解：(1)直线lπcos()14θ+=-， ……3分 曲线C 普通方程2x y = ……5分(2)将122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2x y =得220t -+=，……8分 2||||||21==⋅t t MB MA ……10分24．解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<≥-=)123)211)232)(x x x x x x f ( ( ( ， 所以解集]3,0[ ……5分(2)由a b a b a 2≤--+，得)(||2x f a a ≤，由0≠a ，得)(2x f ≤， 解得21≤x 或25≥x ……10分。