北师大高中数学必修四知识点非常详细
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北师大高中数学必修四知识点非常详细
北师大高中数学必修四知识点
第一章三角函数
2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。
第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
．
设 、 两点的坐标分别为 ， ，则
．
8、向量数乘运算：
实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ．
；
当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；
当 时， ．
运算律： ； ； ．
坐标运算：设 ，则 ．
9、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ．
设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线．
10、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 ．（不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一组基底）
11、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当 时，点 的坐标是 ．
2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作 ；零向量的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量 平行的单位向量： ．
4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作 ；
规定 与任何向量平行．
5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.
②、 ，
③、 ； ；
降次公式：
5、半角的正弦、余弦来自百度文库正切公式：
12、平面向量的数量积：
．零向量与任一向量的数量积为 ．
性质：设 和 都是非零向量，则 ． 当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 或 ． ．
运算律： ； ； ．
坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 ．
若 ，则 ，或 ．
设 ， ，则 ．
设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则
．
第三章三角恒等变形
是周期函数；周期为 且 ；
最小正周期为
是周期函数；周期为 且 ；最小正周期为
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在
上是减函数．
在 上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
8、函数 的相关知识：
（1） 的图象与 图像的关系：
①振幅变换：
②周期变换：
②设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标
是 ，它与原点的距离是 ，
则 ， ，
（2）三角函数值在各象限的符号：
口诀：第一象限全为正；
二正三切四余弦.
（3）特殊角的三角函数值
的角度
的弧度
不存在
的角度
的弧度
不存在
6、三角函数的诱导公式：
， ， ．
口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等．
， ， ．
， ， ．
， ， ．
， ， ．
口诀：函数名称不变，正负看象限．
， ， ．
， ， ．
口诀：正弦与余弦互换，正负看象限．
7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
图
象
定义域
值
域
值域：
当 时， ；当
时， ．
值域：
当 时，
；当
时， ．
值域：
既无最大值也无最小值
周期性
是周期函数；周期为 且 ；
最小正周期为
（2）函数 的性质：
振幅： ； 周期： ； 频率： ； 相位： ； 初相： ．
定义域：
值域：
当 时， ；
当 时， ．
周期性：函数 是周期函数；周期为
单调性： 在 上时是增函数；
在 上时是减函数．
对称性：对称中心为 ；对称轴为
第二章平面向量
1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．
（3）若扇形的圆心角为 （ 是角的弧度数），半径为 ，则：
弧长公式： ；扇形面积：
5、三角函数:
（1）定义:①设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u,v)，
那么v叫做α的正弦，记作sinα,即sinα=v;u叫做α的余
弦，记作cosα，即cosα=u; 当α的终边不在y轴上时， 叫
做α的正切，记作tanα, 即tanα= .
终边在 轴上的角的集合为
终边在 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角 终边相同的角，连同角 在内，都可以表示为集合{ }
4、弧度制：
（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是 ．
（2）度数与弧度数的换算： rad，1 rad
1、同角三角函数基本关系式
（１）平方关系： （２）商数关系：
（３）倒数关系：
；
注意： 按照以上公式可以“知一求二”
2、两角和与差的正弦、余弦、正切
：
：
：
：
：
：
正切和公式：
3、辅助角公式：
（其中 称为辅助角， 的终边过点 ， ）
4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
：
：
：
二倍角公式的常用变形：①、 ， ；
③相位变换：
④平移变换：
先平移后伸缩：函数 的图象整体向左（ ）或向右（ ）平移 个单位，得到函数 的图象；再将函数 的图象上每个点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象；再将函数 的图象上每个点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，得到函数 的图象；再将函数 的图象整体向上（ ）或向下（ ）平移 个单位，得到函数 ．
先伸缩后平移：函数 的图象上每个点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象；再将函数 的图象整体向左（ ）或向右（ ）平移 个单位，得到函数 的图象；再将函数 的图象上每个点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，得到函数 的图象；再将函数 的图象整体向上（ ）或向下（ ）平移 个单位，得到函数 ．
注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：
三角形法则的特点：
首尾相接
平行四边形法则的特点：
起点相同
运算性质：
交换律： ； 结合律： ； ．
坐标运算：设 ， ，则 ．
7、向量减法运算：
三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
坐标运算：设 ， ，则
北师大高中数学必修四知识点
第一章三角函数
2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。
第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
．
设 、 两点的坐标分别为 ， ，则
．
8、向量数乘运算：
实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ．
；
当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；
当 时， ．
运算律： ； ； ．
坐标运算：设 ，则 ．
9、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ．
设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线．
10、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 ．（不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一组基底）
11、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当 时，点 的坐标是 ．
2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作 ；零向量的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量 平行的单位向量： ．
4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作 ；
规定 与任何向量平行．
5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.
②、 ，
③、 ； ；
降次公式：
5、半角的正弦、余弦来自百度文库正切公式：
12、平面向量的数量积：
．零向量与任一向量的数量积为 ．
性质：设 和 都是非零向量，则 ． 当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 或 ． ．
运算律： ； ； ．
坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 ．
若 ，则 ，或 ．
设 ， ，则 ．
设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则
．
第三章三角恒等变形
是周期函数；周期为 且 ；
最小正周期为
是周期函数；周期为 且 ；最小正周期为
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在
上是减函数．
在 上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
8、函数 的相关知识：
（1） 的图象与 图像的关系：
①振幅变换：
②周期变换：
②设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标
是 ，它与原点的距离是 ，
则 ， ，
（2）三角函数值在各象限的符号：
口诀：第一象限全为正；
二正三切四余弦.
（3）特殊角的三角函数值
的角度
的弧度
不存在
的角度
的弧度
不存在
6、三角函数的诱导公式：
， ， ．
口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等．
， ， ．
， ， ．
， ， ．
， ， ．
口诀：函数名称不变，正负看象限．
， ， ．
， ， ．
口诀：正弦与余弦互换，正负看象限．
7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
图
象
定义域
值
域
值域：
当 时， ；当
时， ．
值域：
当 时，
；当
时， ．
值域：
既无最大值也无最小值
周期性
是周期函数；周期为 且 ；
最小正周期为
（2）函数 的性质：
振幅： ； 周期： ； 频率： ； 相位： ； 初相： ．
定义域：
值域：
当 时， ；
当 时， ．
周期性：函数 是周期函数；周期为
单调性： 在 上时是增函数；
在 上时是减函数．
对称性：对称中心为 ；对称轴为
第二章平面向量
1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．
（3）若扇形的圆心角为 （ 是角的弧度数），半径为 ，则：
弧长公式： ；扇形面积：
5、三角函数:
（1）定义:①设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u,v)，
那么v叫做α的正弦，记作sinα,即sinα=v;u叫做α的余
弦，记作cosα，即cosα=u; 当α的终边不在y轴上时， 叫
做α的正切，记作tanα, 即tanα= .
终边在 轴上的角的集合为
终边在 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角 终边相同的角，连同角 在内，都可以表示为集合{ }
4、弧度制：
（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是 ．
（2）度数与弧度数的换算： rad，1 rad
1、同角三角函数基本关系式
（１）平方关系： （２）商数关系：
（３）倒数关系：
；
注意： 按照以上公式可以“知一求二”
2、两角和与差的正弦、余弦、正切
：
：
：
：
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：
正切和公式：
3、辅助角公式：
（其中 称为辅助角， 的终边过点 ， ）
4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
：
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二倍角公式的常用变形：①、 ， ；
③相位变换：
④平移变换：
先平移后伸缩：函数 的图象整体向左（ ）或向右（ ）平移 个单位，得到函数 的图象；再将函数 的图象上每个点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象；再将函数 的图象上每个点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，得到函数 的图象；再将函数 的图象整体向上（ ）或向下（ ）平移 个单位，得到函数 ．
先伸缩后平移：函数 的图象上每个点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象；再将函数 的图象整体向左（ ）或向右（ ）平移 个单位，得到函数 的图象；再将函数 的图象上每个点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，得到函数 的图象；再将函数 的图象整体向上（ ）或向下（ ）平移 个单位，得到函数 ．
注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：
三角形法则的特点：
首尾相接
平行四边形法则的特点：
起点相同
运算性质：
交换律： ； 结合律： ； ．
坐标运算：设 ， ，则 ．
7、向量减法运算：
三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
坐标运算：设 ， ，则