最新五校联考数学理科试卷
江苏省五校2025届高三第二次联考数学试卷含解析
江苏省五校2025届高三第二次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞2．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C ．33D ．233．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．24．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A 3236π+ B ．836πC 323163π D ．16833π5．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件6．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()x f x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-8．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．134B ．866C ．300D ．50010．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B ．5C ．52D ．511．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,212．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省五校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷(含答案)
黑龙江省五校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷满分：120分；时间：90分钟一、单选题（每题只有一个选项正确，共8道小题，每题5分，共40分）1. 下列说法中正确的个数是①身高是一个向量；②的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量A. 0B. 1C. 2D. 32. 在中，已知，则（ ）A B. C. D. 33. 如图所示，三棱锥中，平面平面，则（ ）A. 平面B. ∥平面C. 与平面相交但不垂直D. 平面平面4. 若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ）A. B. C. D. 5. 已知向量，点，若，则（ ）A. 3 B. C. 2 D. 6. 下列说法正确的是（ ）A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1.AOB ∠ABC V 2,3,120a b C === ABC S =V-P ABC ABC ⊥,,PAB PA PB AD DB ==PD ⊂ABCPD ABCPD ABC CPD ⊥ABC153103512()2,1a =- ()()1,1,,3A B m a AB ⊥ m =3-2-C. 某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖D. 任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则是异面直线D. 若，，，则8. 在正方体中，分别为的中点，则下列结论错误的是（ ）A. 直线与所成的角为B. 直线与平面平行C. 若正方体棱长为1，三棱锥的体积是D. 点和到平面的距离之比是3∶1二、多选题（共4道小题，每小题5分，共20分.每题4个选项中有多个符合要求，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 学校对高中三个年级的学生进行调查，其中高一有100名学生，高二有200名学生，高三有300名学生，现学生处欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（ ）A. 高三学生被抽出15名学生进行问卷调查B. 高三学生被抽到的概率最大C. 高三学生被抽到的概率最小D. 每名学生被抽到的概率相等10. 若复数，则下列说法错误的是（ ）A. 复数的虚部为B.C. 复数为纯虚数D. 在复平面对应点位于第二象限11. 某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到客户服务电话的数量（单位：的1%13,m n ,αβm α⊥n α⊥//m n//m n //m α//n αm a ⊂n β⊂,m n //αβm α⊂n β⊂//m n1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,BC CC BB 1D D EF 301A G AEF 1A AEF -1121B B AEF 1i z =+z ii z ⋅=i z -z次）：则这组数据的（ ）A. 众数是30B. 分位数是30.5C. 极差是37D. 中位数是4312. 为普及疫情知识，某校不定期地共组织了10次全员性的防控知识问答竞赛，下面是甲、乙两个班级10次成绩（单位：分）的折线图：根据折线图（ ）A. 甲班成绩分数呈上升趋势B. 甲班乙班的成绩分数平均值均为7C. 甲班成绩分数的方差小于乙班成绩分数的方差D. 从第8次到第10次甲班成绩分数增量大于乙班成绩分数增量三、填空题（共4道小题，每小题5分，共20分，15题答对一空得3分）13. 一道试题，三人可解出的概率分别为，则三人独立解答，仅有一人解出的概率为______．14. 已知一个圆柱的底面半径为2，体积为，则该圆柱的表面积为___________.15. 若样本的平均数为8，其方差为3，则样本的平均数为______，方差为______．16. 表面积为的球的体积为__________．四、解答题（每题10分，共40分）17. 已知．（1）求与夹角（2）求18. 在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4 的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出一个球，每个球被取出的可能性相等.（1）请列出所有可能的结果；（2）求取出的两个球的编号恰为相邻整数的概率；的的6757374046628147313010%Y ,,A B C 111,,23416π121,1,,1n x x x +++ 122,2,,2n x x x +++ π()()4,3,23243a b a b a b ==-⋅-= a bθa b+（3）求取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4的概率.19. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图．（1）求图中x 的值；（2）求这组数据的平均数和中位数.20. 如图，在四棱锥中底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，为的中点．求证：（1）平面；（2）平面平面.[)[)[]50,60,60,70,90,100⋅⋅⋅P ABCD -ABCD PAD PAD ⊥ABCD E PD //PB EAC ABE ⊥PCD黑龙江省五校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷答案一、单选题（每题只有一个选项正确，共8道小题，每题5分，共40分）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、多选题（共4道小题，每小题5分，共20分.每题4个选项中有多个符合要求，部分选对得2分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】AD【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】AB三、填空题（共4道小题，每小题5分，共20分，15题答对一空得3分）【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】 ①. 9. ②. 3.【16题答案】【答案】四、解答题（每题10分，共40分）【17题答案】【答案】（1）（2【18题答案】【答案】（1）答案略；（2）；（3）【19题答案】【答案】（1）；（2）77；.【20题答案】【答案】（1）略；（2）略.112424π16ππ33811160.02x =5407。
上海市五校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题(含答案)
五校联考高三期中数学试卷（奉贤中学/复兴高中/金山中学/行知中学/松江二中）2024.11一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则______2.已知向量，，则在方向上的数量投影为______3.曲线在点处的切线方程为______4.某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为______5.二项式的展开式中，常数项为______6.关于x的方程的解集为______7.已知，，，则的最小值为______8.《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为______平方尺9.意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______10.已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则内切圆{}2650A x x x =-+<{}0,1,2B =A B = ()1,2a =-()3,2b = b a e xy =()0,163x ⎛- ⎝100910152024x x x +++-=0x >0y >4x y xy +=x y +e e sh 2x xx --=12()y f x ={}n a 2025n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a 2024S =22:143x y Γ+=1F 2F 12PF F △半径的最大值为______11.在中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，若，则______12.若关于x 的方程在上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是______二.选择题（本大题共4题，满分20分）13.设，则是的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既不充分也不必要14.在中，，M 为中点，，则（ ）A. B. C.9D.1615.已知定义在R 上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）①；②的图象关于对称；③；④.A.1个B.2个C.3个D.4个16.已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）A.当时，数列单调递减B.当时，数列单调递增C.当时，存在正整数，当时，D.当时，存在正整数，当时，三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17.某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：ABC △2222024a b c +=()2tan tan tan tan tan A BC A B =+()2e ln 20x x a x x a -⋅-+-=(]0,1z ∈C 1z z+∈R 1z =ABC △10BC =BC 4AM =AB AC ⋅=9-16-()y f x =()f x '()()g x f x '=()()4f x f x x --=()()20g x g x +-=()01g =()f x y x =()0,2()()20f x f x +-=()21n k g k n n ==-∑{}n a 1112ln n n n a a a ++=-101a <<{}n a 11a >{}n a 101a <<0n 0n n ≥012n n a <11a >0n 0n n ≥02n n a <[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.18.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，.（1）求函数的表达式；（2）求关于x 的不等式的解集.19.如图，在三棱锥中，平面平面，，，E ，F 分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线l .（1）求证：直线平面；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.已知点G 是圆T :上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长至Q ，使，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，求面积的最大值.21.已知函数的表达式为.（1）当时，求的单调增区间；（2）若当时，恒成立，求a 的取值范围；[]80,100()y f x =()1,1-0x >()cossin 223x x f x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭22x()y f x =()()21log 102f x f x f ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭P ABC -AC BC ⊥PAC ⊥ABC 2PA PC AC ===4BC =PC PB AEF ABC EF ⊥PAC AC PQ EF 4πPBQAEF ()22116x y ++=()1,0GH TG OM ON 1k 2k 1234k k =-MON △OP 3OQ OP =AQB △()y f x =()()()2ln f x x ax x a =-∈R 1a =()y f x =1x >()1f x >（3）证明：.5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯参考答案一.填空题1.3. 4.120 5. 6. 7.9 8. 9.404811.2023 12.二.选择题13.B 14.A 15.B 16.D三.解答题17.解：（1）成绩在区间的比例为：；成绩在区间的比例为：，因此65%分位数位于区间；因此入围分数为：，因此入围分数应设为75分；（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此，1，2，，则X 的概率分布为：；所以X 的数学期望为.18.解：（1）当时，时，；当时，，；因此；（2）当时，，因此有在上严格增；{}21y x =+18-{}041π311,e 3e ⎛⎤⎥⎝⎦[]80,100()0.0100.005100.150.35+⨯=<[]70,1000.150.04100.550.35+⨯=>[)70,800.40.27010750.4-+⨯=0X =()2426205C P X C ===()1124268115C C P X C ⋅===()22261215C P X C ===01228151515⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭[]8121215153E X =⨯+⨯=01x <<()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0x =()0f x =10x -<<0x ->()()1sin 23f x f x x π⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭()1sin 01230,01sin 1023x x f x x x x ππ⎧⎛⎫-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪+--<< ⎪⎪⎝⎭⎩()0,1x ∈13336x ππππ-<-<-<()y f x =()0,1而当时，因此有在上严格增；原不等式可化为：；而是定义在上的严格增函数，所以；因此不等式的解集为.19.解：（1）证明：，平面平面，平面平面平面；又E 、F 分别为、的中点，；平面；（2），以C 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，过C 垂直于平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，而，不在平面上，平面，平面，，设Q 点坐标为，，，即，则Q 点坐标为；设平面的法向量，即，即，取，可得；设平面法向量为，则，取，可得；与平面20.解：（1），则，0x =1sin 023x π⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭()y f x =()1,1-()21log 12f x f x ⎛⎫+<-⎪⎝⎭()y f x =()1,1-221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-<+<⎪⎪-<-<⎨⎪⎪+<-⎪⎩11,42⎛⎫⎪⎝⎭BC AC ⊥ PAC ⊥ABC PAC ABC AC =BC ∴⊥PAC PB PC //BC EF ∴EF ∴⊥PAC BC AC ⊥ ∴CA CB ABC ()2,0,0A ()0,4,0B (P 12E ⎛⎝1,2F ⎛ ⎝//EF BC BC AEF EF ⊂AEF //BC ∴AEF //l BC ∴()()2,,00y y ≥(1,PQ y = ()0,2,0EF = cos ,PQ EF ∴==2y =()2,2,0PBQ ()000,,n x y z =00n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩01x =(n = AEF ()111,,m x y z = 0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11x =(m = cos ,m ∴ PBQ AEF RH RG =42RT RH RT RG GT TH +=+==>=则曲线C 是以和为焦点，4为长轴的椭圆；设椭圆方程为，则，，，曲线；（2）设，，则，即；为定值；（3）设点，则点，代入椭圆方程得到曲线；当直线l 的斜率不存在时：设，代入E 中有，则当直线l 斜率存在时：设，，，代入E 的方程：，则，；；而l与椭圆C 有公共点，代入得：，由有，记，则综上，面积的最大值为21.解：（1）时，，则令，则，则在上严格减，上严格增，则，即在上严格增，因此函数的增区间为；()1,0-()1,022221x y a b +=2a =1c =2223b a c =-=22:143x y C +=()2cos M ϕϕ()2cos N θθ1234k k ==-()cos 0θϕ-=()12cos 2cos sin 2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△(),Q x y ,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭22:13627x y E +=[]():2,2l x n n =∈-223274y n =-2AQB AOB S S ==≤△△:l y kx m =+()11,A x y ()22,B x y ()22243841080k x mkx m +++-=122843kmx x k -+=+2122410843m x x k -=+122AQB AOB S S m x x ==-==△△()2224384120k x kmx m +++-=0∆≥2243k m +≥2243m t k =+AQB S =≤△AQB △1a =()()22ln 2ln f x x x x x x x =-=-()()2ln 1f x x x '=--()ln 1g x x x =--()11g x x'=-()g x ()0,1()1,+∞()()10g x g ≥=()f x ()0,+∞()y f x =()0,+∞（2），记，则，若，则，即时，在上严格增，，满足要求；若，则，时，则在上严格减，故当时，，不满足要求；若，则，在上严格减，则，不满足要求；综上，a 的取值范围是.（3）由（2）可知时，则，取，则，即；，即.()()()221ln 2ln 1f x ax x ax x '=-+=--()ln 1h x ax x =--()1h x a x'=-1a ≥11a≤1x >()0h x >()f x ∴()1,+∞()() 11f x f a >=>()0,1a ∈11a >11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x <()f x 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11f x f a <=<(],0a ∈-∞()0h x <()f x ()1,+∞()()11f x f a <=<[)1,+∞1a =()22ln 1f x x x x =->()12ln 1x x x x <->21n x n +=+()()221232ln11212n n n n n n n n n ++++<-=+++++()()2322ln 121n n n n n ++>+++20222022112323420242ln 2ln 2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++⎛⎫∴>=⨯⨯⨯= ⎪+++⎝⎭∑∑ 5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯。
福建省宁德市福宁古五校教学联合体2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷(解析)
福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学试题（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1.已知集合{}30,21x M x Q x x x ⎧⎫-=≤=∈≤⎨⎬+⎩⎭N ，则M Q ⋂=（）A.{}0,1,2 B.[]0,2C.(]2,2- D.{}1,2【答案】A 【解析】【分析】通过解不等式求出,M N 的元素，进而利用集合的交集运算即可求解.【详解】不等式301x x -≤+的解集等价于不等式组()()31010x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩的解集，即131x x -≤≤⎧⎨≠-⎩，得13x -<≤，又2x ≤，解得22x -≤≤，于是{}30131x M xx x x ⎧⎫-=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭，{}{}{}2220,1,2Q x x x x =∈≤=∈-≤≤=N N ，则{}0,1,2M Q ⋂=.2.某一物质在特殊环境下的温度变化满足：1015lnw w T w w -=-（T 为时间，单位为0min,w 为特殊环境温度，1w 为该物质在特殊环境下的初始温度，w 为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min ，该物质的温度最接近（参考数据：e 2.72≈）（）A.54℃B.52℃C.50℃D.48℃【答案】C 【解析】【分析】由题意得到100201515ln20w -=-，进而求解即可.【详解】由初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，时间15min 代入题中式子得：100201515ln20w -=-，即80e 20w =-，即8080202049.41e 2.72w =+≈+≈.故选：C.3.在ABC V 中，已知tan tan A,B 是关于x 的方程2670x x -+=的两个实根，则角C 的大小为（）A.3π4B.2π3C.π3D.π4【答案】D 【解析】【分析】利用韦达定理结合两角和的正切公式求出()tan A B +的值，根据诱导公式得出tan C ，即可求得C 角的值.【详解】由题意，tan tan 6,tan tan 7A B A B +=⋅=，所以()tan tan 6tan 11tan tan 17A B A B A B ++===--⋅-，由()()tan tan πtan A B C C +=-=-，故tan 1C =，又0πC <<，所以π4C =.故选：D4.对任意实数()2,x ∈+∞,“4a x x<+”是“4a ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】我们需要先求出4y x x=+在(2,)+∞上的取值范围，再根据充分必要条件的定义来判断.【详解】对于函数4y x x=+，根据均值不等式a b +≥a b =时取等号），则44y x x =+≥=.当4x x =即2x =时取等号，但是(2,)x ∈+∞，所以44y x x =+>判断充分性:若4a x x <+，因为(2,)x ∈+∞时44x x+>，那么4a ≤，所以充分性成立.判断必要性:若4a ≤，当(2,)x ∈+∞时44x x+>，显然4a x x <+，所以必要性成立.所以“4a x x<+”是“4a ≤”的充要条件.故选：C.5.函数221sin ln x y x x+=-⋅的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊函数值验证求解.【详解】函数221sin ln x y x x+=-⋅的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，()()()()()222211sin ln sin ln x x f x x x f x xx -++-=--⋅=⋅=--，则函数为奇函数，排除选项A 和B ；当πx =时，函数值为0，取2π4ln 102πf ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除选项D ,故选：C.6.已知函数()332e e 1xxf x x x -=-+-+，若()()2232f a f a -+≥，则实数a 的取值范围为（）A.(],1-∞B.[]3,1-C.(][),13,-∞-+∞ D.(][),31,-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由导数确定函数的单调性，然后确定()2()f x f x -=-，利用此性质化简不等式为12()()f x f x ³形式，再由单调性求解．【详解】由已知222()92e e 9290x x f x x x x -'=-++≥-+=≥，当且仅当0x =时等号成立，所以()f x 是R 上的增函数，又2()33e e 1x x f x x x --=-++-+2()f x =-，所以不等式()()2232f a f a-+≥化为2()2(23)(32)f a f a f a ≥--=-，所以232a a ≥-，解得1a ≥或3a ≤-．故选：D ．7.已知1215sin ,ln ,223a b c -===，则（）A.c b a <<B.a b c <<C.a c b <<D.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】利用()()21sin 0,1ln 1x x x x x x x -<>-≥≥+计算即可.【详解】令()()()()()21sin 0,1ln ,ln 1x f x x x x g x x x h x x x -=->=--=-+，则()()()()()()22211141cos 0,,011x x f x x g x h x x x x x x --'=-≥===+''≥+，显然01x <<时()0g x '<，1x >时()0g x '>，所以()(),f x h x 在0,+∞上单调递增，()g x 在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以()()()()0sin ,101ln f x f x x g x g x x >⇒<≥=⇒-≥（1x =时取得等号），()()()()21101ln 1x h x h x x x -≥=≥⇒≥+（1x =时取得等号），故52111523sin ln 52233213⎛⎫- ⎪⎝⎭<=<<<+，即a b c <<.故选：B8.已知函数()2e ln xf x x x x a x =---，若对任意的0x >，都有()1f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.[]4,4- B.[]3,3-C.[]22-,D.[]1,1-【答案】D 【解析】【分析】利用同构分离参数，构造函数证明e 1x x ≥+得出()2ln e 2ln 10x x x x x+-+-≥即可计算参数范围.【详解】()()2ln 1,e2ln 1x xf x x x x a x +≥∴-++-≥ ，即()2ln e 2ln 11x x x x a x+-+--≤，令()()e 1e 1xxg x x g x =--⇒=-'，显然0x >时()0g x '>，0x <时()0g x '<，即()g x 在0,+∞上单调递增，在(),0∞-上单调递减，所以()()00g x g ≥=，则()2ln e 1,e 2ln 10xx xx x x +≥+∴-+-≥，又()2ln 2ln 10,0x x e x x x x+-+->∴≥ ，当且仅当2ln 0x x +=时，等号成立．()2ln min2ln 10,10,11x x e x x a a x +⎛⎫-+-∴=∴-≤∴-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭．故选：D ．【点睛】思路点睛：对于指对结合的复杂函数，有时利用同构思想处理比较方便，通过常用的函数放缩计算参数范围即可.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知三次函数()fx 的图象如图，则下列说法正确的是（）A.()()()Δ01Δ1lim 1Δx f x f f x→+-=-' B.()()23f f '<'C.0f= D.()0xf x '>的解集为()(),10,1∞--⋃【答案】ACD 【解析】【分析】设()32f x bx cx dx e =+++，分析可知()f x 的极值点为1、1-，以及()f x 为奇函数，可求得0c e ==，3d b =-，根据函数()f x 的单调性可得出0b <，逐项分析可得出合适的选项.【详解】由图可知，三次函数()f x 为奇函数，且()f x 的极值点为1、1-，设()32f x bx cx dx e =+++，则()00f e ==，可得()32f x bx cx dx =++，由奇函数的定义可得−=−，即()()()3232b x c x d x bx cx dx ⋅-+⋅-+⋅-=---，所以0c =，可得()3f x bx dx =+，则()23f x bx d '=+，由题意可得()130f b d '=+=，可得3d b =-，则()233f x bx b '=-，由图可知，函数()f x 的单调递增区间为−1,1，故不等式()2330f x bx b -'=>的解集为−1,1，所以0b <，对于A 选项，由题意可知，()()110f f '-'==，由导数的定义可得()()()()Δ01Δ1lim11Δx f x f f f x→+-=''=-，故A 正确；对于B 选项，()21239f b b b -'==，()327324f b b b =-='，由0b <，924b b >，所以()()23f f '>'，故B 错误；对于C 选项，()33f x bx bx =-，所以0f=-=，故C 正确；对于D 选项，由()()()()2313110xf x x b x bx x x '=⋅-=-+>，可得()()110x x x -+<，解得1x <-或01x <<，因此，不等式()0xf x '>的解集为()(),10,1∞--⋃，故D 正确.故选：ACD10.已知函数()()ππ2cos 2,2sin 236f x x g x x ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.()f x 与()g x 的图象有相同的对称中心B.()f x 与()g x 的图象关于x 轴对称C.()f x 与()g x 的图象关于y 轴对称D.()()f x g x ≥的解集为()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】ABD 【解析】【分析】根据诱导公式先得出()()g x f x =-，再利用三角函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】()()πππ2sin 22cos 2323g x x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()f x 与()g x 的图象关于x 轴对称，令ππππ2π32122k x k x +=+⇒=+，且有相同的对称中心()ππ,0Z 122k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，故A 、B 正确，C 错误；由不等式()()()π20cos 203f x g x f x x ⎛⎫≥⇒≥⇒+≥ ⎪⎝⎭，令()πππ5ππ2π22ππ,πZ 2321212k x k x k k k ⎡⎤+≥+≥-+⇒∈-++∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ABD11.已知函数()f x 的定义域为R ，且()10f ≠，若()()()f x y f x f y xy +-=-，则（）A.()00f =B.()f x 关于()1,0-中心对称C.()e xf x > D.函数()y xf x =-有最大值【答案】BD 【解析】【分析】利用赋值法及抽象函数的性质一一判定即可.【详解】令0,1x y ==，则()()()1010f f f -⋅=，又()()10,01f f ≠∴=，故A 错误；令1,1x y ==-，则()()()()()0111,110f f f f f -⋅-=∴⋅-=，又()10f ≠，()10f ∴-=，再令()()()()1,11,1y f x f x f x f x x =---⋅-=∴-=，()()1,f x x f x ∴=+∴的图象关于()1,0-中心对称，故B 正确；由B 得()1f x x =+，当0x =时，1x e x =+，故C 错误；由B 得()()21,f x x y xf x x x =+=-=--，在12x =-时取到最大值，故D 正确．【点睛】方法点睛：对于抽象问题利用赋值法是常用方法，结合B 的结论确定函数解析式即可判定C 、D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分12.已知复数z 满足()34i 5i z -=，则z =______．【答案】1【解析】【分析】利用复数的除法运算，共轭复数的定义及模长公式计算即可.【详解】由()()()()5i 34i 5i 3434i 5i i 34i 34i 34i 55z z +-=⇒===---+，则1z z ===.故答案为：113.已知,,20,1a b a b a b ∈>>+=R ，则112a b b+-的最小值为______．【答案】4+【解析】【分析】凑配出积的定值，再由基本不等式得最小值．【详解】因为20a b >>，1a b +=，所以111132()(23)44222b a ba b b a b b a b b a b b-+=+-+=++≥+---，当且仅当322b a b a b b -=-，即33,66a b +-==时等号成立，故答案为：4+．14.已知()()()eln e ,xxf x ax ag x x=-∈=R ，若函数()()y f g x a =-恰有三个零点，则a 的取值范围为______．【答案】e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】先通过导数研究()g x 的单调性与最值，结合换元法将问题化为()e 1ta t =+的零点问题，根据导数的几何意义计算参数即可.【详解】设()g x t =，则()f t a =，()21ln e 0xg x x -'=⋅=，得e x =，当()()()0,e ,0,x g x g x >'∈单调递增，当()()()e,0,x g x g x '∈+∞<,单调递减，当e x =时，函数()g x 取得最大值1，如图1，画出函数()t x g =的图象，由()f t a =，即e t at a -=，则()()e 1,1ta t y a t =+=+恒过点()1,0-，如图，画出函数e t y =的图象，设过点()1,0-的切线与e t y =相切于点()00,e tt ，则00e e 1t t t =+，得00t =，即切点()0,1，所以切线方程为1y x =+，如图2，则()1y a t =+与e t y =有2个交点，1a >，如图可知，若函数()()y f g x a =+恰有三个零点，则110t -<<，201t <<，则()le 11a >+，所以e 2a <，综上可知，e 12a <<．故答案为：e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点问题，通常利用换元法与数形结合的思想.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()1e 1x f x a =++为R 上的奇函数．（1）求a ；（2）若函数()()()2e 12xg x f x x =++，讨论()g x 的极值．。
2024吉林省长春市五校联考高三数学试卷(含答案)
2024届高三联合模拟考试数学试题东北师大附中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的考生号､姓名､考场号填写在答题卡上，2.回答选择时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}22log 2,2x A xy x B y y −==−==∣∣，则A B ⋂=（ ）A.()0,2B.[]0,2C.()0,∞+D.(],2∞− 2.已知复数iz 1i=−，则z 的虚部为（ ） A.12−B.1i 2− C.12 D.1i 2 3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A.16 B.13 C.12 D.234.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知28,AB BC PAD ==和QBC 均为等边三角形，若二面角P AD B −−和Q BC A −−的大小均为120︒，则该刍薨的体积为（ ）A.303B.203 9932D.4843+ 5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）种 A.8 B.10 C.16 D.20 6.已知π3cos sin 6αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫− ⎪⎝⎭的值是（ ） A.3 B.14− C.14 37.已知点F 为地物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（ ）A.22B.4C.322+D.6 8.已的1113sin ,cos ,ln 3332a b c ===，则（ ） A.c a b << B.c b a << C.b c a << D.b a c <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 满足*1121,,N 1n n a na n a n +==∈+，则下列结论成立的有（ ） A.42a =B.数列{}n na 是等比数列C.数列{}n a 为递增数列D.数列{}6n a −的前n 项和n S 的最小值为6S10.已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2,M 为空间中动点，N 为CD 中点，则下列结论中正确的是（ ）A.若M 为线段AN 上的动点，则1D M 与11B C 所成为的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.若M 为侧面11ADD A 上的动点，且满足MN ∥平面1AD C ，则点M 2C.若M 为侧面11DCC D 上的动点，且2213MB =，则点M 的轨迹的长度为23π9D.若M 为侧面11ADD A 上的动点，则存在点M 满足23MB MN +=11.已知()()()()1ln ,e 1xf x x xg x x =+=+（其中e 2.71828=为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A.()f x '为函数()f x 的导函数，则方程()()2560f x f x ⎡⎤−'+=⎣⎦'有3个不等的实数解 B.()()()0,,x f x g x ∞∃∈+=C.若对任意0x >，不等式()()2ln ex g a x g x x −+≤−恒成立，则实数a 的最大值为-1D.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()21ln 21t x x +的最大值为1e三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.622x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的常数项为__________.13.已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=−，向量c 与3a b +共线，则||b c +的最小值为__________. 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左，右焦点分别为12,,F F P 为C 右支上一点，21122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为M ，直线PM 交x 轴于点,3N PM MN =，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为13：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为34，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为25. （1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X ，求X 的分布列及期望， 16.（本小题15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,cos cos 2cos 0a C c A b B =+−=. （1）求B ；（2）若2AC CD =，且3BD =c . 17.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面是边长为2的正方形，且6PB BC =，点,O Q 分别为棱,CD PB 的中点，且DQ ⊥平面PBC .（1）证明：OQ ∥平面PAD ； （2）求二面角P AD Q −−的大小. 18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两焦点()()121,0,1,0F F −，且椭圆C 过33,P ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交椭圆C 于,M N 两点（,M N 与,A B 均不重合），记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，且1220k k −=，设AMN ，BMN 的面积分别为12,S S ，求12S S −的取值范围18.（本小题17分） 已知()2e2e xx f x a x =−（其中e 2.71828=为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， （2）当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由； （3）()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.五校联合考试数学答案一､单选题1-8ACADB BCD二､多选题9.ABD 10.BC 11.AC三､填空题12.60 13.211414.75四､解答题15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A ， 则()3234510P A =⨯=. （2）随机变量X 的可能取值为1，2.()()323113221171,2.534320534320P X P X ==⨯+⨯===⨯+⨯=所以X 的分布列为：X 1 2P1320 720()137272.202020E X =+⨯= 16.解：（1）1,cos cos 2cos cos cos 2cos 0a C c A b B a C c A b B =∴+−=+−=.()sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos 0.A C C A B B A C B B ∴+−=+−=又()1ππ,sin sin 0,cos 23A B C A C B B B ++=∴+=≠∴=∴=.（2）2AC CD =，设CD x =，则2AC x =，在ABC 中2222141cos ,1422c x B c x c c +−==∴+−=.在ABC 与BCD 中，22222142cos ,cos ,63042x c x BCA BCD x c x x∠∠+−−==∴−−=.2321321330,0c c c c c ±+∴−−=∴=>∴=. 17.解：（1）取PA 中点G ，连接,GQ GD ∴点Q 为PB 中点，GQ ∴∥1,2AB GQ AB =. 底面是边长为2的正方形，O 为CD 中点，DO ∴∥1,2AB DO AB =. GQ ∴∥,OD GQ OD =∴四边形GQOD 是平行四边形.OQ ∴∥DG . OQ ⊄平面,PAD GD ⊂平面,PAD OQ ∴∥平面PAD .（2）DQ ⊥平面,PBC BC ⊂平面PBC DQ BC ∴⊥.又底面是边长为2的正方形，,,DC BC DQ DC D BC ∴⊥⋂=∴⊥平面DCQ .OQ ⊂平面,DCQ BC OQ ∴⊥.又CQ ⊂平面,DCQ BC CQ ∴⊥. 26,6,2,2PB QB BC QC =∴==∴=底面是边长为2的正方形，22,2DB DQ DQ CQ ∴=∴==，O 为CD 中点，OQ DC ∴⊥.又,,BC OQ DC BC C OQ ⊥⋂=∴⊥平面ABCD .取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −， 则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2O Q A B D P −−−−所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1AP AD AQ =−=−=−， 设平面PAD 法向量为(),,m x y z =，则()4200,1,020m AP x z m m AD x ⎧⋅=−+=⎪∴=⎨⋅=−=⎪⎩ 设平面QAD 法向量为(),,n x y z =，则()200,1,120n AQ x y z n n AD x ⎧⋅=−++=⎪∴=−⎨⋅=−=⎪⎩ 2cos ,2m n m n m n⋅>==⋅ 又二面角P AD Q −−范围为()0,π，所以二面角P AD Q −−的大小为π4. 18.解：（1）由题意可得：2222213314c a b c ab ⎧⎪=⎪−=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,31a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）依题意，()()2,0,2,0A B −，设()()1122,,,M x y N x y ，直线BM 斜率为BM k .若直线MN 的斜率为0，则点,M N 关于y 轴对称，必有120k k +=，不合题意.所以直线MN 的斜率必不为0，设其方程为()2x ty m m =+≠±，与椭圆C 的方程联立223412,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得()2223463120t y tmy m +++−=，所以()22Δ48340t m=+−>，且12221226,34312.34tm y y t m y y t ⎧+=−⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩因为()11,M x y 是椭圆上一点，满足 2211143x y +=，所以2121111221111314322444BM x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−， 则12324BM k k k =−=，即238BM k k −⋅=.因为()()1221222BM y y k k x x ⋅=−−()()()()121222121212222(2)y y y y ty m ty m t y y t m y y m ==+−+−+−++−()()()()()22222222223123432334,4(2)42831262(2)3434m m m t m m t m t m m m t t −−++====−−−−−−+−++ 所以23m =−，此时22432Δ4834483099t t ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故直线MN 恒过x 轴上一定点2,03D ⎛⎫−⎪⎝⎭. 因此()12222122264,343431232.34334tm t y y t t m y y t t ⎧+=−=⎪++⎪⎨−⎪==−++⎪⎩，所以12S S −=12121212222323y y y y ⎛⎫⎛⎫−−−−−−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()22212121222833243342283399433334t t y y y y y y t ++−=−=+−==+()2228314334934t t =−++令2122118340,,34439x S S x x t ⎛⎤=∈−=−+ ⎥+⎝⎦ 当211344t =+即0t =时，12S S −86212834860,399S S x x ⎛∴−=−+ ⎝⎦19.解：（1）当0a =时，()()()2,21x x f x xe f x x e =−=+'−.()14.f e =−∴'曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 ()41242.y e x e ex e =−−−=−+（2）当12a =时，()2122x xf x e xe =−，定义域为(),∞∞−+ ()()()22122,x x x x f x e x e e e x '=−+=−−令()e 22xF x x =−−，则()2xF x e '=−，当()(),ln2,0x F x ∞∈−'<；当()()ln2,,0x F x ∞∈+'>； 所以()F x 在(),ln2∞−递减，在()ln2,∞+上递增，()min ()ln222ln222ln20F x F ==−−=−< ()()2110,260F F e e−=>=−> 存在()11,ln2x ∈−使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，()1,x x ∞∈−时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增； ()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减； ()1,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值. （3）()()()222121xx x x f x ae x e e ae x '=−+=−−，由()()21111,0,00a x f x f a aa a a+∀∈+≤+=+=≤R ，得0a <，令()e 1xg x a x =−−，则()g x 在R 上递减，0x <时，()()()e 0,1,e ,0,e 11x x xa a g x a x a x ∈∈∴=−−>−−，则()()1110g a a a ∴−>−−−=又()110g ae −−=<，()01,1x a ∃∈−−使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =−−=且当()0,x x ∞∈−时，()0g x >即()0f x '>； 当()00,x x ∞∈+时，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x ∞−递增，在()0,x ∞+递减，()002max 00()2x x f x f x ae x e ∴==−，由()000001e 10,exx x g x a x a +=−−==， 由max 1()0f x a+≤得()000000e 1e 201x x x x x e x +−+≤+即()()00011101x x x −++≤+， 由010x +<得20011,21x x −≤∴−<−，001,e x x a +=∴设()1(21)e x x h x x +=−≤<−，则()0xxh x e −=>'， 可知()h x 在)2,1⎡−⎣上递增，()((()()221221210h x h e h x h e −−≥−==<−=实数a 的取值范围是()212e ⎡⎣.。
江苏盐城五校联考2024年高一4月期中数学试卷
2023/2024学年度第二学期 联盟校期中考试高一年级数学试题（总分150分 考试时间120分钟）注意事项：1. 本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.2. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.3. 作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数()()1i 2i z =−+的实部为（ ） A. 3iB. 3C. i −D. －12. sin 27cos18cos 27sin18°°+°°=（ ）A.B. C.D. 3. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足::3:4:6a b c =，则cos A 的值为（ ）A.14B. 14−C.4348D. 4348−4. 已知向量a ，b 的夹角为34π，a = ，1b = ，则a b += （ ）A. 1B.C.D. 55. 在ABC △中，cos cos a A b B =，则ABC △的形状为（ ） A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形6. tan 23tan 3723tan 37°+°°°=（ ）A.B.C.D. 7. 已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，我们把数量sin a b θ叫作向量a 与b 的叉乘a b × 的模，记作a b × ，即sin a b a b θ×=.若向量()2,4a = ，()3,1b =− ，则a b ×=（ ） A. －14B. 14C. －2D. 28. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知6A π=，则2sin cos B C −的取值范围为（ ）A. B. C. 32D. (二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a =c =，4A π=，则C 的值可以是（ ） A.56πB.23π C.34π D.3π10. 已知cos α=3cos 5β=，其中,2παπ∈，0,2πβ ∈ ，以下判断正确的是（ ）A. 4sin 25α=B. 7cos 225β=−C. ()cos αβ−D. ()sin αβ+11. 已知a ，b 是两个不共线的向量，且a = ，1b =，则下列结论中正确的是（ ）A. a b −的取值范围是)1−B. a b ≤⋅≤C. a 在b 0D. a b + 与a b − 的夹角最大值为3π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知复数z 满足()()1i 1i z −=+，其中i 为虚数单位，则z =______.13. 如图，在ABC △中，13AN AC = ，P 是线段BN 上的一点，若17AP mAB AC =+，则实数m =______.14. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若()tan tan 2tan tan tan AB A BC =+，则222c a b =+______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）实数m 取什么值时，复数()()222356i z mm m m =−−+−−是：（1）实数？ （2）纯虚数？16.（15分）已知向量()1,2a = ，()3,b k =.（1）若a b ∥，求实数k 的值；（2）若()2a a b ⊥+，求实数k 的值.17.（15分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且222b c a bc +−=. （1）求A ；（2）已知3a =，ABC △，且AD 为角A 的角平分线，求线段AD 的长.18.（17分）已知平面向量()sin ,cos a x x = ，),cos b x x − ，设函数()2f x a b =⋅.（1）求()f x 的最大值；（2）若在ABC △中()2f A =−，D 在BC 边上，且2BAD π∠=，22BD DC ==，求ABC △的周长.19.（17分）已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),OM a b =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM的伴随函数.（1）设函数()4cos cos 1232x x g x π=−⋅−，试求()g x 的伴随向量OM ；（2）将（1）中函数()g x 的图像横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把整个图像向左平移23π个单位长度，得到()h x 的图像，已知()2,3A −，()2,6B ，问在()y h x =的图像上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.。
贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试(五)理科数学试题(含答案解析)
贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________，若成等比数列，则．．．．十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿果把顶角为36︒的等腰三角形称为，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成．512-（黄金分割比），则cos ）A ．354+-51C ．354--10．在三棱锥A BCD -中，面ABC ，则三棱锥A BCD -A ．8πB 11．设点A 为椭圆22x y a+为322，则椭圆的方程为（A ．2215x y +=C ．2213x y +=12．已知函数()f x 的定义域为2()2,x f x a b x =⋅+若(5)f A ．10B 二、填空题三、解答题(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角20．已知坐标原点为O，抛物线为交点为P，F为双曲线的上焦点，且参考答案：【详解】BC 中点，根据向量的运算法则，()12AB AC =+ ，中，12EC AC AE AC =-=- 【详解】试题分析：成等比数列()()1112n n d n n -+=+考点：等差数列【分析】先判断函数的奇偶性，得(f x 值得正确答案．【详解】由2sin()()()cos()()cos x x f x x x -+---==-+-221422()1,2()2f πππππ++==>(f π过D 作DE AB ⊥于E ，则71803226DBA ︒-︒∠==︒所以，cos 2cos144cos DBA ∠=︒=25151244⎛⎫-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭故选：D ．10．B【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案【详解】如图，设外接球的半径为因为平面ABD ⊥平面ABC 所以1O D ⊥平面ABC ，则球心连接OA ，则OD OA ==因为,AC BC AC BC ⊥==11．C【分析】设动点(00,A x y 性质求最大值，由||AB 的最大值为【详解】由椭圆方程得B 则()22200||1AB x y =+-=()2220121a y y a =--++令()0f y =()2011a y ⎛-- ⎝①若2111a ≤--，即1a <故舍去；②若2111a >--，即2a >()02max 11f y f a a⎛⎫== ⎪-⎝⎭故选:C ．则(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),B C A -设CM CBλ=，则CM CB λ= ，而(2,2,0),(0,2,2CB PA =-=-- (2,2,0)CM CB λλλ∴==- ，(0,2,23)PM PC CM ∴=+=- 设平面PAM 的一个法向量为m 由00m PM m PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，(22322y x λ⎧--⎪⎨+-⎪⎩令63,3,3,3z m λ⎛⎫=∴=-- ⎪⎝⎭又x 轴所在直线垂直于平面PAC ∴取平面PAC 的一个法向量n 263cos ,6339m n λλ-∴〈〉=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭平方得2263346312λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，令λMCD S △21．(1)2,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)证明见解析【分析】（1）()f x 在区间(0,)+∞内单调递增可转化为参数转化为求函数最值问题.（2）证明()e 22f x a x x ≥-+，即证(e a 把()2e ex (1)0x a x ---≥放缩为证明e x 【详解】（1）解：由已知得：()f x a '=令函数()e x x g x =，则只要2a 大于或等于又()1ex x g x ='-，令()0g x '=得1x =，当则函数ex x y =在(1,)+∞上单调递减，在故函数()()11e g x g ≤=，所以12e a ≥，即（2）证明：由题要证()e 22f x a x x ≥-+成立，只需证2122x a x a x x -+≥-+e e ，即证()2e ex (1)0x a x ---≥．令()e e x h x x =-，则()e e x h x '=-，令()0h x '=，得1x =，当1x >时，()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时，()0h x '<，()g x 单调递减．所以()(1)0h x h ≥=，即e e 0x x -≥，当且仅当1x =时等号成立．所以要证()2e e (1)0x a x x ---≥，只需证：2e e (1)0x x x ---≥．令函数2()e e (1)x t x x x =---，则()e e 2(1)x t x x '=---，令函数()e e 2(1)x x x ϕ=---，则()e 2x x ϕ'=-，令()0x ϕ'=，则ln 2x =．当ln 2x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增，当0ln 2x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减．又(0)3e 0,(ln 2)4e 2ln 20,(1)0ϕϕϕ=->=--<=，故存在唯一0(0,ln 2)x ∈使得()00x ϕ=，当()00,x x ∈时，()0x ϕ>，即()0t x '>，()t x 单调递增，当()0,1x x ∈时，()0x ϕ<，即()0t x '<，()t x 单调递减．又(0)(1)0t t ==，故此时()0t x ≥恒成立，即不等式2e e (1)0x x x ---≥得证，则原不等式得证.【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .22．(1)cos 1,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩其中θ为参数(2)2cos 1,2sin 2,x y θθ=+⎧⎨=-⎩其中θ为参数,1C 与l 相离．【分析】（1）根据极坐标方程转化为直角坐标方程再转化为参数方程即可；（2）根据参数方程和向量的坐标形式转化关系，以及参数方程转化为直角坐标方程和直线与圆的位置关系即可求解.。
广东省五校2024-2025学年高二10月联考(一)数学试卷
2024-2025学年第一学期珠海市实验中学、河源高级中学、中山市实验中学、惠州市博罗中学、珠海市鸿鹤中学联考（一）试卷高二数学满分：150分 考试时间：120分钟说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟，注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线3310x y −−=倾斜角为（ ） A. 30° B. 135° C. 60° D. 150°2. 设()()(),,1,1,1,1,,,,4,2x y a b y z c x ∈===− R ，且,//a c b c ⊥ ，则2a b +=（ ） A. 2 B. 0 C. 3 D. 323. 下列命题中正确的是（ ）A. 点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1−−B. 若直线l 的方向向量为()1,1,2e =− ，平面α的法向量为()6,4,1m =−，则l α⊥ C. 若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ，则直线l 与平面α所成的角为30D. 已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =−+ ，则12m =− 4. 如图，从光源P 发出的一束光，遇到平面镜（y 轴）上的点B 后，反射光线BC 交x 轴于点)C ，若光线PB 满足的函数关系式为：1y kx =+，则k 的值为（ ） 的A.B. C. 1 D. -1 5. 过点1,13作直线l ，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线l 的条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 如图，在三棱锥O ABC −中，点D 是棱AC 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c = ，则BD 等于（ ）A. 1122a b c −+ B. a b c +−C a b c −+ D. 1122a b c −+− 7. 已知长方体1111ABCD A B C D −，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）A. 11AD B C ⋅B. 1BD AC ⋅C. 1AB AD ⋅D. 1BD BC ⋅8. 如图已知矩形,1,ABCD AB BC ==AC 将ABC 折起，当二面角B AC D −−的余弦值为13−时，则B 与D 之间距离为（ ）.A. 1B.C.D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知直线l 过点()2,3M −，且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 点，则（ ）A. 若直线l 的斜率为1，则直线l 的方程为5y x =+B. 若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为1x y +=C. 若M 为AB 的中点，则l 的方程为32120x y −+=D. 直线l 的方程可能为3y =10. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A CC 1⊥BDB. 1136AA BD ⋅=C. 11B C AA 与夹角是60°D. 直线AC 与直线11A C的距离是11. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（ ）.A. 三棱锥1C EFG −的体积为13 B. 1A C ⊥平面EFGC. 1BC ∥平面EFGD. 二面角G EF C −−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若直线1l ：10x ay +−=与直线2l ：420ax y ++=平行，则a =___________． 13. 已知()()2312A B −，，，，若点(),P x y 在线段AAAA 上，则3y x −的取值范围是_______. 14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C −，中，M 是11A C 的中点，122AB AA AC ==，113BN BB = ，3MG GN = ，若1AG xAA y AB z AC =++ ，则x y z ++=_________．四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC 的两顶点坐标为()1,1A −，()3,0C ，()10,1B 是边AB 的中点，AD 是BC 边上的高． （1）求BC 所在直线的方程；（2）求高AD 所在直线的方程.16. 已知直线()()1231:−=−+a y a x l .（1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程.17. 已知()()()0,0,0,2,5,0,1,3,5A B C ．（1）求AC 在AB 上的投影向量；（2）若四边形ABCD 是平行四边形，求顶点D 的坐标； （3）若点(0,3,0)P ，求点P 到平面ABC 的距离．18. 如图，在长方体1111ABCD A B G D −中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）求证：11D E A D ⊥.（2）当点E 为棱AB 的中点时，求CE 与平面1ACD 所成角的正弦值. （3）在棱AB 上是否存在点M ，使平面1D MC 与平面AMC 所成角为π6？若存在，求出AM 的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知111(,,)a x y z = ，222(,,)b x y z = ，333(,,)c x y z = ，定义一种运算：123231312132213321()a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z ×⋅=++−−− ，已知四棱锥P ABCD −中，底面ABCD一个平行四边形，(2,1,4)AB =− ，(4,2,0)AD = ，(1,2,1)AP − （1）试计算()AB AD AP ×⋅ 的绝对值的值，并求证PA ⊥面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD −的体积，说明()AB AD AP ×⋅ 的绝对值的值与四棱锥P ABCD −体积的关系，并由此猜想向量这一运算()AB AD AP ×⋅ 的绝对值的几何意义.的是。
2024届皖北五校联盟高三第二次联考数学试卷+答案
颍上一中蒙城一中淮南一中怀远一中涡阳一中2024届高三第二次五校联考数学试题考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答題前､考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答題卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集,{10}U A x x ==+<R ∣，集合{}2log 1B xx =<∣，则集合()U A B ∩= （ ） A.[]1,2− B.()0,2 C.[)1,∞−+ D.[)1,1−2.已知z 为复数且()1i 13i z ⋅−=+（i 为虚数单位），则共轭复数z 的虚部为（ ） A.2 B.2i C.-2 D.2i −3.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且137,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A.2 B.4 C.5 D.64.“2a =”是“直线220ax y ++=与直线()110x a y +−+=平行”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若sin 3,3A c AB AC ==⋅= ，则sin sin b cB C+=+（ ）6.甲､乙等6名高三同学计划今年暑假在A B C D ､､､，四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲､乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ）A.96种B.132种C.168种D.204种7.已知不等式e 1ln x ax x x +>−有解，则实数a 的取值范围为（ ） A.21,e ∞−+B.1,e ∞ −+C.21,e ∞ −D.1,e ∞ − 8.已知实数,x y 满足13y y x x +=1y +−的取值范围是（ ）A.)42B.)44C.22 −D.24二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.一组数据1210,,,x x x 是公差为-2的等差数列，若去掉首末两项，则（ ） A.平均数变大 B.中位数没变 C.方差变小 D.极差没变10.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（ ） A.若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形B.若()()cos cos 1A B B C −⋅−=，则ABC 一定是等边三角形 C.若cos cos a C c A c +=，则ABC 一定是等腰三角形 D.若()cos 2cos 0B C C ++>，则ABC 一定是钝角三角形 11.已知正四面体O ABC −的棱长为3，下列说法正确的是（ ） A.平面OAB 与平面ABC 夹角的余弦值为13B.若点P 满足()1OP xOA yOB x y OC =++−−，则OPC.在正四面体O ABC −D.点Q 在ABC 内，且2OQ QA =，则点Q 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若n 为一组从小到大排列的数1,2,4,8,9,10的第六十百分位数，则二项式12nx 的展开式的常数项是__________.13.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线l 与x 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线C 相切于点P ，连接PF ，在APF 中，设sin sin PAF AFP ∠λ∠=，则λ的值为__________.14.对于函数()()cos 0f x x kx x =− ，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为α，当该函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为β求()()2221sin21cos21ααββαβ+++=−__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分。
贵阳市五校2023届高三年级联合考试(五)理数-答案
理科数学参考答案·第1页（共8页）贵阳市五校2023届高三年级联合考试（五）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．有集合A 元素满足250x x -≤得05x ≤≤；集合A 元素满足21x n =+，n ∈N ，{135}A B =，，，故选C ．2．由题意得(12i)i 2i z =-+=-- ，z 的共轭复数2i z =-+，z 的共轭复数对应的点位于第二象限，故选B ．3．因为回归直线方程9y x a =+必过()x y ，，由题中表格数据得 3.5x =，42y =，则910.5a y x =-=，故910.5y x =+，则当7x =时，73.5y =，故选A ． 4．由题意得命题p 是真命题，命题q 是假命题，则只有p q ∧⌝是真命题，故选C ．5．由题意得00.0.7.783)1log 1.6log 0.8(001a b c <===∈>，，，，则a b c ，，的大小关系为b c a <<，故选D ．6．在ABC △中，11()24EC EA AC AD AC AB AC =+=-+=-+14AC AB +=-+34AC ，故选D ．7．由题意得2142aa a =，22(23)(2)d d +=+且0d ≠，解得2d =，则22(1)2n a n n =+-=，则{}n a 的前n 项和(1)n S n n =+，故选A ．8．由题意得()f x 是在[ππ]-，的奇函数，当πx =时，(π)0f >，故选B ．9．如图1，过D 作DE AB ⊥于E ，则1151sin sin18224BE AB AB BDE BD BD BC -∠=︒==== ． 所以，22cos 2cos144cos36(12sin 18)12DBA ∠=︒=-︒=--︒=-+⎝⎭=，故选D ． 图1理科数学参考答案·第2页（共8页）10．如图2，设外接球的半径为R ，取AB 的中点1O ，连接1O D ，则由AD BD =得1O D AB ⊥，因为平面ABD ⊥平面ABC ，所以1O D ⊥平面ABC ．则易知球心O 在线段1O D 上．连接OD OA ，，则OD OA R ==，由题可知，112O D AO ==，，在1Rt O OA △中，由勾股定理得：22211OO O A OA +=，即：22(2)2R R -+=，解得32R =，所以三棱锥A BCD -的外接球表面积为9π，故选B ．11．设动点00()A x y ，，则220021x y a+=，所以222200x a a y =-，则222222000||(1)A B x y a a y =+-=-+20(1)y -=222222002211(1)21(1)111a y y a a y a a a ⎛⎫--++=--+++ ⎪--⎝⎭，令0()f y = 222002211(1)1[11]11a y a y a a ⎛⎫--+++∈- ⎪--⎝⎭，，，对称轴为02101y a =<-．①若2111a --≤，即212a <≤时，0()f y 在[11]-，上单调递减，则0max 9()(1)42f y f =-=≠，故舍去；②若2111a >--，即22a >时，0()f y 在2111a ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦，上单调递增，在2111a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，上单调递减，则20max 22119()1112f y f a a a ⎛⎫==++= ⎪--⎝⎭，解得23a =，故选C ． 12．由题可得：(1)(1)0f x f x ++-+=，即()(2)0f x f x +-=，令1x =，则(1)0f =．又(6)()f x f x -=，所以(6)(2f x f x -=--，即(4)(f x f x +=-．所以(8)(f x f x +=-+()f x =，因此函数()f x 的周期8T =．所以(5)(1)20f f a b ==+=，(12)(4)(2)4f f f ===-，即1a b +=-，联立201a b a b +=⎧⎨+=-⎩，，解得12a b =⎧⎨=-⎩，，故2()22x f x x =-．所以(2023)(1)(3)10f f f =-=-=，故选A ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图2理科数学参考答案·第3页（共8页）【解析】13．由二项式展开式公式有33334662C 8C 160T x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.14．令1n =，则1131S a λ==-，当2n ≥时，1n n n a S S -=-=11(33)23n n n λλ---= ．所以1231a λλ==-，解得：1λ=，则123n n a -= ，所以454.a =15．由题可得，过圆222420x y x y +-++=的圆心(12)O -，，半径r =，圆心到直线的距离为d =，向直线270x y +-=作垂线垂足为P ，此时PA 最小，所以min ||PA ==16．将函数向右平移4T 后的解析式为ππs i n 26f x x ωω⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则ππππ6626x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，，要使得平移后的图象有3个最高点和2个最低点，则需：9πππ11π2262ω<-≤，解得283433ω<≤．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）在ABC △中，由射影定理得cos cos a B b A c +=， 则题述条件化简为222a b c ab +-=， 由余弦定理得2222cos a b c ab C +-=． 可得1cos 2C =，π3C =． ……………………………………………（6分） （2）在ABC △中，由正弦定理得2πsin sin sin sin 3a b c A B C ====， 则ABC △周长22sin )3ABC C a b A B =++=++△2π2sin sin 33A A ⎡⎤⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为2ππsin sin 36A A A ⎛⎫⎛⎫+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π24sin 6ABC C A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△，理科数学参考答案·第4页（共8页）因为ABC △为锐角三角形，2π3A B +=， 则得ππ62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，ππ2π633A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，故πsin 16A ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，(26]ABC C ∈+△． …………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）由已知可得，X 的所有可能取值为0，40，100， 则(0)10.70.3P X ==-=；(40)0.7(10.5)0.35P X ==⨯-=； (100)0.70.50.35P X ==⨯=．所以X 的分布列为…………………………………………………………………（6分）（2）由（1）可知小明先回答A 类问题累计得分的期望为()E X 00.3400.351000.3549=⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 类问题，记Y 为小明的累计得分， 则Y 的所有可能取值为0，60，100，(0)10.50.5P Y ==-=， (60)0.5(10.7)0.15P Y ==⨯-=，(100)0.50.70.35P Y ==⨯=，则Y 的期望为()E Y =00.5600.151000.3544⨯+⨯+⨯=， 因为()E X >()E Y ，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答A 类问题． …………………（12分） 19．（本小题满分12分）（1）证明：在PAC △中，4PA PC ==，O 为AC 的中点． 则中线PO AC ⊥①，且2AO CO OP ===，理科数学参考答案·第5页（共8页）同理在ABC △中有222AB BC AC +=，则AB BC ⊥；因为AB BC ==BO AC ⊥且2BO =； 在POB △中有222PO BO BP +=，则BO PO ⊥②，由①②得PO ⊥平面ABC ． ……………………………………………………………（6分） （2）解：由（1）得PO ABC ⊥平面，故建立如图3所示空间直角坐标系O xyz -，则2(2)(0)(0)(0020000B C A P -，，，，，，，，，，，， 设CMCBλ=，则CM CB λ=，而(220)(0223)(02CB PA PC -=-==--，，，，，，，，， (220)CM CBλλλ==-，，，∴(02(220)(222PM PC CM λλλλ=+=-+-=--，，，，，，∴，设平面PAM 的一个法向量为()m x y z =，，， 由00m PM m PA ⎧=⎪⎨=⎪⎩，， 得202(22)0y x y λλ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩，，令z =633m λ⎛=-- ⎝，∴又x 轴所在直线垂直于平面PAC ， ∴取平面PAC 的一个法向量(100)n =，，，∴63cos m n -〈〉==，， 平方得2263346312λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，令63m λ-=， 2222234336366124m m m m m m =⇒=+==+，，∴， 636λ-=∴，6293λ==．………………………………………………………………（12分） 图3理科数学参考答案·第6页（共8页）20．（本小题满分12分）解：（1）由已知得：11||322OPF P P S OFx x ==⨯=△，则p x =，代入双曲线方程可得3)P ，又因为P 在抛物线上，所以623p =⨯，解得1p =，故抛物线G 的方程为22x y =． ………………………………………（5分）（2）设点1122()()A x y B x y ，，，，对22x y =求导得：y x =，则切线MA 的方程为111()y y x x x -=-， 由2112x y =整理得：11y x x y =-． 令0y =，则12x x =，即102x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，同理可求得202x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 将(21)M --，带入直线MA 可得：11210x y +-=， 同理可求得直线MB 的方程：22210x y +-=， 所以A B ，的直线方程210x y +-=． 联立2122y x x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，，消去y 得：2420x x +-=， 则韦达定理：121242x x x x +=-=-，，……………………………………………（8分）则弦长212|44AB x x=-=+⨯= ， 点M 到直线AB 的距离d == 所以1662MAB S AB d ==△． 又1||2MCD M S CD y =△ 12||4x x -==，故12MABMCDS S =△△． ……………………………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第7页（共8页）21．（本小题满分12分）（1）解：由已知得：()e 20x f x a x '=-≥在(0)+∞，恒成立，则分参得2ex a x≥．令函数e xx y =，则只要max 2a y ≥即可．又1ex xy -'=，令0y '=得1x =，当1x >时，0y '<，当01x <<时，0y '>， 则函数e xxy =在(1)+∞，上单调递减，在(01)，上单调递增． 故函数max 1e y =，所以12e a ≥，即a 的取值范围是2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． ……………………（5分）（2）证明：由题可得：2e 1e 22x a x a x x -+-+≥，则2(e e )(1)0x a x x ---≥． 令()e e x g x x =-，则()e e x g x '=-．令()0g x '=，得1x =，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增；当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减． 所以()(1)0g x g =≥，即e e 0x x -≥，当且仅当1x =时等号成立． 所以要证2(e e )(1)0x a x x ---≥，则证：2e e (1)0x x x ---≥．令函数2()e e (1)x h x x x =---，则()e e 2(1)x h x x '=---，令函数()e e 2(1)x x x ϕ=---，则()e 2x x ϕ'=-，令()0x ϕ'=，则ln 2x =．当ln 2x >时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，当0ln 2x <<时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减． 又(0)3e 0ϕ=->，(ln 2)4e 2ln 20ϕ=--<，(1)0ϕ=， 故存在唯一0(0ln 2)x ∈，使得0()0x ϕ=，当0(0)x x ∈，时，()0x ϕ>，即()0h x '>，()h x 单调递增， 当0(1)x x ∈，时，()0x ϕ<，即()0h x '<，()h x 单调递减． 又(0)(1)0h h ==，故此时()0h x ≥恒成立，即不等式2e e (1)0x x x ---≥得证，则原不等式得证．…………………………………………………………………（12分）注：本题解法不唯一，若考生有其他正确解法，也可酌情给分．理科数学参考答案·第8页（共8页）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=； ………………………………（3分）则对应的参数方程为cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，，其中θ为参数. ………………………………（5分）（2）由（1）参数方程可设M (cos 1sin )θθ+，，P ()x y ，， 则由2AP AM = ，A (1)-2，，得12(cos 1)22(sin 2)x +y θθ=+⎧⎨-=-⎩，，2cos 12sin 2x y θθ=+⎧⎨=-⎩，，其中θ为参数． ……………………………（8分） 对应的直角坐标方程为22(1)(2)4x y -++=， ………………………………………（9分） 圆心(1)-2，到l距离2d ==>，则1C 与l 相离． …………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）3523()|2||23|1223352x x f x x x x x x x ⎧⎪---⎪⎪=+++=---<-⎨⎪⎪+>-⎪⎩，≤，，≤，，，结合图象知函数min ()f x =3122f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ………………………………………（5分）（2）由已知得当0x >时，()35f x x =+，则由()()()21f a +f b +f c =得：3()1521a b c +++=，即：2a b c ++=，则由柯西不等式：111()9a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥，所以11192a b c ++≥，当且仅当23a b c ===时等号成立． ………………………（10分）。
辽宁省五校联考(省实验,育才中学2025届高三下学期联考数学试题含解析
辽宁省五校联考（省实验，育才中学2025届高三下学期联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，5)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ） A ．32B ．23C ．12D ．626．将函数2()322cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 7．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅8．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭9．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形10．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C ．1510D ．215512．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省宁德市福宁古五校教学联合体2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷(含答案)
福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学试题（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min ，该物质的温度最接近（参考数据：）（ ）A ．54℃B ．52℃C ．50℃D ．48℃3．在中，已知是关于的方程的两个实根，则角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．4．对任意实数，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的大致图象是（ ）{}30,21x M x Q x x x ⎧⎫-=≤=∈≤⎨⎬+⎩⎭N M Q = {}0,1,2[]0,2(]2,2-{}1,21015lnw w T w w -=-T 0min,w 1w w e 2.72≈ABC △tan ,tan A B x 2670x x -+=C 3π42π3π3π4()2,x ∈+∞4a x x<+4a ≤221sin ln x y x x +=-⋅A ．B ．C ．D ．6．已知函数，若，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．7．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．的解集为10．已知函数，则（ ）A ．与的图象有相同的对称中心B ．与的图象关于轴对称()332e e 1x x f x x x -=-+-+()()2232f a f a -+≥a (],1-∞[]3,1-(][),13,-∞-+∞(][),31,-∞-+∞ 1215sin ,ln ,223a b c -===c b a <<a b c <<a c b <<b a c<<()2ln x f x xe x x a x =---0x >()1f x ≥a []4,4-[]3,3-[]2,2-[]1,1-()f x ()()()Δ01Δ1lim1Δx f x f f x→+-=-'()()23f f '<'0f=()0xf x '>()(),10,1-∞- ()()ππ2cos 2,2sin 236f x x g x x ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()g x ()f x ()g x xC ．与的图象关于轴对称D ．的解集为11．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）A ．B ．关于中心对称C ．D ．函数有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分12．已知复数满足，则______．13．已知，则的最小值为______．14．已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数为上的奇函数．（1）求；（2）若函数，讨论的极值．16．（15分）在锐角中，内角的对边分别为，且．（1）求角A 的大小；（2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．17．（15分）在三棱锥中，底面，分别为的中点，为线段上一点．（1）求证：平面；()f x ()g x y()()f x g x ≥()5πππ,π1212k kk ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x R ()10f ≠()()()f x y f x f y xy +-=-()00f =()f x ()1,0-()x e f x >()y xf x =-z ()34i 5i z -=z =,,20,1a b a b a b ∈>>+=R 112a b b+-()()()eln e ,xxf x ax ag x x=-∈=R ()()y f g x a =-a ()11x f x a e =++R a ()()()212xg x e f x x =++()g x ABC △,,A B C ,,a b c tan tan A B +=BC =D BC AD P ABC -PM ⊥,,1ABC AB AC AB ⊥=,AC M N =,BC AC E AP BN ⊥APM（2）若平面底面且，求二面角的正弦值．18．（17分）已知函数，其中是实数．（1）若，求的单调区间；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若恒成立，求的最小值．19．（17分）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且函数图象过点．（1）若函数是偶函数，求的最小值；（2）令，记函数在上的零点从小到大依次为，求的值；（3）设函数，如果对于定义域D 内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的“级周期函数”，周期为T ．请探究是否存在非零实数，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数，并证明你的结论．福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学参考答案一、单选题12345678ACDCCDBD8．解：，即，易知EBN ⊥ABC 12PM =A ENB --()()2311ex x f x a x b -=----,a b 1a =()f x ()f x a ()0f x ≤5a b +()()πsin ,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭π2()f x ⎛ ⎝()y f x m =+m ()()41g x f x =+()g x 17π31π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦12,,,n x x x 1231222n n x x x x x -+++++ (),y x x D ϕ=∈x P ()()x T P x ϕϕ+=⋅()x ϕP λ()1π26xh x f x λ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2ln 1,2ln 1x x f x e x x x a x +≥∴-++-≥ ()2ln 2ln 11x xe x x a x+-+--≤，又，当且仅当时，等号成立．．故选D ．二、多选题91011ACDABDBD11．解：令，则，又，故A 错误；令，则，又，，再令，的图象关于中心对称，故B 正确；由B 得，当时，，故C 错误；由B 得，在时取到最大值，故D 正确．三、填空题12．1； 13．14．14．解：设，则，，得，当单调递增，当单调递减，当时，函数取得最大值1，如图1，画出函数的图象，()2ln 1,2ln 10x x xe x ex x +≥+∴-+-≥()2ln 2ln 10,0x x e x x x x+-+->∴≥ 2ln 0x x +=()2ln min 2ln 10,10,11x x e x x a a x +⎛⎫-+-∴=∴-=∴-≤≤ ⎪⎝⎭0,1x y ==()()()1010f f f -⋅=()()10,01f f ≠∴=1,1x y ==-()()()()()0111,110f f f f f -⋅-=∴⋅-=()10f ≠()10f ∴-=()()()()1,11,1y f x f x f x f x x =---⋅-=∴-=()()1,f x x f x ∴=+∴()1,0-()1f x x =+0x =1xe x =+()()21,f x x y xf x x x =+=-=--12x =-4+1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x t =()f t a =()21ln e 0xg x x-'=⋅=e x =()()()0,e ,0,x g x g x >'∈()()()e,,0,x g x g x '∈+∞<e x =()g x ()t g x =由，即，则恒过点，如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点，则，得，即切点，所以切线方程为，如图2，则与有2个交点，，如图可知，若函数恰有三个零点，则，，则，所以，综上可知，．故答案为：四、解答题15．（1）因为函数为上的奇函数，由，此时，显然为奇函数．所以（2）由（1）得：定义域为，，()f t a =e tat a -=()()e 1,1t a t y a t =+=+()1,0-e t y =()1,0-e ty =()00,e tt 000e e 1t t t =+00t =()0,11y x =+()1y a t =+e ty =1a >()()y f g x a =+110t -<<201t <<()l e 11a >+e 2a <e 12a <<e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()11xf x a e =++R ()100,2f a =∴=-()()121xx e f x e -=+12a =-()()()()21221,xxg x e f x x x e g x =++=-+R ()2x g x e ∴=-'由得；由得，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，；无极小值16．（1）因为，由余弦定理得，由正弦定理得，又是锐角三角形，所以，所以，所以又，所以．（2）由余弦定理可得，又，所以，由正弦定理可得，所以，，所以，由题意得解得，则，所以，所以，()0g x '>ln2x <()0g x '<ln2x >()g x ∴(),ln2-∞()g x ()ln2,+∞()g x ln2x =()()ln22ln21f x f ==-极大值tan tan A B +=tan tan A B +===()sin sin sin sin sin cos sin cos sin tan tan sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B B A CA B A B A B A B A B A B+++==+===ABC △sin 0,cos 0C B >>sin A A =tan A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =222222cos 3a c b cb A c b cb =+-=+-=()12AD AB AC =+ ()()222222111()2444AD AB AC AB AC AB AC c b bc =+=++⋅=++ ()13132442bc bc =+=+2sin sin sin a b cA B C===2sin b B =2π12sin 2sin 2sin 32c C B B B ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎝⎭⎭2111cos2π4cos sin 42sin 212226B bc B B B B B ⎫⎫-⎛⎫=+=+⋅=-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎭π0,22ππ0,32B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62B <<ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(]2,3bc ∈所以，所以线段长的取值范围为17．（1）解法一：连接交与点0，则，，故，从而，从而，底面底面，又，故平面（1）解法二：连接，由分别为的中点，所以，，又因为，所以，故，从而，底面底面，又，故平面（2）因为，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，因为平面底面，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，279,44AD ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦AD 32⎤⎥⎦AM BN MAC MCA ∠=∠tan tan AB AN MCA ABN AC AB ∠==∠==ABN MCA MAC ∠=∠=∠90MAB ABN MAB MAC ∠+∠=∠+∠=︒AM BN ⊥PM ⊥ ,ABC BN ⊂,ABC PM BN ∴⊥AM PM M = BN ⊥APMAM ,M N ,BC AC 1122AM AB AC =+12BN AB AC =-+,1,AB AC AB AC ⊥==1110222AM BN AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AM BN ⊥AM BN ⊥PM ⊥ ,ABC BN ⊂,ABC PM BN ∴⊥AM PM M = BN ⊥APMAB AC ⊥A ,AB AC ,x y A ABC z ()()()110,0,0,,1,0,0,,22A C B P N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11,,22AC BN AP ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭EBN ⊥ABCEBN ()1n =PAC ()2,,n x y z =则，可得，令可得，设二面角为，则故二面角．18．（1）当时，，则，令，解得，令，解得，所以在单调递增，单调递减；（2）函数的图象是连续的，且在定义域上是单调函数，在定义域内恒成立，或，在定义域内恒成立．在为负，为正，所以在单调递减，单调递增，（1）若在定义域内恒成立，只需，即，（2）若在定义域内恒成立，时，，故该情况无解．综上：．（3）若恒成立，则，当时，，即，2200AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 110220x y z ⎧++=⎪⎨=1x =()21,0,1n =- A EN B --θ12cos cos ,n n θ=〉〈==A ENB --1a =()()231x x f x x e -=--()33xxf x e-'=-()0f x '>0x <()0f x '<0x >()f x (),0-∞()0,+∞ ()f x ()330x x f x a e -∴=-≥'()330xxf x a e -'-=≤()4x x f x e='-'(),4-∞()4,+∞()33xxf x a e -='-(),4-∞()4,+∞()330x xf x a e-'-=≥()min 41()430f x f a e ==--'≥'413a e≤-()330xxf x a e -'-=≤x →-∞ ()f x '→+∞a 413a e ≤-()0f x ≤()23110ex x a x b -----≤2x =510a b ---≤51a b +≥-下证成立，由得，恒成立，即，记，故，而，则，解得，只需证恒成立，，由（2）得在上单调递减，在上单调递增，又在上为正，在上为负，在上为负，在上单调递增，在上单调递减，，即恒成立，最小值为．19．解：（1）图象的相邻的两条对称轴间的距离为的最小正周期为，又的图象过点．因为函数是偶函数．的最小值．51a b +=-51a b +=-()23150e xx a x a ---+≤()2360ex x a x ---≤()()()23620e xx F x a x F -=--⇒=()20F '=()33e x x F x a -'=-2130e a -=213ea =()()221360e 3x x F x x e-=--≤()231e x x F x e'-=-()F x '(),4-∞()4,+∞()()20,F F x ='∴'(),2-∞()2,4()4,+∞()F x ∴(),2-∞()2,+∞()max ()20F x F ∴==()0F x ≤5a b ∴+1-()f x π2()f x ∴π2πT 2π0,22Tωω=⨯=>∴== ()()sin 2f x x ϕ∴=+()f x (),0sin f ϕ⎛∴== ⎝()πππ,,sin 2233f x x ϕϕ⎛⎫<∴==+ ⎪⎝⎭ ()πsin 223y f x m x m ⎛⎫=+=++⎪⎝⎭()()ππππ2π,32122k m k k m k ∴+=+∈∴=+∈Z Z m ∴π12（2）由可得设，由与图象可知在共有8个交点．，同理，．（3）假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数，即，恒有，则，恒有成立，则，恒有成立，当时，，则，所以，，要使得恒成立，则有当时，则，即，令，其中，()()π414sin 2103g x f x x ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭π1sin 234x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭17π31ππ5π11π,,2,1212322x x ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦π23i i x t +=sin y t =14y =-5π11π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦182736453πt t t t t t t t +=+=+=+=1818ππ7π223π,336x x x x ∴+++=∴+=2345672222227πx x x x x x +++++=1234567849π2222226x x x x x x x x ∴+++++++=()()()π1π1sin 2,sin 23262x x f x x h x f x x λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∴=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ λ()1sin22xh x x λ⎛⎫= ⎪⎝⎭R T T x ∀∈R ()()h x T T h x +=⋅x ∀∈R ()11sin 22sin222x T xx T T x λλλ+⎛⎫⎛⎫+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∀∈R ()sin 222sin2T x T T x λλλ+=⋅0λ≠x ∀∈R 2,22x x T λλλ∈+∈R R ()1sin21,1sin 221x x T λλλ-≤≤-≤+≤()sin 222sin2T x T T x λλλ+=⋅21TT ⋅=±21T T ⋅=0T >12T T =()12x p x x=-0x >则，且函数在上的图象是连续的，由零点存在定理可知，函数在上有唯一的零点，此时，恒成立，则，即；当时，则，即，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的图象没有公共点，故方程无实数解．综上所述，存在满足题意，其中满足．()120,121102p p ⎛⎫=-<=-=> ⎪⎝⎭()p x ()0,+∞()p x ()0,+∞()sin 22sin2x T x λλλ+=()22T m m λπ=∈Z ()m m T πλ=∈Z 21T T ⋅=-0T <2T T --=y x =-2x y -=2x y x y -=-=、21T T ⋅=-()m m T πλ=∈Z T 21T T ⋅=。
贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试(五)理科数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 在锐角中，角的对边分别为，若，,则的取值范围是（ ）A．B．C．D．2.要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位3. 已知双曲线的左、右焦点分别为为右支上一点，当取得最小值时，则的离心率为（）A．B．C．D．4. 已知数列，．满足条件“”的数列个数为（ ）个．A ．160B ．220C ．221D ．2335.已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）A ．12B．C ．6D．6.已知复数，其中为虚数单位，且，则复数的模的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A．B．C．D．8. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C ：，一条平行于y轴的光线，经过点，射向抛物线C 的B 处，经过抛物线C 的反射，经过抛物线C 的焦点F，若，则抛物线C 的准线方程是（ ）A．B．C．D．9. 密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”.若，则角可取的值用密位制表示可能是（ ）A ．10—50B ．2—50C ．13—50D ．42—5010. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点，若，则（ ）贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）理科数学试题(2)贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）理科数学试题(2)三、填空题四、解答题A ．直线的斜率为B．C．D．11.定义在上的函数的导函数为，且.则对任意，，其中，则下列不等式中一定成立的是（ ）A．B．C．D．12. 在四棱锥中，底面为矩形，，，，．下列说法正确的是（ ）A ．设平面平面，则B．平面平面C ．设点，点，则的最小值为D ．在四棱锥的内部，存在与各个侧面和底面均相切的球13. 若直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是______．14. 已知在边长为4的等边中，，则________；15. 已知正实数m ，n满足，则的最大值为_________．16.已知等比数列的前项和为，公比.(1)求；(2)若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.17. 在底面ABCD 为梯形的多面体中.，BC ⊥CD ，，∠CBD ＝45°，BC ＝AE ＝DE ，且四边形BDEN为矩形．(1)求证：BD ⊥AE ；(2)线段EN 上是否存在点Q ，使得直线BE 与平面QAD 所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q 的位置并加以证明．18. 如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 为菱形，∠ABC =60°，EC ⊥平面ABCD ，FA ⊥平面ABCD ，G 为BF 的中点，若平面ABCD.（1）求证：EG ⊥平面ABF ；（2）若AF=AB=2，求多面体ABCDEF的体积.19. 已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．20. 已知函数（1）当x∈[2,4]时.求该函数的值域；（2）若恒成立，求m的取值范围.21. 在平面四边形中，，，，，.(1)证明：平分；(2)求的面积.。
广东省东莞市五校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷(无答案)
广东省东莞市五校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上正确书写班级、姓名、试室号、座位号、学校准考证号．用2B 铅笔将学校准考证号填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．第I 卷（选择题）一、单选题：本小题共8题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线经过两点，直线的倾斜角为，那么与（ ）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直2．若向量，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知直线与，则（ ）A ．13B ．13或-7C ．7D ．7或-134．已知直线过点，其方向向量是，则点到直线的距离是（ ）A ．1BCD ．25．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M ，N 分别是的中点，是MN 的中点，若，则（ ）A ．-1B ．C ．D ．6．如图，在正三棱柱中，分别是和的中点，则直线AM 与CN ．所成角的余弦值等于（ ）1l (3,4),(8,1)A B ---2l 135︒1l 2l (1,2,0),(2,0,1)a b ==- cos ,120a b ︒〈〉= a b ⊥ ||||a b = //a b1:330l x y -+=2:30l x y C -+=C =m (0,0,0)O (1,1,1)a =(3,4,5)Q m 111ABC A B C -111,A C BB G 1322AG xAB y AA z AC =++ x y z ++=123234111ABC A B C -12,AB AA M N ==、1BB 11B CAB ．C ．D ．7．过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，已知正四面体，点分别是所在棱中点，点满足且，记，则当且时，数量积的不同取值的个数是（ ）A ．21B ．9C ．5D ．3二、多选题：本小题共3题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．下列说法中，正确的有（ ）A ．在空间直角坐标系Oxyz 中，点关于平面yOz 对称的点的坐标是B ．在平面直角坐标系中，直线与直线关于轴对称．C ．在平面直角坐标系中，直线上的动点到坐标原点距离的最小值为3525(2,0)P l 1:220l x y --=2:30l x y ++=P l 480x y+-=480x y -+=480x y --=480x y --=1234A A A A 5678910,,,,,A A A A A A P 4414243A P xA A y A A z A A =++ 1x y z ++=44min A Q A P= 1,10i j ≤≤i j ≠4i j A Q A A ⋅ l (,1,3)a m = α(2,,1)b n =- //l α23m n -=l α⊥23m n -=//l α20mn +=l α⊥20mn +=(3,2,1)M (3,2,1)-3450x y ++=3450x y -+=y :40l x y +-=PD ．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则AB 与平面BCD 所成角为11．已知正方体的边长为2，M 为的中点，为侧面的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．平面C ．D ．以第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线经过点，且与直线平行，则______．13．已知平面的法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为2，则______．14．在平面直角坐标平面xOy 中，圆心在原点，半径为的圆可以用表示．已知两定点与位于动直线（其中a ，b 不同时为0）的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，记，，则由T 中的所有点所组成的图形的面积是______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤．15．（满分13分）已知点，求：（1）BC 边上的中线所在的直线的方程；（2）BC 边上的高所在的直线的方程；（3）三角形ABC 的面积.16．（满分15分）已知空间三点．（1）若向量与平行，且，求的坐标;（2）求以CB 、CA 为邻边的平行四边形的面积．17．（满分15分）如图，在底面ABCD 为菱形的平行六面体中，M ，N 分别在棱上，且，且．π31111ABCD A B C D -1CC P 11BCC B //AM 1A BP 1AM B M ⊥1//CD 1A BP 11A B BP⊥M +π0x By C ++=(0,2)P 40x y -+=B C +=α(2,2,1)n =--(,3,0)A x α(2,1,4)P -αd x =r 222x y r +=1(4,0)F -2(4,0)F :0l ax by c ++={P l =∣1F 2F l {}22(,)8,,Q x y x y x y =+≤∈R ∣{(,)(,),}S x y x y l l P =∉∈∣{(,)(,)}T x y x y Q S =∈⋂∣(1,3),(3,1),(1,0)A B C -(0,2,3)(2,1,6)(1,1,5)A B C ---、、m AB ||m = m 1111ABCD A B C D -11,AA CC 11111,33A M AA CN CC ==1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=（1）求证：共面；（2）当为何值时，．18．（满分17分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记．（1）求证：；（2）为何值时，MN 的长最小?（3）当MN 的长最小时，求平面MNE 与平面MNB 夹角的余弦值．19．（满分17分）已知点，直线，直线（其中A ，B 不同时为0），且点P 不在直线上．（1）若点关于直线的对称点为，求点坐标；（2）求证：点到直线的距离（3）当点在函数图像上时，（2）中的公式变为式，求的最小值．1,,,D M B N 1AA AB1MN BB ⊥(0CM BN a a ==<<BC BE ⊥a ()00,P x y l :0l Ax By C ++=l ()00,P x y 30x y +-=(,)Q x y Q P l d ()00,P x y ()y f x =d 33,R)x t +∈。
贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试(五)理科数学试题(3)
一、单选题二、多选题1. 已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（ ）A．B．C．D ．32. 已知、为的子集，若，，则满足题意的的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．83. 复数z对应复平面上的点，则在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. “成立”是“成立”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知全集，，则下列关系正确的是（ ）A．B．C．D．6. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：①若∥，，则∥， ②若，，则，③若，，则∥， ④若，，，则其中正确的命题是（ ）A ．②③B ．②④C ．①③D ．①②7. 已知，则（ ）A ．5B．C．D ．68. 若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线离心率为（ ）A．B．C ．4D．9. 在四棱锥中，底面为矩形，侧面为等边三角形，，则（ ）A ．平面平面B．直线与所成的角的余弦值为C ．直线与平面所成的角的正弦值为D．该四棱锥外接球的表面积为10. 如果双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，为双曲线上的动点，已知，则的值可能为（ ）A．B．C．D．11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，于，直线与交于，两点，若，则（ ）A．B．C．D．贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）理科数学试题(3)贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）理科数学试题(3)三、填空题四、解答题12.关于函数的图象，下列说法正确的是（ ）A ．是曲线的一个对称中心B ．是曲线的一条对称轴C ．曲线向左平移个单位，可得曲线D ．曲线向右平移个单位，可得曲线13. 已知直线l 与抛物线交于M ，N 两点，直线l 与x 轴y 轴的交点分别为P ，Q ，若点M 在点P ，Q 之间，则______．14. 若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质.若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的取值范围是______.15. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________．16. 已知函数，且.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求证：函数有且只有一个零点.17.已知椭圆的一个顶点为，一个焦点为.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)已知点，过原点O 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，直线与椭圆C 的另一个交点为Q .若的面积等于，求直线的斜率.18. 如图，双曲线的一个焦点为，另一个焦点为，若该动双曲线的两支分别经过点.(1)求动点的轨迹方程；(2)斜率存在且不为零的直线过点，交（1）中点的轨迹于两点，直线与轴交于点，是直线上异于的一点，且满足.试探究是否存在确定的值，使得直线恒过线段的中点，若存在，求出值，若不存在，请说明理由.动19.如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点.(1)证明：平面；(2)若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，当时，的面积为，且.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线经点，与椭圆交于不同的两点、，且，求直线的方程.21. 设为锐角，已知.（1）求的值；（2）求的值.。
江苏盐城五校联考2025届高三10月月考数学试题+答案
（总分150江苏盐城五校联考2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学试题分考试时间120分钟）注意事项：1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2340A x x x =--≤，{}20B x x =∈->N ，则A B = （）A.{3,4}B.{0,1}C.{}1,0,1- D.{2,3,4}2.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）A.1B.2C.4D.83.已知0x >，0y >，则（）A .ln ln ln ln 777x y x y+=+ B.()ln ln ln 777x y x y +=⋅C.ln ln ln ln 777x y x y⋅=+ D.()ln ln ln 777xy x y=⋅4.若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（）A.B.2C. D.25.已知()1sin 3αβ-=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ+=（）A.16B.13C.12D.236.若函数f （x ）=()12,152,1a x x lgx x ⎧-+≤⎨-->⎩是在R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A.[)61-，B.()1-∞，C.()61-，D.()6-∞-，7.已知函数()()sin cos 06πf x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（）A ．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．811,33⎛⎤⎥⎝⎦C ．1013,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（）A.甲是乙的必要条件但不是充分条件B.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列导数运算正确的是（）10.已知函数()tan πf x x =，将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列描述中正确的是（）．A.函数()g x 的图象关于点2,03⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 B.函数()g x 的最小正周期为2C.函数()g x 的单调增区间为51,33k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.函数()g x 的图象没有对称轴11.已知实数a ，b 是方程()230x k x k --+=的两个根，且1a >，1b >，则（）A.ab 的最小值为9B.22a b +的最小值为18C.3111a b +-- D.4a b +的最小值为12三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.命题“2024,lg x x ∀≥<”的否定为__________.13.若过点()0,0的直线是曲线()210y x x =+>和曲线ln 1ay x a x =-++的公切线，则a =________．14.已知函数()21y f x =+-为定义在R 上的奇函数，则()405112024i f i =-=∑______．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题13分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合．16.（本题15分）已知定义在R 上的奇函数()221x x af x -=+，其中0a >.(1)求函数()f x 的值域；(2)解不等式：()()2231f x f x +≤+17.（本题15分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角π2π023βαβ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．(1)求2πcos 22sin cos 2ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值；(2)若63cos 65AOC ∠=-，求cos β的值．18.（本题17分）已知函数()12ln f x x x=+，()g x ax =．（1）求()f x 的单调区间；（2）当[1,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥，求实数a 的取值范围；19.（本题17分）设集合A 为非空数集，定义{|,,},{|,,}A x x a b a b A A x x a b a b A +-==+∈==-∈.(1)若集合{}1,1A =-,直接写出集合A +及A -；(2)若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，求证1423x x x x +=+；(3)若集合{|02024,N}A x x x ⊆≤≤∈且A A +-⋂=∅，求A 中元素个数的最大值.2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学参考答案及评分标准1-8BBDADAAB 9-11ACD,ABD,ABC12-142024,lg x x ∃≥≥,4,405115.（1）44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- ，2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x =-+-，cos 2sin 2x x =-，)4x π=+，7分故()f x 的最小正周期T π=；8分（2）由[0,]2x π∈可得2[44x ππ+∈，5]4π，10分当得24x ππ+=即38x π=时，函数取得最小值．所以38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，时()min f x =13分16.（1）()f x 为定义在上的奇函数，()0020021af -∴==+，1a ∴=，2分当1a =时，()()21122121x xx x f x f x -----===-++，符合题意，()21212121x x xf x --∴==+++，20x > ，22021x-\-<<+，()11f x ∴-<<，∴的值域为−1,1；7分（2）由（1）有()10f x +>，8分∴原不等式可化为()()()21231f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⋅++≤+⎣⎦⎣⎦，令()f x t =，则2210t t --≤，112t ∴-≤≤，即1211221x --≤+≤+，12分123x ∴≥，21log 3x ∴≥，14分∴不等式的解集为21log ,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.15分17.（1）因为A 点的横坐标为35，且1OA =，A 点在第一象限，所以A 点纵坐标为45，所以3cos 5α=，4sin 5α=.2分所以2222πcos 2sin 22sin cos 2sin cos sin ααααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=++-2422sin cos 2sin 853cos cos 35ααααα⨯====.7分（2）因为63cos 65AOC ∠=-，由图可知：16sin 65AOC ∠=.9分而2,k AOC k βπα-+=-∠∈Z ，故2πAOC k αβ+=∠+（Z k ∈）⇒2πAOC k βα=∠-+（Z k ∈），12分所以()()cos cos 2πcos AOC k AOC βαα=∠-+=∠-cos cos sin sin AOC AOC αα=∠+∠633164565565513⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.15分18.（1）由题意可知：()f x 的定义域为0,+∞，且()222121x f x x x x='-=-，2分令'>0，解得12x >；令'<0，解得102x <<；所以()f x 的单调递增区间为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，单调递减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭．6分（2）设()()()12ln h x g x f x ax x x=-=--，当[1,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥，即()0h x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，取1x =，解得1a ≥；若1a ≥，则()112ln 2ln h x ax x x x x x=--≥--，设()12ln ,1m x x x x x =--≥，则()()22212110x m x x x x-='=-+≥，可知()m x 在[1,)+∞上单调递增，则()()10m x m ≥=，此时()0h x ≥，符合题意；综上所述：实数a 的取值范围为[1,)+∞．17分19.（1）由{}1,1A =-，112,110,112--=--+=+=，故{2,0,2}A +=-；|1(1)||11|0,|11||1(1)|2---=-=--=--=，故{0,2}A -=.3分（2）由于集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，所以A -中也只包含四个元素，即213141{0,,,}A x x x x x x -=---6分剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；7分（3）设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12,k a a a <<< 1121312312......2,k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<所以21,A k +≥-1121311...,k a a a a a a a a -<-<-<<-所以||A k -≥，因为,A A +-⋂=∅由容斥原理31,A A A A k +-+-⋃=+≥-A A +- 中最小的元素为0，最大的元素为2,k a 所以21,k A A a +-⋃≤+则()*31214049N ,k k a k -≤+≤∈所以1350k ≤，当{675,676,677,...,2024}A =时满足题意，证明如下：设{,1,2,...,2024}A m m m =++且N m ∈，则{2,21,22,...,4048}A m m m +=++，{0,1,2,...,2024}A m -=-，依题意有2024202423m m m -<⇒>，故m 的最小值为675，于是当675m =时A 中元素最多，即{675,676,677,...,2024}A =时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.17分。
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为直角三角形，则双曲线的离心率是（
）
FAB
A． 3
B． 2
C． 6
6. 如图，在 ABC 中， AB 3, BC 7, AC 2 ，
D． 3 A
若 O 为 ABC 的外心，则 S OBC : S ABC 的值为（
）.
O
1
A．
3 6
C．
7
7
B．
18 7
D．
9
C B
（第 6 题图）
7. 由 1、 2、 3、 4、 5、 6 组成没有重复数字且 2、4 都不与 6 相邻的六位奇数的个数是（
不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加
5 次测试．假设某学生每
次通过测试的概率都是 1 ，每次测试通过与否相互独立．规定：若前 3
没有通过测试，则第 5 次不能参加测试．
4 次都
（Ⅰ）求该学生恰好通过两次测试考上大学的概率； （Ⅱ）求该学生考不上大学的概率；
（Ⅲ）如果考上大学或参加完 5 次考试就结束，记该生参加测试的次数为
开始
S0
i1
互相垂直的充要条件；
C．命题“若 x y ，则 sin x sin y ”的逆否命题为真命题；
a
D ．已知函数 f (a) sin xdx, 则 f
0
2
1．
3.阅读右面的程 序框图，该程序运行后输出 i 的值是（
）
A ． 15
B． 27
C． 31
是
输出 i
S 50？
否
S S2 1
结束
i 2i 1
注意事项：
1．第Ⅱ卷共 7 页，用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在试卷中。
2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚。
题号
二
三
15
16
17
18
19
分数
总分 20
得分 评卷人
二 . 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 把答案填在试题的相应
的横线上 .
9. 右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛
俯视图
xt 11. 已知直线 l 的参数方程
（ t 为参数），直线 l 与圆 x
2
a
y2
5 相交于 A、 B
y 2t 1
两点，若 AB
85 ，则实数 a 的取值范围是 ____________ .
5
12. 如图，已知 EB 是圆 O 的直径， A 是 BE 延长线上一点， AC 切圆 O 于点 D , BC AC 于
C ，若 BC 6, AC 8 ，则 AD __________.
13. 设集合 A, B 是非空集合，定义 A B x x A B且x A B ， 已知
A x 2 x2 x 0 , B x x 2t 2 t 2, t R ，则 A B 等于 ____________.
1
14. 如右图，在梯形 ABCD 中， DA=AB=BC = CD=2
D ． 63 （第 3 题图）
4. 已知公差不为 0 的等差数列 { an} 满足 a1, a3, a 4 成等比数列， Sn为{a n} 的前 n 项和，则
S3 S2 的值为（
）
S5 S3
1
A．
5
B．2
C．3
D ．4
2
2
5.已知抛物线 y2
8x 的准线与双曲线
x a2
y 16
1 交于 A 、B 两点，点 F 为抛物线的焦点
20XX 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考
数学试卷（理科）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 , 共 150 分, 考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页。考试结束后，将 II 卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题，共 40 分）
注意事项：
甲
乙
得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是
2
______. _________.
C D
53 1 3 68 2 4 79 3
14
45
263 57
78
（第图91 题图）
2
2 正视图
2 侧视图
A
E
O
B
（第 10 题图）
2
（第 12 题图）
42
（Ⅰ）求 cos A 的值；
（Ⅱ）函数 f ( x) 4 cos2 x
最小正周期、值域 .
5 sin Asin 2x 2
2 ，x
[ 0, ] ，求函数 f ( x) 的 2
得分
评卷人
16．（本题满分 13 分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行
5 次统
一测试，学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升入大学继续学习，
②存在实数 t ，使得方程恰有 4 个不同的实根；
③存在实数 t ，使得方程恰有 5 个不同的实根；
④存在实数 t ，使得方程恰有 6 个不同的实根；
其中真命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
20XX年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考
数学试卷（理科）
第Ⅱ卷 ( 非选择题，共 110 分 )
D
2
.点 P 在 △BCD 内部（包含边界）中运动，则 AP·BD 的 A
C P
B
取值范围是
.
（第 14 题图）
三 . 解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
得分 评卷人
15. （本题满分 ππ ( , )．
4 10
）
A ． 72
B ．96
C ． 108
D． 144
8.用 min a, b 表示 a, b 两数中的最小值，即 min a, b
aa b ba b
若函数 f x min x2 1, x t ， t R ，则关于方程 f x 1的根的叙述有下列四个命题
①存在实数 t ，使得方程恰有 3 个不同的实根；
1 ．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再填涂其它答案，不能答在试卷上。
一 . 选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，有且只有 一个是正确的）
i2
1. i 为虚数单位，复数
（）
1 2i
A． i
B． i
2.下列命题中的真命题是（
）
43
C．
i
55
A ．对于命题 p : x R,使得 x2 x 1 0 ，则 p : x R ，
均有 x2 x 1 0 ；
B ． m 3 是直线 (m 3) x my 2 0 与直线 mx 6 y 5 0
43
D．
i
55
，
求 的分布列、数学期望 E ．
得分 评卷人
17. （本题满分 13 分）如图，已知 E ， F 分别是正方形 ABCD 边 BC 、 CD 的中点， EF 与 AC 交于点 O ， PA 、 NC 都垂直于平面 ABCD ，且 PA AB 4 ， NC 2 ， M 是线段 PA 的中点 （Ⅰ）求证：平面 PAC 平面 NEF ； （Ⅱ）求异面直线 MO 与 NF 所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角 P CD M 的正弦值．