解析几何—椭圆学生版

解析几何——椭圆

一、椭圆的标准方程及性质

二、直线与椭圆的位置关系，弦长公式

1、掌握直线与椭圆位置关系的判定方法——“△”法；

2、掌握弦长公式||1212x x k d -⋅+=；“韦达定理、设而不求”的技巧在解题中的使用.

考点一 椭圆的定义及其方程，性质

1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为(4,0)-和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； （2）焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).

(3) 求经过点(2,3)-，且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆的标准方程.

练习

1.若椭圆136

1002

2=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离等于,6则点P 到另一个焦点2F 的距离为( ).

.A 4 .B 194 .C 94 .D 14

2.过椭圆1422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于B A 、两点,则B A 、与椭圆的另一个焦点2F 构成

2ABF ∆的周长是( ). .A 2 .B 4 .C 2 .D 22

3．【2017浙江，2】椭圆22

194

x y +=的离心率是

A ．

3

B ．

3

C ．

23

D ．

59

4．（2013广东文9）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于

2

1

，则C 的方程是 A ．

14322=+y x B ．13

42

2=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x

5.（2014大纲文9）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F ，2

F ，离心率为3

，过2F

的直线l 交C 于A ，B 两点，若1AF B △的周长为C 的方程为（ ）.

A ．

22132x y += B ．22

13x y += C ．221128x y += D ．221124

x y +=

6.（2015广东文8）已知椭圆

22

2125x y m

+=（0m >）的左焦点为()14,0F -，则m =（ ）. A ．2

B ．3

C ．4

D ．9

7.（2016山东文21（1））已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的长轴长为4

，焦距为C 的

方程为.

8.（2016四川文20（1））已知椭圆E ：()22

2210x y a b a b

+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形

的三个顶点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上，求椭圆E 的方程.

9.（2016全国乙文5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1

4

，则该椭圆的离心率为（ ）. A.13 B.

12 C.23

D.

3

4

10.（2016江苏10）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆

22

22

1x y a b

+=()0a b >>的右焦点，直线2b

y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是（ ）.

11.（2017全国3文11）已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，

且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）.

A

B

C

D ．

1

3

12. 【2014大纲高考文第9题】已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）

A ．14

B ．13 C

．4 D

．3

13．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0

14．21,F F 是椭圆17

92

2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（ ） A ．7 B ．

47 C ．27 D ．2

57

15．若椭圆221x my +=_______________. 16．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k

17．椭圆

22189

x y k +=+的离心率为1

2，则k 的值为______________。

考向二：直线与椭圆的位置关系，弦长，中点弦

一、直线和椭圆的交点问题

1．若直线与椭圆恒有公共点，求实数m 的取值范围。

二、直线截椭圆所得弦长问题

2．已知椭圆，直线交椭圆于AB ，求AB 的长.

三、直线截椭圆所得弦中点有关问题

3．已知椭圆方程为，求：

（1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程；

（2）斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；

练习

1、已知点（4，2）是直线l 被椭圆

19

362

2=+y x 所截得的弦中点，则l 方程是………………（ ） (A )x －2y =0 (B )x ＋2y －4=0 (C )2x ＋3y ＋4=0 (D ) x ＋2y －8=0

2、直线x －y ＋1=0被椭圆

14

162

2=+y x 截得的弦长为 . 3、直线y=x+1被椭圆x 2

+2y 2

=4截得的弦的中点坐标为

4、21,F F 分别是椭圆

2

212x y +=的左右焦点，过1F 作倾斜角为4π的直线与椭圆交于Ｐ，Ｑ两点，则PQ F 2∆的面积为

5. 【2014江西高考文第16题】过点(1,1)M 作斜率为1

2-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>相交

于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 .