二项分布及其应用

教学过程

一、复习预习

1、预习条件概率

2、预习事件相互独立的概念

3、预习独立重复试验和二项分布

二、知识讲解

考点1

条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件

概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(AB)

P(A)

(P(A)>0)．

在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB) n(A)

.

(2)条件概率具有的性质：

①0≤P(B|A)≤1；

②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．考点2

相互独立事件

(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．

(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，

P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．

(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．

考点3

二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这

种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概

率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．

三、例题精析

【例题1】

【题干】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任

取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________

【答案】499

. 【解析】方法一 设A ＝{第一次取到不合格品}，

B ＝{第二次取到不合格品}，则P (AB )＝

C 25C 2100，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )

＝5×4

100×995100

＝499. 方法二 第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到

不合格品的概率为499

. 【例题2】

【题干】从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B

＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于

( )

A.18

B.14

C.25

D.12

【答案】 B

【解析】 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14

.

【例题3】

【题干】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人

获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13

，乙每次投篮投中的

概率为12

，且各次投篮互不影响． (1)求乙获胜的概率；

(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．

【答案】见解析

【解析】 设A k 、B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，

则P (A k )＝13，P (B k )＝12

(k ＝1,2,3)． (1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知

P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1 B 1 A 2B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2 A 3B 3)

＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)·P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫123＝1327

. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知

P (D )＝P (A 1 B 1 A 2B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2A 3)

＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)·P (A 3)

＝⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫122×13＝427.

【例题4】

【题干】甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：

(1)两人都击中目标的概率；

(2)其中恰有一人击中目标的概率；

(3)至少有一人击中目标的概率．

【答案】见解析

【解析】记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击中目标”是事件AB；“恰有1人击中目标”是A B∪A B；“至少有1人击中目标”是AB∪A B∪A B.

(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立，

∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.8＝0.64.

(2)“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即

A B)，另一种是甲未击中乙击中(即A B)．根据题意，这两种情况在各射击一次时不可

能同时发生，即事件A B与A B是互斥的，所以所求概率为P＝P(A B)＋P(A B)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.16＋0.16＝0.32.

(3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P＝P(AB)＋[P(A B)＋P(A B)]

＝0.64＋0.32＝0.96.

【例题5】

【题干】乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．

(1)求甲以4比1获胜的概率；

(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；