2020-2021学年浙教版重点高中自主招生数学模拟试题
2020年最新浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷
2020年最新浙教版重点高中自主招生数学模拟试题一、选择题（每小题3分，共30分）1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ） A ．直线y =﹣x 上 B ．抛物线y =x 2上 C ．直线y =x 上 D ．双曲线xy =1上 2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k %，那么k 的值是（ ） A ．35 B ．30C ．25D ．203．若﹣1＜a ＜0，则a ，a ³，3a ，1a一定是（ ） A ．1a 最小，a 3最大 B ．3a 最小，a 最大 C ．1a最小，a 最大 D ．1a最小，3a 最大4．如图，菱形ABCD 的边AB =20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO =10，则⊙O 的半径长等于（ ） A ．25B ．5 C． 6D ．325.将函数y ＝2x ＋b （b 为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y ＝|2x ＋b |（b 为常数）的图象．若该图象在直线y ＝2下方的点的横坐标x 满足0＜x ＜3，则b 的取值范围为（ ）A. -4≤b ≤-2B. -6≤b ≤2C.-4≤b ≤2D. -8≤b ≤-26.设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a @b =（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2，则下列结论：①若a @b =0，则a =0或b =0 ②a @（b +c ）=a @b +a @c③不存在实数a ，b ，满足a @b =a 2+5b 2④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a =b 时，a @b 最大．第4题图第5题图xOyC 1D 1A 1B 1E 1 E 2 E 3 E 4 C 2 D 2 A 2B 2C 3D 3A 3B 3第7题图其中正确的有（ ）A ．②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③7.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1，E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3……在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3……则正方形A 2018B 2018C 2018D 2018的边长是( )A ．201712（）B ．201812（）C ．201733（）D ．201833（）8. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣2，与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a ﹣b =0；②c ＜0；③﹣3a +c ＞0；④4a ﹣2b ＞at 2+bt （t 为实数）；⑤点（﹣29，y 1），（﹣25，y 2），（﹣21，y 3）是该抛物线上的点，则y 1＜y 2＜y 3. 其中说法正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9.若关于x 的方程22240224x x x ax x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）A ．6-B ．30-C ．32-D ．38-10.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 是AD 边上的两个动点，且AE ＝FD ，连接BE ,CF . BD ，CF 与BD 交于点G ，连接AG第8题图交BE 于点H ，连接DH ，下列结论正确的个数是（ ） ①△ABG ∽△FDG ②HD 平分∠EHG ③AG ⊥BE④S △HDG ：S △HBG ＝tan ∠DAG ;⑤线段DH 的最小值是25﹣2． A ．2 B ．3C ．4D ．5二、填空题（每小题4分，共20分）11．在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点P '（﹣y +1，x +2），我们把点P '（﹣y +1，x +2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2018的坐标为 ． 12. 如图, 点A ，C 都在函数33(0)y x x=>的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ．13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A (0,6),B （4，6）,C (4,4),D (6,4),E (6,0).若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 .14. 已知有理数x 满足：31752233x xx -+-≥-，若32x x --+的最小值为a ，最大值为b ，则ab = . 15.如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =90°，∠C =30°，AC =30cm ，将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A 落在斜边BC 上的一点E 处，折痕记为BD （如图1），减去△CDE 后得到双层△BDE （如图2），再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使第12题图 第13题图第15题图得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为 cm ．三、解答题（每题10分，共50分） 16. （本题满分10分）已知非零实数a ，b 满足a b a b a a =++-+-++-4)1)(5(316822，求1-b a 的值17. （本题满分10分）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”. (1)请你直接写出3个四位“和谐数”；（2）猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；(3) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x (14x ≤≤，x 为自然数)，十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式.18. （本题满分10分） 边长为22的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A 、C 不重合），连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°到BQ ，连接QP ，QP 与BC 交于点E ，QP 延长线与AD （或AD 延长线）交于点F ． （1）连接CQ ，证明：CQ =AP ；（2）设AP =x ，CE =y ，试写出y 关于x 的函数关系式，并求当x 为何值时，CE =83BC ；（3）猜想PF 与EQ 的数量关系，证明你的结论．19. （本题满分10分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE（1）求证：AC2=AE•AB；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）在(2)的条件下,设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．20. （本题满分10分）如图，已知抛物线y=ax2＋bx经过点A(10,0)和B(8,4)．点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线段，与直线OB交于点C，延长PC到Q，使QC=PC．过点Q的直线分别与x轴、y轴相交于点D、E，且OD=OE，直线DE与直线OB相交于点F．设OP=t．（1）请直接写出抛物线和直线OB的函数解析式；（2）当点Q落在抛物线上时，求t的值；（3）连结BD：①请用含t的代数式表示点F的坐标；②当以点B、D、F为顶点的三角形与△OEF相似时，第18题图第19题图O ABx ByPQCEDF18备用图1 18备用图219备用图1 19备用图2求t的值．数学参考答案一、 选择题（每题3分，共30分）1.D2.D3.A4.A5.A6.B7.C8.B9.D 10.C 二、填空题（每题4分，共20分） 11. （1，4）；12. （26，0）；13. 11133y x =-+；14. 5；15. 40或三、解答题（每小题10分，共50分） 16. （本题满分10分）由题意得：5,0)1)(5(2≥≥+-a b a ………………………………………. 2分44)4(16822-=-=-=+-a a a a a ……………………………… 3分)1)(5(3)1)(5(34)1)(5(344)1)(5(316822222=+-+-=+-+-+=++-+-+-=++-+-++-b a b a b a b a b a b a b a b a a……………6分又因为03≥-b ，0)1)(5(2≥+-b a 故0)1)(5(32=+-=-b a b ……… 8分则5,3==a b ， ………………………………… 9分故1-b a =25 ………………………… ………………………… ……………………10分17．（本题满分10分）解：⑴、四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）……………………2分（2）任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下： 设任意四位“和谐数”形式为：abcd ，则满足：最高位到个位排列：a ，b ，c ，d 个位到最高位排列：d,c,b,a 由题意，可得两组数据相同，则：a =d ,b =c则1000100101000100101001110911011111111abcd a b c d a b b a a ba b +++++++====+为正整数∴ 四位“和谐数” abcd 能被11整数 又∵a ，b ，c ，d 为任意自然数， ∴任意四位“和谐数”都可以被11整除…………………………………………5分 （3）设能被11整除的三位“和谐数”为，zyx ,则满足：个位到最高位排列：x,y,z 最高位到各位排列：z,y,x .由题意得,两组数据相同,则:x =z .故10110zyx xyx x y ==+10110991122911111111zyx x y x y x y x y x y +++--===++为正整数 ∴y =2x (14x ≤≤)……………………………………………………8分 18. （本题满分10分）（1）证明：如图1，∵线段BP 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BQ ， ∴BP =BQ ，∠PBQ =90°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA =BC ，∠ABC =90°． ∴∠ABC =∠PBQ ．∴∠ABC ﹣∠PBC =∠PBQ ﹣∠PBC ，即∠ABP =∠CBQ ． 在△BAP 和△BCQ 中，∵，∴△BAP ≌△BCQ （SAS ）．∴CQ =AP ；………………………………………………………………………………3分（2）解：如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC =∠BAD =45°，∠BCA =∠BCD =45°， ∴∠APB +∠ABP =180°﹣45°=135°，∵DC =AD =2，由勾股定理得：AC ==4，。
2021年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案
2021年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案2021年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案2021年浙江省重点高中自主招生考试数学试题卷本次考试不能使用计算器，没有近似计算要求的保留准确值.一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。
每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）1．“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则．小刚每天从家骑自行车上学都经过两个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到一次红灯一次绿灯的概率是( ▲ ) A ．1112 B ． C ． D ． 43232．若关于x 的一元一次不等式组⎨有解，则m 的取值范围为（▲ ）A ．m b 成立的函数是（▲ ）A ．y =-2x +3B ．y =-2(x +3) +4C ．y =3(x -2) -1D ．y =-4．据报道，日本福岛核电站发生泄漏事故后，在我市环境空气中检测出一种微量的放射性核素“碘-131”，含量为每立方米0.4毫贝克(这种元素的半衰期是8天，即每8天含量减少一半，如8天后减少到0.2毫贝克) ，那么要使含量降至每立方米0.0004毫贝克以下，下列天数中，能达到目标的最少的天数是（▲ ）A ．64B ．71C ．82D ．1045．十进制数2378，记作2378(10) ，其实2378(10) =2⨯10+3⨯10+7⨯10+8⨯10，二进制数1001(2) =1⨯2+0⨯2+0⨯2+1⨯2．有一个（0165(k ) ，把它的三个数字顺序颠倒得到的k 进制数561(k ) 是原数的3倍，则k =（▲ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 6．正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKRF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为2，则△DEK 的面积为（▲ ）A ．4B ．3C ．2 D7．如图，在Rt △AB C 中，AC =3，BC =4，D 为斜边上一动点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F 。
2020-2021学年浙江省重点高中提前招生考试数学模拟卷一(解析版)
2020-2021学年浙江省重点高中提前招生考试数学模拟卷一学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项∶本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分150分。
考试时间共120分钟。
一、单选题(共48分) 1．(本题6分)已知：23a b b c c a m cab+++=++，且0abc >，0a b c ++=，则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最小的值为y ，则x y +=（ ） A ．1- B ．1C ．2D ．3【答案】A 【分析】根据题意分析出a 、b 、c 为两个负数，一个正数，分三种情况进行讨论，求出m 不同的值，看有多少个，最小的值是多少． 【详解】解：∵0abc >，0a b c ++=， ∴a 、b 、c 为两个负数，一个正数， ∵a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，∴23c a bm c a b---=++， 分三种情况讨论，当0a <，0b <，0c >时，1234m =--=-， 当0a <，0c <，0b >时，1230m =--+=， 当0b <，0c <，0a >时，1232m =-+-=-， ∴3x =，4y =-，则341x y +=-=-．故选：A ． 【点睛】本题考查绝对值的化简和有理数的正负判断，解题的关键是根据绝对值的化简进行分类讨论． 2．(本题6分)若11111(2)(2)(4)(4)(6)(6)(8)(8)(10)p n n n n n n n n n n =+++++++++++++，则使p 最接近110的正整数n 是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】先用“裂项法”变形化简得到p ，再根据分子不变，分母越大分数值越小，所以先确定n=4时的p 值，看其与110的大小，即可求出结论． 【详解】 解：原式11111111111)22244668810n n n n n n n n n n =-+-+-+-+-+++++++++（ 111()210n n =-+ 5(10)n n =+当4n =时，50.08956p =≈ 当5n =时，10.06715p =≈ 当分子不变时，分母越大分数值越小，∴当n=6和n=7时的分数值均小于n=4和n=5时，∴当n=4时最接近110． 故选：A ． 【点睛】本题考查分式的加减法，熟练运用“裂项法”进行变形化简是解题的关键．3．(本题6分)若二次函数2y ax bx c =++（5c <-且302a <<）过(,)A m n ，()13,B y ，(2,)C m n -，()2D y ，()31,E y ，且AC 到对称轴的距离相等0n ≠，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．312y y y >>B ．321y y y >>C ．123y y y >>D ．312y y y <<【答案】A 【分析】由点A （m ，n ）、C （2−m ，n ）到对称轴的距离相等，可求函数的对称轴为x ＝1，所以b=-2a ，因为x=-1和x=3与对称轴的距离相等，所以x=-1和x=3对应的函数值相等，根据a 、b 和c 的取值范围，可以判断1x =- 、x =和1x = 时，函数2y ax bx c =++对应的函数值均为负数，根据11x =- 、2x = 和31x =分别与对称轴的距离，即可判断函数2y ax bx c =++所对应的函数值y3< y4< y2，所以()13,B y 、()2D y 和()31,E y 所对应的的二次函数2y ax bx c =++的函数值y3＞y1＞y2； 【详解】∴点A （m ，n ）、C （2−m ，n ）到对称轴的距离相等 ∴函数的对称轴为x ＝1 ∴b=-2a又∴x=-1和x=3与对称轴的距离相等∴x=-1和x=3对应的函数值相等∴5c <-且302a <<∴对于函数2y ax bx c =++当x =(22=0y a c a c =++< 当1x =-时，4=30y a b c a c =++<－当1x =时，3+=-0y a b c a c =++<∴302a <<，函数2y ax bx c =++对称轴为x ＝1 ∴y3< y4< y2<0∴对于函数2y ax bx c =++，y3＞y4＞ y2＞0 ∴y3＞y1＞y2 故选A 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．4．(本题6分)若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解 为31x -<<，则(1)(1)a b +-值为（ ）A ．6-B ．7C ．8-D ．9【答案】C 【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集1322a b x ++<<，根据不等式组的解集得出323b +=-，且112a +=，求出1a =，3b =-，即可解答．【详解】解：2123x a x b -<⎧⎨->⎩①②，解不等式∴得：12a x +<， 解不等式∴得：32x b >+，∴不等式组的解集为1322a b x ++<<， 若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩解为31x -<<，323b ∴+=-，且112a +=， 解得：1a =，3b =-，(1)(1)(11)(31)8a b ∴+-=+⨯--=-，故选：C ． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组)，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是根据不等式组解集得出关于a 和b 的方程，题目比较好，综合性比较强． 5．(本题6分)如图，反比例函数()30y x x=>的图象经过等腰直角三角形的顶点A 和顶点C ，反比例函数()0ky x x=<的图象经过等腰直角三角形的顶点B ，90BAC ∠=︒，AB 边交y 轴于点D ，若13AD BD ，C 点的纵坐标为1，则k 的值是（）A ．6316-B ．498-C ．4912-D ．-6【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质，利用“三垂直”模型构造全等，再运用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】如图，过点A 作直线//l y 轴，再过B C 、，分别做直线l 的垂线，垂足为M N 、， 则有ABM CAN ≌，AM CN =，BM AN =，设(),B a b ，其中0a <，13AD BD ， ∴点A 的横坐标可表示为3a -，代入()30y x x =>，解得9y a =-，故9,3a A a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且由题知：()3,1C9AM b a ∴=--，33a CN =+，43a BM =-，91AN a =--，4913933a a ab a ⎧-=--⎪⎪∴⎨⎪+=--⎪⎩①②，由∴解得94a =-或3a =（不合题意，舍去），则74b =，97634416k ab ∴==-⨯=-，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，能够根据等腰直角三角形的性质结合“三垂直”构造全等三角形，进而转化为线段关系求解是解题的关键． 6．(本题6分)若1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数，满足()()()()()2123452005200520052005200524x x x x x -----=，则2222212345x x x x x ++++的末位数字是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】A 【分析】因为1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数，所以()12005x -，()22005x -，()32005x -，()42005x -，()52005x -为互不相等的非零偶数（有偶数个负数），又因为26224=23 ，所以这5个偶数只能是2，-2，4，6，-6（否则就会有相同的偶数），所以1x ，2x ，3x ，4x ，5x 分别等于2007，2003，2001，1999，2011，所以2222212345x x x x x ++++的末位数字是1【详解】解：∴1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数∴()12005x -，()22005x -，()32005x -，()42005x -，()52005x -为互不相等的偶数，且负数个数为偶数个而将224分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：2242(2)46(6)=⋅-⋅⋅-∴()12005x -，()22005x -，()32005x -，()42005x -，()52005x -分别等于2、()2-、4、6、()6-∴1x ，2x ，3x ，4x ，5x 分别等于2007，2003，2001，1999，2011又∴20072尾数是9，20032尾数是9，20012尾数是1，19992尾数是1，20112尾数是1∴2222212345x x x x x ++++的末位数字是1．故选A ． 【点睛】本题主要考查了数字变化类的一些简单的问题，能够掌握七内在规律并熟练求解是解题关键．7．(本题6分)如图，△ABC 内接于⊙O ，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交⊙O 于点D ，连接DB 、DC ，若AB 是⊙O 的直径，OI ⊥AD ，则sin BCD ∠的值为( )A ．12B C D 【答案】D 【分析】根据条件证得∴BID=∴IBD，可得ID=BD，由AB是∴O的直径，得到BD∴AD，由于OI∴AD，于是求得AD=2ID，设BD=ID=x，根据勾股定理即可得到，根据三角函数即可得出答案．【详解】解：连接BI，∴点I是∴ABC的内心，∴∴BAD=∴CAD，∴ABI=∴CBI，∴弧CD=弧CD，∴∴CBD=∴CAD，∴∴BAD=∴CBD，∴∴BID=∴ABI+∴BAD，∴IBD=∴CBI+∴CBD，∴∴BID=∴IBD，∴ID=BD，∴设ID =BD=x,∴AB是∴O的直径，∴BD∴AD，∴∴BDA=90°，∴OI∴AD，∴AI=DI ， ∴AD=2DI=2x ，==，∴弧BD=弧BD ， ∴∴BCD=∴BAD ，∴sin =sinBD BCD BAD AB ∠∠===， 故选：D ． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的判定等知识点的应用，能正确作出辅助线并求出AD=2ID 是解此题的关键，有一定的难度．8．(本题6分)如图，菱形ABCD 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE ＝BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AG 于点O ．则下列结论①△ABF ≌△CAE ，②∠AHC ＝120°，③AH +CH ＝DH ，④CH 2＝HO•HD 中，正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】∴根据菱形的性质去证明()ABF CAE SAS ≅，∴利用外角定理和∴中全等三角形的性质证明AHC B ACB ∠=∠+∠，∴在HD 上截取HK=AH ，连接AK ，证明()AKD AHC AAS ≅，利用全等三角形的性质得到结论，∴证明OHC △与CHD相似条件不一定成立，得到结论．【详解】解：∴四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC ，∴AB=AC ，∴AB=BC=AC ，即ABC 是等边三角形，同理ADC 是等边三角形，∴60B EAC ∠=∠=︒，在ABF 和CAE 中，BF AE B EAC BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABF CAE SAS ≅，故∴正确；∴BAF ACE ∠=∠，∴AEH B BCE ∠=∠+∠，∴AHC BAF AEH BAF B BCE ∠=∠+∠=∠+∠+∠6060120B ACE BCE B ACB =∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，故∴正确；在HD 上截取HK=AH ，连接AK ，∴12060180AHC ADC ∠+∠=︒+︒=︒，∴点A 、H 、C 、D 四点共圆，∴60AHD ACD ∠=∠=︒，ACH ADH ∠=∠，∴AHK 是等边三角形，∴AK AH =，60AKH ∠=︒，∴120AKD AHC ∠=∠=︒，在AKD 和AHC 中，AKD AHC ADH ACH AD AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AKD AHC AAS ≅，∴CH DK =，∴DH HK DK AH CH =+=+，故∴正确；∴ODC CHO ∠=∠，但是无条件证明OCH CDH ∠=∠∴OHC △与CHD 不一定相似，∴CH2＝HO•HD 不一定成立，故∴不正确；正确的有3个．故选C ．【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定，菱形的性质，四点共圆的条件，相似三角形的性质和判定，利用这些性质定理结合题目条件进行证明．二、填空题(共42分)9．(本题6分)已知关于x 的方程()231210kx k x k +-+-=的解都是整数，则整数k 的值为______．【答案】0或1或1-【分析】分0k =和0k ≠两种情况，再分别解一元一次方程和一元二次方程，然后根据解都是整数即可得．【详解】由题意，分以下两种情况：（1）当0k =时，方程为10x --=，解得1x =-，满足解是整数；（2）当0k ≠时，方程()231210kx k x k +-+-=为一元二次方程， 因式分解，得()()1210x kx k ++-=， 解得1211,2x x k=-=-， 方程的解都是整数，k 也是整数，1k∴一定是整数， ∴整数1k =或1k =-；综上，整数k 的值为0或1或1-，故答案为：0或1或1-．【点睛】本题考查了解一元一次方程、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．10．(本题6分)已知对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算：@a b a b =+，如6@15===m ，n 是一元二次程22170x x -+=的两个不相等的实数根，则[()@m n mn +=_______． 【答案】25【分析】首先根据韦达定理求解两根之和与两根之积，然后代入原式根据定义进行求解．【详解】由m ，n 是22170x x -+=的两个不相等的实数根可得：21m n +=，7mn =故[()@(21@m n mn +=217⎛= +⎝⎭=⎝⎭===2=25【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（也叫韦达定理），实数的定义新运算，此类题型一定要严格按照题目中的定义来求解，注意过程的正确性．11．(本题6分)在∴ABC中，AH是BC边上的高，若CH-BH=AB，∴ABH=78°，则∴BAC=____【答案】63°或39°．【分析】如图1：当∴ABC为锐角时，过点A作AD=AB，交C于点D，由等腰三角形的性质可得∴ADB=∴ABH=70°、BH=DH，再结合AB+B H=CH、CH=CD+DH可得CD=AB=AD，再根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质求得∴C，然后再根据三角形内角定理即可求解；如图2：当∴ABC为钝角时，作AH∴BC于H，由AB+BH=CH可得出AB=BC，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可解答．【详解】解：如图1，当∴ABC为锐角时，过点A作AD=AB，交BC于点D，∴∴ADB=∴ABH=78°，BH=DH.∴AB+BH=CH，CH=CD+DH，∴CD=AB=AD，∴∴C=12∴ADB=39°，∴∴BAC=180°-∴ABH-∴C=63°.如图2：当∴ABC为钝角时，作AH∴BC于H ∴CH-BH=AB，∴AB+BH=CH，∴AB=BC，∴∴BAC=∴ACB=12∴ABH=39°． 故答案为：63°或39°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，由于题干没图，分∴ABC 为锐角及∴ABC 为钝角两种情况成为解答本题的关键．12．(本题6分)已知在平面直角坐标系中放置了个如图所示的正方形（用阴影表示），点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 在x 轴上．若正方形1111D C B A 的边长为1，1160B C O ∠=︒，112233////B C B C B C ，则点3A 到x 轴的距离是________．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∴B3C3O=∴B2C2O=∴B1C1O=60°，然后解直角三角形求出OC1、C1E 、E1E2、E2C2、C2E3、E3E4、E4C3，再求出B3C3，过点A3延长正方形的边交x 轴于M ，过点A3作A3N∴x 轴于N ，先求出A3M ，再解直角三角形求出A3N ，得出点A3到x 轴的距离．【详解】∴112233////B C B C B C ，∴33221160B C O B C O B C O ∠=∠=∠=︒，∴正方形1111D C B A 的边长为1， ∴111122OC =⨯=，111cos301C E C D =⋅︒==12111111sin 30122E D E E C D =⋅︒=⨯==，同理221236E C =⨯=，232212C E E B ==，341236E E =⨯=，431636E C ==， 3343112263B C E C ==⨯=， 过点3A 延长正方形的边交x 轴于M ，过点3A 作3A N x ⊥轴于N ，则31133A M =+=，3331sin 60926A N A M ++=⋅︒==，∴点3A 到x 轴的距离是：16．． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形，得出正方形各边长是解题关键． 13．(本题6分)如图，在正方形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，线段DP 的延长线交边AB 于点E （点E 与点A 、B 不重合），过P 作PF PD ⊥交边BC 于点F ，则2CF AC AP=-________．【答案】2【分析】如图（见解析），先根据矩形的判定与性质可得,,MD CN MN BC MN AD =⊥⊥，设AM x =，MD CN y ==，从而可得AD x y =+，再根据正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质可得),,AC x y AP PM x =+==，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得NF PM x ==，从而可得CF y x =-，由此即可得．【详解】如图，过P 点作//MN AB ，交AD 于M 点，交BC 于N 点，则四边形ABNM 和四边形CDMN 都是矩形，,,MD CN MN BC MN AD ∴=⊥⊥，设AM x =，MD CN y ==，则AD AM MD x y =+=+，四边形ABCD 是正方形，),54MAP NC D P AC x y ︒=∴===∠+∠，Rt AMP ∴和Rt CNP 是等腰直角三角形，,,PM AM x AP PN CN MD ∴======，PF PD ⊥，18018090NPF DPF MPD MPD MDP ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠=∠，在MPD 和NFP △中，90MDP NPF DM PN DMP PNF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()MPD NFP ASA ∴≅，NF PM x ∴==，CF CN NF y x ∴=-=-，则2CF AC AP ===-，．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形是解题关键． 14．(本题6分)已知抛物线21y ax bx a=+-与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）此抛物线的对称轴是直线______；（2）已知点11P ,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()Q 2,2，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，则a 的取值范围是______．【答案】x 1= 1a 2≤-【分析】（1）直接根据抛物线的对称性即可求解；（2）根据二次函数的图象和性质即可求解．【详解】解：(1)∴抛物线过点A （0，1a -）和点B （2，1a -），由对称性可得，抛物线对称轴为 直线02x 12+==，故对称轴为直线x=1； 故答案为：x=1；(2)∴当a>0时，则10a-<，分析图象可得:根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；也不可能同时经过点B 和点Q ，所以，此时线段PQ 与抛物线没有交点；∴当a<0时，则10a->，分析图象可得:根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；但当点Q 在点B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，此时12a-≤即1a 2≤-． 综上所述，当1a 2≤-时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点． 故答案为：1a 2≤-． 【点睛】 此题主要考查抛物线的对称性、二次函数的图象和性质，正确理解性质是解题关键．15．(本题6分)已知方程11x c x c +=+（c 是常数，0c ≠）的解是c 或1c ，那么方程2131462a a x x a+++=-（a 是常数，且0a ≠）的解是________． 【答案】32a +或312a a+ 【分析】 观察方程：11x c x c+=+（c 是常数，c≠0）的特点，发现此方程的左边是未知数与其倒数的和，方程右边的形式与左边的形式完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接求解．本题需要将方程x+2131462a a x a++=- 变形，使等号左边未知数的系数变得相同，等号右边的代数式可变为31222a a ++．为此，方程的两边同乘2，整理后，即可写成方程11x c x c+=+的形式，从而求出原方程的解． 【详解】 将2131462a a x x a+++=- 整理得 112323x a x a+=++-， 即112323x a x a-+=+-， 所以23x a -=或1a , 故答案为：32a x +=或312a a +． 【点睛】 本题考查了阅读理解能力与知识的迁移能力．关键在于将所求方程变形为已知方程的形式．难点是方程左边含未知数的项的系数不相同．三、解答题(共60分)16．(本题12分)已知方程()()3212352350m n m n x x x -+⋅++⋅-=．()1若0n m ==，求方程的根；()2找出一组正整数n ，m ，使得方程的三个根均为整数；()3证明：只有一组正整数n ，m ，使得方程的三个根均为整数．【答案】(1)1231x x x ===;(2) 当1m n ==时，方程的三个根均为整数；(3)见解析.【分析】（1）若n=m=0，则方程化为x3-3x2+3x -1=0，即（x -1）3=0．求解即可；（2）设方程x2-2•3mx+5n=0的两个解为x1，x2．根据公式法求得后，再确定m ，n 的值；（3）设9m -5n=k2（其中k 为整数），有9m -k2=5n ，即（3m -k ）（3m+k ）=5n ，再设3535m im i k k ⎧-=⎨+=⎩（其中i+j=n ，i ，j 为非负整数），因此2•3m=5j （5j -i+1），可得到2•3m=5n+1，然后讨论m ，n 的取值．【详解】解：()1若0n m ==，则方程化为323310x x x -+-=，即3(1)0x -=． 所以1231x x x ===．(2)方程化为()()212350m n x x x --⋅+=设方程22350m n x x -⋅+=的两个解为1x ，2x ．则1,23m x ==±当1m n ==时，方程的三个根均为整数；(3)设295m n k -=（其中k 为整数）所以295m n k -=，即()()335m m n k k -+=， 不妨设3535m im j k k ⎧-=⎨+=⎩（其中i j n +=，i ，j 为非负整数）， 因此：()23551m j j i -⋅=+， 又∴5不能整除23m ⋅，∴0i =，因此有2351m n ⋅=+，要使三根均为整数，则只有一组正整数1m n ==，此时121x x ==，35x =．【点睛】此题运用了立方差公式和公式法，（3）的难度较大，注意分类讨论．17．(本题12分)如图，直线1y x =-+与x ，y 轴分别交于A 、B 两点，(),P a b 为双曲线12y x=()0x >上的一动点，PM x ⊥轴与M ，交线段AB 于F ，PN y ⊥轴于N ，交线段AB 于E ．（1）求E 、F 两点的坐标（用a ，b 的式子表示）；（2）当34a =时，求EOF △的面积． （3）当P 运动且线段PM 、PN 均与线段AB 有交点时，探究：BE 、EF 、FA 这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由．【答案】（1）点E的坐标为（1-b，b），点F的坐标为（a，1-a）；（2）∴OEF的面积为524；（3）BE、EF、FA这三条线段总能组成一个直角三角形，理由见详解．【分析】（1）易得点E的纵坐标为b，点F的横坐标为a，代入直线的解析式y=-x+1，即可用a，b的式子表示出E、F两点的坐标．（2）当34a=时，可求出线段OM、ON、FM、EN、PE、PF的长，然后用割补法就可求出∴EOF的面积．（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，由P（a，b）为双曲线12 yx =（x＞0）上的一动点可得2ab=1．∴运用勾股定理将BE2、EF2、FA2用a、b的代数式表示，即可证到BE2+FA2=EF2，从而解决问题；【详解】解：（1）如图1，∴PM∴x轴与M，交线段AB于F，∴xF=xM=xP=a．∴PN∴y轴于N，交线段AB于E，∴yE=yN=yP=b．∴点E、F在直线AB上，∴yE=-xE+1=b．yF=-xF+1=-a+1．∴xE=1-b，yF=1-a．∴点E的坐标为（1-b，b），点F的坐标为（a，1-a）．（2）当34a=时，∴P（a，b）在双曲线12yx=（x＞0）上，∴1223ba==．∴点P的坐标为（34，23），点E的坐标为（13，23），点F的坐标为（34，14）．∴ON=23，NE=13，OM=34，FM=14．∴直线y=-x+1与x，y轴分别交于A、B两点，∴当x=0时，y=1，则点B的坐标为（0，1）；当y=0时，x=1，则点A的坐标为（1，0）．∴OA=OB=1．∴PN∴OB，PM∴OA，OA∴OB，∴∴PNO=∴NOM=∴OMP=90°．∴四边形OMPN是矩形．∴PM=ON=23，NP=OM=34．∴BN=12133-=，PE=3154312-=，PF=2153412-=．∴S∴OEF=S矩形OMPN-S∴ONE-S∴OMF-S∴PEF=OM•ON-12ON•NE-12OM•FM-12PE•PF=32121131155 4323324421212⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=11325 2932288 ---=5 24．∴∴OEF的面积为5 24．（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，BE、EF、FA这三条线段总能组成一个直角三角形．证明：如图1，∴PM∴x轴，FM=1-a，AM=1-a，∴FA2=FM2+MA2=（1-a ）2+（1-a ）2=2（1-a ）2．同理可得：BE2=2（1-b ）2，EF2=[a -（1-b ）]2+[b -（1-a ）]2=2（a+b -1）2．∴P （a ，b ）在双曲线y=12x （x ＞0）上， ∴2ab=1，a ＞0，b ＞0．∴EF2=2（a2+b2+1+2ab -2a -2b ）=2（a2+b2+1+1-2a -2b ）=2[（a2-2a+1）+（b2-2b+1）]=2（1-a ）2+2（1-b ）2=FA2+BE2．∴BE 、EF 、FA 这三条线段总能组成一个直角三角形．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、完全平方公式等知识，综合性比较强．解题的关键熟练掌握所学的知识，掌握数形结合的思想进行计算．18．(本题18分)如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，连结AC ，过点O 作//OF AC 交O 的切线BF 于点F ，连结AF ，分别交CD 和O 于点G ，H ，连结CF ，CH ．（1）求证：CF 是O 的切线．（2）判断GC 与GE 的数量关系并证明．（3）若2cos 3AOC ∠= ，求CH AB．【答案】（1）证明见解析；（2）=EG CG ，证明见解析；（3）CH AB =．【分析】（1）欲证明CF 是O 的切线只要证明OC∴CF 即可；（2）由（1）易证//EG BF ，所以AEG ABF ∽△△，根据相似三角形性质得EG AG BF AF =，根据两角相等证明AGC ACH ∽△△, 再得出AC CH AG CG=，据垂径定理可得AD AC =，方法同上证明CFH AFC ∽△△，所以AC AF CH CF=，根据切线长定理易得BF CF =，再由EG AG BF AF =先变形并用CF 等量代换BF 得AG AF EG CF =，所以AC CH AG EG=，又因为AC CH AG CG=，即可得结果； （3）由2cos 3AOC ∠=，再根据三角函数定义可得23OE OC = ,所以设2OE a =，3OC a =，那么半径3OA OC a ==，直径6AB a =，AE OA OC a =-=，由勾股定理得：EC =，又因为EG GC =，所以12EG GC EC ===，再由勾股定理得32AG a =，同理在Rt AEC △中，AC =，而ACG AHC ∽△△，所以AC CH AG CG =，可得CH =，从而求解． 【详解】（1）∴//AC OF ，∴BOF OAC ∠=∠，ACO COF ∠=∠，∴OA OC =，∴OAC ACO ∠=∠，∴COF BOF ∠=∠，在COF 与BOF 中， OC OB COF BOF OF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴COF BOF ≌△△，∴OCF OBF ∠=∠，∴BF 为O 切线，∴OB BF ⊥，即90OBF ∠=︒，∴90OCF OBF ∠=∠=︒，即OC CF ⊥，又∴C 在O 上，∴CF 是O 的切线．（2）∴EG AB ⊥，BF AB ⊥，∴//EG BF ，∴AEG ABF ∽△△，∴EG AG BF AF=， ∴DC AB ⊥，AB 为直径，∴AD AC =（垂径定理），∴ACG CHA ∠=∠，又∴CAG HAC ∠=∠，∴AGC ACH ∽△△, ∴AC CH AG CG =， ∴CF 为O 切线，∴HCF CAF ∠=∠（弦切角定理），又∴CFH AFC ∠=∠，∴CFH AFC ∽△△，∴AC AF CH CF =∴，又∴EG AG BF AF=， 由（1）得：BF CF =， ∴AG AF EG CF=∴， 由∴∴得：AC AG CH EG =，即：AC CH AG EG =，又∴AC CH AG CG =， ∴=EG CG ．（3）∴2cos 3AOC ∠=， ∴设2OE a =，3OC a =，则3OA OC a ==，6AB a =，AE OA OC a =-=，由勾股定理得：EC =，由（2）得：EG GC =，∴12EG GC EC ===在Rt AEG △中，AE a =，EG =， 由勾股定理得：32AG a =， 在Rt AEC △中，AE a =，EC =，由勾股定理得AC =，由（2）得：ACG AHC ∽△△， ∴AC CH AG CG =2a =∴CH =，∴3618CH ABa ==． 【点睛】本题考查切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握以上知识．19．(本题18分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y 轴于()0,3A 点，交x 轴于(2,0),(6,0)B C 两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A 、C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC △的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC △的最大面积；(3)过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与C 有怎样的位置关系，并给出证明．【答案】（1）21234y x x =-+；（2）33,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，274PAC S =△；（3）相交，证明见解析．【分析】 （1）根据题意设二次函数交点式，代入A 点坐标计算出解析式；（2）利用分割的方法建立PAC S 的二次函数式，再结合函数的性质分析即可；（3）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l 的方程及B 、C 的坐标，分别求出直AB 、BD 、CE 的解析式，再求出CE 的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可．【详解】（1）抛物线交x 轴于(2,0),(6,0)B C 两点， ∴设抛物线解析式为()()26y a x x =--，将()0,3A 代入，解得14a =， ∴抛物线解析时为21234y x x =-+； （2）如图，连接AC ，由题知：132AC y x =-+，作//PQ y 轴交AC 于点Q ， ()132PAC C A S PQ x x PQ =-=△， ∴当PQ 最大时，PAC △的面积最大， 故设21,234P m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则1,32Q m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 2211133232442PQ m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23273344PAC S PQ m ∴==--+△， 故当3m =时，PAC △的面积最大为274，此时33,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）连接CE ，则CE BD ⊥，由题可知，抛物线对称轴为直线x=4，∴=2=4OB AB BC ， ,∴AB∴BD ，∴90,90OAB OBA OBA EBC ，∠+∠=︒∠+∠=︒∴∴AOB∴∴BEC ，∴2AB OB BC CE CE =，解得∴213> ∴抛物线的对称轴l 与∴C 相交．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．。
2021年最新浙教版重点高中自主招生数学模拟试题
2021年最新浙教版重点高中自主招生数学模拟试题一、选择题（每小题3分，共30分）1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ） A ．直线y =﹣x 上 B ．抛物线y =x 2上 C ．直线y =x 上 D ．双曲线xy =1上 2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k %，那么k 的值是（ ） A ．35 B ．30C ．25D ．203．若﹣1＜a ＜0，则a ，a ³，3a ，1a一定是（ ） A ．1a最小，a 3最大 B ．3a 最小，a 最大 C ．1a 最小，a 最大 D ．1a最小，3a 最大4．如图，菱形ABCD 的边AB =20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO =10，则⊙O 的半径长等于（ ） A ．25 B ．5 C ．6 D ．325.将函数y ＝2x ＋b （b 为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y ＝|2x ＋b |（b 为常数）的图象．若该图象在直线y ＝2下方的点的横坐标x 满足0＜x ＜3，则b 的取值范围为（ ）A. -4≤b ≤-2B. -6≤b ≤2C.-4≤b ≤2D. -8≤b ≤-26.设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a @b =（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2，则下列结论：①若a @b =0，则a =0或b =0 ②a @（b +c ）=a @b +a @c③不存在实数a ，b ，满足a @b =a 2+5b 2④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a =b 时，a @b 最大．第4题图第5题图xOyC 1D 1A 1B 1E 1 E 2 E 3 E 4 C 2 D 2 A 2B 2C 3D 3A 3B 3第7题图其中正确的有（ ）A ．②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③7.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1，E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3……在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3……则正方形A 2018B 2018C 2018D 2018的边长是( )A ．201712（）B ．201812（）C ．201733（）D ．201833（）8. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣2，与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a ﹣b =0；②c ＜0；③﹣3a +c ＞0；④4a ﹣2b ＞at 2+bt （t 为实数）；⑤点（﹣29，y 1），（﹣25，y 2），（﹣21，y 3）是该抛物线上的点，则y 1＜y 2＜y 3. 其中说法正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9.若关于x 的方程22240224x x x ax x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）A ．6-B ．30-C ．32-D ．38-10.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 是AD 边上的两个动点，且AE ＝FD ，连接BE ,CF . BD ，CF 与BD 交于点G ，连接AG第8题图交BE 于点H ，连接DH ，下列结论正确的个数是（ ） ①△ABG ∽△FDG ②HD 平分∠EHG ③AG ⊥BE④S △HDG ：S △HBG ＝tan ∠DAG ;⑤线段DH 的最小值是25﹣2． A ．2 B ．3C ．4D ．5二、填空题（每小题4分，共20分）11．在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点P '（﹣y +1，x +2），我们把点P '（﹣y +1，x +2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2018的坐标为 ． 12. 如图, 点A ，C 都在函数33(0)y x x=>的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ．13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A (0,6),B （4，6）,C (4,4),D (6,4),E (6,0).若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 .14. 已知有理数x 满足：31752233x x x -+-≥-，若32x x --+的最小值为a ，最大值为b ，则ab = . 15.如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =90°，∠C =30°，AC =30cm ，将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A 落在斜边BC 上的一点E 处，折痕记为BD （如图1），减去△CDE 后得到双层△BDE （如图2），再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使第12题图 第13题图第15题图得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为 cm ．三、解答题（每题10分，共50分） 16. （本题满分10分）已知非零实数a ，b 满足a b a b a a =++-+-++-4)1)(5(316822，求1-b a 的值17. （本题满分10分）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”. (1)请你直接写出3个四位“和谐数”；（2）猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；(3) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x (14x ≤≤，x 为自然数)，十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式.18. （本题满分10分） 边长为22的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A 、C 不重合），连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°到BQ ，连接QP ，QP 与BC 交于点E ，QP 延长线与AD （或AD 延长线）交于点F ． （1）连接CQ ，证明：CQ =AP ；（2）设AP =x ，CE =y ，试写出y 关于x 的函数关系式，并求当x 为何值时，CE =83BC ；（3）猜想PF 与EQ 的数量关系，证明你的结论．19. （本题满分10分）如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于不过圆心O 的弦AB ，垂足为点N ，连接AC ，点E 在AB 上，且AE =CE （1）求证：AC 2=AE •AB ；（2）过点B 作⊙O 的切线交EC 的延长线于点P ，试判断PB 与PE 是否相等，并说明理由；（3）在(2)的条件下,设⊙O 半径为4，点N 为OC 中点，点Q 在⊙O 上，求线段PQ 的最小值．第18题图18备用图118备用图2。
【2020-2021自招】浙江瑞安中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年浙江瑞安中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
2020-2021学年浙江省重点高中提前招生考试数学模拟卷(原卷版)
2020-2021学年浙江省重点高中提前招生考试数学模拟卷一．选择题（共8小题）1．（2020•沙坪坝区自主招生）把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．11 2．（2020•浙江自主招生）将1，2，3，4，…，12，13这13个整数分为两组，使得一组中所有数的和比另一组中所有数的和大10，这样的分组方法（）A．只有一种B．恰有两种C．多于三种D．不存在3．（2020•浙江自主招生）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，则m3+n3﹣6mn 的值为（）A．﹣2B．8C．﹣6D．﹣8 4．（2020•浙江自主招生）已知方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．a＝1C．a≥1D．非上述答案5．（2020•浙江自主招生）已知：二次函数y＝x2+2x+a（a为大于0的常数），当x＝m时的函数值y1＜0；则当x＝m+2时的函数值y2与0的大小关系为（）A．y2＞0B．y2＜0C．y2＝O D．不能确定6．（2020•浙江自主招生）已知C点在圆O的直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB的平分线分别交AE、AB于点F、D．则∠ADF的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．不能确定7．（2020•浙江自主招生）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（）对．A．8B．16C．24D．32 8．（2015•温江区校级自主招生）如图，等腰梯形纸片ABCD，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，折叠纸片，使点B与点D重合，折痕为EF，若DF⊥BC，则下列结论：①EF∥AC；②DE ⊥AC；③△AED～△DAC；④EF＝3；⑤梯形ABCD的面积为25，其中正确的是（）A．①③④B．①②⑤C．③④D．①⑤二．填空题（共8小题）9．（2020•浙江自主招生）从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率为．10．（2020•浙江自主招生）方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝xy+7的所有正整数解有组．11．（2020•浙江自主招生）2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸．山坡上有一颗与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，测得树干的倾斜角为∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面的角∠ADC＝60°，AD＝4米．则这棵大树折断前高是米．（注：结果精确到个位）（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）12．（2020•浙江自主招生）如图，正方形EFGH内接于△ABC，设BC＝（表示一个两位数），EF＝c，三角形中高线AD＝d，已知a，b，c，d恰好是从小到大的四个连续正整数，则△ABC的面积为．13．（2020•沙坪坝区自主招生）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在边OC上，且BD＝OC，以BD为边向下作矩形BDEF，使得点E在边OA上，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过边EF与AB的交点G．若AG＝，DE＝2，则k 的值为．14．（2017•金牛区校级自主招生）若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a＝．15．（2012•南充自主招生）关于x的方程|＝k有四个相异的实数根，则k的取值范围是．16．（2017•杨浦区校级自主招生）在反比例函数y＝上存在点C，以点C为圆心，1为半径画圆，圆上存在两点到O点距离为2，则k的取值范围．三．解答题（共5小题）17．（2020•浙江自主招生）令f（n）＝．（1）求证：f（n）＝；（2）求：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（2013）的值；（3）求证：＜+++…+＜2．18．（2018•即墨区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y 轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴于E，且sin∠ABO＝，OA＝OE＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴于F，FB⊥AB，连接OD，BF交于点G，求S△DFG．19．（2020•浙江自主招生）如图，已知双曲线C1：y＝、抛物线C2：y＝x2﹣12，直线l：y＝kx+m．（Ⅰ）若直线l与抛物线C2有公共点，求+m的最小值；（Ⅱ）设直线l与双曲线C1的两个交点为A、B，与抛物线C2的两个交点为C、D．是否存在直线l，使得A、B为线段CD的三等分点？若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由．20．（2020•浙江自主招生）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P 过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ME是⊙P的切线；（3）设N（x，y）是抛物线上的一个动点（不与C、G重合）．当∠CNG≤30°时，请求出点N的横坐标的取值范围．21．（2020•浙江自主招生）已知平面上有两个定点A，B，则平面上满足＝k（k是不为1的常数）的动点，P形成一个圆，我们把这样的元叫做定比圆，如图点A（﹣2，）），B（6，0），且满足＝，设动点P形成的定比圆为圆M．（1）求圆M的圆心坐标和半径；（2）圆M是否存在P，使△P AB为直角三角形，若存在求出点P坐标；（3）若点Q的坐标为（2，3），求3PQ+PB的最小值．。
浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷2
浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷2注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（）A．21 B．22 C．23 D．242．如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1•k2D．3．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（）A．B．C．D．4．一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（）A．5cm B．6cm C．（）cm D．（）cm5．如图，⊙O沿凸n边形的外侧（圆和边相切）无滑动地滚动一周回到原来的位置，当⊙O和凸n边形的周长相等时，那么⊙O自身转动了（）圈．A．1 B．2 C．3 D．46．已知α为锐角，那么α的正弦值与余弦值的和（）A．比1小B．比1大C．等于1 D．不小于17．一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）A．B．C．D．8．如图，在梯形ABCD中，∠D=90°，M是AB的中点，若CM=6.5，BC+CD+DA=17，则梯形ABCD的面积为（）A．20 B．30 C．40 D．509．已知函数y=（a﹣2）x﹣3a﹣1，当自变量x的取值范围是3≤x≤5时，y既能达到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a的取值范围是（）A．a＜3 B．a＞5 C．a＞8 D．任意实数10．在打靶中，某运动员每发子弹都是命中8、9、10环，他打了多于11发子弹，共得100环，那么，他命中10环的次数是（）A．0 B．1 C．2 D．不能确定第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．a 、b 为实数，且满足ab +a +b ﹣8=0，a 2b +ab 2﹣15=0，则（a ﹣b ）2= ．12．已知：定点A （3，2），动点M 在函数y=x 的图象上运动，动点N 在x 轴上运动，则△AMN 的周长的最小值为 ．13．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC=a ，CA=b ，且∠A ﹣∠B=90°．则⊙O 的半径为 ．14．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，设能完全覆盖△ABC 的圆的半径为R ．则R 的最小值是 ．15．如图，E 、F 分别是▱ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD =10cm 2，S △BQC =20cm 2，则阴影部分的面积为 ．16．如果正数x 、y 、z 可以是一个三角形的三边长，那么称（x ，y ，z ）是三角形数．若（a ，b ，c ）和均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则的取值范围是 ．评卷人得 分 三．解答题（共5小题，共46分）17．（8分）已知a ，b ，c 是三角形的三边，求证：．18．（8分）已知25x =2000，80y =2000，求的值． 19．（10分）已知二次函数y=x 2+2（m +1）x ﹣m +1．（1）随着m 的变化，该二次函数图象的顶点P 是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．（2）如果直线y=x +1经过二次函数y=x 2+2（m +1）x ﹣m +1图象的顶点P ，求此时m 的值．20．（10分）如图，已知⊙O 是锐角△ABC 的外接圆，BE ，CF 分别是AC ，AB 边上的高，自垂足E，F分别作AB，AC的垂线，垂足为G，H，设EG与FH相交于K．（1）证明：A，K，O三点共线．（2）若AK=OK，求∠A．21．（10分）先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：材料：过抛物线y=ax2（a＞0）的对称轴上一点（0，﹣）作对称轴的垂线l，则抛物线上任意一点P到点F（0，）的距离与P到l的距离一定相等，我们将点F与直线l 分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x2的焦点为（0，）．问题：若直线y=kx+b交抛物线y=x2于A、B、AC、BD垂直于抛物线的准线l，垂直足分别为C、D（如图）．①求抛物线y=x2的焦点F的坐标；②求证：直线AB过焦点时，CF⊥DF；③当直线AB过点（﹣1，0），且以线段AB为直径的圆与准线l相切时，求这条直线对应的函数解析式．参考答案与试题解析1．解：∵5个相异自然数的平均数为12∴5个相异自然数的和为60；∵中位数为17，∴这5个数中有2个数比17小，有两个数比17大；又∵求这5个数中的最大一个的可能值的最大值，∴设这5个数中两个最小的数为0和1，而比17大的最小的自然数是18，∴剩下的第5个数是：60﹣0﹣1﹣17﹣18=24，即第5个数是24，∴这5个数为0，1，17，18，24．∴这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是24；故选：D．2．解：根据题意可得四边形PAOB的面积=S矩形OCPD﹣S OBD﹣S OAC，由反比例函数中k的几何意义，可知其面积为k1﹣k2．故选：B．3．解：根据题意，画树状图得：∴一共有24种跑步顺序，而恰好由甲将接力棒交给乙的有6种，∴恰好由甲将接力棒交给乙的概率是：=．故选：A．4．解：∵斜边AB=8cm，∠A=30°，∴BC=4cm，AC=4cm，周长是12+4cm，连接BE，过E作EM⊥BC于M，∵点E到边AB，BC的距离均为1，∴∠ABE=∠EBC=∠ABC=30°（在角内部，到角两边距离相等的点在角平分线上），EM=1cm，∴BM=cm．则EF=4﹣1﹣=3﹣cm．∴△ABC∽△DEF，相似比是=，相似三角形周长的比等于相似比，因而=，解得△DEF的周长是6cm．故选：B．5．解：根据运动方式不同，分两种情况考虑：（i）当一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数=（线段的长度÷圆的周长），若不考虑⊙O滚动经过n个顶点的情况，可得⊙O自身恰好转动了一圈；（ii）当⊙O在某边的一端，滚动经过该端点（即顶点）时，⊙O自身转动的角度恰好等于n边形在这个顶点的一个外角，∵凸n边形的外角和为360°∴⊙O滚动经过n个顶点自身又转动一圈，综上，当⊙O和凸n边形的周长相等时，⊙O自身转动了2圈．故选：B．6．解：由题意得，α为锐角，故可得sinα＞0，cosα＞0，又sin2α+cos2α=1，故可得（sinα+cosα）2=2sinαcosα+sin2α+cos2α＞1，故sinα+cosα＞1．故选：B．7．解：余弦定理：a，a，b中最小内角为边b所对，cosx=b，b，a中最小内角为边b所对，cosy=∵x=y，∴=解方程得：=．故选：B．8．解：延长CM、DA交于点E．∵AD∥BC，∴∠MAE=∠B，∠E=∠BCM．又AM=BM，∴△AME≌△BMC．∴ME=MC=6.5，AE=BC．又BC+CD+DA=17，∠D=90°，∴DE+DC=17①，DE2+DC2=CE2=169②．∴DE•CD=[（DE+DC）2﹣DE2﹣DC2]=60．∴梯形ABCD的面积为DE•CD=30．故选：B．9．解：若a﹣2＞0即a＞2时，函数为增函数，由题意可知，x=5时y＞5，即（a﹣2）×5﹣3a﹣1＞5，解得a＞8；当x=3时y＜3，即（a﹣2）×3﹣3a﹣1＜3，此时a无论为何实数不等式恒成立；故a＞8；若a=2，y=﹣7，不合题意；若a﹣2＜0，即a＜2时，此函数为减函数，当x=3时y＞5，即（a﹣2）×3﹣3a﹣1＞5，此不等式不成立．故种情况不存在．故选：C．10．解：设环数为8，9，10的次数分别为x，y，z，∴x+y+z＞11，8x+9y+10z=100，∵若x+y+z≥13，则8x+9y+10z≥8×13＞100，故x+y+z=12．∴该运动员打靶的次数为：12．当x=10时，y=0，z=2，当x=9时，y=2，z=1，当x=8时，y=4，z=0．故他命中10环的次数分别为：0，1，2．故选：D．11．解：∵a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8=0，a2b+ab2﹣15=0，∴ab+（a+b）=8，ab•（a+b）=15，∴ab、a+b是方程x2﹣8x+15=0，即（x﹣3）（x﹣5）=0的两个根，∴x=3或x=5；①当ab=3，a+b=5时，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=25﹣12=13，即（a﹣b）2=13；②当ab=5，a+b=3时，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=9﹣20=﹣11＜0，即（a﹣b）2＜0，不合题意；综上所述，（a﹣b）2=13；故答案是：13．12．解：根据题意画出图形，如图所示：定点A（3，2），关于函数y=x的对称点A′（2，3），A关于x轴的对称点A′′（3，﹣2），A′A′′==．故答案为：13．解：作直径BD，连接AD，CD，则∠DAB=∠DCB=90°，∵∠CAB﹣∠ABC=90°，∠CAB﹣∠CAD=90°，∴∠CAD=∠ABC，∴=，∴CD=AC=b，∵BC=a，∴BD==，∴⊙O的半径为：．故答案为：．14．解：分两种情况：①如果△ABC是锐角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆必然是△ABC的外接圆，连接BO，并延长交△ABC的外接圆O于点E，并连接AE，则∠ACB=∠AEB，∵∠BAE=∠ADC=90°，∴△BAE∽△ADC，∴，即==，又∵BE是⊙O的直径，∴BO=BE=；②如果△ABC是钝角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆为最长边AB的一半，故R==7.5．故答案为：7.5或 ．15．解：连接E 、F 两点，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△EFC 的FC 边上的高与△BCF 的FC 边上的高相等， ∴S △EFC =S △BCF ，∴S △EFQ =S △BCQ ，同理：S △EFD =S △ADF ，∴S △EFP =S △ADP ，∵S △APD =10cm 2，S △BQC =20cm 2，∴S 四边形EPFQ =30cm 2，故阴影部分的面积为30cm 2．16．解：方法一、∵（a ，b ，c ）为三角形数， ∴a +b ＞c ．∴b ＞c ﹣a ， ∴， ∵为三角形数，∴，∴，两边同时乘以a（a＞0），得，，即，化简得，a2﹣3ac+c2＜0，两边除以c2得，，∴∵a≤b≤c，∴，∴；故答案为：＜≤1．方法二、设，∵（a，b，c）为三角形数，∴a+b＞c，∴b＞c﹣a，∴b＞（1﹣k）c，∴，∵为三角形数，∴，∴，∴，化简得，k2﹣3k+1＜0，解得，∴k≤1，∴，故答案为：．17．解：由“三角形两边之和大于第三边”可知，，是正分数，再利用不等式的性质：，同理．∴．18．解：由已知得=25，=80，两式相乘，得×==25×80=2000，所以=1．19．解：（1）该二次函数图象的顶点P是在某条抛物线上求该抛物线的函数表达式如下：利用配方，得y=（x+m+1）2﹣m2﹣3m，顶点坐标是P（﹣m﹣1，﹣m2﹣3m）．方法一：分别取m=0，﹣1，1，得到三个顶点坐标是P1（﹣1，0）、P2（0，2）、P3（﹣2，﹣4），过这三个顶点的二次函数的表达式是y=﹣x2+x+2．将顶点坐标P（﹣m﹣1，﹣m2﹣3m）代入y=﹣x2+x+2的左右两边，左边=﹣m2﹣3m，右边=﹣（﹣m﹣1）2+（﹣m﹣1）+2=﹣m2﹣3m，∴左边=右边．即无论m取何值，顶点P都在抛物线y=﹣x2+x+2上．即所求抛物线的函数表达式是y=﹣x2+x+2．方法二：令﹣m﹣1=x，则m=﹣x﹣1，将其代入﹣m2﹣3m，得﹣（﹣x﹣1）2﹣3（﹣x﹣1）=﹣x2+x+2．即所求抛物线的函数表达式是y=﹣x2+x+2上．（2）如果顶点P（﹣m﹣1，﹣m2﹣3m）在直线y=x+1上，则﹣m2﹣3m=﹣m﹣1+1，即m2=﹣2m，∴m=0或m=﹣2，∴当直线y=x+1经过二次函数y=x2+2（m+1）x﹣m+1图象的顶点P时，m的值是﹣2或0．20．解：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，设BE、CF交于点L，连接AL并延长交BC于点J，连接EF，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∠BFC=∠BEC=90°，∴B、F、E、C四点共圆，∴∠AFE=∠ACB，∵∠ACB=∠APB，∴∠AFE=∠APB，∵AP是直径，∴∠ABP=90°，∴∠APB+∠BAP=90°，∴∠AFE+∠BAP=90°，∴AO⊥EF，∵FH⊥AE，EG⊥AF，EG与AF交于点K，∴K为△AEF的垂心，∴A、K、O三点共线；（2）如图2，设BE、CF交于点L，则L为△ABC的垂心，连接AL，则AL⊥BC，连接BO 并延长交⊙O于点M，连接CM、AM，过点O作ON⊥BC于N，∵BM是直径，∴MA⊥AB，∵CF⊥AB，∴CF∥MA，同理AL∥CM，∴四边形ALCM是平行四边形，∴AL=CM，∵ON⊥BC，BO=OM，∴ON=CM=AL，∵AL⊥BC，∴∠LAC+∠ACB=90°，∵∠BAP+∠APB=90，∠APB=∠ACB，∴∠BAP=∠CAL，∵∠AFH+∠BAC=∠ACF+∠BAC=90°，∴AFH=∠ACF，∴△AFK∽△ACL，∴=，①∵∠BON=∠BOC=∠BAC，∴△BON∽△CAF，∴=，∵ON=CM=AL，AO=BO=2AK，∴=，②①、②两式相乘可得：（）2=，∴=，即cos∠BAC=，∴∠BAC=60°．21．①解：F（0，1）②证明：∵AC=AF，∴∠ACF=∠AFC又∵AC∥OF，∴∠ACF=∠CFO，∴CF平分∠AFO，同理DF平分∠BFO；而∠AFO+∠BFO=180°∴∠CFO+∠DFO=（∠AFO+∠BFO）=90°；∴CF⊥DF．③解：设圆心为M，且与l的切点为N，连接MN；∴MN=AB在直角梯形ACDB中，M是AB的中点．∴MN=（AC+BD），而AC=AF，BD=BF．∴MN=（AF+BF）∴AF+BF=AB∴AB过焦点F（0，1）．又AB过点（﹣1，0）∴解得∴AB对应的函数解析式为y=x+1．。
2021学年浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷13
2021学年浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷13____-____学年浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．若实数_满足|_﹣3|+A．4_+2 =7，化简2|_+4|﹣的结果是（）B．﹣4_﹣2 C．﹣2 D．22．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（） A．a2+b2=c2 B．a=5，b=12，c=13 C．∠A=∠B+∠CD．∠A：∠B：∠C=3：4：53．一根长30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠，为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，MA的长应为（）A．7.5cm B．9cm C．12cm D．10.5cm4．桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积．今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3：4：5．若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？（）底面积（平方公分） 60 80 100 D．7.5甲杯乙杯丙杯 A．5.4 B．5.7 C．7.25．抛物线y=_2+4_+5是由抛物线y=_2+1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（） A．向左平移1个单位 B．向左平移2个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移2个单位6．在打靶中，某运动员每发子弹都是命中8、9、10环，他打了多于11发子弹，共得100环，那么，他命中10环的次数是（） A．0B．1 C．2D．不能确定，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）A．1 B． C． D．8．点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，分别以弦AC、BC为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆．则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（）A．B． C． D．二．填空题（共10小题，满分40分，每小题4分） 9．已知扇形的半径为2cm，面积是cm2，则扇形的弧长是 cm．10．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC 内一点，连接PA、PB、PC，若PA=6，PB=8，PC=10，则菱形ABCD的面积等于．11．若直线y=2_+3与直线y=m_+5平行，则m+2的值为． 12．已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则= ．13．取大小、质地都相同的四张卡片，正面分别写有数字﹣1，1，2，3，充分洗匀后任取两张，取卡片上标注的两个数作为点的坐标，那么该点刚好在一次函数y=_﹣2图象上的概率是14．若关于_的不等式组是．15．如图，菱形ABCD的边长是2cm，∠A=60°，点E、F分别是边AB、CD上的动点，则线段EF的最小值为 cm．的所有整数解的和是﹣9，则m的取值范围16．如图，Rt△ABC，∠BCA=90°，AC=BC，点D为△ABC外一点，且AC=CD，连接DB交AC于点H，∠DCA的平分线交DH于点F，过B点作FC的垂线交FC的延长线于点E．已知tan∠DB C=，S△ACD=8，则CE的长为．17．方程|_2﹣3_+2|+|_2+2_﹣3|=11的所有实数根之和为． 18．已知实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1=0，b2﹣2b﹣1=0，则三．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分）19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．（1）若∠A=28°，求∠A CD的度数．（2）设BC=a，AC=b．①线段AD的长是方程_2+2a_﹣b2=0的一个根吗？说明理由．②若AD=EC，求的值．的值是．20．（10分）如图1，在平面直角坐标系_Oy中，直线l：于点A和点B（0，﹣1），抛物线（4，n）．与_轴、y轴分别交经过点B，且与直线l的另一个交点为C（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．21．（10分）若关于_的分式方程的解为负数，求a的取值范围．22．（10分）如图①，△ABC内接于⊙O，点P是△ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点D，交⊙O于点E，经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G．（1）求证：BC∥FG；（2）探究：PE与DE和AE之间的关系；（3）当图①中的FE=AB时，如图②，若FB=3，CG=2，求AG的长．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．解：∵|_﹣3|+∴|_﹣3|+|_+4|=7，∴﹣4≤_≤3，∴2|_+4|﹣=2（_+4）﹣|2_﹣6| =2（_+4）﹣（6﹣2_） =4_+2，故选：A．2．解：A、a2+b2=c2，是直角三角形，错误； B、∵52+122=132，∴此三角形是直角三角形，故本选项正确； C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C ∴∠A=90°，∴此三角形是直角三角形，故本选项正确； D、设∠A=3_，则∠B=4_，∠C=5_，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3_+4_+5_=180°，解得_=15° ∴∠C=5_15°=75°，∴此三角形不是直角三角形，故本选项正确；故选：D．3．解：将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm，下底等于纸条宽的2倍，即6cm，两个三角形都为等腰直角三角形，斜边为纸条宽的2倍，即6cm，故超出点P的长度为（30﹣15）÷2=7.5， AM=7.5+3=10.5．故选D．=7，。
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2020-2021年浙教版重点高中自主招生
数学模拟试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ） A ．直线y =﹣x 上 B ．抛物线y =x 2上 C ．直线y =x 上 D ．双曲线xy =1上 2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k %，那么k 的值是（ ） A ．35 B ．30
C ．25
D ．20
3．若﹣1＜a ＜0，则a ，a ³，3a ，1
a
一定是（ ） A ．1a 最小，a 3最大 B ．3a 最小，a 最大 C ．1a
最小，a 最大 D ．1a
最小，3a 最大
4．如图，菱形ABCD 的边AB =20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO =10，则⊙O 的半径长等于（ ） A ．25
B ．5 C
． 6
D ．32
5.将函数y ＝2x ＋b （b 为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y ＝|2x ＋b |（b 为常数）的图象．若该图象在直线y ＝2下方的点的横坐标x 满足0＜x ＜3，则b 的取值范围为（ ）
A. -4≤b ≤-2
B. -6≤b ≤2
C.-4≤b ≤2
D. -8≤b ≤-2
6.设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a @b =（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2，则下列结论：
①若a @b =0，则a =0或b =0 ②a @（b +c ）=a @b +a @c
③不存在实数a ，b ，满足a @b =a 2+5b 2
④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a =b 时，a @b 最大．
第4题图
第5题图
x
O
y
C 1
D 1
A 1
B 1
E 1 E 2 E 3 E 4 C 2 D 2 A 2
B 2
C 3
D 3
A 3
B 3
第7题图
其中正确的有（ ）
A ．②③④
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③
7.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1，E 1，E 2，
C 2，E 3，E 4，C 3……在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1
D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3……则正方形A 2018B 2018C 2018D 2018的边长是( )
A ．201712（）
B ．201812（）
C ．201733（）
D ．2018
33
（）
8. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣2，与x 轴的一个交点在
（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a ﹣b =0；②c ＜0；③﹣3a +c ＞0；④4a ﹣2b ＞at 2+bt （t 为实数）；⑤点（﹣
29，y 1），（﹣2
5
，y 2），（﹣2
1
，y 3）是该抛物线上的点，则y 1＜y 2＜y 3. 其中说法正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
9.若关于x 的方程
22240224
x x x a
x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）
A ．6-
B ．30-
C ．32-
D ．38-
10.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 是AD 边上的两个动点，且AE ＝FD ，连接BE ,CF . BD ，CF 与BD 交于点G ，连接AG
第8题图
交BE 于点H ，连接DH ，下列结论正确的个数是（ ） ①△ABG ∽△FDG ②HD 平分∠EHG ③AG ⊥BE
④S △HDG ：S △HBG ＝tan ∠DAG ;⑤线段DH 的最小值是25﹣2． A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点P '（﹣y +1，x +2），我们把点P '（﹣y +1，x +2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…
P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2018的坐标为 ． 12. 如图, 点A ，C 都在函数33
(0)y x x
=
>的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ．
13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A (0,6),B （4，6）,C (4,4),D (6,4),E (6,0).若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 .
14. 已知有理数x 满足：31752233
x x
x -+-≥-
，若32x x --+的最小值为a ，最大值为b ，则ab = . 15.如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =90°，∠C =30°，
AC =30cm ，将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A 落在斜边BC 上的一点E 处，折痕记为BD （如图1），减去△CDE 后得到双层△BDE （如图2），再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使
第12题图 第13题图
第15题图
得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为 cm ．
三、解答题（每题10分，共50分） 16. （本题满分10分）
已知非零实数a ，b 满足a b a b a a =++-+-++-4)1)(5(316822，求1-b a 的值
17. （本题满分10分）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”. (1)请你直接写出3个四位“和谐数”；
（2）猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；
(3) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x (14x ≤≤，x 为自然数)，十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式.
18. （本题满分10分） 边长为22的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A 、C 不重合），连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°到BQ ，连接
QP ，QP 与BC 交于点E ，QP 延长线与AD （或AD 延长线）交于点F ． （1）连接CQ ，证明：CQ =AP ；
（2）设AP =x ，CE =y ，试写出y 关于x 的函数关系式，并求当x 为何值时，CE =8
3BC ；
（3）猜想PF 与EQ 的数量关系，证明你的结论．
19. （本题满分10
分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，
点E在AB上，且AE=CE
（1）求证：AC2=AE•AB；
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并
说明理由；
（3）在(2)的条件下,设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段
PQ的最小值．
20. （本题满分10分）如图，已知抛物线
y=ax2＋bx经过点A(10,0)和B(8,4)．点P是x轴正半轴上的一个动点，过点
P作x轴的垂线段，与直线OB交于点C，延长PC到Q，使QC=PC．过点Q的
直线分别与x轴、y轴相交于点D、E，且OD=OE，直线DE与直线OB相交于
点F．设OP=t．
（1）请直接写出抛物线和直线OB的函数解析式；
（2）当点Q落在抛物线上时，求t的值；
（3）连结BD：
①请用含t的代数式表示点F的坐标；
②当以点B、D、F为顶点的三角形与△OEF相似时，
第18题图
第19题图
O A
B
x B
y
P
Q
C
E
D
F
18备用图1 18备用图2
19备用图1 19备用图2
求t的值．。