理论力学动力学复习(韦林)

(2)
⎪⎩Jcα = T × 0.25
(3)
初瞬时ω＝0
则有
又由(1)知acx＝0 所以
联立解(2)(3)(4)式
acnA = 0 ac = acy = acτAcosθ
= AC ⋅ αcosθ = 0.25α
α = 12 ⋅ g , 17 0.25
(4)
ac
= 12 g = 6.92 17
m/s 2
0,
摆动的周期：T = 2π
3(R − r) 2g
补3-1 均质正方形薄板ＡＢＣＤ，边长为b（ｍ），质量为ｍ （kg），对质心Ｏ的转动惯量ＪＯ＝ｍb２／６，Ｃ点的速度方 向垂直于ＡＣ，大小为v（ｍ／ｓ），Ｄ点速度方向沿直线Ｃ Ｄ，则其动量的大小为____； 对Ａ点的动量矩的大小为 ____；
动能为_____。
PA A
PA g
vA
−
PB g
(lω
sin ϕ
−
vA
)
=
0
动能定理：
ϕ vA
[ ] 1
2
PA g
v
2 A
+
1 2
PB g
(lω sinϕ − vA )2 + (lω cosϕ )2
xA
= l sinϕPB
或者求B速度:
解: 条件:1. ax=0, 2. t=0, ω=0。
质心守恒: [c]: [y]:
ac
=
acy
=
α
l 2
sinθ
,
Jcα = acm
F l sinθ
=
2 mg
−
F
, ,
Jc
=
m
l2 12
,
α = g sinθ ,
l (sin2 θ + 1 )
2
3
θ = 0°，F = P ,
F=
1
P,
3(sin2 θ + 1 )
例9-9:水泥泵以速度v1将砂浆喷射在墙面上，又以速度v2反射 出去，已知：流量Q，质量比ρ,求:墙面受到的力。 解：
Fx=Q ρ(v2cosα)−(− Q ρv1) =Q ρ(v2cosα+ v1)
流量Q=Av1.
v2
Fx
α
v1
α
v2
欧拉方程： F动 = m( vr2 − vr1 ),
例9-13:质量m1的小车在光滑平面上以速度v1行驶，质量m2的 人从车后以v2跳上，随后又将车上质量为m3货物朝后以v3抛 出，求：此时车速。
FA
=
2⋅
3 13
P
=
0.266P ,
例10-19. 4kg的均质板静止悬挂。求：
B点的绳或弹簧被剪断的瞬时，质心加
速度各为多少。
解：
1.考虑第一种情况，作受力分析和 运动分析，如图所示。
T
aA
θ
aCnA C
aA
aCτ A
mg
应用刚体平面运动
⎧ma ⎪
cx
=
0
(1)
微分方程
⎨macy = mg − T
2.考虑第二种情况，受力分析如下， 初瞬时弹簧还未变形，弹簧力为
T = 1 mg 2
根据平面运动微分方程
⎪⎨⎧mmaaccyx
= =
0 mg
−T
(1) (2)
⎪ ⎩
J
cα
=
T
× 0.25
(3)
由(2)式得
ac
= acy
=
g 2
= 4.9
m/s2
T
mg
$3-3 动能定理
一、动能定理
d(∑ mv 2 ) = dT = δW , 2
Lx
=
Mx
,
d dt
Ly
=
M
y
,
d dt
Lz
=
Mz
,
动量矩守衡定理
M x = 0, Lx = c1 ,
相对于质心的动量矩定理:
∑ r
dLc = dt
rri'
r × Fi
=
r Mc ,
投影定理:
dLcx dt
=
Mcx ,
dLcy dt
=
Mcy ,
守衡定理:
r Lc
=
cr
,
dLcz dt
=
Mcz ,
刚体平面运动的微分方程
动力学复习
$3 动量定理
一、 质心运动定理
质心位置公式 质心运动定理
xc
m
=
arc
Σmi x m
=m
idd,vrtcyc==mΣmdmdi2tyrr2ic
,
zc
=
Σmi m
r = ∑ Fi ,
z
i
,
二、 动量定理
dpx dt
=
d dt
∑
mivi
x
= ∑ Fixe ,
dpz dt
=
d dt
∑ miviz
ω2 α 2 r1
分别对A轮和B轮用动量矩定理：
FAx
mAg ρ l1g
对A：
LA = J1ω1 + ρl1ω1r12 对B：
LB = J 2ω2 + ρl2ω2r22
d LA dt
=
M
− (T2
− T1)r1
dLB dt
= (T2′ − T1′)r2
联立 未知量
⎪⎧( ⎪⎩⎨(
J1 J2
+ +
ρl1r12 )α1 = M − (T2 − T1 ρl2r22 )α 2 = (T2′ − T1′)r2
∑ J z'c
dω
dt
= J z'c
dϕ 2
dt 2
=
Mc
ma xc
=
m
dxc dt 2
=
Fxi
∑ ma yc
=
m
dyc dt 2
=
Fyi
$3-2.1 转动惯量、平行移轴公式
∑ J z' = miri2
廻转半径
ρz =
JZ , m
平行移轴公式
J z' = J z + ma2
例10-10.已知：主动轮A的半径为r1，转动惯量 为J1 ，转动力矩为M ，从动轮B的半径为r2，转
T2 − T1 = W + W' ,
微分形式 积分形式
∑ 1.作平动时
T=
1m 2
i
vi
2
=
1 2
mvc 2
∑ ∑ 2.作定轴转动
T=
1 m
2
i
vi
2
=
1 m
2
i
ri
2ω
2
=
1 2
J zω
2
,
3.刚体作平面运动
T
=
1 2
Jcω2
+
1 2
mvc2 ,
例11-11 重P，长l的匀质杆，端部悬着重G的物体，在L/3处系 着k 系数的弹簧。求：摆动时的振动方程
知:圆盘重量为P，物体重量为G，B物体与地面的摩擦系数f。
求：当物体A以初速度v0下落到一倍初速时的高度h.
解：
T
=
1 2
v
A
2
P g
+
1 2
v
B
2
P g
+
1 2
R2 2
G g
ωD 2
+
1 2
v
D
2
G g
+
1 2
ωC
2
r2 2
G g
,
W = Ph − Pf ⋅ xB + Gh, 有: ω D ⋅ R = vA , 2ω D ⋅ R = rωC = vB , 2vA = vB ,
解:
动量矩方程:
l2P 3g
α
+
l2
G g
α
=
−k
l 3
(ϕ
s
+ϕ)
l 3
+
l 2
P
+
lG,
平衡条件:
P
l 2
+
lG
=
k
l 3
ϕ
s
l, 3
（ P + G )ϕ&& + k ϕ = 0
3g g 9
k(ϕs +ϕ)l /3
l /3
ϕs ϕ
P
G
不考虑重力与弹簧静伸长作功,
动能方程: 1（ P + G )l 2ω 2 = − 1 ( l )2 kϕ 2 ,
T
=
(1 2
P g
+
1 2
P g
4
+
1 4
G g
+
1 2
G g
+
G g
)v
2 A
=
(5 2
P g
+
7 4
G g
)v
A
2
,
[ ] T2
−
T1
=
(5 2
P g
+
7 4
G g
)
(2vo
)2
−
2
vo
vD
= Ph − 2hPf + Gh,
ωC C
h
=
(10P + 7G)3vo2
4g[P(1− 2 f ) + G]
+
2m1l cosωt
3m1 + 2m2
+
2m2l
cos ωt
yc
=
m1
l 2
sinωt
+
2m1l sinωt
3m1 + 2m2
+
2m2l
sinωt
x
px
=
mx& c
=
−ωl
sinωt(
5 2
m1
+
2m2
),
py
=
my& c
=
ωl
cos ωt (
5 2
m1
+
2m2
),
p=
p
2 x
+
p
2 y
=
lω (
V = Pzc = P（R − r）(1− cosϕ )， T + V = E,
3 P (R − r)2ϕ& 2 + P(R − r)(1− cosϕ ) = E
4g
3 P (R − r)2ϕ&ϕ&& + P(R − r)sinϕϕ& = 0,
2g
二边求导：
ϕ&& +
2g 3(R −
r)
sin ϕ
=
动惯量为J2，均质胶带长为l，质量为m。求：主
动轮的角加速度
FBy FBx
解： 1. 受力分析，设A轮和B轮的皮带长分别为l1、l2，
mB g
单位长度胶带的质量为ρ，
2. 运动分析：设轮A和轮B的角速度和角加速度分 T1′ ρ l2g
T2′
别为ω1、ω2、α1、α2 。
T1
FAy T2
有
ω1 = α1 = r2
3
θ = 45°，F = 2 P .
5
y
ac
αl/2
Pθ
A
α aA
x
F
例10-10(book).一根均匀重量为P的杆被绳索如图示约 束，突然剪断右侧绳索,求：此时左侧绳索张力。
解: 条件:1. vA=0, 2. t=0, an=0。
C
运动学关系: aC = aA + aAC ,
n
:
− FA
+
P
cos 30°
W
则x方向动量守恒，
p1
= (W g
+
P g
)v
300 P
v
p2
=
W g
(v
+
u cos 300
−
Δv
)+
P g
(v
−
Δv
)
FB
FA
x
因动量守恒P1=P2, 并代入已知值后有：
Δv = W u cos 300 = 0.49m / s, P +W
车辆速度减少的值与v无关
如发射第二次导弹 如何计算Δv值
D ωD
B vB f
A vA =v0
例11-14 重量为P半径为r的圆盘在半径为R的圆槽内摆动。 求：摆动的方程。
解：T
=
1 2
mv 2
+
1 2
J cω
2
= 1 P (R − r)2ϕ& 2 + 1 P r2 (R − r)2 ϕ& 2
2g
4g
r2
= 3 P (R − r)2ϕ& 2,
4g
R
ϕP
平衡位置
2 3g g
23
ϕ&&
+
kg 3(P + 3G)
ϕ
=
0,
x = c1 cosωnt + c2 sinωnt,
方程解:
r2
+
ω
2 n
=
0,
r1,2
= ±iωn ,
ω
2 n
=
kg 3(P + 3G)
,
重力与弹簧静伸长有平衡关系， 则在功或势能式中可以不考虑。
l /3
G
P
G
P
有平衡关系
没有平衡关系
例11-23 运动机构如图示，大圆盘的半径R是小圆盘r的两倍，已
01
Ml 0 600
运动学关系:
α 01
=
α0l
r
有:
α 01
=
6Mg (2P + 3P1
)
l2
轮对质心取动量矩:
Jcα 01 = F r ,
F = 3P1M l ( 2P + 3P1 )
α0
Fy M
0 Fx
600
α01
F
01
Fn’
Fn
A Fτ’
FN Fτ
例10-16.一根筷子在光滑地面上，开始时手拿着如图示位置， 然后松手,求：筷子此时的角加速度和地面的正压力。
答案 ：
动量：ｐＸ＝mv （ｋｇ·ｍ／ｓ），ｐy＝０； 动量矩：ＬＡ＝mbv （ｋｇ·ｍ２／ｓ），顺时针方向； 动能：Ｔ＝mv２ （Ｊ）。
例11-21 物体A放光滑平面，在物体A铰结长l 的无重杆，而杆的
另一端固结重物B。求重物从水平位置摆到垂直位置时，物体A的
速度。 解： 1：方法一: 动量守恒：
5 2 m1
+
2m2
),
tanα = py = tanωt ,
px
例9-5: 车载导弹发射架为图所示，地面是光滑的，已知：发射导 弹重量W=100N,、车辆的重量P=100kN、车行驶速度v=1m/s,导弹发 射相对速度u=570m/s，求导弹发射后车辆速度减少的值。 u
解：因地面是光滑的仅y方向有力，
解： 第一阶段： m1v1+ m2v2= （m1 +m2）u1，
v2
u1
v1
第二阶段：
（m1 +m2）u1 =m3（u2-v3） +（ m1 +m2 -m3）u2 ，
货物抛出时车速：
v3
u2
=
m1v1
+ m2v2 + m1 + m2
m3v3
百度文库
u2
u1
$3-2 动量矩定理
d dt
r L0
=
r M0
d dt
=
P g
aτAC
cos 30°,
τ
:
p g
(
a
τ A
+
aτAC
cos 600
)=
P cos 600 ,
a
n AC
=
0
FA
A aτA
α 600 B
P
( Mc ):
− l2 α 12
P g
=
−
FA
sin
60°
l 2
,
aτAC
=
FA
g P
33 2
aτAC
=α
l 2
,
P anAc n aτAc
FA aτA
τ
其中
ρ(l1 + l2 ) = m
(3)
T1
FAy T2
(4) (5)
FAx
mAg ρ l1g
⎡
⎢ ⎢⎣
J1
+
⎜⎜⎝⎛
r1 r2
⎟⎟⎠⎞2
J2
+
ρ (l1
+
l2
)r12
⎤
⎥⎥⎦α1
=
M
α1
=
J1
+ ⎜⎜⎝⎛
r1 r2
M ⎟⎟⎠⎞2 J2
+
mr12
例10-15(book). 定齿轮固定在水平面上，重量为P的杆绕O点
)r1
(1) (2)
α1、α 2、T2、T1、T2′、T1′
FBy
FBx mB g
T1′ ρ l2 g
T2′
由于
T2 = T2′ T1 = T1′
将(3)(4)代入(2)
α1r1 = α 2r2
(J2
+
ρ
l2r22 )
r1 r2
α1
=
(T2
− T1)r2
由 1 × (1) + 1 × (5)
r1
r2
转动，杆长l，并通过O1，带动半径r，重为P1的动齿轮转动,已 知：主动力偶为M。求动齿轮的角加速度，两个齿轮之间的切
向力。 解: 杆对0取动量矩:
轮对A取动量矩:
P 3g
l
α2 0
=
M
−
Fτ l ,
α01J A = α01 (Jo1 + m1r 2 ) = α01
3r 2 2g
P1 = Fτ' r ,
= ∑ Fize ,
动量守恒
dpv = 0 , dt
dp y dt
=
d dt
∑ mivi y
= ∑ Fiye ,
pr
=
∑ mivri
=
r C
=
常矢量
例9-2: 已知椭圆规的AB杆质量为2m1,OC杆质量为m1，物块A,B 质量为m2，OC=AC=BC=l，物系的动量。
解：
y
xc
=
m1
l 2
cos ωt