第二章平差的基准与点位误差
点位误差
则
f
T x
f
T y
0.32 1.59 0
0 0
0 1.26 1.26 0.05 0.25 0.25 0.25
0.51 0 0.26 2.531 0 1.29
（4）计算协因数 将上述数据代入得
Qxx
f xT QLˆLˆ f x
f xT
fx
f
T x
AT
N 1 aa
Af
x
3.608 1.736 1.872
2． Qxx , Qyy 的计算问题
按条件平差和间接平差两种平差方法介绍。 （1）间接平差法计算
当 控 制 网 中 有 k 个 待 定 点 ， 并 以 这 k 个 待 定 点 的 坐 标 作 为 未 知 数 （ 未 知 数 个 数 为 t 2k ） ， 即
Xˆ x1 y1 x2 y2 xk yk T ，按间接平差法进行平差时，法方程系数阵的逆阵就是未知数的协因数阵 QXˆXˆ ，即
1 2
(Qxx
Qyy ) (Qxx
Qyy ) cos20
2Qxy sin 20
1 2
(Qxx
Qyy
2Qxy tg20
cos20
2Qxy
sin
20
)
1 2
(Qxx
Qyy ) 2(ctg 2 20
1)Qxy sin 20
(6-2-16)
在式(6-2-16)中，根据测量平差的特点，第一项 (Qxx Qyy ) 恒大于零，第二项中的值有可能大于零，也可能小于零；当 第二项中的值大于零时， Q 取得极大值，当第二项中的值小于零时， Q 取得极小值。
值F 。
将三角公式
cos2 0
1 cos20 2
市政工程测量的基准面定位点和误差概述
第三节 地面点位的确定
一 地面点平面位置的确定
投影带一般分为6°投影带和3°投影带两种，如图1-7所示。
图1-7 6°投影带和3°投影带
第三节 地面点位的确定
一 地面点平面位置的确定
通过高斯投影，将中央子午线的投影作为 纵坐标轴，用x表示；将赤道的投影作为横坐标 轴，用y表示，两轴的交点作为坐标原点O，由 此构成的平面直角坐标系称为高斯平面直角坐 标系，如图1-8所示。
第一节 市政工程测量的任务、作用及要求
三、市政工程测量的要求
（1）树立为市政工程建设服务的思想，具有对工作负责的精神， 坚持严肃认真的科学态度。做到测、算工作步步有检核，确保测 量成果的精度。
第一节 市政工程测量的任务、作用及要求
三、市政工程测量的要求
（2）养成细致、不畏劳苦的工作作风。不论外业观测，还是内 业计算，都一定要按现行规范规定作业，坚持精度标准，严守岗 位责任制，以确保测量成果的质量。
第五节 测量常用单位及计算中数字的凑整规则
第五节 测量常用单位及计算中数字的凑整规则
一、测量常用的单位
长度
国际通用长度单位为米（m），我国规定采用 米制。1 m（米）=100 cm(厘米)=1 000 mm（毫米） 1 000 m(米)=1 km(千米)
第五节 测量常用单位及计算中数字的凑整规则
角坐标 坐标系统，即将小块区域直接投影到平面上进行相关计算。
图1-4 测量平面直角坐标系
第三节 地面点位的确定
一 地面点平面位置的确定
高斯平
是由德国数学家、测量学家高斯提出的一种横轴等角切
面直角
坐标 椭圆柱投影，该投影解决了将椭球面转换为平面的问题。
图1-5 高斯投影概念
测量平差的基础理论与实用运算技巧介绍
测量平差的基础理论与实用运算技巧介绍引言：测量平差是测绘学中一项重要的技术，它通过一系列的测量观测与计算，使得测量结果更加准确和可靠。
本文将介绍测量平差的基础理论和实用运算技巧，帮助读者了解和掌握这一领域的知识。
一、测量平差的基础理论1.1 测量误差与精度测量平差的基础理论包括测量误差与精度。
测量误差是测量结果与真实值之间的差异，而精度则是描述测量结果的可靠程度。
了解并控制测量误差是进行测量平差的基础。
1.2 测量观测与定位测量观测是对待测对象进行测量的过程，它是测量平差的基础数据。
而定位则是将观测结果转化为坐标或位置信息的过程，常用的方法包括全站仪测量和GPS 定位等。
1.3 测量平差方法测量平差的方法有很多种，如最小二乘法、参数平差法等。
最小二乘法是一种常用的平差方法，它通过将观测误差最小化，来确定最优的平差结果。
二、实用运算技巧2.1 观测数据处理观测数据处理是进行测量平差的关键步骤，它包括读数转换、数据检查和数据平差等。
在进行数据处理时，需要注意数据的完整性和准确性。
2.2 参数平差法运算参数平差法是一种广泛应用的平差方法，它通过建立参数模型和观测方程，来求解未知量的值。
在进行参数平差法运算时，需要掌握矩阵运算和方程组求解的技巧。
2.3 网平差运算网平差是一种多个点同时进行平差的方法，它适用于有大量观测数据和未知量的情况。
在进行网平差运算时，需要注意观测数据的合理性和平差结果的可靠性。
三、实例分析本节将通过一个实例来展示测量平差的应用。
假设有一个工程项目，需要对地面标志点进行定位测量和平差。
首先进行全站仪观测，并记录观测数据。
然后，将观测数据进行处理和平差计算，得到标志点的实际位置坐标。
最后，根据平差结果进行误差分析和可靠性评估。
四、应用展望随着测绘技术的不断发展，测量平差在各个领域的应用越来越广泛。
未来，随着传感器和数据处理技术的进步，测量平差的精度和效率将进一步提高。
同时，测量平差也将深入到更多新兴领域，如智能交通和环境监测等。
平差知识点总结
平差知识点总结(总10页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanY One 1-CAL-本页仅作为文档封面，使甬请直接删除测量平差知识点观测误差包括：粗差、系统误差、偶然误差。
粗差：即粗大误差，或者说是一种大量级的误观测差，是由观测过程中的差错造成的。
发现粗差的方法：进行必要的重复测量或多余观测，采用必要而又严格的检核、验算等，发现后舍弃或重测。
系统误差：在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号表现出一致性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为一常数，这种误差称为系统误差。
消除或削弱的方法:采取合理的操作程序（正、倒镜,中间法，对向观测等）；用公式改正，即加改正裁（如钢尺量距时的尺长误差等）。
偶然误差：在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出偶然性，即就单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，或者随机误差。
采臥措施：处理带仔偶然误差的观测值，就是木课程的内容，也叫做测量平差。
偶然谋差又称随机误差，有以I、•四个特性：1）一定观测条件下，误差绝对值有一泄限值（有限性）；2）绝对•值较小的课差比绝对值较人的课差出现概率人（渐降性）：3）绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）；4）偶然谋差的数学期望为零（抵偿性）。
衡量精度的指标有五个，分别眉中矗、平均矗、或然i灵差、极限i灵差以及相对中谋差。
其中中矗和极限误差以及相对中保差是工程測量中常用的指标。
5、相对谋差颠差、屮促差、极限促差等指标，对于菜些观测结果，有时还•侮全表达观测结果的好坏，例如，分别丈1000m及500⑴的两段距离，它们的中课差均为±2cn】，虽然两者■的中误差相同，但就M位长度而言，两者精度并彳、相同。
显然询耆的郴对蒂度比后者耍高。
一般:而言，一些与长度有关的观测俺或其函数值，单纯用中误苣还不能区分出蒂度的高低，所以常用相对课差。
点位误差
§6-2 点位误差1学时一、点位误差的计算1.利用纵、横坐标协因数计算点位误差待定点的纵、横坐标的方差是按下式计算的：(6-2-1)根据(6-1-4)式可求得点位方差：进而可求得点位中误差(6-2-2)从式(6-2-2)中可以看出，若想求得点位中误差，要解决两个问题，一个是方差因子（或中误差）；另一个就是点的坐标未知数和的协因数和。
下面就针对这两个问题的解决方法简要说明：2．的计算问题按条件平差和间接平差两种平差方法介绍。
（1）间接平差法计算当控制网中有个待定点，并以这个待定点的坐标作为未知数（未知数个数为），即，按间接平差法进行平差时，法方程系数阵的逆阵就是未知数的协因数阵，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====yy y y xx x x Q p Q p 202022020211σσσσσσ)11()(20202yx yy xx P P P Q Q +=+=σσσyx yy xx P P P Q Q 1100+=+=σσσPσ20σ0σP x y xx Q yy Q yyxx Q Q ,k k k t 2=()Tk k y x y x y x X 2211ˆ=X X Q ˆˆ(6-2-3)其中主对角线元素就是待定点坐标和的协因数（或称权倒数）， 和则是它们的相关协因数（或称相关权倒数），在相应协因数（权倒数）连线的两侧，而、、、（）则是点和点的纵横坐标和与和之间的互协因数，它们位于主对角线元素连线的两侧，并成对称关系。
当平差问题中只有一个待定点时，即时(6-2-4)计算方法参见间接平差一章。
（2）条件平差法计算当平面控制网按条件平差时，首先求出观测值的平差值，由平差值和已知点的坐标计算待定点最或然坐标，因此说，待定点最或然坐标是观测值的平差值的函数。
故欲求待定点最或然坐标的协因数（权倒数），需按照条件平差法中求平差值函数的权倒数的方法进行计算。
设待定点的最或然坐标为和，计算和使用的已知点坐标为和（认为没有误差），则应有以下函数式(6-2-5)对(6-2-5)求微分，得其权函数式为(6-2-6)按协因数传播律得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡===--k k kk k k k k k k k k k k k k k k k k k kk k T X X y y Qx y Qy y Qx y Qy y Qx y Q y x Qx x Q y x Q x x Q y x Q x x Q y y Qx y Q y y Q x y Q y y Q xy Q y x Qx x Q y x Q x x Q y x Q x x Q y y Qx y Q y y Q x y Q y y Q x y Q y x Qx x Q y x Q x x Q y x Q xx Q PB B N Q bb 22112211222222121222222212121121211111112121111111ˆˆ)(iy i y i x i x Q Q ,i x i y iy i x Q ix i y Q j x i x Q jy i x Q jx i y Q jy i y Q j i ≠i j i x i y j x j y 2,1==t k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-yy yxxy xxTX X Q Q Q Q PB B Q 1ˆˆ)(LˆL ˆP P x ˆP y ˆP x ˆP y ˆ0x 0y ⎭⎬⎫+=+=)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ00L y y y L x x xP P ⎪⎭⎪⎬⎫==L d f dy L d f dx y T p x T p ˆˆ顾及观测值的平差值的协因数阵，则(6-2-7)式中，是观测值的权逆阵，是条件平差的法方程系数阵。
第二章平差的基准与点位误差
若按经典平差，基准方 程为： ˆ1 0 x ˆ 1 基准方程告知信息：网 中第一点坐标已知；尺 度比为 1。
2) 二维（时间，高程）空间
d=4
观测值
(tij , hij)
待定参数(ti, Xi, λXi) 位置基准 t0, X0 , 尺度基准μ0，速率基准λX0
加约束无关。再将（ 3）式左乘G并加入（ 2）式，考虑k 0，得： ˆ N GG x
T 1
BT Pl QG BT Pl
T 参数精度：Qx Q B PBQG QG NQG ˆx ˆ G
因联系数向量k=0，可知不同的基准不会影响最小二乘原 则，即不同的基准得到的改正数V不变，但不同基准下参数解X 和参数精度QX是不同的。
ˆ Q G GT X ˆ Q G W Q G W Q j NX k j k k k j k k j j j ˆ Q G (G T X ˆ W ) Q G W Q j NX k j k k k k j j j ˆ Q G W (I Q G GT ) X ˆ Q G W Q j NX k j j j j j j k j j j
k
QX ˆ
k
T Qk G (Gk G ) 1 (G T Gk ) 1 G T
又设基准为Gj时
ˆ L V BX j ˆ GT j X Wj 0
ˆ W 0 得 NjX j ˆ 的协因数阵为: X j
Rank( B) t Rank(G j ) d u t
T ( N j B T PB G j G T j , W j B PL G jW j )
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
平差基础-1-2
n
n
类似 E(Xi)E(Xi)
i1
i1
4、若 X ,Y 独立，则 E (X)Y E (X )E (Y)
E(X)Y xy(xf,y)dx d yxy 1(xf)f2(y)dxdy
x1(fx)dx y2f(y)d yE(X)E(Y)
D(XY)E{[X( Y)E(XY)]2}
E{[XYE(X)E(Y)]2}
E{[XE(X)]2[YE(Y)]2[XE(X)]Y[E(Y)]}
D(X)D(Y)E{[XE(X)]Y[E(Y)]}
D(X)D(Y)
n
n
类似有 D(Xi)D(Xi)
i1
i1
武汉大学测绘学院 孙海燕
第二章 误差分布与精度指标
3、 D (X)E(X2)E2(X)
D(X)E{X [E(X)2 ]}E{X22X(E X)E2(X)}
E(X2)2E(X)E(X)E2(X)
E(X2)E2(X)
4、若 X ,Y 独立，则 D (X Y ) D (X ) D (Y )
三方面因素的综合 误差的大小 观测质量的高低
观测条件的优劣
二、观测误差分类：
1、偶然误差：误差大小与符号呈偶然性
单个误差无规律，大量误差具有统计规律性
2、系统误差：误差大小与符号具有规律性
3、粗差：离群值。由于异常或错误造成
武汉大学测绘学院 孙海燕
第一章 绪论
第二节 测量平差学科的研究对象
测量平差研究对象:误差 L ~L nsg
武汉大学测绘学院 孙海燕
绪论
2） max|vi |min （L 最小） 1749年，L. Euler ，提出相关概念 1786年，P. S. Laplase 明确表示并使用 计算困难，受粗差影响大（函数逼近理论）
如何进行测绘数据的精确平差与误差控制
如何进行测绘数据的精确平差与误差控制测绘数据的精确平差与误差控制是测绘工作中的重要步骤。
精确平差和误差控制的目的是保证测绘数据的质量和可靠性，对于各个行业的应用都至关重要。
本文将从测绘数据平差的基本原理、误差来源及控制方法等几个方面进行论述。
一、测绘数据的精确平差原理测绘数据的平差是为了消除测量误差，使得观测值在一定的准则下能够最优地满足测量方程。
平差的基本原理是通过最小二乘法，将真实值与观测值之间的误差最小化，从而得到最优的平差结果。
平差的核心是建立合适的数学模型，通过计算得到未知量的最佳估值。
二、误差来源及控制方法误差是测绘数据中不可避免的存在，其来源包括仪器误差、操作误差、大地形变引起的误差等。
为了保证数据的精确性，需要采取一系列的控制措施来减小误差。
1. 仪器误差控制仪器误差是测绘数据不可忽视的一部分。
在实际测量中，不同的仪器会存在一定的误差。
为了减小仪器误差，可以采用校准和检定的方法，及时对仪器进行维护和调整，保持其准确性和稳定性。
2. 操作误差控制操作误差是由于人的主观能动性所导致的误差。
为了减小操作误差，需要进行专业培训，提高测量人员的素质和技能水平；在实际操作中，尽量采用自动化设备，减少人为干预，降低错误的发生概率。
3. 大地形变引起的误差大地形变是由于地球内部活动引起的，会对测绘数据的精度造成一定的影响。
为了控制大地形变引起的误差，需要进行地形变监测和模型修正，确保测绘数据的准确性。
4. 误差评定与消除误差评定是对测绘数据误差进行定量分析和评价。
一般可以采用统计方法对误差进行处理，如误差方程的建立、误差概率分布的确定等，以便对误差进行控制和消除。
三、精确平差的应用精确平差在各个领域的应用都非常广泛。
以测绘工程为例，只有通过精确平差，才能保证工程设计的准确性。
在地质勘探中，也需要进行精确平差，以获得地质构造的准确信息。
在土地规划和城市建设中，测绘数据的精确平差同样重要，可以提高土地利用率和规划效果。
中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第二章课件 平差数学模型与最小二
(2-1-3)
(2-1-4)
由此可见，每增加一个多余观测，在它们中间就 必然增加且只增加一个确定的函数关系式，有多少 个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种 函数关系式，在测量平差中称为条件方程。
综上所述，由于有了多余观测，必然产生条件方 程，但由于观测不可避免地含有误差，故观测值之 间必然不能满足理论上的条件方程，即：
转折角度观测值 β1 = 85˚30′ 21.1″ β2 = 254˚32′ 32.2″ β3 = 131˚04′ 33.3″ β4 = 272˚20′ 20.2″ β5 = 244˚18′ 30.0″
解： 未知导线点个数n – 1 = 3，导线边数n = 4，观测角 个数n + 1 = 5 近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列于表 3-2中 表3-3
0 0 0 1 1 1 1 1 0 A 0.3868 0.7857 0.0499 0.9959 1.8479 1.1887 0.7614 0.0857 0 0.9221 0.6186 0.9988 0.0906 1.2502 1.5267 0.9840 0.9417 0
一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任 何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测 元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。在上 述⑵情况中，任意三个必要观测元素，如 L1、L2、S1 之间，其中 S 1 不可能表达成 L1、L2 的函数，除非再 增加其它的量。这些彼此不存在函数关系的量称为 函数独立量，简称独立量。 在测量工作中，为了求得一个几何模型中的几何 量大小，就必须进行观测，但并不是对模型中的所 有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测 n个，当观测值个数小于必要观测个数，即n<t,显然 无法确定模型的解；
工程GPS网平差起算点坐标的误差分析(精)
工程GPS网平差起算点坐标的误差分析傅晓明(上海市测绘院,上海 200063)在进行工程GPS网约束平差前,对GPS控制网起算点坐标的误差进行分析是非常必要的。
本文应用5种GPS控制网起算点坐标误差的分析方法,分析了上海地铁二号线西延伸线工程GPS控制网的起算点坐标误差,成功地剔除了误差超限的起算点。
关键词:GPS控制网;起算点可靠性分析;显著性检验中图分类号:P22814文献标识码:B摘要:Abstract:Theknownpointsarethebaseofcomputingthetransformationparameters.Ifthereare bigerrorsamongthesepoints,theaccuracyoftheGPSnetworkwillbegreatlyaffected.Itisneces sarytotesttheaccuracyofknownpointsandtodiscoverandeliminatethepointswithbigerrors.T hepapersuggestsfivemethodsandgivesacasestudy.Keywords:GPSnetwork;reliabilityanalysisofknownpoints1 前言GPS定位结果属于WGS-84地心坐标系,而实用的城市与工程测量成果采用某一国家或地方坐标系,需要将GPS测量成果转换成国家或地方的三维或二维坐标系下的相应成果。
转换的主要方法是利用GPS网点与原地面控制网点重合(重合点一般不少于3点),将少量的重合已知点作为约束条件,在地面网的坐标框架内进行GPS网的约束平差,将GPS网强制附合到已知点所在的坐标系中。
实践证明:重合点的误差和点位分布将影响GPS网约束平差的精度。
由于设置控制点的建筑物形变等种种原因,引起这些已知点的坐标有时可能存在较大的误差。
若将这些存在较大误差的己知点作为平差计算或坐标转换的约束,其结果必然会歪曲GPS测量的原有精度,特别是当这些点误差较大或含有粗差时,将严重影响GPS成果的可靠性,使高精度的GPS定位成果失去其本来的意义。
测量平差基础参考资料
第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。
二、怎样学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。
只有牢固地掌握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行复习，只有这样才能听懂这一节课。
2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。
3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。
第一章绪论本章主要说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容以及本课程的任务。
第二章误差分布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。
重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。
难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。
要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。
第三章协方差传播律及权重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。
重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。
难点：函数模型的线性化，随机模型。
要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；对于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。
平差重点知识点
2.8.1 边角网按条件平差(1) 边角网中的条件边角网的建网方法有四种，即在测角网的基础上加测部分边;在测边网的基础上加测部分角;观测部分边和部分角;观测全部边长和角度。
由于边角网既测边长又测角度，因此它具有三角网条件，测边网条件及由边、角两类观测量共同组成的边角条件，具体有以下几种：a. 独立三角网条件用角度组成的三角网图形、圆周闭合和极三种条件;b.独立测边网条件用边长组成的测边网的图形条件;c.边、角条件由观测边长和观测角度共同组成的正弦条件或余弦条件;d. 附合网条件它包括测角网或测边网中的坐标方位角(固定角)、坐标及基线(固定边)(测边网除外)三种条件。
在以上条件中，a、b、d三类条件分别在测角网、测边网及导线网中做了讨论，现讨论C种条件式的组成。
①正弦条件方程式的组成正弦条件是指平差图形中观测角和观测边的平差值应满足正弦定理。
在图2.8-1中，测角网中加测了边长Dcd。
则其正弦条件为：其线性形式为：(2.8-4)式中：很显然，边角网中正弦条件同三角网中基线条件式是相似的，所不同的是在基线条件式的基础上，增加了边长改正数这一项，因此边角网中正弦条件式是三角网中基线条件式的扩展。
在图2.8-1中，如果边长ab也是观测边，那么在(2.8-4)式中还要加一项VDab，其条件方式程形式为：图2.8-1 边角条件基本图形(2.8-5)作为特例，当在一个边角网三角形中(见图2.8-1)，显然有两个正弦条件式，其形式为：(2.8-6)式中：式(2.8-6)亦可写成下列形式：(2.8-7)式中：W1＝D1sinβ2-D2sinβ1W2＝D2sinβ3-D3sinβ2在特殊情况下，如果在测三条边及两个角的三角形中，此时显然有两个正弦条件，其中一个与式(2.8-6)或(2.8-7)式中第一式相同，而第二个条件式则不同，设β3＝180°-β1-β2，其条件方程式形式为：(2.8-8)式中：或表达为：(2.8-9)式中：W=D2sin(β1+β2)-D3sinβ2。
点位误差
点位误差§6-2 点位误差1学时一、点位误差的计算1.利用纵、横坐标协因数计算点位误差 待定点的纵、横坐标的方差是按下式计算的：(6-2-1)根据(6-1-4)式可求得点位方差：进而可求得点位中误差(6-2-2)从式(6-2-2)中可以看出，若想求得点位中误差，要解决两个问题，一个是方差因子（或中误差）；另一个就是点的坐标未知数和的协因数和。
下面就针对这两个问题的解决方法简要说明：2． 的计算问题⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====yy y y xx x x Q p Q p 202022020211σσσσσσ)11()(20202yx yy xx P P P Q Q +=+=σσσyx yy xx P P P Q Q 1100+=+=σσσPσ20σ0σP x y xxQ yyQ yyxxQ Q,按条件平差和间接平差两种平差方法介绍。
（1）间接平差法计算当控制网中有个待定点，并以这个待定点的坐标作为未知数（未知数个数为），即，按间接平差法进行平差时，法方程系数阵的逆阵就是未知数的协因数阵，即其中主对角线元素就是待定点坐标和的协因数（或称权倒数）， 和则是它k k k t 2=()Tk ky x y x y x X Λ2211ˆ=X X Q ˆˆ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡===--k k kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k T X X y y Qx y Q y y Q x y Q y y Q x y Q y x Qx x Q y x Q x x Q y x Q x x Q y y Qx y Q y y Q x y Q y y Q xy Q y x Qx x Q y x Q x x Q y x Q x x Q y y Qx y Q y y Q x y Q y y Q x y Q y x Qx x Q y x Q x x Q y x Q xx Q PB B N Q bb ΛΛM M ΛM M M M ΛΛΛΛ22112211222222121222222212121121211111112121111111ˆˆ)(iy i y ix i x Q Q,ixiy iy i x Q ix i y Q们的相关协因数（或称相关权倒数），在相应协因数（权倒数）连线的两侧，而、、、（）则是点和点的纵横坐标和与和之间的互协因数，它们位于主对角线元素连线的两侧，并成对称关系。
平差知识点总结
平差知识点总结一、平差的基本概念1.平差的定义平差是指利用数学方法对一组测量数据进行处理和分析，消除或减小测量误差，从而得到比较准确的测量结果的过程。
平差是保证测量精度的重要手段，它通过对测量数据的处理，能够提高测量结果的准确性和可靠性。
2.平差的分类根据不同的处理方法和目的，平差可以分为几何平差、最小二乘平差、参数平差、条件平差、闭合平差等多种类型。
其中，最小二乘平差是平差技术中应用最广泛的一种，它通过最小化残差的平方和来确定未知参数的估计值，是一种较为常用的平差方法。
3.平差的应用平差技术在工程测量、地形测绘、地质勘探、地球物理探测等领域都有着广泛的应用。
在实际测量中，由于测量仪器、环境等因素的影响，测量数据往往会存在一定的误差，平差技术可以通过对测量数据进行处理，消除或减小这些误差，从而得到准确的测量结果。
二、平差的基本原理和方法1.平差的基本原理平差的基本原理是利用数学方法对测量数据进行处理和分析，通过建立数学模型和求解未知参数的估计值，最终得到较为准确的测量结果。
平差的核心是通过最小化残差来确定未知参数的估计值，使得观测值和计算值之间的差异达到最小，从而提高测量结果的准确性。
2.平差的基本方法平差的基本方法包括观测数据的处理、数学模型的建立、参数的求解以及结果的检查和评定等几个步骤。
在实际平差中，需要根据具体的测量任务和条件选择合适的平差方法，对测量数据进行适当的处理和分析，最终得到满足精度要求的测量结果。
三、平差的要素和步骤1.平差的要素平差的要素包括观测数据、数学模型、未知参数、观测方程、法方程、权矩阵等几个方面。
其中，观测数据是进行平差的基础和原始资料，数学模型是求解未知参数的理论基础，未知参数是待求解的目标，观测方程和法方程是平差计算的基本方程，权矩阵则是对观测值的权重进行考虑和处理。
2.平差的步骤平差的一般步骤包括数据预处理、误差分析、参数估计、残差分析等几个方面。
在进行平差计算之前，首先需要对观测数据进行预处理，包括数据的加工、筛选、检查等工作；然后通过误差分析求解未知参数的初始值，并进行参数估计；最后进行残差分析，检查和评定结果的精度和可靠性。
测量平差基础
停止
返回
误差：测量值与真值之差
由于误差的存在，使测量数据之间产生
矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛
盾，或者说是将误差分配掉，因此称为
平差。
(
)实际
180
( )理论 180
停止
返回
产生误差的原因
测量仪器：i角误差、2c误差 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、气压、大气折光等
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角 形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算 各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
返回
三、矩阵的逆
给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶 方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的 逆矩阵。记为：
B A1
A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的 行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否 则为奇异矩阵
停止
返回
矩阵的逆的性质
(1)( AB)1 B1A1 (2)( A1)1 A
测量平差原理，於宗俦等，测绘出版社 误差理论与测量数据处理，测量平差教 研室，测绘出版社。
第一章 绪论
第一节 观测误差
第二节 补充知识
停止
返回
第一章 绪论
第一节：概述 1、测量平差的研究对象——误差 任何量测不可避免地含有误差
闭合、附合水准路线 闭合、附合导线 距离测量 角度测量………..
1
4
《平差基础》课件
异常值和缺失值的影响：可能导 致模型预测不准确，需要谨慎处 理
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
缺失值处理：通过插值、填充、 删除等方式处理缺失值
异常值和缺失值的检测方法：箱 线图、散点图、直方图等可视化 方法，以及统计方法如t检验、卡 方检验等
数据插值：根据已知数据点，估计未知数据点的值 插值方法：线性插值、多项式插值、样条插值等 外推：根据已知数据点，预测未来数据点的值 外推方法：趋势外推、季节性外推、指数外推等
模型选择：根据实际需求选择合适的模型 模型确定：根据实际数据确定模型的参数 模型验证：通过实验验证模型的准确性和稳定性 模型优化：根据实验结果对模型进行优化和改进
模型参数：包括观测值、观测 误差、观测方程等
参数估计方法：最小二乘法、 最大似然估计等
参数估计步骤：选择模型、设 定参数、求解参数等
平差结果在科学研究中的 应用
案例背景：某公司需要进行地形测量，但地形复杂，需要采用平差技术 平差方法：采用GPS测量和地形测量相结合的方法 平差结果：经过平差处理后，地形测量结果更加精确 案例总结：平差技术在实际地形测量中具有重要意义，可以提高测量精度和效率
案例背景：某工程测量项目
平差方法：采用最小二乘法进行数据处理
启示3：平差方法 需要掌握一定的数 学和计算机知识， 需要不断学习和实 践
基本思想：最小 化误差平方和
数学模型：线性 方程组
求解方法：迭代 法、最小二乘法
应用领域：测量 学、统计学、工 程学等
点估计：通过样本数据计算 得到总体参数的一个估计值
估计方法：包括点估计和区 间估计
基本概念：参数估计就是通 过样本数据来估计总体参数 的过程
区间估计：通过样本数据计 算得到总体参数的一个置信
《误差理论与测量平差基础》课程学习指南
《误差理论与测量平差基础》课程学习指南2011.09一、课程学习目标通过学习牢固地掌握测量数据处理的理论和方法，熟悉三种控制网平差的全过程，为后续专业课程的学习打下扎实的基础。
二、课程知识结构本课程由两大部分内容组成，即误差理论和测量平差基础。
误差理论部分是研究误差来源以及处理方法、研究偶然误差的统计性质、误差分布、误差的传播以及衡量精度的指标等。
测量平差基础部分处理带有偶然误差的观测值，求出待求量的最佳估值，并评定测量成果的精度。
课程学习内容分细为七块，即，误差理论、测量平差原理、测量平差方法、测量平差计算、点和线的位置误差、假设检验、近代测量平差等。
学习的层次可分为:理论、原理、方法、应用四个层次，其中，平差原理、平差方法、平差计算为测量平差学习的核心内容。
三、基本要求1、基本知识部分：1)误差理论部分✧了解观测误差产生的原因；✧掌握误差分类及其处理方法；✧掌握偶然误差的统计特性以及误差分布；✧掌握衡量精度的绝对指标和相对指标；✧了解测量平差的任务和内容。
✧掌握求函数的协方差阵（协因数阵）的方法。
2)测量平差基础部分✧掌握测量平差的数学模型（包括函数模型和随机模型）概念；✧掌握间接平差、条件平差以及附有限制条件的条件平差函数模型建立方法；✧了解最小二乘准则及其最小二乘估计的统计特性。
✧掌握基本平差原理、平差计算公式以及精度评定方法。
2、理论联系实际部分1）掌握三角网、导线网、GPS网间接平差时误差方程式建立、条件平差时条件式建立方法、观测值权阵确立方法。
2）平差计算：分组平差原理、高斯约化原理。
3）掌握点位（误差椭圆）、直线元位置误差的计算。
3、近代平差部分掌握秩亏自由网平差原理及其平差计算公式。
四、学习建议1、开始学习前预习高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识。
2、对公式推导过程要有清晰的认识，熟悉各种平差方法中基本向量之间的关系，且明辨公式中的符号所对应的向量。
3、每一个知识点均需做一定的习题，巩固课堂理论知识；4、所有平差方法学习之后，同一算例采用不同方法求解，得出一致结果。
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G阵的形式：（G阵 N阵的零特征值所对应的 特征向量） 1 T 1 1 1 水准网 G u 1 1 0 0 1 m 测边、边角网 G T 32 m 1 0 0 y x 1 1 2 R 1 1 0 1 0 0 1 0 1 m T 测角网 G 0 1 y10 x10 y2 42 m 0 0 0 2 x y x 1 2 R 1 网中有m点，G T 阵共有2m列。 1 0 1 0 0 1 0 1
2）独立网平差基准的转换
设独立网平差基准为Gk时
ˆ L V BX k
T ˆ Gk X Wk 0
Rank( B) t Rank(Gk ) d u t
T N k B T PB Gk Gk , Wk B T PL GkWk )
得
ˆ W 0 Nk X ( k ˆ N 1W Q W X k k k k k ˆ 的协因数阵为: X
1 T ˆ G (G T G ) 1W [ I G (G T G ) G ] X j j k j j
ˆ 的协因数阵为: X j
T 1 T T 1 T T QX [ I G ( G G ) G ] Q [ I G ( G G ) Gj ] ˆ j ˆk j j j X
<<<
加约束无关。再将（ 3）式左乘G并加入（ 2）式，考虑k 0，得： ˆ N GG x
T 1
BT Pl QG BT Pl
T 参数精度：Qx Q B PBQG QG NQG ˆx ˆ G
因联系数向量k=0，可知不同的基准不会影响最小二乘原 则，即不同的基准得到的改正数V不变，但不同基准下参数解X 和参数精度QX是不同的。
d , BG 0
T d u
可用带约束的间接平差 法解。 ˆ (1) V T PV 2k T G T x 2V T PB 2k T G T 0 ˆ x BT PV Gk 0
T T ˆ B PB x Gk B Pl 0 (2) 法方程： T ˆ0 (3) G x （2）式左乘G T，得k 0，代入（ 1）式，可知最小二乘原 则与附
一维 尺度 1 位置 1 方位 0 总基准数 2
二维 1 2 1 4
三维 1 3 3 7
四维 1 4 6 11
2.3, 独立网的求解与平差基准的转换
1）具有基准数据(r ‘= d) 情况下(独立网)的求解
当 r d u t , Rank( B ) t时 , d：必要起算数据个数； t：必要观测数； r ：起算数据个数； u：参数个数网中所有点 ˆ L V BX 误差方程 k T ˆ 基准方程 Gk X Wk 0 Rank(Gk ) d u t 基准方程系数阵的秩
ˆ l 误差方程： V B x
n 1 n u u 1
n 1
n 观测值个数， u 参数个数（网中所有点 ） 其中 R B t n
nu
t 必要观测数
因B阵秩亏，法方程系数阵 有： Rank BT PB Rank N t u
u u
即N秩亏。且秩亏是由于无 起算数据引起，所以秩 亏数 d u t（必 ˆT x ˆ min 要起算个数）。法方程 无唯一解，需增加最小 范数条件： x 秩亏网附加阵法平差 在秩亏网误差方程中， 加入秩亏平差基准条件 ： ˆ0 x ˆT x ˆ min GT x 即 ˆ l V Bx T ˆ 0 G x d u u 1 其中要求：Rank G
X
ห้องสมุดไป่ตู้
0 2
X
0 2 3
Y
0 2
Y
0 2 3
S 23
Y50 Y40 w45 arct an 0 45 0 X5 X4
4) 三维（时间，X，Y）空间－－动态二维 d=7
观测值
(tij,γij),(tij,sij) 尺度基准μ0 方位基准α0 Sij (空间距离) 尺度基准μ0
2.1, 平差的基准与基准方程
基准方程 ： 当无基准数据时, Rank(B) = t < u， 给定 d = u - t 个基准数据, 可以列出的 d个关系式, 称为 基准方程。 取不同的基准数据（基准方程）参与平差，会得到不 同基准的平差结果，如经典平差、秩亏平差、拟稳平 差等
具有固定基准的经典平差（间接平差）的函数模型可写为
ˆ N 1W Q W X j j j j j Q Xˆ j
1 T 1 T Q j G(G T j G ) (G G j ) G
基准Gk与基准Gj的转换
ˆ N 1W Q W X j j j j j
T Q j ( N Gk Gk )Qk ( B T PL GkWk GkWk G jW j ) T ˆ Q G W Q G W ) Q j ( N Gk Gk )( X k k k k k j j
0 ˆj x ˆi hij ˆ lij 误差方程：vij x
若按经典平差，基准方 程为： ˆ1 0 x ˆ 1 基准方程告知信息：网 中第一点坐标已知；尺 度比为 1。
2) 二维（时间，高程）空间
d=4
观测值
(tij , hij)
待定参数(ti, Xi, λXi) 位置基准 t0, X0 , 尺度基准μ0，速率基准λX0
0 y2 0 0 x2 ym
0 xm
1 0 0 1 0 0 0 x2 ym xm 0 0 0 y 2 xm y m
式中： R x
2 i 1
m
0 2 i
y
0 2 i
ˆ Q G GT X ˆ Q G W Q G W Q j NX k j k k k j k k j j j ˆ Q G (G T X ˆ W ) Q G W Q j NX k j k k k k j j j ˆ Q G W (I Q G GT ) X ˆ Q G W Q j NX k j j j j j j k j j j
2, 平差的基准与点位误差
2.1 基准与基准方程
2.2 1~4维空间的基准
>
>
2.3 独立网的求解与平差基准的转换
2.4 附合网平差的求解平差基准的转换
>
>
2.5 点位精度与误差椭圆（球）
2.6 相对点位精度与相对误差椭圆
>
>
补充：秩亏自由网平差
在控制网中无起算数据或起算数据不可靠时，常采用 秩亏平差法。 用途：1、形变监测网平差 2、大地网平差前的质量分析（内精度） 特点：视网中所有点均为待定点，即 参数个数＝网中所有点数（水准网） 或：＝网中所有点数×2（平面网）
待定参数(ti,Xi,Yi,λXi,λYi) 位置基准 t0,X0,Y0 速率基准 λX0,λY0
5 ) 一般三维空间（X,Y,Z）－－静态三维 d=7
观测值 dX,dY,dZ 待定参数 位置基准 Xi，Yi，Zi X0，Y0，Z0
方位基准αX, αY, αZ
6 ) 四维（时间，X，Y，Z）－－动态三维 d=11
ˆ 0的条件，对水准网，有 由于要满足G T x ˆ x
i 1 u i
ˆi 为高程增量） 0（ ; x
对平面网，有： ˆ x
i 1 m i
0,
ˆ y
i 1
m
i
ˆi、y ˆ i 为纵、横坐标增量） 0 （x
对于水准网： 1 u ˆ 1 u 1 u 0 1 u 1 u 0 0 ˆi X i x ˆi X i Xi Xi x u i 1 u i 1 u i 1 u i 1 u i 1
1 方位基准（旋转自由度 ）：d 3 C nn 1 , n 2 2 1 水准网基准个数： d I d1 d 2 C10 C1 2
0 1 2 平面网基准个数： d II d1 d 2 d 3 C2 C2 C2 1 2 2 4 2 1 三维网基准个数： d III d1 d 2 d 3 C30 C3 C32 1 3 3 2 7 2
基准转换的两种情况： 1、平差方式的转换。如间接平差与秩亏平差结果的自由 转换。 2、同一控制网平差时，采用不同起算点得到的平差结果 之间的转换。 对同一套观测数据，使用不同的平差基准将会得到不 ˆ 和Q ˆ ˆ 。在 V T PV min 的约束下，平差可 同的平差结果 X XX 得到控制网的最佳网型，但不同的基准条件会使最佳网型 “停靠”的位置不同。 基准转换的作用： 1、形变监测网起算点遭破坏后可变换起算点，监测数据 可连续。 2、计算广义相对误差椭圆。
T ˆ Gk X Wk 0
ˆ V BX L T ˆ Gk X Wk 0
Rank( B) t u Rank(Gk ) d u t
2.2, 1~4维空间的基准
1) 一维（高程）空间 d=2
观测值 高差hij，待定 参数Hi（Xi）
高程位置基准（高程基准X0）尺度基准μ0
3) 一般二维（X,Y）空间－－静态二维
d=4
观测值 待定参数 位置基准
方向γ Xi , Yi
距离 s 方位基准α0
X0,Y0 尺度基准μ0
例：误差方程 ˆj x ˆi ) bij ( y ˆj y ˆ i ) lij v ij zi aij ( x ˆ1 0 x y ˆ1 0 基准方程： ˆ3 x ˆ2 ) sin 23 ( y ˆ3 y ˆ 2 ) ws 0 cos 23 ( x ˆ4 x ˆ5 ) b45 ( y ˆ4 y ˆ 5 ) w45 0 a45 ( x 其中： ws