第二章平差的基准与点位误差
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设存在G阵, 满足 BG 0 NG 0, Rank(G ) d ˆ G K BT PL) 0 由 G T ( NX K 0
k
所以, 得
ˆ W 0 NX ˆ N 1W Q W X k
ˆ的协因数阵为: X
T QX ˆ Qk NQk Qk ( N Gk Gk )Qk T Qk Qk Gk Gk Qk T Qk G (Gk G ) 1 (G T Gk ) 1 G T T T T ( Qk Gk Qk ( N Gk Gk )G (Gk G ) 1 G (Gk G ) 1 )
2.1, 平差的基准与基准方程
基准方程 ： 当无基准数据时, Rank(B) = t < u， 给定 d = u - t 个基准数据, 可以列出的 d个关系式, 称为 基准方程。 取不同的基准数据（基准方程）参与平差，会得到不 同基准的平差结果，如经典平差、秩亏平差、拟稳平 差等
具有固定基准的经典平差（间接平差）的函数模型可写为
ˆ N 1W Q W X j j j j j Q Xˆ j
1 T 1 T Q j G(G T j G ) (G G j ) G
基准Gk与基准Gj的转换
ˆ N 1W Q W X j j j j j
T Q j ( N Gk Gk )Qk ( B T PL GkWk GkWk G jW j ) T ˆ Q G W Q G W ) Q j ( N Gk Gk )( X k k k k k j j
1 方位基准（旋转自由度 ）：d 3 C nn 1 , n 2 2 1 水准网基准个数： d I d1 d 2 C10 C1 2
0 1 2 平面网基准个数： d II d1 d 2 d 3 C2 C2 C2 1 2 2 4 2 1 三维网基准个数： d III d1 d 2 d 3 C30 C3 C32 1 3 3 2 7 2
G阵的形式：（G阵 N阵的零特征值所对应的 特征向量） 1 T 1 1 1 水准网 G u 1 1 0 0 1 m 测边、边角网 G T 32 m 1 0 0 y x 1 1 2 R 1 1 0 1 0 0 1 0 1 m T 测角网 G 0 1 y10 x10 y2 42 m 0 0 0 2 x y x 1 2 R 1 网中有m点，G T 阵共有2m列。 1 0 1 0 0 1 0 1
观测值
(tij,dX,dY,dZ) (tij,Sij)
待定参数(ti,Xi,Yi,Zi, λXi, λYi, λZi)
位置基准
t0,X0,Y0,Z0
尺度基准μ0
方位基准αX ,αY ,αZ 速率基准λXi,λYi,λZi
基准的类型和个数（静态）n维空间
0 尺度基准：d1 Cn 1 1 位置基准（平移自由度 ）：d 2 Cn n 2 n
基准转换的两种情况： 1、平差方式的转换。如间接平差与秩亏平差结果的自由 转换。 2、同一控制网平差时，采用不同起算点得到的平差结果 之间的转换。 对同一套观测数据，使用不同的平差基准将会得到不 ˆ 和Q ˆ ˆ 。在 V T PV min 的约束下，平差可 同的平差结果 X XX 得到控制网的最佳网型，但不同的基准条件会使最佳网型 “停靠”的位置不同。 基准转换的作用： 1、形变监测网起算点遭破坏后可变换起算点，监测数据 可连续。 2、计算广义相对误差椭圆。
ˆ Q G GT X ˆ Q G W Q G W Q j NX k j k k k j k k j j j ˆ Q G (G T X ˆ W ) Q G W Q j NX k j k k k k j j j ˆ Q G W (I Q G GT ) X ˆ Q G W Q j NX k j j j j j j k j j j
ˆ l 误差方程： V B x
n 1 n u u 1
n 1
n 观测值个数， u 参数个数（网中所有点 ） 其中 R B t n
nu
t 必要观测数
因B阵秩亏，法方程系数阵 有： Rank BT PB Rank N t u
u u
Байду номын сангаас
即N秩亏。且秩亏是由于无 起算数据引起，所以秩 亏数 d u t（必 ˆT x ˆ min 要起算个数）。法方程 无唯一解，需增加最小 范数条件： x 秩亏网附加阵法平差 在秩亏网误差方程中， 加入秩亏平差基准条件 ： ˆ0 x ˆT x ˆ min GT x 即 ˆ l V Bx T ˆ 0 G x d u u 1 其中要求：Rank G
2, 平差的基准与点位误差
2.1 基准与基准方程
2.2 1~4维空间的基准
>
>
2.3 独立网的求解与平差基准的转换
2.4 附合网平差的求解平差基准的转换
>
>
2.5 点位精度与误差椭圆（球）
2.6 相对点位精度与相对误差椭圆
>
>
补充：秩亏自由网平差
在控制网中无起算数据或起算数据不可靠时，常采用 秩亏平差法。 用途：1、形变监测网平差 2、大地网平差前的质量分析（内精度） 特点：视网中所有点均为待定点，即 参数个数＝网中所有点数（水准网） 或：＝网中所有点数×2（平面网）
2）独立网平差基准的转换
设独立网平差基准为Gk时
ˆ L V BX k
T ˆ Gk X Wk 0
Rank( B) t Rank(Gk ) d u t
T N k B T PB Gk Gk , Wk B T PL GkWk )
得
ˆ W 0 Nk X ( k ˆ N 1W Q W X k k k k k ˆ 的协因数阵为: X
0 ˆj x ˆi hij ˆ lij 误差方程：vij x
若按经典平差，基准方 程为： ˆ1 0 x ˆ 1 基准方程告知信息：网 中第一点坐标已知；尺 度比为 1。
2) 二维（时间，高程）空间
d=4
观测值
(tij , hij)
待定参数(ti, Xi, λXi) 位置基准 t0, X0 , 尺度基准μ0，速率基准λX0
1 T ˆ G (G T G ) 1W [ I G (G T G ) G ] X j j k j j
ˆ 的协因数阵为: X j
T 1 T T 1 T T QX [ I G ( G G ) G ] Q [ I G ( G G ) Gj ] ˆ j ˆk j j j X
<<<
0 y2 0 0 x2 ym
0 xm
1 0 0 1 0 0 0 x2 ym xm 0 0 0 y 2 xm y m
式中： R x
2 i 1
m
0 2 i
y
0 2 i
ˆ 0的条件，对水准网，有 由于要满足G T x ˆ x
i 1 u i
ˆi 为高程增量） 0（ ; x
对平面网，有： ˆ x
i 1 m i
0,
ˆ y
i 1
m
i
ˆi、y ˆ i 为纵、横坐标增量） 0 （x
对于水准网： 1 u ˆ 1 u 1 u 0 1 u 1 u 0 0 ˆi X i x ˆi X i Xi Xi x u i 1 u i 1 u i 1 u i 1 u i 1
k
QX ˆ
k
T Qk G (Gk G ) 1 (G T Gk ) 1 G T
又设基准为Gj时
ˆ L V BX j ˆ GT j X Wj 0
ˆ W 0 得 NjX j ˆ 的协因数阵为: X j
Rank( B) t Rank(G j ) d u t
T ( N j B T PB G j G T j , W j B PL G jW j )
T ˆ Gk X Wk 0
ˆ V BX L T ˆ Gk X Wk 0
Rank( B) t u Rank(Gk ) d u t
2.2, 1~4维空间的基准
1) 一维（高程）空间 d=2
观测值 高差hij，待定 参数Hi（Xi）
高程位置基准（高程基准X0）尺度基准μ0
得：重心基准——平差前后网中重心点高程（或坐标）保持不 变。 秩亏平差基准=重心基准
有关基准的问题
在引入基准数据以前，秩亏正是测量控制网客观存在的普 遍性质。而经典平差之所以不存在秩亏，是因为在平差前已经 引入了基准数据消除了秩亏。
基准的三种定义方法： 1、平差前后保持不变的一种参考系。 2、平差计算所需要的充分、必要的起算数据。 3、将所计算的网型纳入正确坐标框架的系统。 已知数据≠基准数据 已知数据---可以有误差 基准数据----不允许有误差
加约束无关。再将（ 3）式左乘G并加入（ 2）式，考虑k 0，得： ˆ N GG x
T 1
BT Pl QG BT Pl
T 参数精度：Qx Q B PBQG QG NQG ˆx ˆ G
因联系数向量k=0，可知不同的基准不会影响最小二乘原 则，即不同的基准得到的改正数V不变，但不同基准下参数解X 和参数精度QX是不同的。
一维 尺度 1 位置 1 方位 0 总基准数 2
二维 1 2 1 4
三维 1 3 3 7
四维 1 4 6 11
2.3, 独立网的求解与平差基准的转换
1）具有基准数据(r ‘= d) 情况下(独立网)的求解
当 r d u t , Rank( B ) t时 , d：必要起算数据个数； t：必要观测数； r ：起算数据个数； u：参数个数网中所有点 ˆ L V BX 误差方程 k T ˆ 基准方程 Gk X Wk 0 Rank(Gk ) d u t 基准方程系数阵的秩
待定参数(ti,Xi,Yi,λXi,λYi) 位置基准 t0,X0,Y0 速率基准 λX0,λY0
5 ) 一般三维空间（X,Y,Z）－－静态三维 d=7
观测值 dX,dY,dZ 待定参数 位置基准 Xi，Yi，Zi X0，Y0，Z0
方位基准αX, αY, αZ
6 ) 四维（时间，X，Y，Z）－－动态三维 d=11
d , BG 0
T d u
可用带约束的间接平差 法解。 ˆ (1) V T PV 2k T G T x 2V T PB 2k T G T 0 ˆ x BT PV Gk 0
T T ˆ B PB x Gk B Pl 0 (2) 法方程： T ˆ0 (3) G x （2）式左乘G T，得k 0，代入（ 1）式，可知最小二乘原 则与附
X
0 2
X
0 2 3
Y
0 2
Y
0 2 3
S 23
Y50 Y40 w45 arct an 0 45 0 X5 X4
4) 三维（时间，X，Y）空间－－动态二维 d=7
观测值
(tij,γij),(tij,sij) 尺度基准μ0 方位基准α0 Sij (空间距离) 尺度基准μ0
3) 一般二维（X,Y）空间－－静态二维
d=4
观测值 待定参数 位置基准
方向γ Xi , Yi
距离 s 方位基准α0
X0,Y0 尺度基准μ0
例：误差方程 ˆj x ˆi ) bij ( y ˆj y ˆ i ) lij v ij zi aij ( x ˆ1 0 x y ˆ1 0 基准方程： ˆ3 x ˆ2 ) sin 23 ( y ˆ3 y ˆ 2 ) ws 0 cos 23 ( x ˆ4 x ˆ5 ) b45 ( y ˆ4 y ˆ 5 ) w45 0 a45 ( x 其中： ws
k
所以, 得
ˆ W 0 NX ˆ N 1W Q W X k
ˆ的协因数阵为: X
T QX ˆ Qk NQk Qk ( N Gk Gk )Qk T Qk Qk Gk Gk Qk T Qk G (Gk G ) 1 (G T Gk ) 1 G T T T T ( Qk Gk Qk ( N Gk Gk )G (Gk G ) 1 G (Gk G ) 1 )
2.1, 平差的基准与基准方程
基准方程 ： 当无基准数据时, Rank(B) = t < u， 给定 d = u - t 个基准数据, 可以列出的 d个关系式, 称为 基准方程。 取不同的基准数据（基准方程）参与平差，会得到不 同基准的平差结果，如经典平差、秩亏平差、拟稳平 差等
具有固定基准的经典平差（间接平差）的函数模型可写为
ˆ N 1W Q W X j j j j j Q Xˆ j
1 T 1 T Q j G(G T j G ) (G G j ) G
基准Gk与基准Gj的转换
ˆ N 1W Q W X j j j j j
T Q j ( N Gk Gk )Qk ( B T PL GkWk GkWk G jW j ) T ˆ Q G W Q G W ) Q j ( N Gk Gk )( X k k k k k j j
1 方位基准（旋转自由度 ）：d 3 C nn 1 , n 2 2 1 水准网基准个数： d I d1 d 2 C10 C1 2
0 1 2 平面网基准个数： d II d1 d 2 d 3 C2 C2 C2 1 2 2 4 2 1 三维网基准个数： d III d1 d 2 d 3 C30 C3 C32 1 3 3 2 7 2
G阵的形式：（G阵 N阵的零特征值所对应的 特征向量） 1 T 1 1 1 水准网 G u 1 1 0 0 1 m 测边、边角网 G T 32 m 1 0 0 y x 1 1 2 R 1 1 0 1 0 0 1 0 1 m T 测角网 G 0 1 y10 x10 y2 42 m 0 0 0 2 x y x 1 2 R 1 网中有m点，G T 阵共有2m列。 1 0 1 0 0 1 0 1
观测值
(tij,dX,dY,dZ) (tij,Sij)
待定参数(ti,Xi,Yi,Zi, λXi, λYi, λZi)
位置基准
t0,X0,Y0,Z0
尺度基准μ0
方位基准αX ,αY ,αZ 速率基准λXi,λYi,λZi
基准的类型和个数（静态）n维空间
0 尺度基准：d1 Cn 1 1 位置基准（平移自由度 ）：d 2 Cn n 2 n
基准转换的两种情况： 1、平差方式的转换。如间接平差与秩亏平差结果的自由 转换。 2、同一控制网平差时，采用不同起算点得到的平差结果 之间的转换。 对同一套观测数据，使用不同的平差基准将会得到不 ˆ 和Q ˆ ˆ 。在 V T PV min 的约束下，平差可 同的平差结果 X XX 得到控制网的最佳网型，但不同的基准条件会使最佳网型 “停靠”的位置不同。 基准转换的作用： 1、形变监测网起算点遭破坏后可变换起算点，监测数据 可连续。 2、计算广义相对误差椭圆。
ˆ Q G GT X ˆ Q G W Q G W Q j NX k j k k k j k k j j j ˆ Q G (G T X ˆ W ) Q G W Q j NX k j k k k k j j j ˆ Q G W (I Q G GT ) X ˆ Q G W Q j NX k j j j j j j k j j j
ˆ l 误差方程： V B x
n 1 n u u 1
n 1
n 观测值个数， u 参数个数（网中所有点 ） 其中 R B t n
nu
t 必要观测数
因B阵秩亏，法方程系数阵 有： Rank BT PB Rank N t u
u u
Байду номын сангаас
即N秩亏。且秩亏是由于无 起算数据引起，所以秩 亏数 d u t（必 ˆT x ˆ min 要起算个数）。法方程 无唯一解，需增加最小 范数条件： x 秩亏网附加阵法平差 在秩亏网误差方程中， 加入秩亏平差基准条件 ： ˆ0 x ˆT x ˆ min GT x 即 ˆ l V Bx T ˆ 0 G x d u u 1 其中要求：Rank G
2, 平差的基准与点位误差
2.1 基准与基准方程
2.2 1~4维空间的基准
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2.3 独立网的求解与平差基准的转换
2.4 附合网平差的求解平差基准的转换
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2.5 点位精度与误差椭圆（球）
2.6 相对点位精度与相对误差椭圆
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补充：秩亏自由网平差
在控制网中无起算数据或起算数据不可靠时，常采用 秩亏平差法。 用途：1、形变监测网平差 2、大地网平差前的质量分析（内精度） 特点：视网中所有点均为待定点，即 参数个数＝网中所有点数（水准网） 或：＝网中所有点数×2（平面网）
2）独立网平差基准的转换
设独立网平差基准为Gk时
ˆ L V BX k
T ˆ Gk X Wk 0
Rank( B) t Rank(Gk ) d u t
T N k B T PB Gk Gk , Wk B T PL GkWk )
得
ˆ W 0 Nk X ( k ˆ N 1W Q W X k k k k k ˆ 的协因数阵为: X
0 ˆj x ˆi hij ˆ lij 误差方程：vij x
若按经典平差，基准方 程为： ˆ1 0 x ˆ 1 基准方程告知信息：网 中第一点坐标已知；尺 度比为 1。
2) 二维（时间，高程）空间
d=4
观测值
(tij , hij)
待定参数(ti, Xi, λXi) 位置基准 t0, X0 , 尺度基准μ0，速率基准λX0
1 T ˆ G (G T G ) 1W [ I G (G T G ) G ] X j j k j j
ˆ 的协因数阵为: X j
T 1 T T 1 T T QX [ I G ( G G ) G ] Q [ I G ( G G ) Gj ] ˆ j ˆk j j j X
<<<
0 y2 0 0 x2 ym
0 xm
1 0 0 1 0 0 0 x2 ym xm 0 0 0 y 2 xm y m
式中： R x
2 i 1
m
0 2 i
y
0 2 i
ˆ 0的条件，对水准网，有 由于要满足G T x ˆ x
i 1 u i
ˆi 为高程增量） 0（ ; x
对平面网，有： ˆ x
i 1 m i
0,
ˆ y
i 1
m
i
ˆi、y ˆ i 为纵、横坐标增量） 0 （x
对于水准网： 1 u ˆ 1 u 1 u 0 1 u 1 u 0 0 ˆi X i x ˆi X i Xi Xi x u i 1 u i 1 u i 1 u i 1 u i 1
k
QX ˆ
k
T Qk G (Gk G ) 1 (G T Gk ) 1 G T
又设基准为Gj时
ˆ L V BX j ˆ GT j X Wj 0
ˆ W 0 得 NjX j ˆ 的协因数阵为: X j
Rank( B) t Rank(G j ) d u t
T ( N j B T PB G j G T j , W j B PL G jW j )
T ˆ Gk X Wk 0
ˆ V BX L T ˆ Gk X Wk 0
Rank( B) t u Rank(Gk ) d u t
2.2, 1~4维空间的基准
1) 一维（高程）空间 d=2
观测值 高差hij，待定 参数Hi（Xi）
高程位置基准（高程基准X0）尺度基准μ0
得：重心基准——平差前后网中重心点高程（或坐标）保持不 变。 秩亏平差基准=重心基准
有关基准的问题
在引入基准数据以前，秩亏正是测量控制网客观存在的普 遍性质。而经典平差之所以不存在秩亏，是因为在平差前已经 引入了基准数据消除了秩亏。
基准的三种定义方法： 1、平差前后保持不变的一种参考系。 2、平差计算所需要的充分、必要的起算数据。 3、将所计算的网型纳入正确坐标框架的系统。 已知数据≠基准数据 已知数据---可以有误差 基准数据----不允许有误差
加约束无关。再将（ 3）式左乘G并加入（ 2）式，考虑k 0，得： ˆ N GG x
T 1
BT Pl QG BT Pl
T 参数精度：Qx Q B PBQG QG NQG ˆx ˆ G
因联系数向量k=0，可知不同的基准不会影响最小二乘原 则，即不同的基准得到的改正数V不变，但不同基准下参数解X 和参数精度QX是不同的。
一维 尺度 1 位置 1 方位 0 总基准数 2
二维 1 2 1 4
三维 1 3 3 7
四维 1 4 6 11
2.3, 独立网的求解与平差基准的转换
1）具有基准数据(r ‘= d) 情况下(独立网)的求解
当 r d u t , Rank( B ) t时 , d：必要起算数据个数； t：必要观测数； r ：起算数据个数； u：参数个数网中所有点 ˆ L V BX 误差方程 k T ˆ 基准方程 Gk X Wk 0 Rank(Gk ) d u t 基准方程系数阵的秩
待定参数(ti,Xi,Yi,λXi,λYi) 位置基准 t0,X0,Y0 速率基准 λX0,λY0
5 ) 一般三维空间（X,Y,Z）－－静态三维 d=7
观测值 dX,dY,dZ 待定参数 位置基准 Xi，Yi，Zi X0，Y0，Z0
方位基准αX, αY, αZ
6 ) 四维（时间，X，Y，Z）－－动态三维 d=11
d , BG 0
T d u
可用带约束的间接平差 法解。 ˆ (1) V T PV 2k T G T x 2V T PB 2k T G T 0 ˆ x BT PV Gk 0
T T ˆ B PB x Gk B Pl 0 (2) 法方程： T ˆ0 (3) G x （2）式左乘G T，得k 0，代入（ 1）式，可知最小二乘原 则与附
X
0 2
X
0 2 3
Y
0 2
Y
0 2 3
S 23
Y50 Y40 w45 arct an 0 45 0 X5 X4
4) 三维（时间，X，Y）空间－－动态二维 d=7
观测值
(tij,γij),(tij,sij) 尺度基准μ0 方位基准α0 Sij (空间距离) 尺度基准μ0
3) 一般二维（X,Y）空间－－静态二维
d=4
观测值 待定参数 位置基准
方向γ Xi , Yi
距离 s 方位基准α0
X0,Y0 尺度基准μ0
例：误差方程 ˆj x ˆi ) bij ( y ˆj y ˆ i ) lij v ij zi aij ( x ˆ1 0 x y ˆ1 0 基准方程： ˆ3 x ˆ2 ) sin 23 ( y ˆ3 y ˆ 2 ) ws 0 cos 23 ( x ˆ4 x ˆ5 ) b45 ( y ˆ4 y ˆ 5 ) w45 0 a45 ( x 其中： ws