线性代数Linear讲解

The rule of linearity extends to combinations of three vectors or n vectorsu. c1v1 c2v2 ... cnvn T (u) c1T (v1 ) c2T (v2 ) ... cnT (vn ) 例題4：T(v)=投影v向量(in R3) 到 xy平面。
1 1 1 1 u v w T ( u) T ( v ) T ( w ) 2 2 2 2
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7.1 The idea of a linear Transformation

註：”transformation” 有自己定義使用的語言，雖然可能沒 有用到矩陣，但相同的觀念依然可使用。 Range of T =set of all outputs T(v) : corresponds to column space Kernel of T =set of all inputs for which T(v)=0 : corresponds to nullspace The range is in the output space W The kernel is in the input space V

解：令 A = [1 3 4]，則 T(v)= a ·v = A v
解：因為 ||v+ w||≤ ||v||+ ||w|| ，而且 T(-v)= ||-v|| = ||-v||≠- ||v|| 解：我們將整個平面旋轉30o，會使得這個轉換滿足線性關係 。在這裡不用提及矩陣。

例題2：The length T(v)= ||v|| 不是一個線性轉換。

例題6：假設A是可逆矩陣，而且T(v)= Av則存 在逆線性轉換(inverse transform) T-1， 使得T-1(T(v))= v。

Fra Baidu bibliotek
解： Let T-1(w )=A-1w, for all w in the range of T then T-1 is linear and T-1(T(v))= T-1(w) =A-1w =A-1Av=v , for w =T(v)=Av
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7.1 The idea of a linear Transformation


例子：T(v)=Av +u0 ”linear-plus-shift transformation” 不是一個線性轉換 例題1：假設a =(1,3,4), T(v)= a ·v (inner product) 是一個線性轉換。
線性代數—Linear Algebra
東吳大學數學系 葉麗娜
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第七 章 Linear Transformations (線性轉 換)


7.1 7.2 7.3 7.4
The idea of a linear Transformation The Matrix of a Linear Transformation Change of Basis Diagonalization and the Pseudoinverse
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7.1 The idea of a linear Transformation

例題5：T(v)=投影v向量(in R3) 到 z=1平面。

解： Let v=(v1,v2,v3 ) , then T(v)=(v1,v2,1) , T(cv)=(cv1, cv2,1) ≠cv hence the transformation is not linear.

解： The range is the xy plane , the kernel is the z-axis. Let v=(v1,v2,v3 ) , then T(v)=(v1,v2,0)=0 , hence v1 =0=v2 , the transformation (projection) is linear.
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7.1 The idea of a linear Transformation

定義： A transformation T assigns an output T(v) in output space W to each input vector v in input space V . The transformation is linear if it meets these requirements for all v and w : (a) T(v+w) = T(v) +T(w) (b) T(cv)=c T(v) for all c in R
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7.1 The idea of a linear Transformation: Linear Transformations of the plane


假設平面上一間”房子”有11個頂點 vi=(xi,yi), i=1,…,11. 我們做一個線性轉換，將這11個頂點對應到 頂點，而且他們之間的直線對應到直線，來產生新的” 房子”。 觀察不同的矩陣所產生的效果 6 3. 3 0 0 6 6 6 7 0 7 6


例題3：T(v)=旋轉v向量30o (xy平面) 是一個線性轉換。

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7.1 The idea of a linear Transformation: Lines to Lines, Triangles to Triangles

下圖說明input線上的點對應到output線上的點，其間 保持等距關係。

linearity: T(cv+dw) = c T(v) +d T(w)

依據”linear”的性質 T(0)=0

例子：矩陣乘法運算T(v)=Av就是一個線性轉換 例子：T(v)=v +u0 不是一個線性轉換，除非u0=0 T(v)=v 稱為“identity transformation ”