习题课基本计数原理

习题课基本计数原理
一、基础过关
1．如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是
()
A．26 B．24 C．20 D．19
2．已知x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，则xy可表示不同值的个数为() A．4 B．8 C．16 D．15
3．从0,1,2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a，b)的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是() A．100 B．90 C．81 D．72
4．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是() A．48 B．18 C．24 D．36
5．现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()
A．24种B．30种C．36种D．48种
6．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有
()
A．6种B．12种C．24种D．48种
二、能力提升
7．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案有________种．
8．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有______种不同的取法．
9．某班从6名学生中选出4人分别参加数、理、化、生四科竞赛且每科只有1人，其中甲、
乙两人不能参加生物竞赛．则不同的选派方法共有________种．
10．若把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对．
11．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形个数是多少？
12．从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？
三、探究与拓展
13．(1)从5种颜色中选出三种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．
(2)从5种颜色中选出四种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜
色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．
答案
1．D 2.D 3.C 4．D 5．D 6．B 7．96 8.242 9.240 10．24
11．解 设较小的两边长为x ，y ，且x ≤y ，
则x ≤y ≤11，x ＋y >11，x ，y ∈N *. 当x ＝1时，y ＝11； 当x ＝2时，y ＝10,11； 当x ＝3时，y ＝9,10,11； 当x ＝4时，y ＝8,9,10,11； 当x ＝5时，y ＝7,8,9,10,11； 当x ＝6时，y ＝6,7,8,9,10,11； 当x ＝7时，y ＝7,8,9,10,11； 当x ＝8时，y ＝8,9,10,11； 当x ＝9时，y ＝9,10,11； 当x ＝10时，y ＝10,11； 当x ＝11时，y ＝11. 所以不同三角形的个数为
1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36.
12．解 因为抛物线经过原点，所以c ＝0，从而知c 只有1种取值．
又抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 顶点在第一象限，所以顶点坐标满足⎩⎪⎨⎪
⎧
－b
2a
>0，4ac －b
2
4a >0，
由c ＝0解得a <0，b >0，
所以a ∈{－3，－2，－1}，b ∈{1,2,3}，
这样要求的抛物线的条数可由a ，b ，c 的取值来确定： 第一步：确定a 的值，有3种方法； 第二步：确定b 的值，有3种方法； 第三步：确定c 的值，有1种方法．
由分步乘法计数原理知，表示的不同的抛物线有N ＝3×3×1＝9(条)．
13．解 (1)如图，由题意知，四棱锥S －ABCD 的顶点S 、A 、B 所染色互不相同，则A 、C 必须颜色相同，B 、D 必须颜色相同，所以，共有5×4×3×1×1
＝60(种)．
(2)由题意知，四棱锥S －ABCD 的顶点S 、A 、B 所染色互不相同，则A 、C 可以颜色相同，B 、D 可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同．所以，先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法(如：B 、D 颜色相同)；再从5种颜色中，选出四种颜色涂在S 、A 、
B 、
C 四个顶点上，有5×4×3×2＝120(种)涂法；根据分步乘法计数原理，共有2×120
＝240(种)不同的涂法．。