3.2特殊平行四边形(2)课件
合集下载
平行四边形复习课 优课教学课件
A x D 2x
E
3X
3x
B
C
B
C
如图，Rt△OAB的两条直角边在坐标轴上，已知
点A（0，2），点B（3，0），则以点O,A,B为其
中三个顶点的平行四边形的第四个顶点C的坐标
为 。 _________________
y
(-3,2)
3
2A
(3,2 )
O
B
7
-4 -3 -2 -1
12 34 x
-1
1
-2
证法2： 连接BD，交AC于点O ，连接DE,BF
∵四边形ABCD是平行四边形
BC=AD
∴BO=OD, AO=CO
∠1=∠2 CE=AF ∴ △BCE≌△DAF ∴BE=DF， ∠3=∠4 ∴BE∥DF
又∵AF=CE
∴AE=CF
∴EO=FO
∴四边形BEDF是平行四边形
∴ BE=DF， BE∥DF
课堂小结
5矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ B）
A、对角线相等
B、对角线互相平分
C、对角线互相垂直 D、四条边都相等
6.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，
则两条对角线所成的锐角的度数（ D ）
A、50° B、60° C、70° D、80°
7、 已知菱形ABCD的周长为20cm。∠A： ∠ABC=1：2 ，则对角线BD的长等于 _____5_____cm。
四边形知识结构（定义）图
两组对边平行
角90° 个 一
矩形
一 组 邻 边 相 等
四边 形
平行四边
一角为直角且一组邻边相等
形
正方形
一 组 邻 边 相 等
菱形
北师大版八年级下册数学《平行四边形的性质》平行四边形研讨说课复习课件
又∵ AB=CD，
∴ AB-AE=CD-CF. ∴ BE=DF.
B C
通过这节课的学习，你有哪些收获？还有
什么疑惑？
定义：两组对边分别平行的四边形叫做
平 行 四 边 形
性质
平行四边形. 对边相等
边 对边平行 对角相等
角
邻角互补
中心对称图形
数学思想：“化归”
谢 谢 观 看！
3 平行四边形的性质
第2课时
平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两 个全等的三角形；
四边形问题
转化
三角形问题
A B
D C
小试牛刀： （1）在平行四边形ABCD 中，已知∠A= 130°， 则∠B=__5_0_°_ ，∠C=__1_3_0_°， ∠D= __5_0_°_； （2）平行四边形ABCD 中，∠A比∠B 大20°， 则∠C=_1_0_0_°_； （3）在平行四边形ABCD 中，AD= 30， CD= 25，则AB=_2_5___， BC=__3_0__ .
2．平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，OA， OB，AB的长度分别为3cm、4cm、5cm， 求其它各边以及两条对角线的长度。
解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AD=BC OA=OC，OB=OD
又∵OA=3cm， OB=4cm， AB=5cm ∴AC=6cm BD=8cm CD=5cm ∵△AOB中，32+42=52，即AO2+BO2=AB2 ∴∠AOB =90° ∴AC⊥BD ∴Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2 ∴AD=5cm，BC=5cm,
2.记作： ABCD . 读作：平行四边形ABCD. 3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的 对角线.如图线段BD. 4.平行四边形中，相对的边称为对边，
3.2.2 矩形的性质与判定(二)课件(新北师大版九年级上)
角线的长度将发生 怎样的变化？ 问题（2）: 当两条对角线的长度相等时平行四边形有 什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想： 对角线相等的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 已知:四边形ABCD是平行四边形,AC=BD. 求证:四边形ABCD是矩形. A 证明：
有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图,在四边形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形.
A
D
证明: ∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴AD∥BC,AB∥CD.
B ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形.
C
矩形判定方法二
布置作业
课本P16 1,2,3.
有三个角是直角的四边形是矩形
A D
B
C
∠A=∠B=∠C=90°
四边形ABCD 是矩形
议一议：
1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是平行四边形呢？
2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是菱形呢？ 3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是矩形呢？
例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较 于点O，△ABO是等边三角形，AB=4. 求□ABCD的面积. A
第一章 特殊平行四边形
知识回顾
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形. 一个角是直角 矩形
平行四边形
矩 形 的 性 质
边 角
矩形的对边平行且相等. 矩形的四个角都是直角.
对角线 矩形的两条对角线相等 且互相平分.
情境一
如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡 皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相 邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 已知:四边形ABCD是平行四边形,AC=BD. 求证:四边形ABCD是矩形. A 证明：
有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图,在四边形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形.
A
D
证明: ∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴AD∥BC,AB∥CD.
B ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形.
C
矩形判定方法二
布置作业
课本P16 1,2,3.
有三个角是直角的四边形是矩形
A D
B
C
∠A=∠B=∠C=90°
四边形ABCD 是矩形
议一议：
1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是平行四边形呢？
2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是菱形呢？ 3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是矩形呢？
例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较 于点O，△ABO是等边三角形，AB=4. 求□ABCD的面积. A
第一章 特殊平行四边形
知识回顾
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形. 一个角是直角 矩形
平行四边形
矩 形 的 性 质
边 角
矩形的对边平行且相等. 矩形的四个角都是直角.
对角线 矩形的两条对角线相等 且互相平分.
情境一
如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡 皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相 邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
《特殊平行四边形》第三课时参考课件
F 角线的位置关系和数量关 。 “中点四边形”四边相等 F 系： C G A
D
H
D
C
G
依次连接等腰梯形各边中点呢？
B
练一练
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB，BC，CD，DA的中点，请 添加一个条件，使四边形EFGH为菱形。 AC=BD 解：添加的条件是_______
A E B F G C H D
思 2、中点四边形可能是等腰梯形吗？可能是 考 四边形的形状是相同的？ 任意四边形吗？ 1、为什么矩形和等腰梯形的中点
探索思考
四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD， 顺次连接四边形ABCD四边的中点得到四边形 A1B1C1D1，又依次连接四边形A1B1C1D1四边的中点 得到四边形A2B2C2D2,依次类推，得到四边AnBnCnDn。
问题4
依次连接矩形各边中点所得到的四边形是一 个怎样的图形呢？先猜一猜,再说说理由吧！
A
H D
E
B
F
哦，是 菱形
G
C
问题5
依次连接平行四边形各边中点所得到的四边 形是一个怎样的图形呢？
A H D G C E F B
想一想
依次连接四边形各边中点所得到的新四边 形（中点四边形）的形状与哪些线段有关？
(2)四边形ABCD的面积是_____， 24 四边形A1B1C1D1的面积是_____， 12 四边形A2B2C2D2的面积是_____。 6 四边形A3B3C3D3的面积是_____。 A 3
(3)四边形AnBnCnDn的 1 12 n 1 面积是________； 2
A1
D3
D2
C3
D1 D
A A1
D3
D
H
D
C
G
依次连接等腰梯形各边中点呢？
B
练一练
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB，BC，CD，DA的中点，请 添加一个条件，使四边形EFGH为菱形。 AC=BD 解：添加的条件是_______
A E B F G C H D
思 2、中点四边形可能是等腰梯形吗？可能是 考 四边形的形状是相同的？ 任意四边形吗？ 1、为什么矩形和等腰梯形的中点
探索思考
四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD， 顺次连接四边形ABCD四边的中点得到四边形 A1B1C1D1，又依次连接四边形A1B1C1D1四边的中点 得到四边形A2B2C2D2,依次类推，得到四边AnBnCnDn。
问题4
依次连接矩形各边中点所得到的四边形是一 个怎样的图形呢？先猜一猜,再说说理由吧！
A
H D
E
B
F
哦，是 菱形
G
C
问题5
依次连接平行四边形各边中点所得到的四边 形是一个怎样的图形呢？
A H D G C E F B
想一想
依次连接四边形各边中点所得到的新四边 形（中点四边形）的形状与哪些线段有关？
(2)四边形ABCD的面积是_____， 24 四边形A1B1C1D1的面积是_____， 12 四边形A2B2C2D2的面积是_____。 6 四边形A3B3C3D3的面积是_____。 A 3
(3)四边形AnBnCnDn的 1 12 n 1 面积是________； 2
A1
D3
D2
C3
D1 D
A A1
D3
人教初中数学八下 18 平行四边形总复习课件 【经典初中数学课件汇编】
b3
h
2
5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a
被开方数
二次根号
a 读作“根号 ”
形 如 a ( a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
1.表示a的算术平方, a ≥0 ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
(5) (1 2)2 ( 21)2
练一练： x2-6x+9 + x2+2x+1 ( -1<x<3 )
思考：若m(m m 24)82 m 416m4, 则m的取值范围是 _________
1.若 (1x)2 1x ,则x的取值范围为 A
((A) x)≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
2
7 _____;
1 22_____.
一般地,二次根式有下面的性质:
2
a aa0
面积 a a
a
2
2
1
32______,2
2 7
______,3
213
________,
4
52________,5
232________.
? 一般地,二次根式有下面的性质:
性质1: a 2a (a0) 1149a765
例题讲解
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) x 5 (2) 1 x2 (3) 1 x 3 x
例2 当x取何值时， 1 在实数范围内有意义。 x5
练习、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1
(2) 3x
(3)4x2 1
(4)x1
(5) x3
人教版八年级下册数学《正方形》平行四边形研讨复习说课教学课件
A
B
O
D
C
阶段归纳
正方形判定的常用方法：
+
一个角是直角 或对角线相等
先判定菱形
矩形条件(二选一)
先判定矩形
+
一组邻边相等， 或对角线垂直
菱形条件(二选一)
正方形 正方形
阶段归纳
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定总结
矩形
5种判定方法 四边形
平行四边形
一个角是直角且一组邻边相等
正方形
菱形
当堂练习
6.对角线互相平分，垂直，相等的四边形是正方形
几何语言表示 ∵AC⊥BD，AC平分BD，BD平分AC，AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形
知识点四：正方形，菱形矩形平行四边形之间的关系
归纳总结：正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩
形、特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质． 判定正方形有两个思路：(1)先判定四边形是矩形，再判定
这个矩形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形 是矩形．
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的 等腰直角三角形.
已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O。 求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形。
证明：∵四边形ABCD是正方形。
知识点二：正方形的性质（从边，角，对角线，对称性四个方面研究）
1.角：正方形的四个角都是直角； 几何语言表示：在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 2.边：正方形的四条边都相等；对边平行。
几何语言表示：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA,AB∥CD，AD∥BC
证一证
对角线互相垂直的矩形是正方形.
最新人教版初中数学八年级下册-第18章《平行四边形》复习课件-
第 1 题图
第 2 题图
2．(4分)如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，
连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB＝BF.添
加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为
下面四个条件中可选择的是( D )
A．AD＝BC；
B．CD＝BF；
C．∠A＝∠C；
D．∠F＝∠CDE。
3．(8分)(2013·镇江)如图，AB∥CD，AB＝CD，点
6．(5分)小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了
一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点
重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四
边形，这种方法的依据是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 7．(8分)如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上两
四边形的个数为( ) A．4个; B．3个; C．2个; D．1个
9．已知三条线段的长分别为10 cm, 14 cm和8 cm, 如 果以其中的两条为对角线, 另一条为边, 那么可以 画出所有不同形状的平行四边形的个数为( ) A. 1个; B. 2个; C. 3个; D. 4个.
10．如图, 在▱ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, E,
∠CFD＋∠DFE＝180°，∴∠AEF＝∠DFE.∴AE∥DF.∴四边形 AFDE 为平行四边形
4．(4分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC
上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数
为 45 。
5．(A41第B分8C2.)1D如课.2为图时平，平行四行平四边边四行形形边四A，B形边C则D形的可中的判添，性定加AB的质∥条与C件D判，是定要的使四综边合形应用
3.2 代数式的值(第2课时)课件(共44张PPT) 七年级数学上册(人教版2024)
B地，且甲用的时间较少.
（1）用代数式表示甲比乙少用的时间；
形的面积是( A )
A. 64
B. 32
C. 40
D. 42
随堂练
3. 一段钢管的外部直径是 d cm，管壁的厚度为 a cm，长度为 l cm，则
这段钢管的底面积为
π
2
2
＝1， l ＝5，则钢管的体积为
－π
2
15π
−
2
cm3.
cm2；若 d ＝4， a
随堂练
4. [立德树人 红色旅游]某学校组织七、八年级全体同学参观红色教
思考探究
(3)当h=20时,比较物体在地球上和月球上自由下落所需的时间.
物体在地球上时，4.9t²= 20，
∴=±
当t = −
20
10 2
=±
,
4.9
7
10 2
时，不符合题意，舍去，
7
10 2
s；
7
∴物体在地球上自由下落所需的时间为
物体在月球上时，0.8t²= 20，
∴=±
20
= ±5,
0.8
是h=4.9t2,在月球上大约是h=0.8t2.
(1)填写下表:
t
h=4.9t2
h=0.8t2
0
本节课我们来学
2
4
6
习代数式值的应
用，来解决此类
实际问题
8
10
(2)物体在哪儿下落得快?
(3)当h=20时,比较物体在地球上和月球上自由下落所需的时间.
新知探究
代数式值的应用
有些同类事物中的某种数量关系常常可以用公式来描述.
A. 12
B. 24
（1）用代数式表示甲比乙少用的时间；
形的面积是( A )
A. 64
B. 32
C. 40
D. 42
随堂练
3. 一段钢管的外部直径是 d cm，管壁的厚度为 a cm，长度为 l cm，则
这段钢管的底面积为
π
2
2
＝1， l ＝5，则钢管的体积为
－π
2
15π
−
2
cm3.
cm2；若 d ＝4， a
随堂练
4. [立德树人 红色旅游]某学校组织七、八年级全体同学参观红色教
思考探究
(3)当h=20时,比较物体在地球上和月球上自由下落所需的时间.
物体在地球上时，4.9t²= 20，
∴=±
当t = −
20
10 2
=±
,
4.9
7
10 2
时，不符合题意，舍去，
7
10 2
s；
7
∴物体在地球上自由下落所需的时间为
物体在月球上时，0.8t²= 20，
∴=±
20
= ±5,
0.8
是h=4.9t2,在月球上大约是h=0.8t2.
(1)填写下表:
t
h=4.9t2
h=0.8t2
0
本节课我们来学
2
4
6
习代数式值的应
用，来解决此类
实际问题
8
10
(2)物体在哪儿下落得快?
(3)当h=20时,比较物体在地球上和月球上自由下落所需的时间.
新知探究
代数式值的应用
有些同类事物中的某种数量关系常常可以用公式来描述.
A. 12
B. 24
《特殊平行四边形》第二课时参考课件
=2×△ABD的面积 =2×△ABD的面积 ×△ABD 1 = 2× × BD× AE 2 1 2 = 2× ×10×12 =120(cm ). 2
菱形的判定
定理:四条边都相等的四边形是菱形. 定理:四条边都相等的四边形是菱形. 已知:如图,在四边形ABCD中 已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. ABCD 求证:四边形ABCD是菱形. 求证:四边形ABCD是菱形. ABCD是菱形 分析: 分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的 四边形是平行四边形,可使问题得证. 四边形是平行四边形,可使问题得证. D 证明: AB=BC=CD=DA, 证明: ∵AB=BC=CD=DA, AB=CD,BC=DA. ∴AB=CD,BC=DA. A 四边形ABCD是平行四边形. ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是平行四边形. B ∵AB=AD, 四边形ABCD是菱形. ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是菱形.
特殊平行四边形（ 3.2 特殊平行四边形（二）
议一议
菱形的性质
A
D C B
定理:菱形的四条边都相等. 定理:菱形的四条边都相等. 已知:如图,四边形ABCD是菱形. 已知:如图,四边形ABCD是菱形. ABCD是菱形 求证:AB=BC=CD=DA. 求证:AB=BC=CD=DA.
分析:由菱形的定义,利用平行四边形性质可使问题得证 分析:由菱形的定义,
B E E D
C
四边形ABCD是菱形, ABCD是菱形 解:(1) ∵四边形ABCD是菱形,
1 1 BD = ×10 = 5(cm). 2 2 2 2 2 2 ∴AE = AD − D = 13 −5 =12(cm). E
∴∠AED=900, DE =
∴AC=2AE=2× ∴AC=2AE=2×12=24(cm). (2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 (2)菱形ABCD的面积= ABD的面积+ CBD的面积 菱形ABCD的面积 的面积
3.2特殊平行四边形 课件1(北师大版九年级上册)
A
B
O
D
=90
你有什么 发现？
C
A D
已知：如图,四边形ABCD是菱形, 且AB=AD. 求证：AB=BC=CD=AD B
C
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴ AB=DC AD=BC(菱形的两组对边分别相等）
又∵ AB=AD
(菱形的定义）
学.科.网
∴ AB=BC=CD=AD
菱形的性质 2 ：
菱形的两条对角线互相垂直，每一 条对角线平分一组对角。
2 2 2 2
E
B
在Rt△DAE中,由勾股定理得 （3）
∴ S菱形ABCD 1 AC BD
2
AB BO 4 2 2
3
3
1 4 3 4 2
∴ AC=4
8 3
想一想：通过这节课的学习你有哪些收获？
1、 平行四边形与特殊平行四边形的关系.
矩形
平行四边形
正方形 菱形
B
O C
D
BO AB2 AO2 12(cm） BD 2BO 24cm
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积
1 1 BD AO BD CO 2 2 1 BDAO CO 2 1 BD AC 2 120 cm2
菱形的面积与它的 两条对角线有什么 吗关系？
菱形的性质 2 ：
菱形的两条对角线互相垂直，每一 条对角线平分一组对角。
A
12
已知:四边形ABCD是菱形, 求证:AC⊥BD， AC平分∠BAD和∠BCD BD平分∠ABC和∠ADC
B
3 4
O
D
证明： ∵四边形ABCD是菱形 ∴ AB=AD,OB=OD 又∵ AO=AO
人教版八年级下册数学 第18章 集训课堂 测素质 特殊平行四边形的性质和判定 习题课件
集训课堂
(2)性质探究：如图①，四边形ABCD的对角线AC，BD交 于点O，AC⊥BD.求证：AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
集训课堂
证明：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°.
由勾股定理，得AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2， AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2， ∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
11 【2021·徐州】如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形， 点E，F分别在线段AB，AD上，若BE＝FD＝2 cm，矩 形AEGF的周长为20 cm，则图中阴影部分的面积为 ____2_4___cm2.
集训课堂
【点拨】 ∵矩形AEGF的周长为20 cm， ∴AE＋AF＝10 cm. ∵AB＝AE＋BE, AD＝AF＋DF, BE＝FD＝2 cm， ∴S阴影＝S矩形ABCD－S矩形AEGF＝AB·AD－AE·AF＝
集训课堂
∴AB＝AD. ∴平行四边形ABCD是菱形． ∴AC⊥BD，即AC⊥EF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵DE＝BF，∴OE＝OF. ∴四边形AFCE是平行四边形． 又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．
集训课堂
17 (16分)【中考·天水】如图①，对角线互相垂直的四边 形叫做垂美四边形．
集训课堂
【点拨】 在 Rt△ PMN 中，∠MPN＝90°. ∵O 为 MN 的中点，∴OP＝12MN＝OM. ∵∠PMN＝30°，∴∠PO＝30°. ∴∠DPM＝150°. 在四边形 ADPM 中，∵∠A＝90°，∠ADB＝45°，
∠DPM＝150°，
集训课堂
∴∠AMP＝360°－∠A－∠ADB－∠DPM＝ 360°－90°－45°－150°＝75°.
第3章_证明(三)
第三章证明（三）．证明：夹在两条平行线间的平行线段相等．，AB、CD是l1、l之间的任意平行线段．求证：__________.ABCD 中，∠A∶∠D．下列命题中，能判定出等腰梯形的是四、课时小结1、本节课我们主要利用前面学过的公理和定理来证明了平行四边形的性质定）若四边形ABCD是平行四边形，则∠A ABCD是平行四边形，则AB＝______定理：三角形的中位线平行于第三边．且等于第三边的一半．ABC的中位线，1BC．，DE＝2的中位线，因此：MN＝“比赛的名次”．．前面我们已探讨过矩形的性质，矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相ABCD，求证：AC＝DB定理：矩形的四个角都是直角．矩形的对角线相等．．如图，设矩形的对角线AC与的交点为E，那么BE直接应用：∵BE是Rt△ABC的AC上的中线，AC．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）2．如图：已知在菱形ABCD中，对角线AC求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCDBDABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线的长度；（2）菱形ABCD推论：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．定理：四条边都相等的四边形是菱形．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．P88，随堂练习1．想一想议一议依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．这个题是先证明了四边形A1B1C1D的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边用类比的方法，证明了连结平行四边形及特殊平行四边形各边中点得到的图形，那么大家能否得出一个一般性的结沦，即依次连结四边形各边小点所得的新四边形的形状与哪些线段有关？有怎样的关系？只要四边形的对角线互相垂直，那么连接这个四边形各边的中点所得到的图在命题的探索和证明过程中，蕴涵着一些数学思想方法．如：归纳、类比、ABC中，AB＝AC D是BC的中点，DE本节课我们重点复习了本章所学的内容．在这一章里，不仅要理清特殊四边形之间的关系，还要会用几何推理来证明一些问题，而且还要体会数学思想方法。
3.2特殊平行四边形
下列各类“中点四边形”的形状分别是： （1）任意四边形的“中点四边形”是平行四边形；
（2）平行四边形的“中点四边形”是 平行四边形；
（3）矩形的“中点四边形”是 菱形 矩形 ；
（4）菱形的“中点四边形”是
；
（5）正方形的“中点四边形”是 正方形 .
课堂小结 ：
通过本节课的学习，我们知道了依次连接四边形 各边中点所得的四边形（中点四边形）的形状与原四 边形的关系： “中点四边形”的形状取决于原四边形两条对角 线的位置关系和数量关系. 若四边形两条对角线互相垂直，则“中点四边形” 四个角是直角（矩形或正方形）； 若四边形两条对角线相等，则“中点四边形”四 条边相等（菱形或正方形）.
平行四边形
矩形
正方形
菱形
它们既然是平行四边形，就具有平行四边形的性 质．又因为它们是特殊的平行四边形，所以它们又具 有各自的独特性质． 我们分开来研究它们的特殊性质．
还记得矩形的性质吗？
点击播放即可演示
矩形具有平行四边形的所有性质.
大家先来独自证明矩形的性质，然后与同伴交流 你的证明思路. 已知：四边形ABCD是矩形． 求证：1.∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90° 2. AC＝DB． A
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， 已知∠AOD＝120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长.
A O B C D
分析：欲求对角线的长，由于∠BAD＝90°， AB=2.5cm，则再知道AD的长或Rt△ABD中一个锐角 的度数，就可求得BD的长. 而题中已知∠AOD＝ 120°，应用矩形的性质可知∠ADB＝30°，这样即可 求出对角线BD的长．
1 斜边AC上的中线，它与AC的大小关系为BE＝ AC. 2
2 2
九年级数学第三章
§3.1.1 平行四边形（一）【导学目标】1、熟练掌握平行四边形的性质；2、灵活运用平行四边形的性质解决问题。
【导学过程】一、复习引入：1、你还记得平行四边形有哪些性质吗？边：（1）平行四边形对边______且________；角：（2）平行四边形的对角______；邻角______。
对角线：（3）平行四边形的对角线_____________；2、等腰梯形的性质呢？等腰梯形的两腰_______，在_________的两个角相等。
3、等腰梯形的判定定理：____________________________的梯形是等腰梯形．定理：_____________________________梯形是等腰梯形二、自学新知：1、平行四边形的性质的证明证明平行四边形的对边相等，对角相等。
已知：求证;证明平行四边形的对角线互相平分已知：求证：【小组讨论】是否存在将平行四边形ABCD 分成面积相等的两部分的线段，如果存在，这样的线段有多少条？你能发现满足条件的这些线段有什么特征？2、阅读课本83的证明。
然后证明84页的定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
三、巩固练习：练习1：如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O的直线EF分别交AD、BC于点E、F，若AB=3，BC=5，OE=2，四边形EFCD的周长为_________（第1题）2、(苏州2010)．如图15，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是．3、(2010镇江市）．如图10，在平行四边形ABCD中，CD=10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且的面积的面积则CDEAEFECAE∆∆=,52= ，BF= .DB CADB CADB CAACACFOCADE4、如图，E F ，是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE AF =． 请你猜想：BE 与DF 有怎样的位置．．关系和数量．．关系？并对你的猜想加以证明． 猜想：证明：5（2010年毕节）如图，已知： ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠的平分线BG 交CE 于F ，交AD 于G ．求证：AE DG =．6、（2010山东济南）如图所示，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AB =DC ，点M 是AD 的中点．求证：BM =CM ．四、拓展练习：1.（2010宁德）如图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2， 则FC 等于_____．2、（2010北京） 已知：如图，在梯形ABCD中，AD //BC ，AB =DC =AD =2，BC =4。
大单元特殊的平行四边形课件山东省泰安市泰山区泰山学院附属中学2022—2023年鲁教版(五四制)数学
是菱形． 故答案为：90.
特殊的平行四边形
返回目录
例1
练习2.(2)若∠EBC＝60°，AD＝12，DC＝3.当BE＝______时，四边形
BFCE是菱形．
练习1 思路分析：
例2
练习2
例3 练习3
解：当BE＝6时，四边形BFCE是菱形． ∵AC＝BD，∵∴∠ACEBC＝60°，BE＝BC， ∴△EBC是 －BC＝BD－BC，即AB＝DC. 又∵AE＝DF，∠A＝∠D等，边三角形，∴BE＝EC＝6. ∴平行四边 ∴△ABE≌△DCF(SAS)． ∴BE＝CF，∠ABE＝∠DCF形. BFCE是菱形． 故答案为：6. ∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥CF. ∴四边形BFCE是平行四边 形． ∵AD＝12，DC＝3，AB＝DC，∴BC＝6.
目 录
特殊的平行四边形
返回目录
1．理解矩形的概念． 2．探索并证明矩形的性质定理及判定定理． 3．理解菱形的概念． 4．探索并证明菱形的性质定理及判定定理． 5．理解正方形的概念，以及平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系． 6．探索并证明正方形的性质定理及判定定理．
特殊的平行四边形
返回目录
1.边：矩形的对边平行且相等ABA//BC=DC,DA,DA/D/=①BC, BC .
(2)由(1)得MN＝AC. ∵四边形ABCD是 平行四边形， ∴AB＝CD＝2，AD∥BC， ∴∠ABC＋∠BAD＝180°， ∴∠ABC＝ 45°. ∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝AB ＝2， ∴MN＝2.
特殊的平行四边形
返回目录
例1
二、菱形的性质与判定 例2.(1)如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E.若
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D A O C
解得:
B
菱形的周长为20cm ,面积为24cm2
想一想
怎样判别一个四边形(平行四边形) 是菱形? 菱形的判别方法:
一组邻边相等的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱
形. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
我思,我进步
菱形的判定
C
学以致用 已知，AD是△ABC的角平分 线，DE∥AC交AB于点E， DF∥AB交AC于点F。 求证：四边形AEDF是菱形。
B E
A
F
C 证明: D ∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形 ∴∠ADE=∠DAF. ∵DE∥AC, ∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠DAE=∠DAF. ∴∠DAE=∠ADE. ∴AE=ED. ∴平行四边形AEDF是菱形.
D A O B C
A
B
C
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD.
∴四边形ABCD是菱形.
独立 作业
P99习题3.5 2,3题.
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 严格性于数学家,犹如道德
之于人. • 条理清晰，因果相应,言必有 据.是初学证明者谨记和遵循 的原则.
小试牛刀
菱形的性质
定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角 线平分一组对角. 已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相 交于点O. 求证: (1).AC⊥BD; D (2).AC平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ADC和∠ABC. O A C 证明:(1) 四边形ABCD是菱形, ∵ ∴AD=CD,AO=CO. ∵DO=DO, B ∴△AOD≌△COD(SSS). ∴∠AOD=∠COD=900. ∴AC⊥BD. (2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD; ∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
定理:四条边都相等的四边形是菱形. D 已知:如图,在四边形ABCD A C 中, AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. B 分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的 四边形是平行四边形,可使问题得证. 证明: ∵AB=BC=CD=DA, ∴AB=CD,BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB=AD, .. ∴四边形ABCD是菱形.
回顾与思考
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论 (求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知” 和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导 “果”,执“果”索“因”.); (5)依据思路,运用数学符号和数学语言 条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.
学以致用
A
D
已知菱形ABCD中，E、F 分别是CB、CD上的点， 且BE=DF。 求证： ∠AEF=∠AFE 证明: B ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD, ∠B=∠D ∵BE=DF ∴△ABE≌△ADF(SAS) ∴AE=AF ∴∠AEF=∠AFE.
F
E
C
菱形的性质 本课 小结 定理:菱形的四条边都相等. ∵四边形ABCD是菱形, D ∴AB=BC=CD=AD.
例题解析
菱形性质的应用
A
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱 形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, B 0,DE 1 BD 1 10 5cm . ∴∠AED=90
AE
2 2 AD 2 DE 2 132 52 12cm .
D
A C A O C
B
B
定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且 每条对角线平分一组对角. ∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线. ∴AC⊥BD,
AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
菱形的判定 本课 小结 定理:四条边都相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中, ∵AB=BC=CD=AD, D ∴四边形ABCD是菱形.
E
D
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
C
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积
1 2 BD AE 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
菱形的面积等于两条 对角线乘积的一半
学以致用
已知菱形ABCD的两条 对角线AC与BD相交于点 O,且AC=8cm,BD=6cm， 求菱形的周长和面积．
九年级数学(上) 第三章证明(三)
2.特殊的 平行四边形－菱形
驶向胜利 的彼岸
想一想
什么样的图形叫做菱形? 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形 菱形有哪些性质?
菱形是特殊的平行四边形,除具有平行四边形的 一切性质外,还具有一些特殊的性质: 菱形的四条边都相等,两条对角线互相垂直平分, 每一条对角线平分一组对角. 定理:菱形的四条边都相等 定理:菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线 平分一组对角
我思,我进步2
菱形的判定
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD. D 求证:四边形ABCD是菱形. 分析:要证明□ABCD是菱形, O A 就要证明有一组邻边相等即可. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. B ∴AO=CO. ∵AC⊥BD, ∴ DA=DC.(线段垂直平分线上的点到线段两 端点的距离相等) ∴四边形ABCD是菱形.
小试牛刀
菱形的性质
D C
定理:菱形的四条边都相等.
已知:如图,四边形ABCD是菱形. 求证:AB=BC=CD=DA. A 分析:由菱形的定义,利用平 行四边形性质可使问题得证.
B
证明: ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AD=BC. ∴ AB=BC=CD=AD.