开普勒定律的推导及应用

开普勒定律的推导及应用

江苏南京师范大学物科院王勇江苏海安曲塘中学周延怀

随着人类航天技术的飞速发展和我国嫦娥绕月卫星的发射成功，以天体运动为载体的问题将成为今后考查热点。在现行的高中物理教材中主要引用了开普勒三大定律来描述了天体的运动的规律，这三条定律的主要内容如下：

（1）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。

（2）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

（3）所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值。

至于行星绕太阳的轨道为何是椭圆以及中的常量C与那些量相关并无说明。为了更深入的理解天体和人造卫星的运行规律，本文将以椭圆的性质为基础从理论上推导开普勒定律。

一、开普勒第一定律

1．地球运行的特点

（1）由于地球始终绕太阳运动，则太阳对地球的万有引力的力矩始终为零，所以地球在运动过程中角动量守恒。

（2）若把太阳与地球当作一个系统，由于万有引力为保守力且无外力作用在这个系统上，所以系统机械能守恒。

2．地球运行轨迹分析

地球在有心力场中作平面运动且万有引力的作用线始终通过太阳，所以建立如图所示的极坐标系，则P点坐标为(r，θ)。

若太阳质量为M，地球质量为m，极径为r时地球运行的运行速度为v。

当地球的运行速度与极径r垂直时，则地球运行过程中的角动量（1）若取无穷远处为引力势能的零参考点，则引力势能，地球在运行过程中的机械能（2）

（1）式代入（2）式得：（3）

由式（3）得：（4）

由式（4）可知，当地球的运行速度与极径r垂直时，地球运行的极径r有两解，由于初始假设地球的运行速度与极径垂直，所以r为地球处在近日点和远日点距太阳的

距离。考虑到地球的这两个位置在极坐标系中分别相当于和，可

把式（4）中的号改写为更普遍的形式极坐标方程。

则地球的运行轨迹方程为（5）（5）式与圆锥曲线的极坐标方程吻合，其中（p 为决定圆锥曲线的开口），（e为偏心率，决定运行轨迹的形状），

所以地球的运行轨迹为圆锥曲线。由于地球绕太阳运动时E<0，则圆锥曲线的偏心率，所以地球绕太阳运行的轨迹为椭圆。

3．人造星体的变轨

由于运载火箭发射能力的局限，人造星体往往不能直接由火箭送入最终运行的空间轨道，若要使人造星体到达预定的轨道，要在地面跟踪测控网的跟踪测控下，选择合适时机向卫星上的发动机发出点火指令使人造星体的速度增加（机械能增加），进而达到改变卫星运行轨道的目的。如图所示最初人造星体直接由火箭送入近地轨道1，此时

，偏心率e=0，人造星体运行的轨迹为圆；当到达A点时，人造星体发

动机点火，此时

点时，人造星体发动机再次点火，当时，偏心率e=0，人造星体将在圆轨道3上运行；当到达B点时人造星发动机再次点火，人造星体将在开口更大的椭圆轨道4上运动，人造星体将离地球越来越远，当地球对它的引力小于其它星体对它的引力时，人造星体将脱离地球的束缚奔向其它星体（如嫦娥一号卫星）。

二、开普勒第二定律

行星绕太阳的轨道为椭圆，若在时刻t行星位于A点，经dt时间后行星位于点B，在此时间内行星的极径r转过的角度为dθ，则AOB所围的面积（1）

（1）式除以dt有（2）

由于角动量（3）

（3）式代入（2）式得

由于L是恒量，所以单位时间内极径所扫过的面积也是恒量。所以地球在近日

点运行的快，在远地点运行的慢。如图人造星体从轨道1变化到轨道3的过程中，若点火前后A、B两点的速度分别为V1．V2．V3．V4，则点火前后速度V1V3；由于人造星体在轨道1。轨道3上做匀速圆周运动，以V1>V4；故V2>V1>V4>V3。

三、开普勒第三定律

行星绕太阳运动椭圆轨道的面积，根据椭圆的性质则椭圆的面积（a为长轴，b为短轴）由于单位时间内极径所扫过的面积

则周期（1）

根据椭圆的性质和开普勒第一定律，半长轴

（2）

（2）式得

（2）式代入（1）式得（3）

根据椭圆的性质，椭圆的半短轴，则（4）

式（4）代入（3）式得C，由此式可知绕同一中心天体运行的人造星体轨道半长轴的三次方跟它们的公转周期的二次方的比值由中心天体的质量所决定。

例飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T，如图所示如果飞船要返回地面，可在轨道上的某点A将速度降低到适当的数值，从而使飞船沿着地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，求飞船由A 点到B 点所需的时间。(已知地球半径为R0)

分析：无论飞船是沿圆轨道运行还是沿椭圆轨道运行，飞船都是绕地球运动，所以

运行时间与轨道之间的关系满足C，故有

解得

则飞船由A点到B 点所需的时间为

参考文献：

[1]程守洙，江之永．普通物理学．高等教育出版社，2003

[2]马文蔚物理学．高等教育出版社，2004