群的基本概念

C3v E ˆ1 C 3 2 ˆ C ˆ ˆ ˆ
E E ˆ1 C 3 2 ˆ C ˆ ˆ ˆ
1 ˆ C3 ˆ1 C
ˆ C
3 2 3
2 ˆ C3 ˆ2 C 3
3 (1 ) v (2) v (3) v
3 (1 ) v (2) v (3) v
E 3 (2) (3) ˆv ˆv (3) (1 ) ˆv ˆv
例 2-3 四阶群有两个：
(2) 2） 四阶群 G4 ：
(2) G4
E
A B
C C B A E
E A B C
E A B A E C B C E C B A
这个群的特点是每个群元素的逆都是其自身。
可对易（Abel）群：任意两群元素的乘积是可对易的，aiaj =ajai。
上述例子都是 Abel 群的例子。
E A B C
E A B A B C B C E C E
A B
AA = A2 = B, AB = A3 = C, AC = A4 = E BA = A3 = C, BB = A4 = E, BC = A5 = A CA = A4 = E, CB = A5 = A, CC = A6 = B
例 2-3 四阶群有两个：
是该群中的元素，且有： X X-1 = X-1 X = E 群元素的数目称为群的阶 h .
从数学的角度看，按一定规则联系起来的任何元素的一个集合，
如果满足上述四个条件，就称为群。群的特征不在于构成群的是何种 元素，而在于它们共同遵守着某种规则，这种规则反映了群元素之间 的内在联系。
例 1-1 实数加法群
例 1-3 立正操
四个操练动作：立正，向右转，向左转，向后转的集合构成群，如 果定义两个动作的乘法为进行一个动作之后接着进行另一个动作。 例 1-4 全体正整数的集合不能构成整数乘法群。尽管该集合满足封 闭性和结合律，也有恒等元，但除 1 以外，其余元素均无逆元。 例 1-5 全体实数的集合，虽然能构成实数加法群，但不能构成实数
( 123) ( 132)
( 123) ( 132)
例 2-6 C3v 群
C3v 群的群元素与 S3 置换群的 群元素存在一一对应关系。这 个对应关系可通过右图分析得
出。如：
1 2 3 C 1 2 3 ˆ1 3 1 2 3 3 1 2
C3v 群的群元素作用下三个数码的置换
全体实数的集合对于数的加法构成群；（1）任意两实数之和仍为实 数，（2）数的加法服从结合律，（3）恒等元为 0，（4）逆元为其 相反值。
例 1-2 实数乘法群 除 0 以外的全体实数的集合对数的乘法构成群；（1）任意两实数之
积仍为实数，（2）数的乘法服从结合律，（3）恒等元为 1，（4） 逆元为其倒数。
的元素是 xy 的乘积。行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左 乘因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上。
1）乘法表由 h 行和 h 列组成。列写在表的左边，行在表的顶部。如：
G3 E A B
E
A B
G3 E A B
E A B E EA EB AE A2 AB BE BA B 2
2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，
乘法群。因为其中的 0 无逆元。
2.2 群的乘法表
群是按一定规律相互联系着的元素的集合，这个规律就是所谓
的乘法。对一个有 h 个元素的有限群来说，如果知道了所有可能的
乘积（h2 ）是什么，那么群元素之间的关系就一目了然，这个群就 完全且唯一的被定义了。乘法表就是这样一个概念。
对于一个有限群 G 和群 G 中任意两个元素的乘积关系以表格的
形式来表示，称为乘法表。利用乘法表可以方便的进行群的运算。
1）乘法表由 h 行和 h 列组成。列写在表的左边，行在表的顶部。如：
G3 E A B
E
A B
1）乘法表由 h 行和 h 列组成。列写在表的左边，行在表的顶部。如：
G3 E A B
E
A B
2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，
例 2-6 C3v 群
C3v 群的群元素与 S3 置换群的 群元素存在一一对应关系。这 个对应关系可通过右图分析得
出。如：
1 2 3 C 1 2 3 ˆ1 3 1 2 3 3 1 2
C3v 群的群元素作用下三个数码的置换
根据两个群的群元素的对应关系可以得到 C3v 的群表：
1 2 3 132 3 1 2 1 2 3 23 1 3 2
群元素相乘相当于进行一次置换后，再进行一次置换。
置换群的群元素相乘彼此不对易，作用的先后次序是重要的： 先右边，再左边（action in turn !）。如
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1213 2 1 3 3 2 1 3 1 2 132 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1312 3 2 1 2 1 3 2 3 1 123
群的基本概念
目录
2 群的基本概念
2.1 群的定义 2.2 群的乘法表 2.3 同构与同态
2.4 群的直积 2.5 群元素的共轭分类
2.6 分子点群的共轭分类
2.1 群的定义
元素 A、B、C、...... 组成集合 G，在集合 G 中定义有称为 乘法 的
某种组合运算，如果 G 对该 乘法 满足以下四个条件，则集合 G 构 成群。 (1) 封闭性
A、B 为群 G 中的元素，如果：
AB = C 则 C 也是群 G 中的一个元素。
(2) 结合律 群元素相乘满足乘法结合律，如： ABC = ( AB )C =A( BC )
(3) 恒等元素
群中有且仅有一个恒等元素 E，且有：
EX = XE = X
其中 X 为群中的任何元素。
(4) 逆元素
群中任一元素 X 都有一个逆元素 X-1 ，且逆元素 X-1 也
如果两个群的群元素之间存在 1 对 m 的关系，则这两个群同态。 如 G2 群与 C3v 群同态，存在着 1 对 3 的关系。从乘法表的区域分布 可以看出：
ˆ E ˆ1 E C3 C ˆ2 3
(1 ) ˆv (2) ˆv A (3) ˆ v
同构与同态在构造群表和群的特征标表中作用很大。
习惯上按照（列）×（行）定义，即在 x 列和 y 行的交叉点上找到
的元素是 xy 的乘积。
1）乘法表由 h 行和 h 列组成。列写在表的左边，行在表的顶部。如：
G3 E A B
E
A B
2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，
习惯上按照（列）×（行）定义，即在 x 列和 y 行的交叉点上找到
次且只被列入一次。由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有 任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。
重排定理能帮助构建乘法表。如三阶（抽象）群：
G3 E A B
E E A B
A B A B
G3 E A B
E E
A B A B E A
A B B E
例 2-1 二阶点群 抽象的看，只有一个可能的二阶群，它具有下列乘法表。这个 群用符号 G2 表示。
习惯上按照（列）×（行）定义，即在 x 列和 y 行的交叉点上找到
的元素是 xy 的乘积。行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左 乘因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上。
重排定理
在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一
次且只被列入一次。由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有 任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。
( 3) v ( 3) v (2) v (1 ) v 1 3 2 3
E
2.3 同构与同态
两个群，如果其群元素数目相同（同阶群），而且乘法关系相同
（有相同的乘法表），则称这两个群同构，即有相同的结构。 如 例 2-1 中的 C2 群、Ci 群、Cs 群三个群同构。 如 C3v 群与 S3 群同构。此外，还有 Cnv 群与 Dn 群同构，O 群与 Td 群同构。
(1 ) (2) ˆv ˆv
E 1 ˆ C
ˆ ˆ ˆ ˆ
(1 ) v (1 ) v (3) v (2) v
ˆ ˆ ˆ ˆ
E ˆ1 C ˆ C
ˆ C
(2) v (2) v (1 ) v (3) v 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ
3 2 3
E ˆ1 C 3
ˆ C ˆ C
由此可得到 S3 置换群的乘法表。
S3 置换群表：
S3 E
E E
( 132) ( 123) ( 132) ( 123)
( 23) ( 23) ( 12) ( 13) E ( 132)
( 13) ( 13) ( 23) ( 12) E
( 12) ( 12) ( 13) ( 23) ( 123) E
( 132) ( 132) ( 123) E ( 123) ( 123) E ( 132) ( 23) ( 13) ( 12) ( 23) ( 13) ( 12) ( 13) ( 12) ( 23) ( 12) ( 23) ( 13)
例 2-4 C2v 群
ˆ (Z) ˆ C2 v E C 2 ˆ (Z) ˆ ˆ E E C 2 ˆ (Z) C ˆ (Z) ˆ C E 2 2 ˆ XZ ˆ XZ ˆ YZ ˆ YZ
ˆ XZ ˆ XZ ˆ E
ˆ YZ ˆ YZ
ˆ E
例 2-4 C2v 群
ˆ (Z) ˆ C2 v E C 2 ˆ (Z) ˆ ˆ E E C 2 ˆ (Z) C ˆ (Z) ˆ C E 2 2 ˆ XZ ˆ XZ ˆ YZ ˆ YZ ˆ (Z) ˆ ˆ XZ ˆ YZ C2 v E C 2 ˆ (Z) ˆ ˆ ˆ XZ ˆ YZ E E C 2 ˆ (Z) C ˆ (Z) ˆ ˆ YZ ˆ XZ C E 2 2 ˆ (Z) ˆ ˆ XZ ˆ XZ ˆ YZ E C 2 ˆ (Z) ˆ ˆ YZ ˆ YZ ˆ XZ C E 2
重排wk.baidu.com理
在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一
次且只被列入一次。由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有 任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。
重排定理能帮助构建乘法表。如三阶（抽象）群：
G3 E A B
E E A B
A B A B
重排定理
在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一
G2 E A
E E
A A
G2 C2 , Ci , Cs
A E
例 2-2 三阶点群 G3 也只有一种可能：
G3 E A B
E E
A B A B E A
A B B E
例 2-2 三阶点群 G3 也只有一种可能：
G3 E A B
E E
A B A B E A
A B B E
循环群：G = |a1, a2, … an = E|。上述 G3 群是循环群的一个例子。
(2) 2） 四阶群 G4 ：
(2) G4
E
A B
C C B A E
E A B C
E A B A E C B C E C B A
例 2-3 四阶群有两个：
(2) 2） 四阶群 G4 ：
(2) G4
E
A B
C C B A E
E A B C
E A B A E C B C E C B A
这个群的特点是每个群元素的逆都是其自身。
AA = A2 = B, AB = A3 = E
例 2-3 四阶群有两个：
(1) 1） 四阶循环群 G4 ：
(1 ) G4
E
A B
C C E A
E A B C
E A B A B C B C E C E
A B
例 2-3 四阶群有两个：
(1) 1） 四阶循环群 G4 ：
(1 ) G4
E
A B
C C E A
ˆ XZ ˆ XZ ˆ E
ˆ YZ ˆ YZ
ˆ E
例 2-5 S3 置换群 S3 置换群是三个数码 1，2，3 的所有可能的置换，共有 6 个群
元素：
1 2 3 E 1 2 3 1 2 3 12 2 1 3
1 2 3 123 2 3 1 1 2 3 13 3 2 1