平面单元等结点荷载计算

六个节点位移只能确定六个多项式的系数， 所以取这样的位移函数。该位移函数，将 单元内部任一点的位移设定为坐标的线性 函数，该位移模式很简单。其中α1-6为广 义坐标或待定系数，可据节点1、2、3的 位移值和坐标值求出。
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1. 位移函数
将节点位移带入： u1 1 2 x1 3 y1 v1 4 5 x1 6 y1 u2 1 2 x2 3 y2 v2 4 5 x2 6 y2 u x y v x y 1 2 3 3 3 3 4 5 3 6 3 3 最终确定6个待定系数： 1 a1 1 b 2 1 2 A c1 3 a2 b2 c2 a3 u1 b3 u 2 u c3 3 4 a1 1 b 5 1 2 A 6 c1 a2 b2 c2 a3 v1 b3 v 2 v c3 3
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1. 位移函数
若令： N1 N2 1 (a1 b1 x c1 y ) 2A N3 1 (a3 b3 x c3 y ) 2A u1 v 1 N3 0 u2 e N a 0 N 3 v2 u3 v3 I 为二阶单位矩阵
其中
N IN1
IN 2
IN 3
N i： 插值函数（形状函数）
1. 位移函数－例题
例题：图示等腰三角形单元，求其插值函数矩阵[N]。
y
a1 x2 y3 x3 y2 0 b1 y2 y3 a
2 (0,a)
a2 x3 y1 x1 y3 0 b2 y3 y1 0 c2 x1 x3 a
2
③
②
1 2
2
4 3
3
④
1
3、解方程组，求节点位移；
1. 位移函数
v2 (x2, y2)
2
u2
y
v3
3
u3 (x3, y3) x
v1 (x1, y1) 1 u1
u1 v 1 u2 e 节点的位移向量： a v 2 u3 v3 u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
4
1 (a2 b2 x c2 y ) 2A
插值函数 矩阵或形 函数矩阵
u N1 u v 0
0 N1
N2 0
0 N2
插值函数的性质： 1. Ni ( x j , y j ) ij i, j 1, 2,3 2. N1 N 2 N 3 1 3. Ni的阶数与假设的 位移函数阶数相同 2019年1月 4. 数值在0－1之间
2019年1月
2
其中： 1 x1 2 A 1 x2 1 x3 b1 y2 y3 c1 x3 x2 y1 y2 y3
1. 位移函数
为2A第1行各 个元素的代 数余子式
a1 x2 y3 x3 y2
1,2,3轮换
1 u [(a1 b1 x c1 y )u1 (a2 b2 x c2 y )u2 (a3 b3 x c3 y )u3 ] 2A 1 v [(a1 b1 x c1 y )v1 (a2 b2 x c2 y )v2 (a3 b3 x c3 y )v3 ] 2A
c1 x3 x2 0
a3 x1 y2 x2 y1 a 2
3 (0,0) 1 (a,0)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x
b3 y1 y2 a c3 x2 x1 a
5
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1. 位移函数－例题
a2 三角形的面积： A 2 1 1 x N1 (a1 b1 x c1 y ) 2 (0 ax 0) 2A a a 1 1 y N2 (a2 b2 x c2 y ) 2 (0 0 ay ) 2A a a 1 1 2 x y N3 (a3 b3 x c3 y ) 2 (a ax ay ) 1 2A a a a y x y x 0 a 0 a 0 1 a a [N ] x y 0 x 0 y 0 1 a a a a
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3. 总体刚度矩阵的形成与特点 —整体分析的一般步骤
1
P1y
2
a
图示结构的网格共有四个单元 和六个节点。在节点1、4、6共 有四个支杆支承。结构的载荷 已经转换为节点载荷。 P3y
1
①
2 3
整体分析的四个步骤： P3x
3
3
P2x
a
1
1、建立整体刚度矩阵；
2、根据支承条件修改整体刚度 矩阵；
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2. 关于节点等效力的一点说明
连续弹性体离散为单元组合体时，需把弹性体承受的任意分布的 载荷都向节点转移，而成为节点等效载荷（或节点等效力）。如果弹 性体承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为节点， 就不存在转移的问题，集中力就是节点等效载荷。但实际问题往往受 有分布的面力和体力，都不可能只作用在节点上。因此，必须进行载 荷转移。如果集中力的作用点未被取为节点，该集中力也要向节点转 移。 将载荷转移到节点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指 原载荷与节点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。前面推导时使用的 能量泛函пp对{ae}进行变分之后产生的{δae}实际上就是虚位移，以上公 式可以适用于任意复杂的荷载情况。 如果单元为线性单元（如，本章的三节点三角形单元），则可以 采用直接的静力等效法和虚功等效法。