13.4课题学习-最短路径问题
13-4课题学习最短路径问题课件
E1
A
B
P E
A
B
C
F
P B1
34、如图，,AO牧B童内在一A点处P放,P牛1、，P家2分在别B是处P，关A于、OBA到、
O河B岸的的对距称离点分,P别1P为2交AOCA和于BMD,点且，AC交=OBBD于,若N点点A.若到 Δ河P岸MCND的的周中长点为的5c距m离，为则5P010P米2的，长则为牧()童从A处把 A牛.3牵cm到B河.4边cm饮C.水5c再mD回.6家cm，最短距离是（） A.750米B.1000米C.1500米D.2000米
P1
A
AP1Q1的周长
河
Q1 Q Q
l
AP1 P1Q1 AQ1
A2 P1 P1Q1 A1Q1
A1
A1 A2
解：最短路径是AP+PQ+AQ.
NOTE:ΔAPQ的周长是A人从A地出发，先到草地边某处牧马，再到河边饮马， 然后回到B处，请画出最短路径.
13.4课题学习 最短路径问题
问题一：牧马人从A处回到B处休息，怎么走可使路径最短？
问题二：牧马人从A处到河边l处饮马，怎么走可使路径最短？
问题三：牧马人从A地出发，先到一条笔直的河边l处饮马，
然后到B地休息.牧马人到河边的什么地方饮马，可 使所走的路径最短？
草地
牧马人
A
营地
B
河D
C
l
13.4课题学习 最短路径问题
关于直线l的对称点B1，连接AB1，与直线l的交
点，即为直线l上到A、B距离之和最短的点.
“牧马饮水问题3”：
如图，牧马人从A地出发，先到草地边某处牧马，再到河边饮马， 然后回到A处，请画出最短路径.
13.4 课题学习 最短路径问题
13.4课题学习最短路径问题(Ⅰ)如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？依据：两点之间,线段最短.(Ⅱ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
作法：连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。
根据：两点之间，线段最短.(Ⅲ)两点在一条直线同侧★★★如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？答：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．(Ⅳ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小作法：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求．(Ⅴ)造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。
）例．如图，两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）【思考】如果A、B两地之间有两条平行的河流，我们要建的桥都是要与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的距离呢？【进一步的思考】如果A、B两地之间有三条平行的河流呢？【拓展】如果在上述其他条件不变的情况下，两条河并不是平行，又该如何建桥呢？请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕迹，将行走的路线用粗实线画出来．。
人教版初中数学八年级上册第十三章13.4课题学习 最短路径问题(ppt课件)
拓展延伸
2. 某班举行文艺晚会,桌子摆成AB,AC两行,如图13-4-27,AB桌面上 摆满了橘子,AC桌面上摆满了糖果,小明现在P处,准备先去拿橘子再 去拿糖果,然后回到P处.请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总 路程最短.(保留作图痕迹,并简单写出作法)
拓展延伸
3. 如图,小华每天都要到李奶奶家做好事,在途中她要先到草场打
对点练习
4. 如图,AD为等腰三角形ABC底边上的高,E为AC边上一点,在AD
上求一点F,使EF+CF最小.
对点练习
5.如图,M为正方形ABCD的边CD的中点,BM=10,在对角线BD上求 作一点N,使MN+CN的值最小,并求出这个最小值.
拓展延伸
1、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接 游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船 的最短路径．【来源：2教育
E
一只在E处的蚂蚁要爬到圆柱内侧D点处，试
画出其最短路径。
对点练习
2.(河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边L饮
马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
对点练习
3.点P是直线l上的一点,线段AB∥l,能使PA+PB 取得最小 值的点P的位置应满足的条件是 ( C ) A.点P为点A到直线l的垂线的垂足 B.点P为点B到直线l的垂线的垂足 C.PB=PA D.PB=AB
学习难点
确定最短距离及理论说明.
知识回顾：
思考：
(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？ (2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪 条线最短？ 以上路径选择基于什么原理？
类型一：两点之间，线段最短——直接应用
2024年人教版八年级上册数学第13章第4节课题学习 最短路径问题
使MN ⊥ m， 且AM 交直线n 于点N，过点N作NM ⊥
＋MN＋NB 最小
m 于点M，连接AM
感悟新知
特别解读 解决连接河两边两地的最短路
径问题时，可以通过平移桥的方法 转化为求直线异侧两点到直线上一 点所连线段的和最小的问题.
知2－讲
感悟新知
知2－练
例4 如图13.4-5，从A 地到B 地要经过一条小河(河的两岸 平行)，现要在河上建一座桥(桥垂直于河的两岸)，应 如何选择桥的位置才能使
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂小结
设计最短路径 设计最短路径
两点在直 线异侧
两点在直 线同侧
利用轴对称转换
解：如图13 .4 -2，作点B 关于l 的对称点B1，连接 AB1交l 于点M，连接BM， 此时AM＋BM 最短，则点 M 即为所求的分支点.
感悟新知
知1－练
1-1.如图，在正方形网格中有M，N 两点，在直线l 上求一 点P 使PM＋PN 最短，则点P应选在( C ) A.A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点
四边形P M N Q周 长的最
小值为 P′Q′＋ PQ 的值
小
线的交点即为点M，N
感悟新知
知1－讲
特别解读 1.直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问
题是根据“两点之间，线段最短”来设计的. 2.直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问
题依据两点：一是对称轴上任何一点到一组对称 点的距离相等；二是将同侧的两点转化为异侧的 两点，依据异侧两点的方法找点.
感悟新知
知1－练
例1 [情境题 生活应用]某供电部门准备在输电主干线l 上连 接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B 两个居民小区送电．
人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
4.鼓励学生在课后进行深入研究，不断提高自己的数学素养。
五、案例亮点
1.生活实例引入：通过引入实际生活中的最短路径问题，如旅行路线规划、物流配送等，使学生能够直观地理解最短路径问题的意义和应用，提高学生的学习兴趣。
3.教师引导学生运用坐标系、函数、图论等知识，分析问题、解决问题。
（三）小组合作
1.学生分组进行讨论，培养学生的团队合作意识。
2.教师组织小组间的交流与分享，促进学生间的互帮互助。
3.教师巡回指导，针对不同小组的特点进行针对性指导。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结最短路径问题的解决方法。
人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为“人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题”，是在学生已经掌握了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等基础知识的基础上进行学习的。通过对最短路径问题的探究，旨在培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。
3.组织学生探讨、交流最短路径问题的解决方法，培养学生合作学习的能力。
4.引导学生运用图论中的最短路径算法解决实际问题，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
5.对学生进行评价，了解学生对最短路径问题的理解和运用程度，及时进行教学调整。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2.设计具有挑战性和吸引力的数学问题，激发学生的求知欲。
3.创设轻松、愉快的学习氛围，使学生在课堂上敢于发表自己的观点，培养学生的创新精神。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，如“如何找到两点之间的最短路径？”、“最短路径问题在实际生活中有哪些应用？”等。
13.4课题学习 最短路径问题
作法：作点B关于直线 a 的对称点C,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽 水站的位置。
证明：在直线 a 上另外任取一点E，连接AE，CE，BE，BD。
∵点B，C关于直线 a 对称,
点D，E在直线 a上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC,
A
·
B·
a
AE+EB=AE+EC
在△ACE中，AE+EC＞AC,
M
C
∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
ND E
所以桥的位置建在CD处，A、B两地的路程最短。
B
2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便 灌溉作物， 要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地 问该站建在河边什么地方， 可使所修的渠道最短，试在图 中确定该点。
谢谢பைடு நூலகம்赏
You made my day!
我们，还在路上……
即 AE+EC＞AD+DB 所以抽水站应建在河边的点D处
D E
C
再见！
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件(共27张PPT)
A∙ 请小组讨论证明这个结论吧！
A′
M′ a M
b
N′
N
∙B
13.4 最短路径问题
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，
连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′， 即AM+NB+MN的值最小.
13.4 最短路径问题
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称， ∴BF = CF . 求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小. 连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最 小值. ∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点， ∴CE = AD = 5. ∴BF+EF的最小值为5.
路程最短？ C
A
D
A1
A C
C1 D1 E
E1 B B1
C1 B
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽， 连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、 DD1，即为桥.
13.4 最短路径问题
13.4 最短路径问题
学习目标 1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 重点
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想. 难点
13.4 课题学习——最短路径问题
根据：两点之间线段最短.
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜 访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全 程最短？
B
A l
探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴 对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称 为“将军饮马 问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
A
B
归纳小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
八年级
上册
13.4 课题学习 最短路径问题
江西省赣州中学
黄学财
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你 会选走哪条路最近？你的理由是什么？
C A
①D
E B
②
③
两点之间,线段最短。
F
(Ⅰ)两点在一条直线异侧:
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L
上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB，线段AB与直线L的交点P ，就是所求。 思考？？？ 为什么这样做就能得到 最短距离呢？
B
A
l
探索新知
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个 动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ · A· l
B
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧:
已知：如图，A、B在直线 l 的同一侧，在 l 上求 一点，使得PA+PB最小. 作法：① 作点B关于直线 l 的对称点B′. ② 连接AB′，交直线 l 于点P. 点P的位置即为所求. 为什么这样做就能得 到最短距离呢？ MA + MB′>PA+PB ′ 即MA + MB′>PA+PB 三角形任意两边之和大于第三边
13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册
迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行 唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么 这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马 在这个情境中我们 再回到营地，饮马点在什么位 分别把烽火台，营 置，可使将军所走的路径最短？ 地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点 得最短
A
l P
B
两点之间 线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边 饮马再回到营地，饮马点 在什么位置，可使将军所 走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何 图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称 化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１ 在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.
13.4课题学习-最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题一、解决“一线＋两点”型最短路径问题的方法：(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所.例题1：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．注意：距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．【练习】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？警误区：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．二、解决“两线＋一点”型最短路径问题的方法：解决“两线＋一点”型最短路径问题，要作两次轴对称，从而构造出最短路径．例题2：如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。
试画出图形，并说明理由.三、解决“两线＋两点”型最短路径问题的方法：解决“两线＋两点”型最短路径问题，要每点做一次轴对称，从而构造出最短路径．例题3：圣林中学八年级举行元旦联欢会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a四、造桥选址问题：选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．例题4：如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？注：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．。
13.4+课题学习+最短路径问题+同步课件-2024-2025学年人教版数学八年级上册
？转化？ 实际问题
数学问题
新知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ究
知识点1 牧人饮马问题 把河边l近似地看成一条直线
B B
A
A
l
C
l
问题转化一：那么该实际问题就转化为这样的数学问题： 如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C， 使得AC+CB的最小？
新知探究
知识点1 牧人饮马问题 如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C， 使得AC+CB的最小？
A 你找到的是哪个点？
l 依据：“两点之间，线段最短”.
B
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
引例 若点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点， 使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
A
作法：连接AB,与直线l相交于一点C. 点C即为所求作的点.
C l
B
新知探究
知识点1 牧人饮马问题 问题1 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
思考：作点E关于AD的对称点可 以吗？为什么不选择这个方法？
新知探究
知识点2 造桥选址问题 问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的 直线，桥要与河垂直）
A C′
在的位置即为所求作的点（C）.
B
C l
B′
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，
13.4--课题学习--最短路径问题
知识点 2 运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题
问题1 牧人饮马问题 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，
名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一 个百思不得其解的问题：
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马， 然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 的路径最短？
B
A
l
C
B
两点之间，线段最短.
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？
如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
B A
l
C
B′
1. 最短路径问题的类型： (1)两点一线型的线段和最小值问题； (2)两线一点型线段和最小值问题； (3)两点两线型的线段和最小值问题； (4)造桥选址问题．
2. 解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知 识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或 “垂线段最短”来求线段和的最小值．
B A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
分析：
B B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？
联想：
如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？
13.4课题学习-最短路径问题 教案 2022-2023学年度人教版八年级数学上册
13.4课题学习－最短路径问题教案一、教学目标1.了解最短路径问题的基本概念和特点；2.掌握最短路径问题相关的算法和求解方法；3.能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。
二、教学重点1.最短路径问题的基本概念和特点；2.最短路径问题的相关算法和求解方法。
三、教学难点能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。
四、教学内容1. 最短路径问题的概念和特点最短路径问题是图论中的一个经典问题，主要是求解两点之间经过路径长度最短的问题。
最短路径问题的特点有：•可以用图来表示，顶点表示路径的起点和终点，边表示路径；•可以是有向图或无向图；•边上可以有权值，表示路径长度。
2. 最短路径问题的相关算法和求解方法最短路径问题有多种求解方法和算法，常用的有以下几种：2.1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。
它的基本思想是从起点开始，逐步扩展最短路径，直到到达终点。
迪杰斯特拉算法的步骤如下：1.初始化起点到各个顶点的最短距离，起点到起点的最短距离为0，其他顶点的最短距离为无穷大；2.选择一个未访问且距离起点最近的顶点，标记为已访问；3.更新当前顶点的邻居顶点的最短距离，如果经过当前顶点到达邻居顶点的距离小于邻居顶点当前的最短距离，则更新最短距离；4.重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问。
2.2. 弗洛伊德算法弗洛伊德算法是一种用于求解多源最短路径问题的算法。
它的基本思想是通过计算任意两个顶点之间的最短路径，来得到整个图的最短路径。
弗洛伊德算法的步骤如下：1.初始化距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大；2.对于每个顶点对(i, j)，尝试经过某个中间顶点k来更新距离，如果从i到j的距离大于从i到k再到j的距离，则更新距离；3.重复步骤2，直到所有顶点对的最短路径都被计算。
2.3. 贝尔曼-福特算法贝尔曼-福特算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。
13.4 课题学习-最短路径问题
接成一条线段，则根据“两点之间，线段最短”，即可求出PA+PB
的最小值是线段AB，而且点P正好是AB与l的交点。也就是说须把A、
B分位于直线l的两侧。
（3）PB′=PB ，
B
说明点P在什么线
上？
A
（4）直线l必须是
BB′的垂直平分线，
P
点B与点B′是一对
什么点？
A
必须具备直
l 线上任何一点当
作点P，都能满
足PB′=PB，这
样路线的全程才
能与原来相等。
(2)若把点B移到l的另一侧的点B′处，B那′ 点B′的位置要怎样 6
确定，点B′必须具备什么条件？
探索新知
B
A
P P′
l
点P就是所求作的点，即到河边点P处 饮马，可使将军所走的路线全程最短。
证明：在直线l上另任取一点P′，连
B′
接P′A、P′B、P′B′。
由作法可知，直线l是BB′的垂直平分线 你能用所学的知识证明
∴PB′=PB，P′B′=P′B
PA +PB最短吗？
在△P′AB′中，PA+PB′﹤P′A+P′B′
∴PA+PB ﹤P′A+P′B
∴PA+PB最短
7
运用新知
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚 下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P
证明：在直线b上另任取一点N′，过N′点作N′M′⊥a于点
M′，连接AM′、A′N′、N′B。
由画法可知， A′N=AM，A′N′=AM′
你能用所学的知识证明
AM+MN+NB最短吗？
在△A′BN′中， A′N+NB﹤A′N′+N′B
13.4课题学习 最短路径问题
答：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点， 再回到B 地的路程之和；
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的
直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转
化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如
桥要与河垂直.） 作法：
A
M
a
1.将点B沿垂直与河岸的方向平移
N
一个河宽到E，
b E
2.连接AE交河对岸与点M,则点M为
B
建桥的位置，MN为所建的桥.
例题解析
证明：连接AC，CD，DB，CE,
由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM,
MN=CD, BD∥CE, BD=CE,
所以AB两地的距离:AM+MN+NB=AM+MN+EM=AE+MN,
图）．
B
A
C
l
探索新知
问题2：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问：对于问题2，如何将点
B“移”到l 的另一侧B′处，满
A
足直线l 上的任意一点C，都保
·
持CB 与CB′的长度相等？
B
·
l
探索新知
问题2：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
探索新知
问题1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
13.4课题学习最短路径问题(教学课件)— 初中数学人教版八年级上册
M'
M
a
∴AM’+M’N’+BN’＝A’N’+AA’+BN’
A'
∵MN平行AA’且MN＝AA’ ∴MN可以看作是AA’经过平移得到的 ∴A’N＝AM ∴AM+NB＝A’N+NB
b N' N
B
∵根据两点之间线段最短，得A’N+NB＝A’B<A’N’+BN’
∴AM+NB<AM’+BN’
∵MN＝M’N’
∴AM+MN+NB<AM’+M’N’+N’B，即路径AMNB最短。
解：①作点A关于直线b的对称点A’，连接A’B交直
线b于点E，则AE+BE＝A’E+BE＝A’B，根据两点之间线
段最短，AE+BE的路程最短。
②∵点A与点A’关于直线b对称
A'
∴AE＝A’E，AC＝A’C
∴∠AEC＝∠A’EC
a
∵∠BED＝∠A’EC
∴∠AEC＝∠BED
∵∠ACE＝∠BDE＝90°，AC＝BD
C
E
Db
∴△AEC≌△BED(AAS)
∴EC＝ED，BE＝AE
∵点A到河岸CD的中点的距离为500米
A
B
∴BE＝AE＝500
∴AE+BE＝1000（米），即最短路是1000米。
【点拨精讲】（3分钟）
1、在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移 等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路 径的选择。
分析：由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小，这样，问题就进
13.4_课题学习__最短路径问题
A M
a b
N
B
由于河宽是固定的，因此当 AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.
分析：
A A' N M
a
b
A C
l
B
B
如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点 A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转 化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.
（四）两点在两条直线内部 如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人从A地出发，先 到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 B，请画出最短路径. C 作法： G N M 1.作点A关于直线 H MN 的对称点点C, · A 2. 作点B关于直线 ON B D 的对称点点D, 3.连接CD分别交直线MN、ON于点G、· H， O 则AG+GH+BH最短
l1 M A l2
N
思维障碍
点A在l1、l2之间，AM+ＭＮ＋BＮ只能是折线，无法直接 利用“两点之间，线段最短”解决问题，怎么办？
图形转化
我们能否把A点转化到l1、l2的外侧呢？
转化需要遵循的原则是什么？ 不能改变AM和BM的长
你采用什么图形变换可以实现转化目标？ 轴对称
解决问题
（三）一点在两相交直线内部
最短路线：A
P
Q
B
A/
P
N
Q
B/
A
M
B
l
问题5
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
八年级数学人教版(上册)13.4课题学习 最短路径问题
4.如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD，CE 是△ABC 的两条中 线，P 是 AD 上一个动点，则 BP＋EP 的最小值等于线段 CE 的长度.
5.如图，直线 l1∥l2，A，B 为两定点，M，N 分别在直线 l1，l2 上，且 MN⊥l2，请确定 M，N 的位置，使 AM＋MN＋BN 最小.
解：过点 A 作 AA1⊥l1，且 AA1＝MN，连接 A1B，交 l2 于点 N， 过点 N 作 MN⊥l1 于点 M，连接 AM，则 AM＋MN＋BN 最小.
6.(1)如图 1，在∠AOB 内部有一点 P，若在 OA，OB 上分别存在点 E，F，使得 E，F，P 三点组成的三角形的周长最小，找出 E，F 两点的
解：作点 M 关于 OA 的对称点 C，作点 N 关于 OB 的对称点 D， 连接 CD，分别交 OA，OB 于点 E，F，则点 E，F 就是所要求作的点.
位置.若∠AOB＝40°，则∠EPF＝ 100° .
解：作 P 关于 OA 的对称点 C，关于 OB 的对称点 D，连接 CD，分 别交 OA，OB 于点 E，F，则点 E，F 就是所要求作的点.
(2)如图 2，在∠AOB 内部有两点 M，N，是否在 OA，OB 上分 别存在点 E，F，使得 E，F，M，N 四点组成的四边形的周长最小， 找出 E，F 两点的位置.
解：如图所示，点 B 即为所求.理由：垂线段最短.
知识点 2 运用“两点之间，线段最短”解决最短路径问题 3.如图，A，B 在直线 l 异侧，在直线 l 上取一点 P，使 PA＋PB 最小. 解：连接 AB 交直线 l 于点 P，此时 PA＋PB 最小.
13.4 课题学习最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题一、学习目标1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定.2.理解并掌握平面内两平行线异侧有两个点，则在平行线间何处作垂线段使得顺次连接的三条线段之和最小的位置的确定.二、课时安排：1课时三、预习指导阅读教材P85-86“问题1”，学生独立完成下列问题：要点感知在解决最短路径问题时,我们通常利用_____、_____等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择.预习练习已知，如图,在直线l的同侧有两点A，B.(1)在图1的直线上找一点P使PA+PB最短；(2)在图2的直线上找一点P,使PA-PB最长.四、目标检测知识点路径最短问题1.如图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( )A.7 cmB.5 cmC.8 cmD.10 cm2.如图,在等腰Rt△ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E的位置.3.如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠CAB,N点是AB上的一定点,M是AD上一动点,要使MB+MN最小,请找点M的位置.5.(兰州中考改编)如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M，N,使△AMN周长最小时,求∠AMN+∠ANM的度数.挑战自我6.(济宁中考)如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是坐标轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是( )A.(0，0)B.(0，1)C.(0，2)D.(0，3)五、学后反思：。
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B A C
L
B
/
证明:
在L 上任取另一点C ',连结AC ' 、BC'、B'C'. ∵ 直线 L 是点Ｂ、Ｂ'的对称轴，点Ｃ、Ｃ' 在对称轴上， ∴CB=CB',C'B=C'B'. B ∴AC+CB=AC+CB'=AB'
A
Ｃ'
在△AC'B'中， AC'+C'B'>AB', ∴AC'+C'B>AC+CB, 即AC+CB 最小.
13.4课题学习 最短路径问题
提出问题
八年级(1)班同学做游戏，在活动区 域边放了一些球(如下图)，小华按怎 样的路线跑，去捡哪个位置的球，才 能最快拿到球跑到目的地A?
A
B小华 l
探究一
如图，直线L两侧有两点A、B。 在直线L上求一点C，使它到Ａ、Ｂ两 点的距离之和最小？
C 两点之间，线段最短。
A/
。
A C B小明 l
巩固新知
练 习 一
A
龟兔赛跑新规则：参赛者从A点出发到达直 线a上任意一点后，再回到直线a同侧的终点B， 最先达到终点者胜。下面是小猫、小猪、小猴、 小熊为他们设计的路线，其中路程最短的是（）
B A a B A B A a B
C
C
a
C
a
C
小猫
小猪
A‘
小猴
小熊
练 习 二
巩固新知
A/
。
l2 N M A
B/
。
B小华
l1
拓展应用
如图,如果另一 侧放着一些小木棍， 小华还要跑到另一 侧去取小木棍,则又 应按怎样的路线跑 , 去捡哪个位置的球、 小木棍,才能最快返 B 回到目的地 B? 你能 说说为什么吗?
B
N M B小华 l1 l2
能力提升
要在燃气管道 ι上修建一个泵站， 分别向A、B两镇供 气. (1)泵站修在管道 ι的什么地方，可 使它到A、B两镇的 距离相等？ (2)泵站修在管道的 什么地方，可使所 用的输气管线最短？
A
B
ι
课堂小结
通过这节课的学习说说 你的收获？
探究二
如图，直线L同侧有两点A、B。 在直线L上求一点C，使它到Ａ、Ｂ两 点的距离之和最小？ B A
l
C
B
/
探究二
如图，直线L 同侧有两点A、B. 在直线L 上求一点C,使它到Ａ、Ｂ两 点的距离之和最小？
任务1:测量点C到A 、 B的距离, 求和，填入学案的空格上。 任务2:小组合作，由组长安 排分工(一人找点,一人测量, 一人计数，其余监督)任意 在直线L上取点C ′(不与点C 重合)探究测量，填入空格。
C
L
B
/
探究1与探究2的区别与联系
探究1 A.
C .B 探究2
A.
L
直线异侧两点到直线上 一点的距离和最小问题
轴 对 称
转 化
B.
L
C
. B’
直线同侧两点到直线上 一点的距离和最小问题
解决问题
八年级(1)班同学做游戏，在活动区 域边放了一些球(如下图)，则小明按 怎样的路线跑，去捡哪个位置的球， 才能最快拿到球跑到目的地A?
∠AOB的边OA上有两点M、N，在∠AOB 的 角平分线OC上找一点P，使MP+NP最小，下列 作法正确的是( )
N M O P （A） N M O （C） A C P A C B N A P
M
C
B
O （B） A N
M
C
B
P O （D） N’ B
拓展应用
如果另一侧放着一 些小木棍，小华还 要跑到另一侧去取 小木棍，则又应按 怎样的路线跑，去 捡哪个位置的球、 小木棍，才能最快 跑到目的地A?你能 说说为什么吗?