对数换底公式及其应用
高一数学必修1：2.2.1《换底公式及对数运算的应用》课件
例3 生物机体内碳14的半衰期为 5730年,湖南长沙马王堆汉墓 女尸出土时碳14的残余量约 占原始含量的76.7%,试推算 马王堆汉墓的年代.
作业：书上P74---3(5)(6)、4(3)(4)、
5(3)(4)、9, 11
补充：1．求值：
(log 2 5 log 4 0.2)(log 5 2 log 25 0.5)
5.
思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？
为底的对数叫自然对数(naturallogarithm)，
为了简便，N的自然对数简记作lnN。
例题与练习
例1将下列指数式化为对数式，
对数式化为指数式.
（1）54=625
(2) 26 1
64
(3) (1)m 5.73 3
(4) log 1 16 4
2
(5) lg 0.01 2 （6）ln10 2.303
化为指数式：
1
(1) 54＝625 ;
1
(2) 2－6＝ 64 ;
(3)
(
)m＝5.73
3
;
(4)
log 1 16＝－４;
2
(5) lg0.01=－２; (6) ln10＝2.303.
例2.求下列各式中ｘ的值：
(1)log64x＝
2 3
;
(2)
logx8＝6
;
(3)lg100=x;
(4)－lne2＝ｘ .
知识探究（二）:幂的对数
思考1:log23与log281有什么关系？ 思考2:将log281=4log23推广到一般情形有什么结论？
思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什么方法证明等式logaMn＝nlogaM成立．
对数换底公式及其应用.
1.同底的两个对数可以进行加减运算， 对数的加减运算是利用那两个性质？
a 0, 且a 1. 1 loga M loga N loga M N ; M 2loga M loga N loga N
.
2.遇到同底两个对数相除，怎么办？
换底公式及其应用
提出问题
利用对数的换底公式化简下列各式：
利用换底公式证明：
例2.利用换底公式证明 ： m m loga n b loga b.a 0, 且a 1, b 0, m R, n R n
换底时选择好底数：
例3. 已知log3 2 a， log3 7 b, 用a, b表示log14 49
log2 16 log2 16 1求 与 log4 16的值， 并看看 与 log4 16 log2 4 log2 4 的值有何关系 ？
2你能用以c(c 0, 且c 1)为底的两个对数的比来
表示log4 16吗？表示出来的等式成立吗 ？
3一般地， 如果a 0, 且a 1, b 0, c 0, 且c 1.
logc b 那么loga b ， 如何证明？ logc a
换底公式：
如果a 0, 且a 1, b 0, c 0, 且c 1 : logc b 那么loga b logc a
换底公式的应用示例：
例1.利用对数的换底公式求 下列各式的值 .
1 log2 3 log3 2 2 log8 9 log27 32
log2 9 log3 64 3 log2 3 log3 4
课堂练习：
利用对数的换底公式化简下列各式：
1 loga b logb a; 2 log2 3 log3 4 log4 5 log5 2; 3 log4 3 log8 3log3 2 log9 2
log运算法则换底公式
log运算法则换底公式在数学领域中，log运算法则换底公式是一种非常重要的数学工具，它在解决复杂的数学问题中起到了至关重要的作用。
log运算法则换底公式是指将一个对数的底换成另一个对数的底的变换方法，它可以简化对数运算、化简数学表达式并解决实际问题。
在本文中，我们将深入探讨log运算法则换底公式的原理和应用。
首先，让我们回顾一下对数的基本概念。
对数是指以某个数为底的幂运算的逆运算，常用的对数有以10为底的常用对数和以e为底的自然对数。
对数的换底公式是log_a(b) = log_c(b) /log_c(a)，其中a、b、c分别为底数。
这个公式的作用是将一个对数的底换成另一个对数的底，从而简化对数运算。
log运算法则换底公式的应用非常广泛，特别是在解决复杂的数学问题和化简数学表达式时。
例如，在求解复杂的指数方程或对数方程时，使用log运算法则换底公式可以将问题简化为更容易解决的形式。
此外，在求导、积分和解微分方程等数学问题中，log 运算法则换底公式也经常被用到。
除了在数学理论中的应用，log运算法则换底公式在实际生活中也有着重要的作用。
例如，在工程领域中，log运算法则换底公式常常被用来分析复杂的电路、信号传输和控制系统。
在经济学和金融学中，log运算法则换底公式也被用来分析复杂的经济模型和金融市场。
总之，log运算法则换底公式是一种非常重要的数学工具，它在解决复杂的数学问题和应用数学中起着至关重要的作用。
通过深入理解log运算法则换底公式的原理和应用，我们可以更好地应用它来解决实际问题，并且更好地理解数学的美妙之处。
希望本文能够帮助读者更深入地理解log运算法则换底公式，并在数学领域中取得更多的成就。
对数加减运算公式
对数加减运算公式一、对数的加法运算公式。
1. 同底数对数相加。
- 对于对数log_aM和log_aN（a>0,a≠1,M>0,N>0），根据对数的运算法则，log_aM+log_aN = log_a(M× N)。
- 例如：计算log_23+log_25，根据公式可得log_23+log_25=log_2(3×5)=log_215。
2. 不同底数对数相加（换底公式的应用）- 如果要计算log_aM+log_bN（a≠ b），首先利用换底公式log_cd=frac{log_ed}{log_ec}（e为任意大于0且不等于1的数，通常取e = 10或e=e （自然对数））。
- 例如：计算log_23+log_35。
- 先将log_35换底为以2为底，log_35=frac{log_25}{log_23}。
- 那么log_23+log_35=log_23+frac{log_25}{log_23}，设log_23 = t，则原式变为t+frac{log_25}{t}=frac{t^2+log_25}{t}，再将t=log_23代回。
二、对数的减法运算公式。
1. 同底数对数相减。
- 对于对数log_aM和log_aN（a>0,a≠1,M>0,N>0），log_aM-log_aN=log_a(M)/(N)。
- 例如：计算log_38 - log_32，根据公式可得log_38-log_32=log_3(8)/(2)=log_34。
2. 不同底数对数相减（换底公式的应用）- 类似加法运算，对于log_aM-log_bN（a≠ b），先利用换底公式将其化为同一种底数再进行计算。
- 例如：计算log_25-log_53。
- 把log_53换底为以2为底，log_53=frac{log_23}{log_25}。
- 则log_25-log_53=log_25-frac{log_23}{log_25}，设log_25 = x，则原式变为x-frac{log_23}{x}=frac{x^2-log_23}{x}，最后把x = log_25代回。
对数的运算性质及换底公式
8 2 ( ) 4 9 log3 ( ) 3
(3) lg 100 lg 10
100 lg ( ) 10
归纳猜想： M log a ( ) log a M log a N N （a 0且a 1, M , N 0）
3.计算观察： 3 (1) log 2 (2 )
1 1 （2） 3 36, 求 2 m n
m n
【变式训练】
1 (1) log 3 7 log 2 9 log 49 x log 1 , 求x 4 2
(2) log18 9 a,18 5, 用a, b表示log36 45.
b
总结：
• 1.对数的运算性质
• 2.换底公式
(2) log5 125
(4) log 1 27 log 1 9
3 3
(3) log 2 (2 4 )
3 5
【变式训练】求下列各式的值
(1)3 log 7 2 log 7 9 2 log 7 (
2 2
3 2 2
)
(2)(lg 2) (lg 5) 2 lg 5 lg 2
log 2 (4 8)
log3 (3 9)
(3) lg 10 lg 100
lg (10 100 )
归纳猜想： log a (M N) log a M log a N （a 0且a 1, M , N 0）
2.计算观察：
(1) log 2 8 log 2 4
M (2)log a ( ) log a M log a N N
（a 0且a 1, M , N 0）
(3)log a ( M ) n log a M
对数换底公式及其应用
对数换底公式及其应用logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a)其中，logₐ(b) 表示以 a 为底数的 b 的对数，logₓ(b) 表示以 x 为底数的 b 的对数，logₓ(a) 表示以 x 为底数的 a 的对数。
1.计算不同底数的对数之间的关系使用对数换底公式，可以将一个底数为 a 的对数转化为底数为 x 的对数，以便计算或进行比较。
例如，要计算 log₃(2) 的值，可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₃(2) = log₁₀(2) / log₁₀(3)2.化简复杂的对数表达式有时候，对数表达式可能比较复杂，难以计算或分析。
在这种情况下，对数换底公式可以帮助我们将其转化为更简单的形式，以便进行进一步的计算。
例如，对于表达式 log₉(27)，我们可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₉(27) = log₁₀(27) / log₁₀(9)= log₁₀(3³) / log₁₀(3²)= 3 * log₁₀(3) / 2 * log₁₀(3)=3/23.解决指数方程x = log₂(16) = log₁₀(16) / log₁₀(2) = 4 / log₁₀(2)4.求解连续复利问题连续复利是一种常见的复利计算方法，其中利息不断累积，而不是离散计算。
对数换底公式可以用于求解连续复利问题的相关计算。
例如，如果我们正在计算以年利率为8%的连续复利的总金额，我们可以使用对数换底公式将其转化为以自然对数e为底数的对数：F = P * (1 + r/n)^(nt)=P*(1+8%/1)^(1*1)=P*(1+0.08)^1= P * e^(ln(1 + 0.08))5.编程中的应用综上所述，对数换底公式是一种非常有用的数学工具，可以应用于许多不同的场景，包括计算不同底数的对数之间的关系、化简复杂的对数表达式、解决指数方程、求解连续复利问题以及在编程中的应用。
换底公式及其应用
引入
已知lg 2 0.3010,lg 3 0.4771,求log23的值.
解：设log23 x, 则2x 3.
两边取以10为底的对数, 得
lg 2x lg 3,
即 x lg 2 lg 3, 得 x lg 3 ,
lg 2
把一个对数写成了 与此对数的底数不 同的两个底数相同 的对数商。
即
log2
3
lg 3 lg 2
0.4771 0.3010
1.5851.
理论
换底公式：
换底公式把一个对数变 成了与原来对数的底数 不同的两个对数的商。
loga
b
logc logc
b a
(a
0, 且a
1, c
0, 且c
1; b
0)
换底公式的意义就在于把对数的 度数改变，把不同底问题转化为 同底问题，为使用运算法则创造
条件，更方便化简求值。
例题
例1.求 log8 9glog27 32的值.
解：
log8 9glog27 32
lg9 lg32 lg32 lg25 = lg8glg27 lg23 glg33
2lg3 5lg2 3lg2g3lg3
10 . 9
例题
例2计算下列各式的值：
(1)log5 2glog49 81;
log25
1 3
gl2)log4 3glog9 2 log1 4 32;
2
lg 2 lg81
解：（1）原式=
lg5 lg 1
3 lg25
• lg49 lg 3 4 • lg7
1 lg2 2 lg5
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .。
和你一起学习对数的换底公式
ʏ刘长柏对数的换底公式可以实现不同底数的对数式之间的转化,它可正用㊁逆用,还可以变形应用㊂灵活应用对数的换底公式,有利于提高解题能力和应变能力㊂一㊁换底公式的正用例1 若l o g 142=a ,14b=5,用a ,b 表示l o g 3528=㊂解:因为14b=5,所以b =l o g 145,所以l o g 3528=l o g 1428l o g 1435=l o g 1414+l o g 142l o g 1414+l o g 145-l o g 142=1+a1+b -a㊂对数的换底公式中的底,可由题中的条件决定,也可换为常用对数的底㊂用已知对数的值表示所求对数的值的关键是灵活 换底 ㊂练习1:已知l g 2=a ,l g 3=b ,则l o g 475=( )㊂A .a -b +22a B .b -2a +22aC .b -a +22aD .2a -b +22a提示:因为l o g 475=l g 75l g 4=l g 3ˑ522l g2=l g 3+2l g 52l g 2=l g 3+2(1-l g 2)2l g2,又l g 2=a ,l g 3=b ,所以l o g 475=b +2-2a2a㊂应选B ㊂二㊁换底公式的逆用例2 若2x=5,l o g 35=y ,则x -y x +y=㊂解:因为2x=5,所以x =l o g 25,所以x -y x +y =1y -1x1y +1x =l o g 53-l o g 52l o g 53+l o g 52=l o g 523l o g 56=l o g 623㊂逆向应用对数的换底公式是解答本题的关键㊂练习2:已知2x=3,l o g 289=y ,则yx=㊂提示:由2x=3,可得x =l o g 23㊂因为y =l o g 289,所以y x =l o g 289l o g 23=l o g 389=3l o g 32-2㊂三㊁换底公式的变形应用例3 若12a =3b=m ,且1a -1b=2,则m =㊂解:因为12a =3b=m ,且1a -1b=2,所以m >0且m ʂ1,所以a =l o g 12m ,b =l o g 3m ,所以1a =l o g m 12,1b =l o g m 3,所以1a -1b=l o g m12-l o g m 3=l o g m4=2,所以m =2㊂换底公式的变形式l o g ab =1l o g ba ,体现了底数㊁真数交换后,两个对数的关系㊂本题将指数式转化为对数式,求出1a ,1b ,代入1a -1b=2,再利用对数的运算性质得到m 的值㊂练习3:已知3a =5b=A ,且1a +2b=2,则A 等于㊂提示:由3a =5b=A ,可得a =l o g 3A ,b =l o g 5A ,且A >0,所以1a =l o g A 3,1b=l o g A5㊂因为1a +2b=2,所以l o g A 3+2l o g A5=2,可得l o g A 3+l o g A 25=2,即l o g A75=2,所以A 2=75㊂因为A >0,所以A =53㊂作者单位:江苏省盐城市时杨中学(责任编辑 郭正华)6知识结构与拓展 高一数学 2023年11月。
高一数学对数的换底公式及其推论
x 10 3 x 解 得x 2或x 5 检 验x 2( 舍 ） x 5
2
小结:
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 三个推论:
l ogm N 换底公式 loga N l ogm a
1) loga b logb a 1
2)
loga b logb c logc a 1
3) log4 3 log9 2 log1
2
32
3 3） 2
条件求值
例2．已知
log2 3 a, log3 7 b
l og3 21 l og3 ( 3 7) 解： l og6 21 l og3 ( 2 3) l og3 6
l og3 3 l og3 7 l og3 2 l og3 3
探究：
三个推论: 设 a, b > 0且均不为1,则
1) loga b logb a 1
2） loga b logb c logc a 1
3）loga m b
n
n l oga b m
例1、计算： 1)
log8 9 log27 32
10 1） 9
2）1
4
2) log2 3 log3 4 log4 2
用a, b 表示 l og6 21
log2 2 1 log2 3 a log3 2 log2 3 a 1 b a ab 原 式 = 1 1 a 1 a
例3 解对数方程
log9 ( x 10) log9 3 x
2
解： l og9 ( x 10) l og9 3 x
2.各小组数学负责人17:50办公室
对数换底公式例题
对数换底公式例题
摘要：
1.对数换底公式的定义与意义
2.例题分析
3.解题步骤与方法
4.公式的应用场景
正文：
【1.对数换底公式的定义与意义】
对数换底公式，是数学中一种重要的公式，主要用于将对数的底数进行转换。
其公式为：loga(N) = logc(N) / logc(a)。
在这个公式中，a 和c 是两个不同的底数，N 是一个正数。
对数换底公式的应用，可以简化对数的计算过程，使计算更加方便。
【2.例题分析】
例题：如果log2(8) = 3，那么log16(8) 等于多少？
在这个例题中，我们需要用到对数换底公式，将log2(8) 转换为
log16(8)。
首先，我们知道log2(8) = 3，那么我们可以将这个对数转换为以16 为底的对数，即log16(8) = log2(8) * log16(2)。
因为log16(2) = 1/4，所以log16(8) = 3 * 1/4 = 3/4。
所以，log16(8)等于3/4。
【3.解题步骤与方法】
(1) 确定题目中给出的对数，以及需要转换的底数。
(2) 使用对数换底公式，将对数转换为新的底数。
(3) 将转换后的对数进行计算，得出结果。
【4.公式的应用场景】
对数换底公式在实际应用中非常广泛，特别是在计算机科学和工程领域。
例如，在编程中，常常需要对大数据进行处理，对数换底公式可以帮助我们更快地计算出数据的对数，从而提高计算效率。
对数 换底公式
对数换底公式摘要：1.对数的定义和性质2.换底公式的推导3.换底公式在实际问题中的应用4.总结与展望正文：1.对数的定义和性质对数是一种数学运算，用于表示一个数以某个基数为底，经过多少次方等于另一个数。
对数有自然对数、常用对数等多种表示形式，每种对数都有其适用范围和特殊性质。
例如，自然对数的底为自然常数e，常用对数的底为10。
对数具有以下基本性质：（1）对数的运算法则：loga(MN) = logaM + logaN，loga(M/N) = logaM - logaN（2）对数的换底公式：logab = logcb / logca（3）对数的性质：loga1 = 0，loga0 不存在，loga(a^b) = b2.换底公式换底公式是将对数从一种底数转换为另一种底数的工具。
设logab = x，那么可以得到换底公式：logcb = x * logca。
换底公式的推导过程如下：设y = logcb，那么有cb = e^y，同时有ab = e^x。
将cb 带入ab 中，得到ab = e^(x + y)。
根据对数的性质，有loga(ab) = x + y，而又因为loga(ab) = loga(e^(x + y)) = x + y，所以x = logcb / logca。
3.换底公式在实际问题中的应用换底公式在实际问题中有很多应用，例如在计算机科学中，换底公式可以用于计算以不同进制表示的数值之间的转换；在物理学中，换底公式可以用于计算能量、速率等物理量在不同单位制之间的转换。
4.总结与展望对数换底公式是数学中一个重要的工具，它可以帮助我们将对数从一种底数转换为另一种底数。
通过掌握对数的性质和换底公式，我们可以更好地理解和解决实际问题。
换底公式及对数运算的应用
例2 已知 log 312 a，求 log 3 24的值.
3a 1 2
例3 设 3a 5b m ，已知 1 1 2 ,
求m 的值.
ab
15
例2 20世纪30年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （1）假设在一次地震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此 时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震 的震级（精确到0.1）；
2.2.1 对数与对数运算
换底公式及对数运算的应用
问题提出
1.对数运算三个法则：
（1）loga M loga N loga (M N)
（2）loga
M
loga
N
loga
M N
（3）loga M n n loga M
2.对数的性质 .
（1）loga a 1; （2） loga 1 0 ;
f (x) 2x 恒成立，求 f (x)的最小值.
作业： 《红对勾》第26课时
个人观点供参考，欢迎讨论
例2 20世纪30年代，里克特制订了一种表明
地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说
的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式,但有些同学对其理解不深,应用不好,故下面加以补充,希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N＝错误!.证明设log b N＝x,则b x＝N.两边均取以a为底的对数,得log a b x＝log a N,∴x log a b＝log a N.∴x＝错误!,即log b N＝错误!.二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 1计算：log89·log2732；2求证：log a b·log b c·log c d＝log a d.分析先化为以10为底的常用对数,通过约分即可解决.解1换为常用对数,得log89·log2732＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!×错误!＝错误!. 2由换底公式,得log a b·log b c·log c d＝错误!·错误!·错误!＝log a d.评注此类型题通常换成以10为底的常用对数,再通过约分及逆用换底公式,即可解决.2.知值求值型例2 已知log1227＝a,求log616的值.分析本题可选择以3为底进行求解.解log1227＝错误!＝a,解得log32＝错误!.故log616＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.评注这类问题通常要选择适当的底数,结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A＝错误!＋错误!＋错误!,B＝错误!＋错误!,试比较A与B的大小.分析本题可选择以19及π为底进行解题.解A换成以19为底,B换成以π为底,则有A＝log195＋2log193＋3log192＝log19360＜2,B＝logπ2＋logπ5＝logπ10＞logππ2＝2.故A＜B.评注一般也有倒数关系式成立,即log a b·log b a＝1,log a b＝错误!.。
对数换底公式总结
对数换底公式总结对数换底公式，也称为换底公式，是对数的一种恒等变形，用于将一个对数转换为以不同底数表示的形式。
这个公式在数学、物理学和工程学等多个领域有着广泛的应用。
换底公式的基本形式是 log(a)(b) = log(c)(b) / log(c)(a)，其中 a、b、c 都是正数，且a ≠ 1，b ≠ 1，c ≠ 1。
这个公式可以用来将任何底数 a 的对数转换为以底数 c 为底的对数，只要满足上述条件。
在换底公式中，log(a)(b) 表示以 a 为底 b 的对数，log(c)(b) 表示以 c 为底b 的对数，log(c)(a) 表示以 c 为底 a 的对数。
通过这个公式，我们可以将任何底数的对数转换为以任意大于零且不等于 1 的数为底的对数。
换底公式的推导过程可以通过对数的定义和性质进行证明。
首先，根据对数的定义，我们有 log(a)(b) = ln(b) / ln(a)，其中 ln 表示自然对数。
然后，我们可以通过换元法，令 t = ln(b)，得到 log(a)(b) = e^t / ln(a)，其中 e 是自然对数的底数。
接着，我们可以将 e^t 替换为以 c 为底 b 的对数，得到 log(a)(b) = log(c)(b) / log(c)(a)。
通过对数换底公式，我们可以解决一些与对数相关的问题，例如求解对数方程、计算对数的运算性质等。
同时，换底公式还可以用于简化对数的计算过程，例如将一个复杂的对数表达式转换为更简单的形式。
需要注意的是，在对数的换底公式中，换底的底数不能为 1 或 0，因为这两个值不符合对数的定义。
此外，在对数换底公式中，等号成立的条件是 a、b、c 都是正数且a≠1，b≠1，c≠1。
如果这些条件不满足，换底公式可能不成立。
总之，对数换底公式是数学中一个重要的恒等式，它可以将一个对数转换为以任意大于零且不等于 1 的数为底的对数。
这个公式在解决与对数相关的问题时非常有用，可以简化计算过程并得到更简单的结果。
对数函数的换底公式
log₁₀2 = logₑ2 / logₑ10
由于 logₑ10 的值可以用常用的对数来表示，即 logₑ10 ≈ 0.4343，我们可以使用这个近似值进行计算。
因此，log₁₀2 ≈ logₑ2 / 0.4343
换底公式使得我们可以在不同底数之间进行对数运算，方便进行计算和比较。
对数函数的换底公式是指将对数的底数进行转换的公式，常用的换底公式如下：
对数函数的换底公式： logₐb = logₓb / logₓa
其中，logₐb 表示以 a 为底数的 b 的对数，logₓb 表示以任意底数 x 的 b 的对数，logₓa 表示以任意底数 x 的 a 的对数。
换底公式的使用可以将对数的底数转换为其他常用的底数，例如将以 10 为底数的对数转换为以 e（自然对数
4.2.3换底公式与 自然对数
探究：利用换底公式如何得到自然对数和
常用对数的关系？ ln N ≈ 2.302 6 lg N
练习 1 1 ．将下列对数换成以 10 为底的常用对数： （1）log 2 6 ； （2）ln 10
．
2 ．求下列格式的值： （1）e ln x ； （2）ln e 2 ．
练习 2
1 ．求值：
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指数 指 对数 4.2.3数 换底公式与自然对数
对数
细胞分裂过程 分裂次数 细胞的总数 2＝21 4＝22 8＝23
第1次
第2次
第3次
第x次
……
y＝ 2 x
问题：若分裂得到的细胞个数 y＝4 096，
则分裂次数 x 为多少？
分析： 即 log 2 4 096 ＝ x ， 4 096＝2 x ， 两边取常用对数，得 lg 4 096＝ lg 2 x ， 即 lg 4 096＝ x lg 2，
2 ．化简：log 5 3 × log 27 125 ． 3 ．求证：log x y log y z ＝ log x z ．
1. 换底公式： log b N ＝
log a N
log a b
2. 自然对数 ln N ＝ log e N （其中 e＝2.718 28…）.
必做题： 教材P112，练习 A 组第 2 题， 练习 B 组第 3 题 ； 选做题： 教材P112，练习 B 组第1、2 题．
lg 4096 即 x＝ ＝ 12． lg 2
1. 换底公式： log b N ＝ log a N
对数运算性质的应用_换底公式2
\ 原方程化为2 log3(x - 1) = log3 (x + 5) ,
即 log3 (x - 1)2 = log3 (x + 5) ,
\
ì x - 1> 0 ï ï ï ï íx + 5> 0 ï 2 ï ( x 1) = x+ 5 ï ï î
解得x = 4
注意：底数和 真数的范围。
\ 原方程的解为x = 4.
课堂练习
1. 设 log3 4 鬃 log4 8 log8 m = log4 16, 求m的值.
2. 解方程 : log5 (x + 1) = log 1 x .
5
1. 设 log3 4 鬃 log4 8 log8 m = log4 16, 求m的值. 解 : log3 4 鬃 log4 8 log8 m = log4 16
lg 4 lg 8 lg m 2 × × = log4 4 lg 3 lg 4 lg 8 lg m = 2 lg 3
log3 m = 2
\ m= 9
2. 解方程 : log5 (x + 1) = log 1 x .
5
解 : log 1 x = log - 1 x = - log5 x = 5
5
log5 x
热身训练
求下列各式的值：
1. lg 2 lg 5 1
2. log5 10 log5 2 1
3. log3 1 log3 3 log3 27 4
能把不同的底换成相同的底吗?
1. log2 3与 log4 9 之间的关系如何?
解:设 x = log4 9, 则 4x = 9,
logc N loga N = logc a
高一数学复习知识讲解课件41 对数的运算(第2课时) 换底公式及应用问题
4.3.2对数的运高一数学复习知换底公式及应数的运算(第2课时)
复习知识讲解课件
式及应用问题
课时学案
探究
1
(1)
换底公式的本质是化异底为数或自然对数，解决一般对数的求值问题(2)
利用换底公式化简、求值的一般思路 异底为同底，也可以将一般对数化为常用对问题．
般思路：
探究2 利用对数式与指数式互化求值(1)在对数式、指数式的互化运算中，则，尤其要注意条件和结论之间的关系，(2)对于连等式可令其等于k (k >0，且由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数
化求值的方法：
，要注意灵活运用定义、性质和运算法，进行正确地转化．
且k ≠1)，然后将指数式用对数式表示，再的对数，从而使问题得解．
探究3 关于对数运算在实际问题中的
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题代入，最后利用对数运算性质、换底公式进(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数运算，从而简化复杂的指数运算．
题中的应用： 先将题目中数量关系理清，再将相关数据公式进行计算．
可将指数式利用取对数的方法，转化为对
课 后 巩 固。
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利用换底公式证明：
例2.利用换底公式证明 ： m m loga n b loga b.a 0, 且a 1, b 0, m R, n R n
换底时选择好底数：
例3. 已知log3 2 a， log3 7 b, 用a, b表示log14 49
log2 16 log2 16 1求 与 log4 16的值， 并看看 与 log4 16 log2 4 log2 4 的值有何关系 ？
2你能用以c(c 0, 且c 1)为底的两个对数的比来
表示log4 16吗？表示出来的等式成立吗 ？
3一般地， 如果a 0, 且a 1, b 0, c 0, 且c 1.
课堂小结：
利用换底公式可以实现对数问题中的“化异为同”， 它在求值或恒等变形中作了重要作用，在解题过程 中应注意：
1．注意换底公式与对数运算法则结合使用；
2．换底公式的正用与反用； 3．针对具体问题，选择好底数.
Байду номын сангаас业：
1. P75. A组第11题
2.例1第2小题， 换底时选择底数为 2时怎么做？ 底数为3呢？
log2 9 log3 64 3 log2 3 log3 4
课堂练习：
利用对数的换底公式化简下列各式：
1 loga b logb a; 2 log2 3 log3 4 log4 5 log5 2; 3 log4 3 log8 3log3 2 log9 2
logc b 那么loga b ， 如何证明？ logc a
换底公式：
如果a 0, 且a 1, b 0, c 0, 且c 1 : logc b 那么loga b logc a
换底公式的应用示例：
例1.利用对数的换底公式求 下列各式的值 .
1 log2 3 log3 2 2 log8 9 log27 32
3. 已知log5 2 a, log5 3 b, 求 log12 15 的值.
4.计算：log4 3 log9 2 log1 32
4 2
导入新课
1.同底的两个对数可以进行加减运算， 对数的加减运算是利用那两个性质？
a 0, 且a 1. 1 loga M loga N loga M N ; M 2loga M loga N loga N
.
2.遇到同底两个对数相除，怎么办？
换底公式及其应用
提出问题